O documento apresenta exemplos de resolução de problemas de programação linear utilizando softwares como Lindo, QM for Windows e o Solver do Excel. São resolvidos problemas como o de Giapetto e um problema de orçamento de capital maximizando o valor presente líquido total. Softwares como esses auxiliam na resolução de problemas que envolvem muitas etapas de cálculo manual.

1. 1
Pesquisa Operacional
Instituto de Engenharia de Produção e Gestão
Universidade Federal de Itajubá
Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi
Exemplo 4.6.4 – Uso de softwares
Resolver os problemas do
item 4.5 pelo simplex
Eu não aguento todo aquele
algebrismo!

2. 2
Calma existem
softwares para o
problema!
O Lindo é um
deles.
Opção para evitar o
simplex manualmente
O solver é outra opção

3. 3
Outras opções
Linprog;
QM for windows;
DS for windows;
Matlab;
Etc...
Vejamos alguns destes....
Softwares para auxiliar a
solução dos problemas
LINPROG

4. 4
O problema de Giapetto
Max Z = 3X1 + 2X2
sujeito a:
2X1 + X2 ≤ 100
X1 + X2 ≤ 80
X1 ≤ 40
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Solução pelo simplex

5. 5
Resolva o problema
abaixo usando o linprog
max Z = 5X1 + 2X2
sujeito a:
X1≤ 3
X2 ≤ 4
X1 + 2X2 ≤ 9
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Solução pelo linprog

6. 6
Procedimentos para
minimizar Z
Item 4.6.5 - Exemplo 1
min Z = 2x1 - 3x2
sujeito a:
x1 + x2 ≤ 4
x1 - x2 ≤ 6
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Dá para resolver diretamente pelo Simplex?

7. 7
Converter o problema de PL
na forma canônica
min Z = 2x1 - 3x2
sujeito a:
x1 + x2 + x3 = 4
x1 - x2 + x4 = 6
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Trabalhando a FO
min Z = 2x1 - 3x2
Z = -2x1 + 3x2
Para minimizar a Função (-Z):
max (-Z) = -2x1 + 3x2

8. 8
Nova formulação
Max (-Z) = - 2x1 + 3x2
sujeito a:
x1 + x2 + x3 = 4
x1 - x2 + x4 = 6
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Variáveis não básicas: X1 = X2 = 0
Variáveis básicas: X3 = 4 X4 = 6
Solução básica inicial
Max (-Z) = - 2x1 + 3x2
sujeito a:
x1 + x2 + x3 = 4
x1 - x2 + x4 = 6
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0

9. 9
Pivô
O problema pode ser
representado assim:
Z X1 X2 X3 X4 b Razão
Base -1 2 -3 0 0 0
X3 0 1 1 1 0 4
X4 0 1 -1 0 1 6
4/1=4
6/-1
Indica que
X2 entra no
lugar de X3Solução parcial: (0, 0, 4, 6)
Próximo quadro - Base: X2 e X4
Devem se colocadas na forma canônica
X2 entra na base
solução é ótima
Valor máximo possível
para a função objetivo
Solução ótima: (0, 4, 0, 10)
Segunda iteração
Z X1 X2 X3 X4 b Razão
Base -1 5 0 3 0 12
X2 0 1 1 1 0 4
X4 0 2 0 1 1 10

10. 10
Solução do problema pelo
simplex
Solução ótima: (0, 4, 0, 10) Z = 2*0 - 3*4 = -12
min Z = 2x1 - 3x2
sujeito a:
x1 + x2 ≤ 4
x1 - x2 ≤ 6
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Exercício
Resolver o problema da 2 do item
4.6.5 da apostila;
Usar o linprog.

