O documento discute conceitos fundamentais de cálculo como derivada, taxa de variação instantânea e interpretação geométrica da derivada. Explica o que é derivada recuada, centrada e avançada, sendo a recuada calculada pela inclinação da reta quando h vai para 0 em f(x)-f(x-h), a avançada por f(x+h)-f(x) e a centrada por [f(x+h)-f(x-h)]/2h.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ
INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIÊNCIAS
BACHARELADO EM SISTEMAS DE INFORMAÇÃO
TURMA: BSI 2016
DISCIPLINA: CALCULO I
PROFESSOR(A): Dr. RAIMUNDO AUGUSTO
ALUNO(A): ERETUZA MARIA MORAES DE SOUSA
JHONE CLEY SOUSA CARVALHO
LARISSA CHRISTINE LIMA GONÇALVES
LARISSA MAIARAAMORIM
PEDRO YAN SILVA DE CASTRO
DERIVADA
AVAÇADA, RECUADA E CENTRADA
SANTARÉM, 06 DE FEVEREIRO DE 2017

2. RELATÓRIO
DERIVADA RECUADA (LATERAL ESQUERDA), CENTRADA E
AVANÇADA (LATERAL DIREITA)
Derivada
O conceito de derivada está relacionado á taxa de variação instantânea de função, a qual
está presente no cotidiano das pessoas, podemos tomar como exemplo a taxa de variação de
temperatura, taxa de crescimento econômico do país, entre outras. Utilizamos esse exemplo dentre
outros para mostrar que a variação de função e e o resultado da mesma se faz necessária em algum
momento.
Para entender melhor esse conceito usamos a definição matemática da derivada de uma
função em um ponto:
Definição
Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0,
denotado por f´(x0), é dada por:
F´(x0) = lim f(x0 + ∆x) – (fx0)
∆x→0 ∆x
Caso exista esse limite. ∆x representa uma pequena variação em x, próximo a x0, ou seja x = x0 -
∆x (∆x = x – x0). A derivada de f em x0 pode ser expressa por
F´(x0) = lim f(x) – (fx0)
x→x0 x - x0
Podemos usar também as seguintes notações:
f´(x0), df, df (x0).
dx x=x0 dx
Aplicação da derivada na Física
A derivada de uma função f num ponto x0 fornece taxa de variação instantânea de f em x0.
Exemplo:
Suponhamos que y seja uma função de x, y=f(x). Se x variar de valor x0 para x0 até x1,
representaremos essa variação de x, também nomeada de incremento de x, por ∆x=x1-x0, e a
variação de y é dada por ∆y= f(x1 ) – f(x0), como na figura:

3. O quociente das diferenças, dada por ∆y: f(x1) – f (x0), é dito taxa de variação de y em
∆x x1-x0
relação a x, no intervalo de [x0-x1]. O limite dessas taxas médias de variação, quando ∆x→0, é
chamado de taxa de variação instantânea de y em relação a x, em x=x0.
Taxa de variação instantânea: lim f(x) – f(x0) = lim f(x0 + ∆x) – (fx0)
x→x0 x - x0 ∆ x→x0 ∆x
Porém, = lim f(x0 + ∆x) – (fx0) = f(x0)
∆x→0 ∆x
Então, a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto é dada pela sua derivada nesse
ponto.
Interpretação da derivada na Geometria
A derivada de uma função f em um ponto a fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta
ao gráfico f no ponto (a, f(a)).
Exemplo: Dada a curva plana que representa o gráfico de f, se conhecemos um ponto P(a,
f(a)), então a equação da reta tangente r à curva em P é dada por y-f(a)= m*(x - a), onde m é o
coeficiente angular. Então basta conhecer o coeficiente angular m da reta e um de seus pontos para
conhecermos a sua equação. Para obter o coeficiente angular m para que r seja tangente à curva em
P, utilizamos a formula:
m= lim m = lim f(a + ∆x) – f(a) = lim f(x) – f(a)
∆ x→0 ∆ x x→a x-a
Caso esse limite exista o coeficiente angular da reta é o resultado da aplicação desse limite. Porém,
m= lim f(a + ∆x) – f(a) = lim f(x) – f(a) = f´(a).
∆ x→0 ∆ x x→a x-a

4. Após sabermos a definição de derivada iremos explicar sobre derivada recuada (lateral esquerda),
derivada centrada e derivada avançada(lateral direita).
Derivada recuada
É o resultado da divisão da tgθ = lim f(x)-f(x-h) , quando a função f é real, e seu domínio é Df.
h→0 h
Derivada Avançada
É o resultado da divisão do tg θ= lim f(x+h)-f(x), quando a função f é real.
h→0 h

5. Derivada Centrada
È o resultado da divisão do tg θ = lim f(x+h)-f(x-h)
h→0 2h