Apresentação monografia - Ciência e Tecnologia - GPS/Relatividade

O Sistema de Posicionamento Global (GPS) como
aplicação prática da Teoria da Relatividade Geral
Leonardo Venancio Correia
Universidade Federal do Maranhão
18 de Agosto de 2017
1

Objetivos
O objetivo principal deste trabalho é o estudo da aplicação da Teoria
da Relatividade Geral no Sistema de Posicionamento Global (GPS),
para isso iremos tratar dos seguintes tópicos:
• Introduzir alguns aspectos matemáticos e físicos utilizados no GPS, tendo como
ponto central da discussão a Relatividade Geral.
• Observar o erro diário ocorrente nos satélites devido à fenômenos relativísticos.
• Analisar a diferença no uso e não uso da Relatividade Geral no GPS através de um
algoritmo básico de simulação.
2

3
INTRODUÇÃO
Como surgiu o GPS?
PROPÓSITO
• Para fins militares
NAVSTAR
• Iniciou em 1960.
• Disponibilizava informações geográficas (localização, terreno, clima e etc).
INTERDISCIPLINAR
• Engenharia Aeroespacial.
• Engenharia de Telecomunicações.
• Mecânica Quântica.
• Engenharia da Computação.
• Relatividade Geral.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
1.1 Ideia Básica
fonte: NASA
FORMAÇÃO
• “Constelação” de 24 satélites e mais 4 sobressalentes
FUNCIONAMENTO
• Para um receptor (𝑥,𝑦,𝑧) interessado em identificar
sua posição no instante t, há a recepção de um sinal no
instante 𝑡1, vindo da posição (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1). No caso, um
dos satélites do GPS.
• Distância percorrida pelo sinal até receptor é
igual a c(t - 𝑡1), onde c é a velocidade da luz.
• Formação da seguinte superfície esférica:
(𝑥 - 𝑥1)² + (𝑦 - 𝑦1)² + (𝑧 - 𝑧1)² = c²(t - 𝑡1)²
4

FUNCIONAMENTO
• Analogamente, um segundo satélite que se comunica com o mesmo
receptor que recebe o sinal no mesmo instante t. Gerando outra superfície
esférica:
𝑥 − 𝑥2
2
+ 𝑦 − 𝑦2
2
+ 𝑧 − 𝑧2
2
= 𝑐2
𝑡 − 𝑡2
2
.
• A intersecção dessas duas superfícies esféricas
gera um plano.
• Fazemos o mesmo para um terceiro satélite.
𝑥 − 𝑥3
2
+ 𝑦 − 𝑦3
2
+ 𝑧 − 𝑧3
2
= 𝑐2
𝑡 − 𝑡3
2
.
• Através da intersecção dessas 3 superfícies notamos que são gerados
dois pontos, como podemos ver na figura.
fonte: NASA 5

6
FUNCIONAMENTO
• Para tal posicionamento ser calculado o receptor deve resolver
o sistema das 3 equações obtidas
(𝑥 − 𝑥1)² + (𝑦 − 𝑦1)² + (𝑧 − 𝑧1)² = c²(t − 𝑡1)²
(𝑥 − 𝑥2)² + (𝑦 − 𝑦2)² + (𝑧 − 𝑧2)² = c²(t − 𝑡2)²
(𝑥 − 𝑥3)² + (𝑦 − 𝑦3)² + (𝑧 − 𝑧3)² = c²(t − 𝑡3)²
fornecendo duas soluções.
Interseção de três superfícies esféricas

7
1.2 Corrigindo o tempo
RELÓGIOS ATÔMICOS
• São necessários pois só eles podem dar a precisão necessária ao GPS. Pois a
distância do satélite é determinada pela medição do tempo que um sinal de
rádio leva para chegar até nós, a partir de um satélite.
ARTIFÍCIO DE IMPLEMENTAÇÃO
• Como os sinais de rádio viajam a 300.000 km/s ou 30 centímetros por
nanosegundo (10−9
s). Para evitar erros maiores que 5 metros, por exemplo, a
precisão da medição do ∆𝑡 deve ser de aproximadamente 15 nanosegundos.
• A resolução desse problema é um dos elementos chave do GPS e traz uma
grande vantagem: é como se cada usuários de GPS tivesse um relógio atômico.