11. 11
4.6.5 - Exemplo 2
min Z = 4x1 - x2
sujeito a:
2x1 + x2 ≤ 8
x2 ≤ 5
x1 - x2 ≤ 4
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Z X1 X2 X3 X4 X5 b razão
Base -1 4 -1 0 0 0 0
X3 0 2 1 1 0 0 8 8
X4 0 0 1 0 1 0 5 5
X5 0 1 -1 0 0 1 4 -4
Z X1 X2 X3 X4 X5 b razão
Base -1 4 0 0 1 0 5
X3 0 2 0 1 -1 0 3
X2 0 0 1 0 1 0 5
X5 0 1 0 0 1 1 9
4.6.5 - Exemplo 2

12. 12
Solução pelo linprog
O método BIG M

13. 13
Item 4.7.2 - Exemplo 1
min Z = 2x1 + 3x2
sujeito a:
1/2x1 + 1/4x2 ≤ 4
x1 + 3x2 ≥ 20
x1 + x2 = 10
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Dá para resolver pelo Simplex?
Solução pelo linprog

14. 14
Exercício
Resolver o problema da 2 do
item 4.7.2 da apostila;
Usar o linprog.
Item 4.7.2 - Exemplo 2
min Z = 2x1 + 3x2
sujeito a:
2x1 + x2 ≥ 4
x1 - x2 ≥ -1
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0

15. 15
Solução pelo linprog
Lindo ?
Vamos ver outra
opção de software!
O Lindo!
Outro software

16. 16
LINDO
(Linear, Interactive and Discrete
Optmizer)
Software desenvolvido pela Lindo
Systems Inc. de Chicago Illinois, EUA.
Resolve modelos de programação linear,
quadrática ou inteira.
No quadro a seguir encontra-se as
versões disponíveis.
Site da Web: http://www.lindo.com
LINDO
(Linear, Interactive and Discrete
Optmizer)
Limites
máximos
Versão Linhas Colunas
Demonstração 150 300
Super 500 1000
Hiper 2000 4000
Industrial 8000 16000
Extended 32000 100000
*
* Versão utilizada no curso

17. 17
Vamos resolver o problema
do Giapetto no Lindo
O problema de Giapetto
Max Z = 3X1 + 2X2
sujeito a:
2X1 + X2 ≤ 100
X1 + X2 ≤ 80
X1 ≤ 40
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0

18. 18
Formular no Lindo o
problema 4.5.2
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de
orçamento de capital
Uma empresa de petróleo esta considerando
5 diferentes oportunidades de investimento.
O fluxo de caixa e o Valor Presente Líquido
das alternativas são dadas na tabela a
seguir:
Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5
Investimento
data 0 11 53 5 5 29
Investimento
data 1 3 6 5 1 34
VPL
13 16 16 14 39

19. 19
A empresa tem 40 milhões para investir hoje,
e estima que no ano posterior terá 20
milhões.
A empresa pode comprar qualquer fração de
cada investimento, os investimentos e VPL
são ajustados na proporção.
Por exemplo, se a empresa compra (1/5) da
alternativa 3, então 1 milhão é necessário na
data 0 e na data 1.
VPL = (1/5)16 = 3,2 milhões.
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de
orçamento de capital
A empresa quer maximizar o VPL obtido
para os investimentos de 1 a 5. Formular o
problema.
Assumir que qualquer recurso não usado na
data 0, não poderá ser usado na 1.
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de
orçamento de capital

20. 20
Formulação
Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5
sujeito a:
11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40
3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20
X1 ≤ 1
X2 ≤ 1
X3 ≤ 1
X4 ≤ 1
X5 ≤ 1
Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5
Solução problema 4.5.2
X1 = X3 = X4 = 1
X2 = 0,201
X5 = 0,288
Z = 57,449

21. 21
Problema 4.5.2
Resposta:
X1 = X3 = X4 = 1
X2 = 0,201
X5 = 0,288
Z = 57,449
Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5
sujeito a:
11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40
3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20
X1 ≤ 1
X2 ≤ 1
X3 ≤ 1
X4 ≤ 1
X5 ≤ 1
Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5
O QM for windows é outra
opção

