GPS e Movimento

Disciplina de Física e Química A 11º ano de escolaridade Componente de Física

Componente de Física

Unidade 1 – Movimentos na Terra e no Espaço
“(…)um problema fundamental, e por milhares de anos completamente obscurecido
pelas suas próprias complicações, é o do movimento. Todos os movimentos observáveis
na natureza são na realidade muito complicados. Para compreendê-los temos de
começar pelos casos mais simples e gradualmente irmos subindo.(…)”
in A Evolução da Física, de Albert Einstein e Leopold Infeld

O movimento. Viajar no espaço e no tempo.
A cinemática permite escrever a história do futuro. Saber para onde se vai, sabendo de
onde se vem, definidas algumas regras do movimento. Mas também garante uma
viagem ao passado, descobrindo-o, ligando o passado e o presente pela trajectória que é
possível reconstruir através das regras matemáticas destes movimentos, no tempo e no
espaço, que passa e nos ultrapassa, acelera e desacelera, roda, tira e põe os objectos em
cada instante no seu lugar.
F. Carvalho Rodrigues

1.1 Viagens com GPS
1.1.1 Funcionamento e aplicações do GPS
O termo GPS aparece no nosso vocabulário associado a um dispositivo capaz de dar a
nossa posição exacta esteja ela onde estiver, ou indicar uma determinada rota a seguir
para chegar a um determinado destino.
O GPS (Global Positioning System) foi desenvolvido nos EUA (a Europa está
actualmente a desenvolver um sistema concorrente, o Galileo) e é um sistema
tecnológico que recorre a uma rede de satélites com computadores e relógios atómicos a
bordo.

O sistema GPS permite determinar as coordenadas de posição de um ponto em qualquer
zona do mundo, e com uma margem muito pequena de erro, sendo constituído por 3
segmentos:

Paulo José Santos Carriço Portugal Página 1 de 18


• Segmento espacial
o Rede de satélites (pelo menos 24), a uma distância de 20180 km da
superfície terrestre, os quais emitem sinais, demorando cada satélite 12 h
a dar uma volta completa à Terra
• Segmento de controlo
o Rede de 5 estações de rastreio, 3 antenas terrestres e 1 central de controlo
(MCS), em Colorado Springs, Schriever AFB, onde a órbita de cada
satélite é constantemente monitorizada, podendo cada satélite receber
instruções para corrigir a sua órbita, por causa das atracções
gravitacionais do Sol e da Lua, bem como do efeito da pressão da
radiação solar
• Segmento de utilizadores
o Utilização dos receptores, que recebem os sinais de microondas (1000 a
2000 MHz de frequência) emitidos por pelo menos 4 satélites, fazendo a
conversão dos dados fornecidos em coordenadas de posição, valores de
velocidade e cronometragem do tempo

Como funciona um receptor GPS?
Um receptor GPS recebe sinais provenientes de satélites que cobrem a superfície
terrestre e cuja posição em cada instante é conhecida com exactidão.
Os sinais, na banda das microondas, são característicos de cada satélite e o receptor
identifica o satélite que emitiu o sinal e faz uma comparação com registos de memória,
estabelecendo a sua localização exacta.

Os telemóveis também captam e enviam sinais na banda das microondas mas recorrem
a uma rede de antenas terrestres, designando-se a área coberta por cada antena de célula
e daí a designação de telefone celular.

Os satélites da rede GPS enviam os seus sinais em instantes precisos, os quais se
propagam à velocidade da luz (c ≈ 3,0 ×10 8 m s −1 ) , o que implica um certo tempo que
medeia o instante em que o sinal é emitido pelo satélite e o instante em que é recebido
pelo receptor. Este tempo permite determinar a distância entre o satélite e o receptor.