8
• Para conseguirmos esse artifício, temos que levar em consideração 4 satélites,
esses devem resolver o sistemas de equações a seguir:
(𝑥 − 𝑥1)² + (𝑦 − 𝑦1)² + (𝑧 − 𝑧1)² = c²(t − 𝑡1)²
(𝑥 − 𝑥2)² + (𝑦 − 𝑦2)² + (𝑧 − 𝑧2)² = c²(t − 𝑡2)²
(𝑥 − 𝑥3)² + (𝑦 − 𝑦3)² + (𝑧 − 𝑧3)² = c²(t − 𝑡3)²
(𝑥 − 𝑥4)² + (𝑦 − 𝑦4)² + (𝑧 − 𝑧4)² = c²(t − 𝑡4)²
para as variáveis (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡).
• Tal sistema de equações quadráticas corresponde a intersecção de quatro
hipersuperfícies cônicas em ℝ4
, porém pode ser representado de outra forma.

9
• Assim, transformando o sistema anterior, vemos que o mesmo corresponde
também a intersecção de uma hipersuperfície cônica e três hiperplanos, como
vemos na imagem a seguir.
Interseção de uma reta e uma superfície cônica.

10
• Como, obviamente, a recepção dos sinais de satélites nos receptores do GPS
não ocorre no mesmo instante 𝑡, nós iremos tratar desse caso. Assim, as
equações, provavelmente, serão alteradas para:
𝑥 − 𝑥1
2
+ 𝑦 − 𝑦1
2
+ 𝑧 − 𝑧1
2
= 𝑐2
𝑡1
′
+ 𝛿 − 𝑡1
2
𝑥 − 𝑥2
2
+ 𝑦 − 𝑦2
2
+ 𝑧 − 𝑧2
2
= 𝑐2
𝑡2
′
+ 𝛿 − 𝑡2
2
𝑥 − 𝑥3
2
+ 𝑦 − 𝑦3
2
+ 𝑧 − 𝑧3
2
= 𝑐2
𝑡3
′
+ 𝛿 − 𝑡3
2
𝑥 − 𝑥4
2
+ 𝑦 − 𝑦4
2
+ 𝑧 − 𝑧4
2
= 𝑐2
𝑡4
′
+ 𝛿 − 𝑡4
2
Onde 𝑡 𝑛
′
é o instante marcado no relógio de quartzo do receptor e 𝛿 é a imprecisão
do mesmo.

11
1.3 Outras correções
Fatores de diminuição da velocidade da luz
• Existe a diminuição da velocidade dos sinais de GPS.
Efeitos de reflexão dos sinais de GPS
Efeitos Relativísticos

RELATIVIDADE
2 Relatividade
SURGIMENTO
• Final do século XIX.
o Experimento de Michelson-Morley.
• Velocidade da Luz é constante, independentemente das velocidades dos
referenciais.
ALBERT EINSTEIN
• 1905 – Teoria da Relatividade Restrita
• 1915 – Teoria da Relatividade Geral
12
Albert Einstein
Fonte: Pinterest

13
RELATIVIDADE
2.1 Relatividade Restrita
OS DOIS POSTULADOS DA RELATIVIDADE RESTRITA
• Postulado 1: As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais.
• Postulado 2: A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c para qualquer
que seja o movimento da fonte.
CONCEITO DO RELÓGIO DE LUZ COMO DEMONSTRAÇÃO
• Consiste em uma caixa transparente com dois espelhos idênticos postos frente
a frente com um pulso de luz percorrendo-os continuamente, sendo refletido
de um para o outro alternadamente.
• Quando um pulso de luz bate em um deles ouvimos um “tic”, quando o pulso
bate no outro , ouvimos um “tac”.

14
RELATIVIDADE
• Considerando um referencial inercial 𝑆′, que se move com velocidade 𝑣 ao logo
do eixo 𝑂𝑥 de um outro referencial, 𝑆.
• Um “tic-tac” corresponde a um ciclo completo percorrido pela luz. Ou seja, no
referencial 𝑆′, temos que:
∆𝑡′
=
2∆𝑦′
𝑐
, onde ∆𝑦′
é a distância entre os espelhos.
Representação de um relógio de luz.