22. 22
Vamos resolver o problema
do Giapetto no QM
O problema de Giapetto
Max Z = 3X1 + 2X2
sujeito a:
2X1 + X2 ≤ 100
X1 + X2 ≤ 80
X1 ≤ 40
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0

23. 23
Formular no QM o problema
4.5.2
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de
orçamento de capital
Uma empresa de petróleo esta considerando
5 diferentes oportunidades de investimento.
O fluxo de caixa e o Valor Presente Líquido
das alternativas são dadas na tabela a
seguir:
Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5
Investimento
data 0 11 53 5 5 29
Investimento
data 1 3 6 5 1 34
VPL
13 16 16 14 39

24. 24
A empresa tem 40 milhões para investir hoje,
e estima que no ano posterior terá 20
milhões.
A empresa pode comprar qualquer fração de
cada investimento, os investimentos e VPL
são ajustados na proporção.
Por exemplo, se a empresa compra (1/5) da
alternativa 3, então 1 milhão é necessário na
data 0 e na data 1.
VPL = (1/5)16 = 3,2 milhões.
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de
orçamento de capital
A empresa quer maximizar o VPL obtido
para os investimentos de 1 a 5. Formular o
problema.
Assumir que qualquer recurso não usado na
data 0, não poderá ser usado na 1.
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de
orçamento de capital

25. 25
Formulação
Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5
sujeito a:
11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40
3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20
X1 ≤ 1
X2 ≤ 1
X3 ≤ 1
X4 ≤ 1
X5 ≤ 1
Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5
Solução problema 4.5.2
X1 = X3 = X4 = 1
X2 = 0,201
X5 = 0,288
Z = 57,449

26. 26
Problema 4.5.2
Resposta:
X1 = X3 = X4 = 1
X2 = 0,201
X5 = 0,288
Z = 57,449
Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5
sujeito a:
11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40
3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20
X1 ≤ 1
X2 ≤ 1
X3 ≤ 1
X4 ≤ 1
X5 ≤ 1
Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5
O solver do excel também é
uma boa opção

27. 27
Solver do Excel
O Microsoft Excel Solver usa o código de
otimização não linear Generalized
Reduced Gradient (GRG2), desenvolvido
por Leon Lasdon, da University of Texas
em Austin, e Allan Waren, da Cleveland
State University.
Os problemas lineares e de inteiros usam o método
simplex com limites sobre as variáveis e o método de
desvio e limite, implementado por John Watson e
Dan Fylstra, da Frontline Systems, Inc.
Site da Web: http://www.frontsys.com
Planilhas com exemplos: arquivos de
programasmicrosoft
officeofficeexemplossolverexemsolv.xls
Solver do Excel

28. 28
Solver do Excel
Exemplos da planilha:
• Guia rápido
• Combinação de produtos
• Rotas de transporte
• Planejamento de pessoal
• Maximizar a renda
• Carteira de ações
• Design de engenharia
Vamos resolver o problema
do Giapetto no Solver do
Excel

29. 29
O problema de Giapetto
Max Z = 3X1 + 2X2
sujeito a:
2X1 + X2 ≤ 100
X1 + X2 ≤ 80
X1 ≤ 40
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Formular no solver o
problema 4.5.2

30. 30
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de
orçamento de capital
Uma empresa de petróleo esta considerando
5 diferentes oportunidades de investimento.
O fluxo de caixa e o Valor Presente Líquido
das alternativas são dadas na tabela a
seguir:
Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3 Alternativa 4 Alternativa 5
Investimento
data 0 11 53 5 5 29
Investimento
data 1 3 6 5 1 34
VPL
13 16 16 14 39
A empresa tem 40 milhões para investir hoje,
e estima que no ano posterior terá 20
milhões.
A empresa pode comprar qualquer fração de
cada investimento, os investimentos e VPL
são ajustados na proporção.
Por exemplo, se a empresa compra (1/5) da
alternativa 3, então 1 milhão é necessário na
data 0 e na data 1.
VPL = (1/5)16 = 3,2 milhões.
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de
orçamento de capital