Convém aqui relembrar alguns conceitos.
A velocidade escalar média é o quociente entre o deslocamento escalar e o tempo
∆x
gasto para o efectuar, v m = , em que o deslocamento escalar, ∆x , é a diferença entre
∆t
as coordenadas final e inicial da posição. (Não confundir com rapidez média, quociente
s
entre o espaço percorrido e o tempo gasto, rm = ).
∆t

Quando o movimento se dá na mesma direcção, sentido e com a mesma rapidez, o
d
valor da velocidade é dado por v m = .
∆t

Vamos analisar a situação seguinte, tratada a duas dimensões, em que o receptor está
situado num ponto P e que o satélite está a emitir a partir do ponto A, como mostra
a figura seguinte.
Após recepção do sinal proveniente de A, o
receptor em P, a partir do tempo que o sinal
demorou de A até P, vai calcular a distância
dA .
Este valor não é suficiente para localizar o
ponto P, uma vez que P pode ser qualquer
ponto pertença da circunferência centrada
em A e de raio d A .
Há que recorrer à posição de outro satélite B.

A posição de outro satélite emissor, B, é conhecida com exactidão e o sinal que emite é
captado pelo receptor em P, o que permite determinar a distância d B , como mostra a
figura seguinte.



A posição do receptor P está então, agora,
determinada pela intersecção das
circunferências de raio d A e d B , dado que
também está sobre a circunferência
centrada em B.
Mas as duas circunferências têm dois
pontos de intersecção. Será necessária a
acção de outro satélite C.
É feita uma nova medição da distância,
agora relativamente a C, cuja posição é
também conhecida, tal que essa distância
d C permite concluir que o receptor está
sobre a circunferência centrada em C, a
qual intersecta as outras duas.
Deste modo o ponto P fica localizado com
a utilização de 3 emissores.

A situação real, situação tridimensional, é semelhante à apresentada atrás só que as
circunferências dão lugar a esferas, estando o ponto P situado na intersecção das
superfícies de 3 esferas centradas nos satélites usados como pontos de referência, como
mostra a figura abaixo.
Este método de localização é
designado de triangulação e recorre
também a um 4º satélite cujo
propósito é o de sincronizar os
relógios atómicos, situados a bordo
dos satélites, e altamente precisos,
com os cronómetros de quartzo,
menos precisos, presentes nos
receptores.



Deste modo é determinada a posição tridimensional de um ponto cujas coordenadas são
a latitude, a longitude e a altitude, o que permite ao receptor GPS fornecer a
orientação numa viagem, pois indica a direcção e o sentido do movimento, identificar
a localização de pontos num mapa pelas suas coordenadas e armazenar as
coordenadas das posições, permitindo o percurso em sentido inverso.

Aplicação
Um receptor GPS recebe um sinal electromagnético de um satélite situado em órbita, o
qual demora 7,0 ×10 −2 s a chegar.
Calcula a distância do satélite ao receptor.

1.1.2 Posição – coordenadas geográficas e cartesianas
Para indicar a posição de um lugar à superfície da Terra recorremos às coordenadas
geográficas: latitude, longitude e altitude.
A Terra é um geóide, não é uma esfera porque é
achatada nos pólos (o raio polar é cerca de 30 km
menor que o raio equatorial) e é acidentada a sua
superfície, mas podemos considerá-la uma esfera
quando se pretendem determinar as coordenadas.
Admitindo essa esfericidade temos que:
• O equador é um círculo máximo que divide a Terra em dois hemisférios, o
Norte e o Sul, e todos os pontos do equador estão equidistantes dos pólos
geográficos da Terra, Norte e Sul;
• Os paralelos são círculos menores que o equador, contidos em planos paralelos
ao plano equatorial;
• Os meridianos são círculos máximos sobre a superfície terrestre que passam
pelos pólos geográficos, sendo o meridiano de Greenwich o adoptado desde
1884 como o meridiano de origem para a contagem das longitudes, ou seja, o 1º
meridiano.



A latitude é o arco de meridiano ou o valor do ângulo ao centro da Terra, expresso
em graus, medido entre o paralelo que passa pelo local considerado e o equador.
Assim:
ϕ A é a latitude do lugar A (uma latitude sul) e ϕ B a latitude de um lugar B (uma
latitude norte). O equador tem latitude 0º.