15
RELATIVIDADE
• Já para o referencial 𝑆, os espelhos estão em movimento, assim, a distância
percorrida é diferente.
• Pelo teorema de Pitágoras, temos:
𝛥𝑦 2
+
𝑣𝛥𝑡
2
2
=
𝑐𝛥𝑡
2
2
Onde ∆𝑡 é a variação de tempo de um “tic” do relógio do referencial 𝑆 e ∆𝑦 a distancia
percorrida pela luz.

16
RELATIVIDADE
• Levando em conta que a distância entre os espelhos seja igual para ambos os
referenciais, temos que:
𝑐𝛥𝑡′
2
2
+
𝑣𝛥𝑡
2
2
=
𝑐𝛥𝑡
2
2
→ 𝛥𝑡′ = 𝛥𝑡 1 −
𝑣
𝑐
2
Assim, observamos que o intervalo de tempo para 𝑆′ é menor para um “tic-tac”, já que
percorre uma distancia menor.

17
2.2 Gravidade Newtoniana
RELATIVIDADE
Em 1687, Newton conseguiu estabelecer que uma partícula de massa 𝑚1 exerce uma
força em uma outra massa 𝑚2, dada por:
𝐹2(1) = −
𝐺 𝑚1 𝑚2
𝑟2 𝑟12;
Interação gravitacional entre duas partículas.
Tratando apenas de 𝑚 ≡ 𝑚2 no campo gravitacional de 𝑚1 e tendo implícito que 𝑟 ≡
𝑟12, com a partícula de massa 𝑚1 localizada na origem do sistema de coordenadas,
podemos reescrever a força acima como
𝐹 ≡ 𝐹2 1 = 𝑚 𝑔( 𝑟) = −
𝐺 𝑚1 𝑚
𝑟2
𝑟 . 𝑔 𝑟 ≡ −
𝐺 𝑚1
𝑟2
𝑟

18
Interação gravitacional entre duas partículas.
RELATIVIDADE
Gravidade Newtoniana
• Uma vez que o rotacional de 𝑔( 𝑟) é nulo, temos que ele está associado a um potencial 𝛷
obtido por meio de
𝛷 𝑟 = −
𝑟0
𝑟
𝑔 𝑟 ⋅ 𝑑𝑙 = −𝐺 𝑚1
1
𝑟
−
1
𝑟0
levamos em conta somente as distâncias radiais 𝑟 e 𝑟0 a partir da origem, onde se localiza 𝑚1,
associadas aos pontos 𝑟 e 𝑟0, sendo este um ponto arbitrário onde o potencial se anula.
Considerando este ponto como infinitamente afastado da origem, temos que 𝑟0 → ∞ e
𝛷 𝑟 = 𝛷 𝑟 = −
𝐺 𝑚1
𝑟
.
Analogamente, podemos definir uma energia potencial 𝑈𝑔 𝑟 = 𝑚𝛷(𝑟) associada a 𝐹.

19
2.3 Teoria da Relatividade Geral
RELATIVIDADE
Para chegar no resultado o qual almejamos, iremos manipular duas fórmulas que
lidam com argumentos diferentes, ambos essencialmente devidos a Einstein.
• No primeiro momento, utilizaremos uma combinação da Relatividade Restrita com a
Mecânica Quântica. Desta, sabemos que a luz é formada por partículas, ou fótons,
com energia dada pela relação de Planck, figura a seguir.
Max Planck.
Fonte: explicatorium.
FORMÚLAS A SEREM MANIUPALADAS:
• 𝐸 = ℎ𝑓 =
ℎ
𝑇
• 𝐸 = 𝑚𝑐2
A partir dessas, tratamos o fóton como se possuísse uma massa
𝐸
𝑐2 ,
mesmo sabendo que o mesmo não possui massa.