31. 31
A empresa quer maximizar o VPL obtido
para os investimentos de 1 a 5. Formular o
problema.
Assumir que qualquer recurso não usado na
data 0, não poderá ser usado na 1.
4.5.2 - Exemplo 2: Problema de
orçamento de capital
Formulação
Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5
sujeito a:
11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40
3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20
X1 ≤ 1
X2 ≤ 1
X3 ≤ 1
X4 ≤ 1
X5 ≤ 1
Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5

32. 32
Solução problema 4.5.2
X1 = X3 = X4 = 1
X2 = 0,201
X5 = 0,288
Z = 57,449
Problema 4.5.2
Resposta:
X1 = X3 = X4 = 1
X2 = 0,201
X5 = 0,288
Z = 57,449
Max Z = 13X1 +16X2 +16X3 +14X4 + 39X5
sujeito a:
11X1 + 53X2 + 5X3 + 5X4 +29 X5 ≤ 40
3X1 + 6X2 + 5X3 + X4 + 34X5 ≤ 20
X1 ≤ 1
X2 ≤ 1
X3 ≤ 1
X4 ≤ 1
X5 ≤ 1
Xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5

33. 33
Formular no Lindo, QM e no
solver o problema 4.5.1
4.5.1 - Exemplo 1: Problema
de programação do trabalho
Uma empresa de entregas necessita de
diferentes números de funcionários
durante os diferentes dias da semana. Os
números de funcionários necessários é
mostrado na tabela a seguir.

34. 34
4.5.1 - Exemplo 1: Problema
de programação do trabalho
Número de funcionários
necessários
Dia 1 = Segunda-feira 17
Dia 2 = Terça-feira 13
Dia 3 = Quarta-feira 15
Dia 4 = Quinta-feira 19
Dia 5 = Sexta-feira 14
Dia 6 = Sábado 16
Dia 7 = Domingo 11
4.5.1 - Exemplo 1: Problema
de programação do trabalho
As leis do sindicado asseguram que os
funcionários devem trabalhar 5 dias consecutivos
e 2 de folga. Por exemplo, um funcionário que
trabalhou de Segunda a Sexta folga Sábado e
Domingo.
O escritório quer funcionar apenas com
funcionários de tempo integral.
Formular o problema de tal modo que a empresa
possa minimizar o número de empregados de
tempo integral que precisam ser contratados.

35. 35
Formulação
min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7
sujeito a:
X1 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 17 (SEG)
X1 + X2 + X5 + X6 + X7 ≥ 13 (TER)
X1 + X2 + X3 + X6 + X7 ≥ 15 (QUAR)
X1 + X2 + X3 + X4 + X7 ≥ 19 (QUIN)
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≥ 14 (SEX)
X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≥ 16 (SAB)
X3 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 11 (DOM)
Xi ≥ 0 (i = 1; 2;....; 7)
Solução problema 4.5.1
X1 = 4/3
X2 = 10/3
X3 = 2
X4 = 22/3
X5 = 0
X6 = 10/3
X7 = 5
Z = 67/3
X1 = 2
X2 = 4
X3 = 2
X4 = 8
X5 = 0
X6 = 4
X7 = 5
Z = 25
Exemplo típico
para
programação
inteira! Será visto
oportunamente.

36. 36
Problema 4.5.1
min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7
sujeito a:
X1 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 17 (SEG)
X1 + X2 + X5 + X6 + X7 ≥ 13 (TER)
X1 + X2 + X3 + X6 + X7 ≥ 15 (QUAR)
X1 + X2 + X3 + X4 + X7 ≥ 19 (QUIN)
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≥ 14 (SEX)
X2 + X3 + X4 + X5 + X6 ≥ 16 (SAB)
X3 + X4 + X5 + X6 + X7 ≥ 11 (DOM)
Xi ≥ 0 (i = 1; 2;....; 7)
X1 = 4/3
X2 = 10/3
X3 = 2
X4 = 22/3
X5 = 0
X6 = 10/3
X7 = 5
Z = 67/3