A longitude é o arco do equador ou o valor do ângulo ao centro da Terra, expresso
em graus, medido entre o meridiano que passa pelo local considerado e o
meridiano de Greenwich. Assim:
L A é a longitude de um lugar A (longitude este) e LB é a longitude de um lugar B
(longitude oeste). O semimeridiano de Greenwich tem longitude 0º e o oposto, “linha
internacional de mudança de data”, tem longitude 180º, W e E, tal que aviões e navios
que o atravessem alteram a data a bordo em 1 dia; atrasam 1 dia os que se dirigem para
este e adiantam 1 dia os que se dirigem para oeste.
A altitude é o comprimento do segmento vertical compreendido entre o nível
médio das águas do mar e o local considerado, devendo o seu valor ser dado por um
altímetro pois a indicação do GPS relativa a esta coordenada é muito pouco precisa.



E se quisermos estudar movimentos efectuados à superfície da Terra?
Neste caso, quase sempre podemos ignorar a curvatura da Terra, considerando esta
plana, sendo conveniente recorrer às coordenadas cartesianas, coordenadas que
descrevem a posição de um corpo, ou o seu estado de movimento, relativamente a
um sistema de referência, um referencial ou referencial cartesiano, em homenagem
a René Descartes, matemático, físico e filósofo francês que viveu na primeira metade do
século XVII, o qual serve para localizar pontos no espaço através de coordenadas x ,
y e z . Um referencial é assim um sistema de eixos ligado a um objecto, i.e., em
repouso relativamente a ele.

Consideremos um ponto P no espaço. A sua posição, relativamente à origem de um
referencial cartesiano, é dada através do seu vector posição, o vector:
r r r r
rP = x P e x + y P e y + z P e z

e que x P , y P e z P são as coordenadas da posição do ponto P medidas sobre os 3 eixos
r r r
cartesianos e e x , e y e e z são os vectores unitários desses eixos, que dão a sua direcção.

Se o ponto P estivesse num plano o seu vector posição seria dado apenas em função
r r r
de duas coordenadas tal que, rP = x P e x + y P e y .

Se o ponto P estivesse assente apenas sobre um eixo o seu vector posição seria dado
r r
apenas em função de uma coordenada tal que, rP = x P e x .

Mas a posição do ponto P é relativa. Porque será?
Mas a posição de um corpo pode variar, e frequentemente varia, com o tempo. Então o
corpo ocupa sucessivamente posições diferentes, caracterizadas por conjuntos diferentes
de coordenadas cartesianas, ao longo do tempo. À linha que une o conjunto das
sucessivas posições ocupadas pelo corpo em movimento, ao longo do tempo,
chamamos trajectória.

As trajectórias podem ser rectilíneas ou curvilíneas (contendo o caso particular da
trajectória circular). Quando o movimento se faz sobre uma recta o movimento é
designado de rectilíneo e quando é feito sobre uma curva assume a designação de
curvilíneo.



Quando estudamos o movimento de um corpo sem atender aos seus movimentos de
rotação e/ou deformações ele pode ser considerado uma partícula material,
representado pelo seu centro de massa, o ponto que representa a massa do corpo e onde
podem ser supostas aplicadas todas as forças que actuam no corpo.

1.1.3 Tempo
O Universo em que vivemos possui 4 dimensões, três são espaciais e uma é temporal.
Assim, para situar um acontecimento no tempo recorremos à coordenada instante. Um
intervalo de tempo mede a duração entre dois instantes.
O tempo desempenha um papel decisivo no funcionamento do sistema GPS pois o erro
na determinação do intervalo de tempo que um sinal demora a percorrer a distância que
medeia o emissor do receptor tem de ser muito pequeno.

Qualquer tipo de relógio possui um mecanismo que produz oscilações regulares e outro
que conta as oscilações, convertendo-as numa unidade de tempo. Consoante esses
osciladores sejam mecânicos, electromagnéticos ou atómicos, assim os relógios terão
diferente precisão.
• Os relógios mecânicos são baseados em oscilações pendulares.
• Os relógios electromagnéticos, relógios de quartzo, baseiam-se nas oscilações de
um cristal de quartzo, oscilações dos átomos de silício, pois possui propriedades
piezoeléctricas, i.e., quando se aplica uma d.d.p. a um pequeno cristal este torna-
se um oscilador, com frequência muito regular.
• Os relógios atómicos baseiam-se na frequência das radiações emitidas, ou
absorvidas, por átomos ou moléculas. Trata-se afinal de conseguir que a
frequência da radiação incidente coincida com a frequência da radiação emitida
aquando da desexcitação. (Os relógios de césio apresentam uma incerteza de 0,1
µs/dia!)