20
Teoria da Relatividade Geral
RELATIVIDADE
Com o deslocamento de um fóton em um campo gravitacional de um objeto de massa 𝑚1,
ele poderá perder energia. A relação de Planck-Einstein implica:
𝐸𝑇 = ℎ = 𝐸′
𝑇′
.
Se 𝛥𝛷 = 𝛷( 𝑟′) − 𝛷( 𝑟) for a diferença de potencial entre 𝑟′ e 𝑟, é de esperar que
𝐸′
≃ 𝐸 − 𝑚𝛥𝛷 ≃ 𝐸 −
𝐸
𝑐2
𝛥𝛷 = 1 −
𝛥𝛷
𝑐2
𝐸 .
Portanto,
𝑇 ≃ 1 −
𝛥𝛷
𝑐2
𝑇′
.
Adotando o período do raio luminoso como unidade de tempo, a expressão acima indica
que um intervalo de tempo 𝛥𝑡′ medido por um observador em repouso em 𝑟′ relaciona-se
com o intervalo 𝛥𝑡 de um observador, também em repouso, em 𝑟 através de
𝛥𝑡′
≃ 1 +
𝛥𝛷
𝑐2
𝛥𝑡 → 𝛥𝑡′ ≃ 1 −
𝐺 𝑚1
𝑐2 𝑟′
𝛥𝑡

21
3 GPS e Relatividade
GPS E RELATIVIDADE
Depois de termos visto as características em relação à matemática, presente no GPS, e
a Relatividade, podemos seguir para a utilização de ambas no GPS.
• Potencial Gravitacional
• Alta Velocidade
- Estações de monitoramento.
Estação de monitoramento de GPS.
Fonte: Wikimedia Commons.

22
3.1 Cálculo da correção relativística
Vamos admitir que:
• A Terra seja aproximadamente uma esfera → 𝛷 𝑟 = −
𝐺𝑀
𝑟
;
Se um observador inercial “no infinito” mede um intervalo de tempo ∆𝑡, um satélite
que se move com velocidade 𝑣 em um ponto a distância 𝑟 do centro da Terra mede
um intervalo de tempo
∆𝑡 𝑆𝐴𝑇 = 1 −
𝑣²
𝑐²
1 −
𝐺𝑀
𝑟𝑐²
∆𝑡 ≅ 1 −
𝑣²
2𝑐²
1 −
𝐺𝑀
𝑟𝑐²
∆𝑡.
Como os termos
𝑣²
2𝑐²
e
𝐺𝑀
𝑟𝑐²
são muito menores que 1, podemos dizer ainda que:
∆𝑡 𝑆𝐴𝑇 ≅ 1 −
𝑣2
2𝑐2 −
𝐺𝑀
𝑟𝑐2 ∆𝑡.
De maneira análoga, um observador na Terra mede um intervalo de tempo:
∆𝑡 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 ≅ 1 −
𝑉2
2𝑐2 −
𝐺𝑀
𝑅𝑐2 ∆𝑡.
GPS E RELATIVIDADE
PARA O TEMPO:

23
Fazendo a razão entre ∆𝑡 𝑆𝐴𝑇 e ∆𝑡 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎, obtemos:
∆𝑡 𝑆𝐴𝑇
∆𝑡 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎
≃ 1 −
3𝑣2
2𝑐2
+
𝑉2
2𝑐2
+
𝐺𝑀
𝑅𝑐2
Sabendo que 𝑀 ≅ 5,9722 × 1024
kg, 𝑅 ≅ 6,371 × 106
m, 𝑐 = 2,99792458 × 108
𝑚/𝑠, 𝑣 ≅
3900
𝑚
𝑠
e 𝑉 ≅ 465
𝑚
𝑠
, podemos calcular todos os termos. Assim, temos:
3𝑣2
2𝑐2 ≅ 2,539 ∙ 10−10
;
𝑉2
2𝑐2 ≅ 1,203 ∙ 10−12
e
𝐺𝑀
𝑅𝑐2 =
𝑔𝑅2
𝑅𝑐2 =
𝑔𝑅
𝑐2 ≅ 6,958 ∙ 10−10
.
Assim, obtemos
≅ 1 + 4,4346 ∙ 10−10
.
Tal resultado pode reduzir para
≅ 1 + 4,42257 ∙ 10−10
, como ocorre nos polos
do planeta (𝑉 = 0).
GPS E RELATIVIDADE

24
Nesse caso, o erro diário dos relógios nos satélites em relação a um relógio na
superfície da Terra seria:
4,4346 ∙ 10−10
∙ 86.400 𝑠 ≅ 3,8315 ∙ 10−5
s
Para termos uma ideia da contribuição devida a Relatividade Geral, iremos admitir
. Assim, obtemos a razão
≅ 1 − 2,5265 ∙ 10−10
.
GPS E RELATIVIDADE
Ou seja, o relógio no satélite atrasar-se-ia, por dia, cerca de
2,5265 ∙ 10−10
∙ 86400 ≅ 2,1829 ∙ 10−5
s,
em relação a um relógio na superfície da Terra.