Hora e longitude
A relação entre o tempo e a longitude permite determinar a diferença entre a hora legal
de dois lugares do planeta com diferente longitude.



Cláudio Ptolomeu, astrónomo grego do século II, introduziu o conceito de “Sol médio”,
o qual descreve no céu, aparentemente, uma circunferência com velocidade constante
tal que, se descreve um ângulo de 360º em 24 h, descreve um ângulo de 15º em 1 h e
um ângulo de 1’ em cada 4 s.

Aplicação
Calcular a diferença horária entre dois meridianos que têm entre si uma diferença de
longitude de 35º 35’.

No dia a dia recorre-se a uma grande variedade de relógios mecânicos, os menos
precisos, pois apresentam uma incerteza de 100 ms/dia, podendo também recorrer-se a
relógios de quartzo, para tarefas mais sofisticadas, que exijam maior precisão temporal,
uma vez que a sua incerteza é de 0,1 ms/dia.

Mas, e em navegação marítima, o movimento dos navios não afecta o seu
funcionamento?
Sim, mas não só!
As variações da velocidade de rotação da Terra, provocadas pelos ventos e pelas marés,
desacertam os relógios mecânicos e de quartzo.
Foi só no século XVIII que John Harrison (1693-1776) desenvolveu um relógio baseado
no auto-equilíbrio de peças com molas, compensadas do efeito de dilatação provocado
por variações de temperatura, funcionando sem qualquer posição, sendo por isso imune
ao balancear dos navios.

1.1.4 Gráficos posição-tempo para movimentos rectilíneos
A figura seguinte mostra as posições de um móvel, considerado partícula material, em
intervalos de 2 s, movendo-se da posição A até à posição F passando sucessivamente
pelas posições B, C, D e E.

Como a posição é dependente do tempo podemos dizer que é uma função do tempo, i.e.,
x = x (t ) .



Relacionando então a posição ocupada pelo móvel e o instante em que ele ocupa a
posição obtemos:

A representação gráfica, i.e., x = f (t ) é:

O tempo, representado no eixo das abcissas, é a variável independente e a posição,
representada no eixo das ordenadas, é a variável dependente.
É a posição que depende do tempo e não o contrário.

Atenção que o gráfico obtido não é a trajectória da partícula! Esta, é uma linha recta.

Consegues descrever, a partir do gráfico posição-tempo, o movimento da partícula?
• Parte, no início da contagem dos tempos, da posição x = 1 m .
• Durante os primeiros 2 s percorre 3 m, passando da posição x = 1 m para a
posição x = 4 m , movendo-se no sentido positivo. A função x = x (t ) é
crescente neste intervalo de tempo.
• Entre os instantes t = 2 s e t = 8 s o móvel passa da posição x = 4 m para
x = −3 m , aproximando-se da origem 0 e depois afastando-se, movendo-se no
sentido negativo. A função x = x (t ) é decrescente neste intervalo de tempo.



• Entre os instantes t = 8 s e t = 10 s o móvel passa da posição x = −3 m para
x = 3 m , aproximando-se da origem 0 e depois afastando-se, movendo-se no
sentido positivo. A função x = x (t ) é crescente neste intervalo de tempo.

A função x = x (t ) traduz a lei do movimento.

1.1.5 Distância entre dois pontos, espaço percorrido e deslocamento
A figura seguinte mostra as posições ocupadas por um móvel, considerado partícula
material, que parte da origem O de um referencial, coincidente com o eixo 0x, passa
sucessivamente pelos pontos A e B, terminando o movimento em C.

Quais as posições ocupadas pelo móvel?
Qual a distância entre os pontos de partida e chegada?
Qual o espaço percorrido pelo móvel?
Qual o deslocamento escalar sofrido pelo móvel?
Qual o deslocamento do móvel? Qual a sua norma?
A figura abaixo representa o deslocamento do móvel. O que podes concluir?