25
RELATIVIDADE
Para utilizarmos tais resultados em um algoritmo, por exemplo, nós precisamos tratar
∆𝑡 𝑆𝐴𝑇 e ∆𝑡 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 (∆𝑡 𝑆𝐴𝑇 = 𝑇 − 𝑇0 e ∆𝑡 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 = 𝑡 − 𝑡0). Assume-se que 𝑡0 = 𝑇0 = 0, ou
seja, as duas escalas de tempo estão alinhadas.
∆𝑡 𝑆𝐴𝑇 = 𝑇 ≃ 1 − 𝜀 ∆𝑡 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 = 1 − 𝜀 𝑡 ⇒ 𝑡 ≃
𝑇
1−𝜀
≃ 1 + 𝜀 𝑇,
com 𝜀 =
3𝑣2
2𝑐2 −
𝑉2
2𝑐2 −
𝐺𝑀
𝑅𝑐2 .
Com isso, a distância corrigida que usaríamos em um algoritmo seria:
𝑑 = 𝑐Δ𝑡 = 𝑐 𝑡 𝑅 − 1 + 𝜀 𝑇𝐸 .
Sendo 𝑡 𝑅 o tempo de recepção do aparelho de GPS e 𝑇𝐸 o tempo de emissão no satélite.
PARA A DISTÂNCIA:

Apêndice A: programando um protótipo de GPS
26
Neste, iremos tratar 4 satélites e seus tempos de emissão de sinais já dados, assim
como a recepção/interação de sinais no receptor de GPS em questão.
 Para obtermos as expressões matemáticas definimos alguns vetores
o 𝑅 = 𝑋 𝑥 + 𝑌 𝑦 + 𝑍 𝑧
o 𝑆𝑖 = 𝑋𝑖 𝑥 + 𝑌𝑖 𝑦 + 𝑍𝑖 𝑧, com 𝑖 = 1, … , 4,
 Para os 4 satélites, sincronizados, assumindo que os mesmos transmitem pulsos
eletromagnéticos identificados individualmente, a partir de 𝑆𝑖, supondo que tais
sinais segam recebidos simultaneamente em 𝑅, temos, pelo princípio da constância
da velocidade da luz, que
𝑆𝑖 − 𝑅
2
= 𝑆𝑖
2
+ 𝑅2
− 2 𝑆𝑖 ⋅ 𝑅 = 𝐷𝑖
2
⇒ 𝑆𝑖 ⋅ 𝑅 =
1
2
𝑆𝑖
2
+ 𝑅2
− 𝐷𝑖
2

27
Fazendo a diferença entre duas equações com índices i e j diferentes, conseguimos eliminar o
termo 𝑅2
.
𝑆𝑖 − 𝑆𝑗 ⋅ 𝑅 =
1
2
𝑆𝑖
2
− 𝐷𝑖
2
− 𝑆𝑗
2
+ 𝐷𝑗
2
Denotando 𝑉𝑗 = 𝑉𝑗𝑥 𝑥 + 𝑉𝑗𝑦 𝑦 + 𝑉𝑗𝑧 𝑧 ≡ 𝑆1 − 𝑆𝑗 e 𝑘𝑗 ≡
1
2
𝑆1
2
− 𝐷1
2
− 𝑆𝑗
2
+ 𝐷𝑗
2
, com 𝑗 ≠ 1,
podemos obter as três equações responsáveis pelas relações entre os satélites e o receptor:
𝑉2 ⋅ 𝑅 = 𝑘2;
𝑉3 ⋅ 𝑅 = 𝑘3;
𝑉4 ⋅ 𝑅 = 𝑘4.