Vamos então, agora, definir, e distinguir, as grandezas deslocamento, deslocamento
escalar, distância entre dois pontos e espaço percorrido.



1.1.6 Velocidade
A velocidade média de um móvel, considerado partícula material, é o quociente entre
o deslocamento do seu centro de massa e o intervalo de tempo em que este é feito,
r r
r ∆r r ∆x
i.e., v m = (ou v m = , caso o móvel se movimente sobre o eixo 0x). Trata-se de
∆t ∆t
uma grandeza vectorial, a qual é, por isso mesmo, caracterizada por uma direcção, um
sentido, a direcção e o sentido são a direcção e o sentido do vector deslocamento, um
r
r ∆r
ponto de aplicação e uma norma, v m = .
∆t

Mas acontece que, na maior parte das vezes, há interesse, não em conhecer a velocidade
média do móvel durante um determinado intervalo de tempo, mas em conhecer qual a
velocidade do móvel num, ou vários, instante(s) de tempo. Para isso recorremos à
definição de velocidade instantânea, ou simplesmente velocidade, uma grandeza
vectorial que caracteriza a direcção, o sentido do movimento e a rapidez com que o
móvel muda de posição.

A definição de velocidade estabelece-se a partir da velocidade média do móvel,
considerando os intervalos de tempo cada vez mais pequenos tal que, no menor
intervalo de tempo possível, aquele que tende para zero, se obtém a velocidade do
móvel entre dois instantes extremamente próximos, admitindo que entre esses dois
r r
instantes está aquele em que pretendemos conhecer a velocidade, sendo v = lim v m , i.e.,
∆t →0
r
r ∆r
v = lim .
∆t →0 ∆t

Consideremos o móvel (um carro) a descrever uma trajectória rectilínea sobre o eixo 0x,
durante um certo intervalo de tempo, tal que o gráfico da posição em função do tempo,
x = f (t ) , é mostrado pela figura seguinte.



Considerando intervalos de tempo sucessivamente menores, e as correspondentes
posições ocupadas pelo móvel, como mostra a figura abaixo, e traçando rectas que os
unam, podemos responder à questão a seguir formulada.

Existe um intervalo de tempo suficientemente pequeno para o qual a recta traçada que
une as posições ocupadas pelo móvel (recta a verde) é tangente ao gráfico para a
posição P para a qual se quer conhecer a velocidade. Conhecendo o deslocamento
escalar ∆x e o intervalo de tempo ∆t correspondente conhecemos a velocidade escalar.



Assim, a velocidade podia ser caracterizada como um vector com a direcção do eixo 0x,
sentido arbitrado como positivo, ponto de aplicação no centro de massa do móvel e
r
r ∆x
norma dada como v = . Note-se que a velocidade escalar, o valor algébrico da
∆t
∆x
velocidade, é dada como v = , sendo ∆x e ∆t os correspondentes a verde.
∆t

O declive da tangente num ponto da curva do gráfico é igual ao valor da
velocidade do móvel no instante correspondente a esse ponto.

Num movimento rectilíneo, aquele que é efectuado sobre uma trajectória rectilínea, a
r
velocidade v tem direcção constante.

Mas o móvel nem sempre descreve uma trajectória rectilínea. Pode descrever uma
r
trajectória curvilínea. Neste tipo de trajectória a direcção da velocidade v está a variar.

Se visualizarmos um ponto da trajectória, como é a seguir representado, concluímos que
a velocidade do móvel, num dado instante, é um vector tangente à trajectória.



Porque será?
Ao considerarmos um instante, um intervalo de tempo tão pequeno que tende para zero,
temos na realidade dois instantes incrivelmente próximos (que contêm o instante
pretendido) , para os quais corresponde um deslocamento, o qual é tangente à trajectória
(não esquecer que qualquer curva pode ser considerada como uma sucessão de
pequeníssimos segmentos de recta!). Como a velocidade é o quociente entre o
deslocamento (por muito pequeno que seja!) e o intervalo de tempo gasto para o efeito
(por muito pequeno que seja também!), temos que a velocidade é sempre tangente à
trajectória para qualquer instante considerado.