28
Este sistema pode ser reescrito de forma matricial como:
𝑉2𝑥 𝑉2𝑦 𝑉2𝑧
𝑋
𝑌
𝑍
=
𝑘2
𝑘3
𝑘4
 Esta, por sua vez, pode-se obter como sendo dado por 𝑉𝑒 = 𝑉2 ⋅ (𝑉3 × 𝑉4), que
representa o volume do paralelepípedo de arestas dadas pelos três vetores que compõe a
expressão. Possivelmente, a combinação específica escolhida para os 𝑉𝑗 pode resultar em
𝑉𝑒 = 0.
 Contudo, a menos que dois ou mais satélites se encontrem na mesma posição, sempre
será possível obter outra combinação que forneça um valor não nulo Trocando 1 por
outro índice na definição de 𝑉𝑗. Por exemplo, 𝑉𝑗 ≡ 𝑆𝑖 − 𝑆𝑗, com 𝑖 = 2, 3 ou 4 e 𝑗 ≠ 𝑖,
procedendo, então, de forma análoga.

29Disponível em: github.com/leonardovenan

30
Disponível em: github.com/leonardovenan

31
Disponível em: github.com/leonardovenan

32
Conclusão
 O erro diário dos relógios nos satélites em relação a um relógio na superfície da Terra seria:
3,8315 ∙ 10−5
s
 A diferença de distância encontrada entre os pontos sem e com as correções relativísticas:
≅ 206,31 m

Referência
• Autor desconhecido, “GPS foi criado para uso militar nos anos 60,” 23 nov. 2009.
[Online]. Available: http://noticias.r7.com/tecnologia-e-ciencia/noticias/gps-foi-
criado-para-uso-militar-nos-anos-60-20091122.html. [Acesso em 13 ago. 2017].
• NATÁRIO, J. “O GPS e a Teoria da Relatividade”.
• RIBEIRO, D. C. “Como funciona o Sistema GPS?,” fev. 2008. [Online]. Available:
http://www.popa.com.br/_2008/cronicas/gps/funcionamento_do_gps.htm. [Acesso
em 14 dez. 2016].
• NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica, vol. 4, São Paulo: Edgard Blücher, 1997.
• TIPLER, P. A. e LLEWELLYN, R. A. Física Moderna, Rio de Janeiro: LTC, 2010.
•TIMBÓ, M. A. Levantamentos Através do Sistema GPS, UFMG: Departamento de
Cartografia, 2000.
33

Referência
• CARARO, A. C.; FERREIRA, L. D.; AFONSO, G. B. CORREÇÕES RELATIVÍSTICAS SOBRE
AS MEDIDAS DE TEMPO GPS, Bol. Ciênc. Geod., sec. Artigos, Curitiba, v. 16, no 1,
p.156-176, jan-mar, 2010.
• LEMON, D. K.; EDWARDS, W. F.; KENYON, C. S. “Electric potentials associated with
steady currents in superconducting coils,” Physics Letters A, vol. 162, nº 2, pp. 105-
114, 3 fev. 1992.
• JUNGINGER, J. E.; POPOVIC, Z. D. “An experimental investigation of the influence of
an electrostatic potential on electron mass as predicted by Weber's force law,”
Canadian Journal of Physics, vol. 82, nº 9, pp. 731-735, set. 2004.
• PESKIN, M. E.; SCHROEDER, D. V. “Interacting Fields and Feynman Diagrams,” em
An Introduction to Quantum Field Theory, Massachusetts, Perseus Books Publishing,
1995, pp. 77-130.
34

Referência
• ASSIS, A. K. T.; SILVA, H. T. “Comparison between Weber’s electrodynamics and
classical electrodynamics,” Pramana - Journal of Physics, vol. 3, nº 55, pp. 393-404,
set. 2000.
• WESLEY, J. P. “Weber electrodynamics, part I. general theory, steady current
effects,” Foundations of Physics Letters, vol. 5, nº 3, pp. 443-469, out. 1990.
• ASSIS, A. K. T.; CALUZI, J. J. “A limitation of Weber's law,” Physics Letters A, vol. 1,
nº 160, pp. 25-30, 4 nov. 1991.
35

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