Assim, generalizando, podemos afirmar que as características da velocidade são:
• Ponto de aplicação: centro de massa do móvel;
• Direcção: a da tangente à trajectória no ponto em que o móvel se encontra;
• Sentido: o do movimento do móvel;
• Norma: igual ao módulo da velocidade escalar, indica a rapidez do movimento.

As características da velocidade podem ser alteradas em diferentes instantes durante o
movimento do móvel, por alteração da sua direcção, sentido ou norma. Assim:
• Sempre que a trajectória seja circular existe mudança da direcção da velocidade
ao longo do tempo pelo que não podemos dizer que esta é constante, mesmo que
a sua norma não sofra alteração, como é o caso da roda gigante;
• Sempre que a trajectória seja rectilínea pode ocorrer alteração na norma da
velocidade, mesmo que a direcção e o sentido não se alterem, como é o caso da
descida de um plano inclinado, em que a norma aumenta;
o Se for uma subida a norma da velocidade vai diminuído ao longo do
tempo, mantendo-se a direcção e o sentido desta, até ao instante em que é
nula, instante em que ocorre mudança no sentido da velocidade, apesar
da direcção se continuar a manter;
• Num movimento curvilíneo podem variar a direcção e a norma da velocidade, e
até o sentido, como naquele que descreve a ida de um aluno de casa à escola e da
escola a casa.



1.1.7 Gráficos velocidade-tempo
Podemos traçar um gráfico que relacione a velocidade escalar de um móvel ao longo do
tempo por forma a conhecer mais sobre o movimento de um móvel.

Consideremos o movimento de um móvel em linha recta, o qual se pode deslocar no
sentido de se afastar da origem do referencial escolhido, ou de se aproximar, mais
depressa, ou mais devagar, ou eventualmente parar, tal que a figura seguinte represente
esse movimento em função da variação das posições por ele ocupadas ao longo do
tempo.

A descrição do movimento é a seguinte:
• Até ao instante t1 o móvel mantém a mesma posição, a qual não coincide com a
origem do eixo 0x;
• Entre os instantes t1 e t2 o móvel desloca-se no sentido positivo do eixo 0x, com
velocidade crescente pois as rectas tangentes vão tendo declives cada vez
maiores;
• Entre os instantes t2 e t3 o declive das rectas tangentes ainda é positivo, mas cada
vez menor pelo que a velocidade está a diminuir, continuando o móvel a
deslocar-se no sentido positivo;
• Entre os instantes t3 e t4 o declive das rectas tangentes é negativo, o móvel
inverteu o sentido do movimento e aproxima-se da origem do eixo 0x,
deslocando-se no sentido negativo, mas com a velocidade a aumentar em norma,
apesar da velocidade escalar ser negativa;
• Entre os instantes t4 e t5 o declive das rectas tangentes é negativo e constante
pelo que a velocidade é constante, continuando o móvel a deslocar-se no sentido
negativo do eixo 0x;



• Entre os instantes t5 e t6 o declive das rectas tangentes é negativo mas cada vez
menos acentuado pelo que a velocidade está a diminuir em norma (a velocidade
escalar é negativa) e o comboio continua a deslocar-se no sentido negativo do
eixo 0x;
• No instante t6 o móvel atinge a origem do eixo 0x e pára, uma vez que o declive
da recta tangente é nulo.

Um gráfico velocidade-tempo possível para o movimento deste móvel pode ser:

Assim:
• O sinal de v indica o sentido do movimento;
• Existe inversão de sentido quando v muda de sinal e o móvel está parado quando
v é nulo num determinado intervalo de tempo;
• O valor absoluto de v indica a maior ou menor rapidez do movimento.

Atentemos no gráfico representado na figura abaixo.

A área compreendida entre a linha do gráfico e o eixo das abcissas tem significado
físico. Para um gráfico v = f (t ) , essa área representa o deslocamento escalar do móvel.



Se o movimento ocorrer no sentido positivo ∆x f 0 e v f 0 , se ocorrer no sentido
negativo ∆x p 0 e v p 0 .

Num gráfico v = f (t ) o deslocamento escalar pode ser calculado entre dois instantes
quaisquer bastando para isso tão somente calcular a área subjacente e atribuir o sinal
correcto.


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