1. O documento apresenta um prefácio e introdução sobre concreto protendido, incluindo conceitos básicos, vantagens em relação ao concreto armado e tipos de protensão. 2. É destacado que o material é um rascunho e não um texto finalizado, faltando referências e créditos. 3. O autor ressalta que o objetivo é divulgar a tecnologia do concreto protendido e que o material está sujeito a revisões e sugestões de leitores.

2. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 2
PREFÁCIO
Prezados Colegas,
O que vocês têm disponível nessas notas de aula está longe de ser um material pronto e
acabado.
Na realidade, trata-se de uma apostila a ser usada como material de apoio a engenheiros e
estudantes que queiram se iniciar na arte de projetar pavimentos de edificações com a utilização
do concreto protendido.
Dentre as inúmeras lacunas, adianto que não há as necessárias referências bibliográficas
nem os créditos por projetos, cujos dados e fotos são aqui reproduzidos. Portanto, esse material
não deve ser publicado ou vendido.
Está faltando um capítulo sobre Verificação dos Estados Limites Últimos de flexão e esforço
cortante.
Nos capítulos 3 (Estados Limites de Utilização das Peças Protendidas) e 4 (Perdas de
Protensão) usamos fortemente o conteúdo da Apostila “Curso de Concreto Protendido”, do Profº
Joaquim E. Mota, da Universidade Federal do Ceará, ministrado na ACEE – Associação Cearense de
Engenharia Estrutural, além de formulação do artigo ”Projeto de Lajes Protendidas com
Cordoalha Engraxada, do Engº Giordano Loureiro, apresentado no 44º Congresso Brasileiro do
IBRACON.
A parte de avaliação de custos dos sistemas estruturais mais comuns é toda baseada em
projetos do Engº Hélder Martins e equipe, da Hepta Engenharia, de Fortaleza.
De modo geral, esta apostila está sujeita não só a revisões e correções, mas,
principalmente, receptiva a sugestões por parte daqueles que tiverem a boa vontade de ler o seu
conteúdo. Enfim, estamos longe de um material definitivo sobre assunto tão importante e ainda
tão carente em termos editoriais no Brasil.
Deve este material, portanto, ser encarado como mais uma ação visando divulgar a
tecnologia do concreto protendido, ainda longe de alcançar o seu merecido lugar na Engenharia
Civil brasileira.
Fortaleza (CE), Outubro de 2010
José Ricardo Brígido de Moura
Engº Civil, Professor da Universidade de Fortaleza (UNIFOR)

3. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 3
ÍNDICE
PREFÁCIO 2
1.1 - CONCEITOS BÁSICOS 6
1.1.1 - DEFINIÇÃO 6
1.1.2 - A PROTENSÃO NA PRÁTICA 6
1.2 - POR QUE PROTENDER O CONCRETO? 8
1.3 - VANTAGENS DO CONCRETO PROTENDIDO COM RELAÇÃO AO CONCRETO ARMADO 9
1.4 - IDÉIAS BÁSICOS SOBRE TRAÇADOS DE CABOS 9
1.5 – DETERMINAÇÃO DOS VALORES DE PROTENSÃO – CRITÉRIO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS 16
1.5.1 - REGIÃO DE MOMENTO POSITIVO 16
1.5.2 - REGIÃO DE MOMENTO NEGATIVO 16
1.6 - OS TIPOS DE CONCRETO PROTENDIDO E OS AÇOS UTILIZADOS NA PROTENSÃO 20
1.6.1 - O AÇO DE PROTENSÃO 20
1.6.2 - DESIGNAÇÃO DAS ARMADURAS PROTENDIDAS 21
1.6.3 - CATEGORIAS DE AÇO DE PROTENSÃO 21
1.6.4 - ANCORAGENS 22
1.7 - TIPOS DE PROTENSÃO 23
1.7.1 - PRÉ-TENSÃO 23
1.7.2 - PÓS-TENSÃO COM ADERÊNCIA POSTERIOR 24
1.7.3 - PÓS-TENSÃO SEM ADERÊNCIA 25
1.8 - PROCESSOS COMERCIAIS DE PROTENSÃO 26
CAPÍTULO 2 - CÁLCULO DE ESFORÇOS EM ESTRUTURAS PROTENDIDAS 31
2.1 - INTRODUÇÃO 31
2.1.1 - MÉTODO INDIRETO: REPRESENTAÇÃO DA PROTENSÃO ATRAVÉS DE UMA CARGA EQUIVALENTE 31
2.1.2 - MÉTODO DIRETO: REPRESENTAÇÃO DA PROTENSÃO COMO UM CONJUNTO DE ESFORÇOS SOLICITANTES INICIAIS 33
2.1.3 - APLICAÇÃO PRÁTICA DOS DOIS MÉTODOS 35
2.1.4 - CONCLUSÕES FINAIS 37
2.2 - CARGA EQUIVALENTE DE PROTENSÃO 38
2.2.1 - CONCEITUAÇÃO GERAL DA CARGA EQUIVALENTE DE PROTENSÃO 38
2.2.2 - CARGA EQUIVALENTE PARA CABOS RETOS E POLIGONAIS 41
2.2.3 - CARGA EQUIVALENTE – SUMÁRIO DAS CONCLUSÕES 42
2.3- CABLAGENS USADAS NA PRÁTICA E SUA CARGA EQUIVALENTE 42
2.4 - APLICAÇÕES NUMÉRICAS 51
2.5 - A PROTENSÃO PARA BALANCEAR CARGAS 55
CAPÍTULO 3 - ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO NAS PEÇAS PROTENDIDAS 81
3.1 - CONCEITUAÇÃO 81
3.2 - ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO 81
3.3 - COMBINAÇÕES DE CARGA PARA OS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO 83
3.3.1 - COMBINAÇÕES QUASE-PERMANENTES 83
3.3.2 - COMBINAÇÕES FREQÜENTES 83
3.3.3 - COMBINAÇÕES RARAS 83

4. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 4
3.4 - GRAUS DE PROTENSÃO 83
3.4.1 - PROTENSÃO COMPLETA 83
3.4.2 - PROTENSÃO LIMITADA 84
3.4.3 - PROTENSÃO PARCIAL 84
3.5 - VERIFICAÇÃO DE TENSÕES 85
3.5.1 - MODELO DE CÁLCULO 85
3.5.2 - FASES MÍNIMAS PARA VERIFICAÇÃO 85
3.5.3 – CONSIDERAÇÕES SOBRE AS VERIFICAÇÕES DE TENSÕES NOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO. 86
3.6 - EXEMPLO NUMÉRICO 89
CAPÍTULO 4 - PERDAS DE PROTENSÃO 94
4.1 - INTRODUÇÃO 94
4.2 - TENSÕES INICIAIS DE PROTENSÃO 95
4.3 - PERDAS IMEDIATAS 95
4.3.1 - ATRITO INTERNO NO MACACO 95
4.3.2 - ATRITO CABO-BAINHA 95
4.3.3 - ACOMODAÇÃO DA ANCORAGEM 98
DADOS PROTENSÃO: 99
4.3.4 - ENCURTAMENTO ELÁSTICO IMEDIATO DO CONCRETO 103
4.4 - PERDAS LENTAS OU DIFERIDAS 103
4.4.1 - INTRODUÇÃO 103
CAPÍTULO 5 - SISTEMAS ESTRUTURAIS PARA CONCRETO PROTENDIDO - RECOMENDAÇÕES GERAIS 108
5.1 - GENERALIDADES 108
5.2 - VIGAS 108
5.2.1 – RECOMENDAÇÕES DE USO 108
5.3.1 – RECOMENDAÇÕES DE USO 111
5.3.2 - PRÉ-DIMENSIONAMENTO 113
5.3.3 - MODELO ESTRUTURAL PARA CÁLCULO 113
5.9 - PLACAS PARA FUNDAÇÃO (“RADIER”) EM CONCRETO PROTENDIDO 132
5.9.1 - GENERALIDADES 132
5.9.2 - RECOMENDAÇÕES PARA USO 133
5.9.3 - MODELO PARA PROJETO ESTRUTURAL 133
5.9.4 - UTILIZAÇÃO PRÁTICA 133
CAPÍTULO 6 - ANÁLISE DE CUSTOS 135
6.1 - ÍNDICES E CUSTOS UNITÁRIOS 135
6.2 - COMPARAÇÕES ENTRE OS SISTEMAS DE PROTENSÃO 137
6.3 - COMPARAÇÕES ENTRE OS SISTEMAS ESTRUTURAIS 137
6.4 - CONCLUSÕES 138
6.5 – ANEXOS 139
6.5.1 – ED. MURANO 139
6.5.2 – ED. LOFT-PRAIA 140
6.5.3 – ED. ARCOS 141

5. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 5
6.5.4 – ITACON 142
6.5.5 – ED. CARTIER 143
6.5.6 – ACOPI 144
6.5.7 – ED. ANTÔNIO G. LANDI 145
6.5.8 – ED. DOMINI 146
6.5.9 – PROJETO UNIFOR 147
6.5.10 – PROJETO UNAMA 148

6. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 6
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DO CONCRETO PROTENDIDO
1.1 - CONCEITOS BÁSICOS
1.1.1 - Definição
Segundo a norma brasileira, "Estruturas de Concreto Protendido" são aquelas que são
submetidos a um sistema de forças especialmente e permanentemente aplicadas, chamadas de
forças de protensão. Estas forças são tais que, em condições de utilização, quando agirem
simultaneamente com as demais ações (cargas permanentes, acidentais ou outros agentes),
impeçam ou limitem a fissuração do concreto (item 3.1.1 da antigae NBR 7197/89).
Na prática, estas forças de protensão são transmitidas por armaduras pré-tracionadas,
que transferem às peças estruturais esforços benéficos ao funcionamento das mesmas,
especialmente evitando que o concreto não "trabalhe" tracionado (ou limitando a presença de
tração neste material).
1.1.2 - A Protensão na Prática
FIGURA 1.1
Uma peça fletida leva suas secções a sofrerem internamente tensões normais de tração e
compressão, calculadas por fórmulas simples da Resistência dos Materiais.
i
i
S
S
W
M
W
M
; , onde
S I são as tensões nas fibras extremas
M : momento fletor na secção onde se deseja calcular as tensões
iS
S
Y
I
Wi
Y
I
W 00
; são os módulos de resistência à flexão, superior e inferior
q s
- Zona comprimida
+ Zona tracionada
DMF
i
-

7. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 7
A
N
I0: momento da inércia em torno do eixo principal X0
YS; Yi: distância das fibras extremas a este eixo
FIGURA 1.2
Vamos agora imaginar que no interior da peça seja colocado um cabo que possa ser
tracionado nos seus extremos e, antes que possa voltar ao seu comprimento inicial, seja fixado por
dispositivos adequados. Por questões didáticas (para facilitar o entendimento conceitual)
imaginemos um cabo reto passando pelo eixo neutro da peça. Neste caso quando o cabo é
impedido de encurtar ele exercerá um esforço normal de compressão, que por sua vez gerará
tensões de compressão uniformes em todas as fibras da secção.
FIGURA 1.3
N: esforço normal (promovido pela protensão) (tensões normais)
A: área da seção transversal
Observe agora que a viga biapoiada, submetida a flexão provocada pelas cargas usuais e
sendo submetida a um sistema de forças de protensão, terá suas fibras sujeitas aos seguintes
valores de tensão:
A
N
W
M
A
N
W
M
i
i
S
S ;
Y
Ys
CG
X0
Yi
cabo ancoragem cabo
N N N
N
bainha

8. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 8
M/Ws N/A s s
-
-
+ _ = _ ou
+
M/W1 i i
sem tração com tração
Constata-se facilmente que podemos estipular valores para N (força de protensão) para
que possamos ter secções totalmente comprimidas ou com valores de tração dentro de valores
aceitáveis.
Teoricamente, o projeto de uma peça em concreto protendido consiste em se verificar se
as tensões, obtidas pelas diversas combinações dos carregamentos usuais (carga permanente,
carga acidental) e da protensão, não ultrapassam os valores admissíveis nas diversas secções e
também ao longo do tempo.
Na prática, as normas exigem outras verificações, tais como deflexões máximas ao longo
do tempo, verificações ao esforço constante e verificação no estado limite último de resistência
interna à flexão (momentos de ruptura).
Um ponto importante é como estimar de maneira confiável os valores das forças de
protensão à medida que o tempo passa, pois se no futuro, a protensão decair de maneira maior
que a prevista, a distribuição de tensões não se dará conforme se projetou, o que decerto
provocará danos à estrutura.
Isto passa não só pelo conhecimento da características reológicas dos materiais envolvidos,
como também do domínio de técnicas que promovam a protensão no nível desejado, no ato da
aplicação de carga e ao longo do tempo.
1.2 - POR QUE PROTENDER O CONCRETO?
Como sabemos, as estruturas de concreto armado tem sua aplicação limitada em virtude
principalmente dos seguintes fatos:
a) A limitação da aderência entre o aço e o concreto, que impede o uso de armaduras de
alta resistência.
b) A reduzida capacidade plástica do concreto á tração, mesmo quando de alta
resistência à compressão, do que resulta a possibilidade de fissura no concreto com
grande abertura, quando se usam aços de alta resistência (superior a 600MPa).
c) A limitação da tensão de cisalhamento, que impede o uso de peças com pequena
largura que permita reduzir o peso próprio de obras de grandes vãos.
O objetivo principal do concreto protendido é o de criar um processo que permita usar
aços e concretos de altas resistências sem os inconvenientes citados acima.
+

9. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 9
A verdadeira função de concreto protendido, portanto, é a de conseguir estruturas mais
leves com uso de concretos de grande resistência à compressão e aços de alta resistência à
tração.
Para as grandes obras, sendo necessário reduzir o uso próprio, é preciso que se usem
materiais mais resistentes e, por isso a técnica tende para concretos com tensão de ruptura
superior a 50MPa e armadura de aço duro com tensão de ruptura superior a 2.000MPa.
1.3 - VANTAGENS DO CONCRETO PROTENDIDO COM RELAÇÃO AO CONCRETO ARMADO
a) Economia de material, tanto de aço quando de concreto, pelo emprego eficiente dos
mesmos. Notar que, no caso do concreto protendido, a tração do cabo não implica na
deformação excessiva do concreto, pelo contrário, quando mais tracionado for o cabo
mais compressão ele transmitirá ao concreto.
b) Permite vencer vãos maiores que o concreto armado convencional; para o mesmo vão,
permite reduzir a altura necessária de viga; estes fatos provêm da eficiência comentada
anteriormente e do maior aproveitamento do trabalho à compressão do concreto
quando protendido.
c) Reduz em geral a incidência de fissuras
d) Menores flechas, pois as secções não fissuradas têm muito maior momento de inércia
que um secção no estádio II.
e) Reduz as tensões principais de tração provocadas pelo esforço cortante.
f) Durante a operação de protensão, o concreto e o aço são submetidos a tensões em
geral superiores às que poderão ocorrer durante a vida da estrutura. Desse modo, os
materiais componentes da estrutura são testados antes de receberem as cargas de
serviço.
Exigências para o uso do concreto protendido:
a) O concreto de maior resistência exige melhor controle de execução;
b) Os aços de alta resistência e com tracionamento ativo são muito susceptíveis a
corrosão, exigindo cuidados especiais de proteção;
c) A colocação dos cabos de protensão deve ser feita com maior precisão, de modo a
garantir as posições propostas pelos projetistas.
d) As operações de protensão exigem equipamento e pessoal especializados, com
controle permanentes dos esforços aplicados e dos alongamento dos cabos.
e) De um modo geral as construções protendidas exigem atenção e controle superiores
aos necessários para o concreto armado comum.
1.4 - IDÉIAS BÁSICOS SOBRE TRAÇADOS DE CABOS
A solução do seguinte problema numérico nos ajudará a entender a importância do
posicionamento do cabo de protensão.

10. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 10
Suponhamos uma viga biapoiada, sujeita a uma carga uniforme, e que se deseje
determinar a força de protensão necessária para que a secção no meio do vão permaneça
totalmente comprimida.
Com o valor da força encontrada para essa condição, devemos verificar a distribuição de
tensões nas secções indicadas, considerando três hipóteses:
d) Cabo reto centrado
e) Cabo reto com excentricidade de 40cm
f) Cabo com excentricidade variável (supor perfil parabólico)
Propriedades Geométricas
A = 0,30 x 1,00 = 0,30m2
yS = yi = 0,50m
I = 4
3
m025,0
12
00,130,0
WS = Wi = 0,050m3
Esforços
M(x = 0) = 0
M(x = 3) = m.kN405
2
)3(30
3
2
1230 2
M(x = 6) = mkN.540
8
1230 2
a) Cabo Reto Centrado
S0 S1 S2
q = 30 kN/m
100 cm
3,0 3,0m
l =12,0 m 30 cm
Mq
P

11. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 11
qs p - qs - p
(-)
+ - =
+
qs p qi - p = 0
i
)324P(32400
30,0
10800
0
30,0050,0
540
tfkNP
P
P
A
P
Wi
Mq
qi
Neste caso teremos as seguintes distribuições de tensão:
1) Em S0 (Mq = 0) ; S = i = -
A
P
S = i = - 10800 kN/m2
(108 kgf/cm2
)
2) Em S1 ; Mq = 405 kNm
2
22
/2710881
)/189(kn/m900.18800.10100.8
3,0
240.3
05,0
405
cmkgf
cmkgf
ii
S
3) Em S2
S = - 10.800 – 10.800 = - 21.600 kn/m2
(216 kgf/cm2
)
i = - 10.800 – 10.800 = 0
Graficamente (em kgf/cm2
):
189
216
108
Tração
Compressão
S0 S1 S2
(a)
P = 324 tf
27
27
i
S1
s
189
108

12. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 12
10800 Mp/Ws -10800 + Mp/Ws - P/A
- +
+ + - = -
+ -
10800 - Mp/Wi P/A 10800 - Mp/Wi - P/A = 0
(Mp = P x e)
b) Cabo com Excentricidade Constante
tfoukNPP
PPPP
95,29P9,95210800...33,11
10800
30,0125,0
0
30,0050,0
40,0
10800
A distribuição de tensões será:
1) Em S0:
Mq = 0
MP = -381,18 kn.m
P = 952,9 kn
Mq
e = 40cm
P
Mq
P
MP
Linha do CG
P
e = 0,4 m
S0

13. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 13
)(kN/m800.10
31767624
tração)/8,44(/480.44760.31240.76
30,0
9,952
050,0
10018,381
2
22
compressão
A
P
W
M
W
M
cmkgfmkN
A
P
W
M
W
M
i
i
S
P
S
q
i
SS
S
P
S
q
S
2) Em S1:
Mq = 405 kn.m
MP = -381,18 Kn.m
P = 952,9 Kn
2
2
/2700317676248100
/3652317676248100
3176
050,0
18,381
050,0
405
cmKn
mKn
ii
SS
S
3) Em S2:
Mq = 54.000 kgf.m
MP = -38.118 Kgf.m
P = 95.290 Kgf
03176762410800
/63523176762410800
3176
050,0
18,381
050,0
540
2
ii
SS
S
mkn

14. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 14
Graficamente (em kgf/cm2
):
c) Cabo com Excentricidade Variável
Supondo um perfil parabólico; y = Ax2
+ Bx + C
Condições: 1) x = 0, y = 0 C = 0 ; y = Ax2
+ Bx
2) x =  , y = 0 A 2
+ B = 0 B = - A
3) x =
2

, y = f f
AA
24
22

ou A = 2
4

f
, B=

f4
A equação de parábola nos dá a excentricidade com relação ao eixo médio da peça.
)(
4 2
2
xx
f
y 

Em uma seção genérica:
A
P
W
Py
W
Mq
A
P
W
Py
W
Mq
ii
i
SS
S
y

x
f
108
Tração
Compressão
Tração nas fibras
superiores
(b)
P = 95,29 tf
27
63,52
is
36,52
27
S0 S1 S2
36
108
44,48 44,48

15. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 15
A condição i = 0 no meio do vão, com y = f = 0,4 m nos conduz a P = 95,29 tf
(mesmo resultado anterior); entretanto a situação muda nas outras secções.
1) Em S0 ; y = 0
2
/3176
30,0
9,952
mkniS
2) Em S1 ; 3,030)9123(
144
404
PMcmy P
Mq = 405 Kn.m
Mp = +285,87 Knm
P = 952,90 Kn
)kgf/cm93,7(/793317657178100
)kgf/cm62,55(/5562317657178100
3176
050,0
87,285
050,0
405
22
22
mkn
mkn
ii
SS
S
3) Em S3 : mesma situação do caso anterior
Graficamente.
Conclusões:
I. Comparando-se as situações “a” e “b”, verifica-se que a introdução de excentricidade reduz
bastante a protensão necessária. A excentricidade também propicia um diagrama final de
tensões mais favorável; entretanto, o aparecimento de tensões trativas na região dos
apoios não é interessante para o que se espera do concreto protendido;
II. Entre “b” e “c”, observa-se que as tensões na seção do meio do vão são as mesmas nos
dois casos. Nas seções entre o meio do vão e o apoio, contudo, as tensões normais obtidas
com cabo curvo são mais favoráveis que obtidas com cabo reto.
Portanto, em vigas simplesmente apoiadas com carga uniforme, há vantagem em adotar
um cabo curvo com excentricidade crescente, do apoio para o meio do vão, por duas razões:
31,7
Tração
Compressão
(c)
P = 95,29 tf
7,93
63
s
i
55,6
31,77,93
S0 S1 S2
55,6

16. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 16
a) Obtém-se maior uniformidade nos diagramas de tensões normais as seções situadas
entre o meio do vão e o apoio.
b) A inclinação do cabo ajuda a viga a absorver os esforços cortantes.
1.5 – DETERMINAÇÃO DOS VALORES DE PROTENSÃO – CRITÉRIO DAS TENSÕES ADMISSÍVEIS
Podem usar as fórmulas da resistência dos materiais para estimar o valor da força de protensão a
ser aplicada para que alguns valores de tensão possam ser atendidos.
1.5.1 - Região de momento positivo
Evitar tração excessiva na fibra inferior:
Evitar compressão excessiva na fibra superior:
1.5.2 - Região de momento negativo

17. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 17
Evitar tração excessiva na fibra superior:
Evitar compressão excessiva na fibra inferior:
Casos particulares
A) Secção retangular ;
Protensão completa na fibra inferior
Para o exemplo mostrado, com cabo parabólico:
Admitindo:
A aplicação de uma protensão de 70,55 t levaria a admissão de tensões trativas até 28kgf/cm2
.

18. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 18
Exemplo 2
Mausoléu Castelo Branco, uma edificação/viga com vão de 30m em balanço.
Avaliação da carga aplicada:
- Peso Próprio: (3,20 x 3,0 – 3,0 x 2,40) x 2,5 = 6 t/m
- Carga Acidental: (3, 0 x 0,3) = 0,9 t/m
- Pavimentação: (3,20 + 3,0) x 0,15 = 0,93 t/m

19. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 19
Inércia:
Adotaremos:
(Carga Equivalente da protensão aplicada)
PREVISÃO DE FLECHA

20. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 20
RIGIDEZ
TENSÃO MÉDIA
1.6 - OS TIPOS DE CONCRETO PROTENDIDO E OS AÇOS UTILIZADOS NA PROTENSÃO
1.6.1 - O Aço de Protensão
O concreto protendido só se torna viável na prática porque estão disponíveis aços de alta
resistência e de alto limite elástico. Estas características permitem aplicar elevadas tensões na
armadura com alongamento de ordem de 6%. Os aços de protensão são chamados na linguagem
comum de "aços duros" devidos ao seu alto teor de carbono.
Industrialmente, são disponibilizados 4 tipos de armadura:
a) Fios: c/ diâmetro até 9 mm, lisos ou entalhados, fornecidos em bobinas auto
desenroláveis;
b) Barras: c/ diâmetro igual ou superior a 10 mm, fornecidos em barras de comprimento
até 25 m. As barras são usualmente utilizadas em tirantes e cortinas atirantadas,
sendo geralmente rosqueadas na pontas;

21. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 21
c) Cordoalhas: são compostas por 3 ou 7 fios enrolados helicoidalmente em torno de um
fio central e fornecidos em bobinas auto-desenroláveis;
d) Cordoalhas engraxadas e plastificadas: a cordoalha de 7 fios recebe uma camada de
graxa que funciona como agente inibidor de corrosão, além disto uma capa plástica é
extrudada em toda extensão; esta capa é de polietileno de alta densidade (PEAD) e
permite o livre movimento da cordoalha no seu interior; diâmetros de 12.7 e 15.2mm;
e) Cabos: são o conjunto de cordoalhas ancorados por um único elemento;
dependendo do sistema comercial de protensão estas cordoalhas são protendidos
uma a uma ou em conjunto.
1.6.2 - Designação das Armaduras Protendidas
a) Fios:
Exemplo 1: CP 170 RN-E
Significa: aço para concreto protendido, Relaxação normal, entalhado, com
tensão de escoamento de 170 kgf/mm2
ou 1.700 MPa.
Exemplo 2: CP 175 RB-L
Significa: aço para concreto protendido, Relaxação baixa, liso, com tensão de
escoamento de 175 kgf/mm2
b) Cordoalha
Exemplo 1: CP190 RB 3x3,0
Significa: Cordoalha para concreto protendido, relaxação baixa, constituída de 3
fios de 3,0 mm, com tensão de escoamento de 190 kgf/mm2
Exemplo 1: CP 190 RB 7
Significa: Cordoalha para concreto protendido, relaxação baixa, constituído de 7
fios de 3,0 mm, com tensão de escoamento de 190 kgf/mm2
1.6.3 - Categorias de Aço de Protensão
Há duas categorias de aço de protensão, de acordo com as recomendações das normas
ABNT NBR 7482, ASTM a 412 e BS 2691:
a) Os aços de relaxação normal (RN): assim considerados aqueles cujas perdas máximas
por relaxação atingem 8,5%, após 1.000 horas de tracionamento com carga inicial de
80% da carga de ruptura, a 20°C;
b) Os aços de relaxação baixa (RB): as perdas máximas por relaxação atingem no máximo
3,0%, nas mesmas condições acima explicadas.
Nos anexo 1, são apresentadas as armaduras de protensão fornecidas pela Acellor-
Mittal. Os anexos 1, 2 e 3 mostram os aços de protensão fornecidos pela AcellorMittal.

22. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 22
1.6.4 - Ancoragens
As ancoragens podem ser ativas, passivas e intermediárias.
a) Ativas: aquelas onde deve atuar o macaco de protensão e onde se ancora o cabo após
o mesmo ter sido esticado;
b) Passivas: aquelas imersas no concreto, onde não se tem acesso para o macaco de
protensão, e onde os cabos são pré-ancorados ou ancorados no concreto por
aderência; os principais tipos são: ancoragem por aderência (usando uma alça ou um
cebolão formado por fios ou cordoalhas); ancoragem por engrossamento da
extremidade dos fios (formando um botão) ou a própria ancoragem ativa pré-blocada;
c) Intermediária: usada em juntas de protensão e concretagem; quando, devido a grandes
extensões a concretagem é feita em 2 etapas; no 1º trecho, a ancoragem funciona
como ativa; no 2º trecho a mesma ancoragem funciona como passiva.
CORDOALHAS E ENCORAGENS PRÉ-BLOCADAS

23. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 23
1.7 - TIPOS DE PROTENSÃO
Há três maneiras distintas de se fazer concreto protendido:
1.7.1 - Pré-tensão
A armadura é esticada antes da concretagem e ancorada provisoriamente em apoios
externos em relação à peça a ser protendida. Após a concretagem, e quando o concreto que
envolve a armadura já adquiriu um certo grau de endurecimento e de aderência, a armadura é
solta de suas ancoragens provisórias; nesta operação, tendendo a armadura a se retrair, ela é
impedida pela sua aderência ao concreto, e realiza neste último uma compressão; esta
modalidade de protensão denomina-se protensão com pré-tensão da armadura, ou protensão
com aderência inicial, ou vulgarmente protensão com fios aderentes.
A armadura é constituída por fios isolados (lisos ou entalhados), de 4 a 7 mm, ou por
cordoalhas de 2 a 7 fios com 4 a 12 mm ( 1/2") respectivamente.
Por causa do custo elevado dos suportes, esta tecnologia é usada sobretudo, para a
fabricação de peças pré-moldadas de pequeno a médio porte, pré-fabricadas em usinas em grande
quantidade, como vigas de cobertura, vigotas, estacas, lajes (placas), lajes alveolares e dormentes
para estrada de ferro; em casos especiais, este tipo de protensão pode ser usado em canteiros de
obras.
Macaco (c/dispositivo de tração dos cabos)
Placa de ancoragem (suporte)
Forma
Fios ou cordoalhas
Pista de protensão (80 - 140 m)

24. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 24
Pista de Protensão em fábrica de pré-modaldos
Sistema de Ancoragem Provisória
1.7.2 - Pós-Tensão com Aderência Posterior
A armadura é esticada posteriormente à concretagem, quando o concreto atingiu um certo
grau de endurecimento. Um invólucro metálico ou plástico, chamado bainha, isola a armadura da
aderência inicial ao concreto; quando a armadura é posta em tensão, reage sobre o próprio
concreto da peça a ser protendida; nesta operação utilizam-se macacos especiais e bombas
hidráulicas de alta pressão que alimentam os macacos; uma vez atingida a tensão na armadura,
esta é ancorada em dispositivos especiais, denominados ancoragens, que ficam incorporados ao
concreto e que asseguram a permanência, da compressão na peça
Os macacos são então retirados e o vazio existente na bainha é preenchido com injeção de
nata de cimento para proteger a armadura contra corrosão e realizar a sua aderência com o
concreto; esta operação é efetuada por meio de bombas injetoras.

25. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 25
Esta modalidade de protensão denomina-se protensão com pós-tensão da armadura, ou
protensão com aderência posterior.
1.7.3 - Pós-Tensão sem Aderência
A protensão não aderente é regida pelos mesmos princípios do sistema anterior. A
diferença é que no sistema não aderente os cabos já vêm isolados com uma capa que serve de
bainhas. Há ainda uma camada de graxa que se interpõe entre a cordoalha e a capa, lubrificando e
reduzindo o atrito.
CARACTERÍSTICAS DO SISTEMA NÃO
ADERENTE
 dispensa bainhas e posterior
injeção
 baixas perdas por atrito
 simplificação do processo de
protensão (macaco portátil e de fácil
manuseio)
 cordoalhas flexíveis, com boa
trabalhabilidade na montagem
 pequenas ancoragens, minimizando o problema de concentração de tensões
 proteção garantida contra oxidação ao longo da cordoalha
 sistema monocordoalha, com baixa capacidade de protensão por unidade: 15 tf iniciais
e (em torno de) 12 tf finais
 necessita de mais armadura passiva para atender à ruptura (estado limite último),
quando comparado ao CP com aderência
 toda responsabilidade de funcionamento do sistema repousa no sistema de
ancoragem: cunhas e placas de ancoragem ativa e passiva.
CONCRETO PROTENDIDO COM
CORDOALHAS ENGRAXADAS E
PLASTIFICADAS

26. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 26
1.8 - PROCESSOS COMERCIAIS DE PROTENSÃO
Para executar as três modalidades de Concreto Protentido, estão disponíveis diversos tipos
de acessórios e equipamentos, desenvolvidos por empresas especializadas. Cada tecnologia
especifica constitui o que se denomina na prática de Sistema de Protensão.
Um Sistema de Protensão é, portanto é um conjunto formado por determinados tipos de
cabos, suas ancoragens e pelos equipamentos de protensão necessários para tracionar a armadura
e injetar as bainhas com nata de cimento. Os processos de protensão atualmente existentes no
Brasil são: Freyssinet, Rudloff, VSL, Tensiacciai, Dywidag, MAC, todos com sistema aderente.
Em 1997, foi introduzido no Brasil, o processo de protensão com mono cordoalhas
engraxadas, sendo a PROTENSÃO IMPACTO, de Fortaleza(CE), a empresa, que trouxe esta
tecnologia dos Estados Unidos, onde é usada desde os anos 60.
As primeiras construções executadas foram blocos para a Universidade de Fortaleza e os
Edifícios TORRE SANTOS DUMONT e IATE PLAZA, da REATA Engenharia, executadas a partir de
julho de 1997. Os engenheiros responsáveis pela protensão foram Joaquim Caracas (execução),
Helder Martins e Ricardo Brígido Moura (projetos estruturais).

27. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 27

28. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 28
ANEXO 01

29. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 29
ANEXO 02

30. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 30
ANEXO 03

31. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 31
CAPÍTULO 2 - CÁLCULO DE ESFORÇOS EM ESTRUTURAS PROTENDIDAS
2.1 - INTRODUÇÃO
Para o dimensionamento e a verificação das seções das peças protendidas, é necessário
que disponhamos de procedimentos de análise estrutural que permitam que os efeitos da
protensão numa estrutura de concreto sejam considerados.
Existem 2 alternativas para representação da protensão.
a) Método indireto ou carga equivalente de protensão;
b) Método direto - conjunto de esforços solicitantes iniciais;
2.1.1 - Método Indireto: Representação da Protensão através de uma Carga Equivalente
Consiste em representar a ação protensão por um conjunto de cargas externas
denominadas cargas equivalentes de protensão.
As cargas equivalentes de protensão devem, portanto, ser tais que quando atuam na
estrutura provocam esforços e deslocamentos idênticos aos gerados pela ação da protensão.
A obtenção da carga equivalente de protensão baseia-se na própria conceituação física da
protensão.
Quando tracionamos um cabo, este tende naturalmente a tomar a forma retilínea. Todo
ponto que constituir um obstáculo no sentido de impedir a sua retificação receberá uma ação
correspondente a uma força que é proporcional ao grau de mudança de direção imposta ao cabo.
α U
Portanto, todo ponto de mudança de direção do cabo será um ponto de aplicação de carga
na estrutura. Estes pontos poderão ser discretos, no caso dos cabos poligonais, gerando cargas
concentradas nos desviadores; caso dos cabos curvos o contato é contínuo, gerando cargas
distribuídas. As cargas equivalentes também são conhecidas como forças de desviação.
Além dos pontos de mudança de direção, o cabo também transmite à estrutura, através
das ancoragens, uma carga concentrada de valor idêntico ao da força que o traciona (Princípio da
ação e reação, 3ª Lei de Newton).

32. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 32
Temos então:
Carga Equivalente de Protensão = Forças de Desviação + Forças nas Ancoragens.
A segunda parte deste Capítulo se ocupará da formulação prática para obtenção da carga
equivalente de protensão.
Convem aqui, desde já, salientar alguns aspectos importantes ligados a representação da
protensão através de cargas equivalentes:
i. Tratando a protensão como um carregamento podemos facilmente incorporá-la
aos processos modernos de análise estrutural via "softwares" para estruturas
reticuladas ou de elementos finitos. A protensão passa a ser apenas um caso a mais
de carregamento.
ii. As cargas equivalentes só dependem do traçado do cabo. É possível então projetar
um traçado que produza cargas equivalentes que se oponham na sua forma ao
carregamento real propriamente dito. Pode-se assim gerar um carregamento de
protensão de forma a equilibrar uma parcela da carga total. Este conceito de carga
de balanceamento (balancing load) foi proposto pioneiramente por T.Y. Lin no início
dos anos 60. A estrutura passa ser dimensionada em termos de armadura passiva
apenas para resistir à carga não balanceada.

33. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 33
iii. Ao carregarmos a estrutura com a carga equivalente, obtemos diretamente em
uma única análise, todos os efeitos da protensão, deslocamentos e esforços
seccionais, tanto para as estruturas isostáticas como para as hiperestáticas.
iv. Como o conjunto cabo - concreto encontra-se em equilíbrio estático, havendo ou
não vinculação na estrutura, verifica-se que as cargas equivalentes devem se
constituir obrigatoriamente em um carregamento auto-equilibrado. Assim sendo, o
carregamento da protensão não gerará reações de apoio nas estruturas
isostáticas e provocará reações auto-equilibradas nas estruturas hiperestáticas.
Os esforços produzidos na estrutura apenas por estas reações auto-equilibradas
constituem o que se chama na literatura de esforços secundários ou hiperestáticos
de pretensão.
v. No caso de estruturas de edifícios que apresentam normalmente elevado grau de
hiperestaticidade, tais como pórticos e lajes cogumelo, a representação da
protensão via cargas equivalentes é praticamente a única possível e de longe a mais
recomendada.
2.1.2 - Método Direto: Representação da Protensão como um Conjunto de Esforços
Solicitantes Iniciais
Nesta alternativa busca-se diretamente obter os esforços seccionais (Normal, Cortante e
Fletor) devido a protensão.
Considere a viga isostática mostrada a seguir, submetida apenas à ação da protensão. Os
esforços seccionais em uma seção S qualquer podem ser obtidos integrando a carga equivalente
de protensão do lado esquerdo ou direito da seção. Observar que, devido ao fato da estrutura ser
isostática, não haverá reações de apoio conforme esclarecido no ítem anterior.
Façamos então um corte na seção S separando a estrutura em duas partes A e B. Para
garantirmos que a protensão não seja eliminada vamos admitir que o cabo seja ancorado nas
extremidade das partes A e B junto à seção S. Vejamos agora como fica a ação da protensão nos
trechos A e B isolados. Observemos que trechos continuam isoladamente em equilíbrio, isto se
deve ao fato de que a carga equivalente gerada por qualquer trecho de cabo será sempre auto-
equilibrada.

34. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 34
α e
Os esforços na seção S tanto para o trecho A como para o trecho B podem ser obtidos pela
integração das cargas equivalentes que atuam ao longo do segmento. Logo os esforços seccionais
em S são iguais aos obtidos quando a viga estava íntegra. Ora, para calcularmos os esforços
seccionais em S não precisamos integrar a carga equivalente uma vez que S está na extremidade
do segmento. Basta considerarmos os esforços produzidos nas seção S pela força P nela ancorada.
Assim sendo temos simplesmente ( “e” é a excentricidade do cabo com relação ao CG da seção):
Esforço Normal: N (S) = P . cos
Cortante........... : V (S) = P . sen
Momento Fletor : M (S) = - P . cos . e
α
Pode-se assim, através de uma forma simples, rápida e prática se obter os esforços
seccionais de protensão em qualquer seção da viga.
Esta foi historicamente a forma preferida pela escola européia para a representação da
protensão e consequentemente também foi adotada pelos projetistas brasileiros, principalmente
os de pontes.
Há, contudo, alguns inconvenientes neste procedimento que precisam ser evidenciados.

35. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 35
i. O método não determina os deslocamentos (flechas e rotações) produzidos pela
protensão. Estes podem ser obtidos por outros processos (teorema de Castigliano,
princípio dos trabalhos virtuais, analogia de Mohr...).
ii. Como se viu o método só é válido para o caso de estruturas isostáticas. É possível,
contudo, tratar também estruturas hiperestáticas simples como vigas contínuas.
Neste caso pode-se utilizar a conhecida aplicação do método das forças, gerando
um sistema principal rotulando a viga nos apoios internos. A compatibilização das
rotações à esquerda e à direita de cada apoio interno nos leva a um sistema de
equações, cuja solução fornecerá os valores dos hiperestáticos, que são os
momentos fletores sobre os apoios. As rotações nas extremidades de cada vão do
sistema principal (fatores de carga) podem ser obtida pelo princípio dos trabalhos
virtuais:
=
2µ µ
µ
Na fórmula acima M é o diagrama isostático da protensão obtido pelo produto da força de
protensão pela excentricidade do cabo em cada seção. A integração é feita normalmente por
métodos numéricos simples como Simpson.
Os esforços finais em qualquer seção da viga será a soma de duas parcelas, a isostática e a
hiperestática.
Mp = M(isostático) + M(hiperestático)
Vp = V(isostático) + V(hiperestático)
Temos que convir que a aplicação deste procedimento a estruturas com maior grau de
hiperestaticidade torna-se bastante trabalhoso quando não impossível, sendo ainda de difícil
programação computacional.
2.1.3 - Aplicação prática dos dois Métodos
Para entendermos a diferença entre os 2 métodos, consideremos um cabo parabólico
suave protendido numa viga biapoiada, sujeita a uma carga uniformemente distribuída.

36. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 36
y
A estes esforços por seção acrescentaríamos os esforços produzidos pelas cargas usuais.
Para parábolas suaves (cos 1) poderíamos pensar num carregamento uniformemente
distribuído "p" que promovesse nas secções os mesmos esforços solicitantes.
 
22
22
2
2
2
8Pf
psejaou
2
4
daí)(
2
)(
4
22
22
)(
cos.









pf
P
xx
P
xx
f
P
pxxp
Py
pxxp
SM
PyyPyNM
De uma maneira simplificada podemos afirmar:

37. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 37
a) ao invés de tomarmos os esforços diretamente, secção a secção, bem mais prático é
substituirmos o cabo pelo carregamento acima, sendo a carga uniforme "p" dada por
2
8

Pf
.
Observar que este procedimento é vantajoso pois o mesmo programa de análise estrutural
usado para as cargas usuais pode ser usado para carga de protensão.
Como constataremos pela demonstração abaixo, a equivalência também é válida para os
outros esforços solicitantes (esforço cortante) além do momento fletor, e até as reações de
apoio.
2222
84848
2
8
)(



fxf
P
PfxPf
x
PfPf
SQ
ora 22
84
)2(
4
sen



fxf
x
f
tgx
dx
dy
sen)( PSQ
(mesmo valor obtido pelo método direto)
Para reação de apoio:
2
)(ou
8
4
)(ou
8
ora;
4
)(
0
2
0
2
0




P
SQ
f
Pf
SQ
f
P
P
Pf
SQ
2.1.4 - Conclusões Finais
Analisar estruturas pelo método da carga equivalente de protensão, é, sem dúvida, o
procedimento mais prático e geral.
A maior vantagem consiste em se poder utilizar os mesmos “softwares” de análise
estrutural disponíveis, tratando a protensão como um caso a mais de carregamento.
Entretanto, para tornar o procedimento realmente prático e compatível com as rotinas de
projeto já utilizadas, é necessário dispor de uma formulação matemática que possibilite associar à
formas pré-estabelecidas de cabos, cargas equivalentes.
O procedimento inverso também é interessante: a partir do carregamento que se pretende
balancear, pode-se sugerir um traçado de cabo (“cablagem”) que melhor atenda aos objetivos do
projetista.
A partir dos resultados obtidos até aqui (vigas biapoiadas sujeitas a cargas distribuídas), é
aceitável propor que os cabos devem ter um traçado “inspirado” no diagrama de momentos
fletores. Isso possibilitaria momentos gerados pela protensão (P x e, onde “e” é a excentricidade)
“proporcionais”, e em sentido oposto, aos momentos gerados pelo carregamento externo.

38. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 38
No próximo item, é mostrada a formulação matemática de forma simplificada, para
transformar um traçado de cabo em carga equivalente de protensão.
2.2 - CARGA EQUIVALENTE DE PROTENSÃO
2.2.1 - Conceituação Geral da Carga Equivalente de Protensão
Denomina-se carga equivalente de protensão ao conjunto de cargas externas,
concentradas e/ou distribuídas, que provocam na estrutura esforços e deslocamentos idênticos
aos gerados pela ação da protensão.

39. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 39
A obtenção da carga equivalente é feita naturalmente pela determinação das forças
transmitidas pelo cabo à peça de concreto nos seus pontos de contato.
Os pontos de contato cabo-concreto serão: as ancoragens (extremidades dos cabos) e os
pontos de mudança de direção do cabo também chamados de desviadores.
P
P
PONTOS DE CONTATO
CONTÍNUO
PONTOS DE CONTATO
DISCRETO DESVIADOR
ANCORAGEM
ATIVA
ANCORAGEM
ANCORAGEM
PASSIVA
ANCORAGEM
INFLEXÃO
DESVIADOR
U
U
u
A força aplicada na ancoragem é simplesmente a reação da própria força normal de tração
aplicada na extremidade do cabo. Esta força terá, portanto, o mesmo valor e direção da força de
protensão, porém com o sentido contrário. Fisicamente ela é transmitida na área reduzida da
placa de ancoragem criando assim uma região de concentração de tensões no concreto que deve
ser cuidadosamente projetada, dispondo-se de uma armadura passiva de fretagem visando o
impedimento de fissuras transversais por fendilhamento.
Os pontos de mudança de direção poderão ser discretos, no caso de traçados poligonais ou
contínuos no caso de cabos curvos. O conjunto de forças geradas pelos pontos de mudança de
direção do cabo são denominadas de força de desviação.
Ao considerarmos um segmento infinitesimal de um cabo protendido com traçado curvo,
como o representado na figura abaixo, verificamos que o elemento cabo está submetido aos
seguintes esforços:

40. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 40
P
P
r+dr
ds
d
d
u
i. A força de protensão P que atua em cada extremidade do elemento e na direção da
tangente neste ponto.
ii. As forças distribuídas “u”, ação do concreto sobre o cabo, responsável pela
manutenção de sua trajetória curva. Constituem as forças de desviação propriamente
ditas.
Em um traçado circular as forças de desviação terão um valor constante ao longo do
segmento e de direção radial em cada ponto. O equilíbrio do segmento circular nos fornece a
equação:
P
r r
rP
P = u . r
P
CABO CIRCULAR
u
u=
Ou seja, a força de desviação "u" será diretamente proporcional à força de protensão P e
inversamente proporcional ao raio do cabo.
O segmento com curvatura variável pode ser visto como uma sucessão de arcos de círculos
infinitesimais, portanto em cada ponto teremos uma força de desviação dada por:
)(
)(
xr
P
xu
Por definição da geometria diferencial, o raio de curvatura - r(x)- representa a razão entre
o comprimento do segmento considerado "ds" e a mudança de direção da curva "d ". A
curvatura é definida como o inverso do raio.

41. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 41
ds
d
xrd
ds
xr
)(
1
)(
Podemos escrever então que:
u. ds = P. d
o que mostra que a resultante das forças de desviação são proporcionais ao valor da mudança de
direção do cabo.
Também da geometria diferencial temos que o raio de curvatura é dado pela expressão:
)("
)('1
)(
2
3
2
xf
xf
xr
Onde f(x) é a função que define as ordenadas da curva no plano.
Os traçados de cabo curvos são definidos normalmente por polinômios portanto funções
continuamente diferenciáveis.
A expressão rigorosa das forças de desviação "u" fica portanto estabelecida como:
P
xf
xf
xr
P
xu
2
3
2
)('1
)("
)(
)(
No Anexo 1, retirado da apostila "Fundamentos do Concreto Protendido", de Joaquim
Mota, mostra-se como a formulação rigorosa, no caso de parábolas suaves conduz a forças de
desviação u = 8 P.f / l2
, resultado idêntico ao que havíamos chegado na pág. 31, usando o método
direto.
No Anexo 2, retirado da mesma fonte acima citada, demonstra-se que um trecho de cabo
submetido às forças de desviação e às de protensão está em equilíbrio.
2.2.2 - Carga Equivalente para Cabos Retos e Poligonais
No caso de cabos retos e poligonais, os desviadores são discretos; as forças de desviação serão
cargas concentradas obtidas diretamente da análise do equilíbrio de forças no ponto do desviador.
A resultante é função apenas da direção de chegada e de saída do cabo no desviador.
P
P
21
Px
yP
P = P (cos - cos )2 1x
yP = P (sen + sen )2 1
α α
αα
α α
Além das peças premoldadas com fios aderentes, cabos retos e poligonais são muito
utilizados para correção de flechas na recuperação de estruturas. Esta forma de cablagem também

42. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 42
é muito indicada para vigas com cargas concentradas significativas, como é o caso de vigas de
transição. O Anexo 3 mostra como obter as cargas equivalentes para traçados poligonais.
2.2.3 - Carga Equivalente – Sumário das conclusões
Podemos resumir agora, os conceitos e propriedades fundamentais da carga equivalente:
i. As cargas equivalentes são formadas pelo conjunto das cargas de desviação mais as
cargas aplicadas nas ancoragens.
ii. conjunto de cargas equivalentes é um sistema em equilíbrio, o que faz com a soma
das reações de apoio devido a protensão sejam nulas. Nas estruturas isostáticas,
particularmente, não existirá reação em nenhum apoio, nas estruturas
hiperestáticas poderá haver reações diferentes de zero mas sempre com soma
nula. As reações não nulas nas estruturas hiperestáticas provocam esforços
internos na peça (cortante, normal e fletor) chamados de esforços parasitas,
secundários ou hiperestáticos.
iii. As cargas de desviação só dependem da geometria do cabo sendo portanto
inteiramente independente do sistema estático em que está aplicada. Um traçado
de cabo que equilibra uma determinada carga em uma laje, também equilibrará a
mesma carga em uma viga bi-apoiada ou em uma viga contínua ou uma viga de
pórtico.
2.3- CABLAGENS USADAS NA PRÁTICA E SUA CARGA EQUIVALENTE
Na protensão de vigas e lajes de edifício, são geralmente adotados parábolas suaves ou
associação de trechos parabólicos; dessa forma, é possível a utilização da teoria simplificada
apresentada no item anterior, com algumas adaptações.
Considera-se um "trecho básico" o trecho relativo a um ramo de parábola (ver Anexo 1).
O traçado completo de um cabo será obtido pela associação de trechos básicos, como
pode ser visto no Anexo 4. Os trechos básicos são ligados por pontos de mudança de concavidade
(ou de inflexão).
Normalmente os "softwares" de análise de estruturas protendidas dispõem de vários tipos
de cabos que podem ser escolhidos pelo usuário, cada um deles associados a um carregamento
equivalente.
Transcrevemos, a seguir, algumas figuras do Manual do programa ADAPT-PT (do Prof.
Bijam Aalami), onde é mostrada a "biblioteca" disponível de diversos tipos de cabos, com o
correspondente carregamento equivalente:
Figura 2.3-1: Cabo tipo 1: Geometria da parábola reversa:
(a) parábola reversa com dois pontos de inflexão;
(b) parábola reversa com um ponto de inflexão;
Figura 2.3-2: Cabo tipo 2: Geometria da parábola parcial e simples:

43. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 43
(a) parábola parcial;
(b) parábola simples;
Figura 2.3-3: Cabo tipo 3: Geometria do cabo poligonal:
(a) poligonal complexa;
(b) parábola poligonal simples;
Figura 2.3-4: Perfis de cabos para balanços e suas respectivas cargas balanceadas;
Figura 2.3-5: Perfis de cabos interrompidos em vão interno e suas respectiva carga balanceada;
Figura 2.3-6: Cargas balanceadas em vigas com inércia variável;
Figura 2.3-7: Cargas balanceadas em lajes com capitéis

44. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 44
Y1
CABO
PONTO DE INFLEXÃO
PONTO DE INFLEXÃO
(a) Parábola reversa com dois
pontos de inflexão
(b) Parábola reversa com um
ponto de inflexão
FIG. 2.3.1 - Parábolas Reversas
Y2
X1 X2
W2
W3
W1 W4
X1
W2
W3
W1
P1

45. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 45
Y1
Y2
X1 X3
W2
W3
P1 P2
Y1
Y2
W2
W3
P1 P2
(a) Parábola Parcial
(b) Parábola Simples
FIG. 2.3.2 - Parábolas Parcial e Simples
CABO

46. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 46
Y1
Y2
X1
X3
P1 P4
P2 P3
X2
EQ EQ
A
Y1
Y2
P1 P3
X2
(a) Cabos Poligonais Multiplos
(b) Parábola Poligonais Simples
FIG. 2.3.3 - Parábolas Poligonais
CABO

47. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 47
wb
wb
wb
FIG. 2.3.4 - Perfis de Cabos para balanço e suas respectivas cargas balanceadas
Parábola Simples
Parábola no Apoio Reto
Parábola Reversa
Cabo Poligonal
CABO

48. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 48
W1
P1
L
L/5
EIXO DO CENTRÓIDE ANCORAGEM PASSIVA CABO
FIG. 2.3.5 - Cabos interrompidos em vãos internos e a respectiva carga balanceada

49. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 49
wb
P
P
P
P
P
P
Mp
wb
m
m
m
MpA
1
A
2
Pm=
F =P/A F =P/Aa a
EIXO DO
CENTRÓIDE
EIXO DO
CENTRÓIDE
EIXO DO
CENTRÓIDE
EIXO DO
CENTRÓIDE
(A) Cabo
CABO
(b) Cargas Balanceadas
( )c
(d) Ações causando compressão axial
(e) Ações causando flexão
FIG. 2.3.6 - Cargas Balanceadas para vigas com mudança de altura

50. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 50
A) LAJE COM CAPITEL SOBRE A COLUNA
CABO
LAJE
B) DIAGRAMA DE CORPO RÍGIDO DAS CARGAS BALANCEADAS
C) MODELAGEM DA CARGA EQUIVALENTE
P
P
P
P
P
P
m
m
M=Pm M=Pm
CENTRÓIDE
FIG. 2.3.7 - Cargas Balanceadas em lajes com capitel

51. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 51
2.4 - APLICAÇÕES NUMÉRICAS
A título de ilustração, iremos calcular algumas cargas equivalentes, inclusive para confirmar
alguns conceitos vistos neste Capítulo.
Exemplo 1: Seja calcular a carga equivalente a um cabo parabólico em uma viga biapoiada.
f=40cm
=10,0 m
α0
P=60tf
P = 60 tf
f = 0,4 m
m0,10
tfsenPsen
tfP
f
tg
mtfu
Pf
u
48,909,960
25,5909,9cos60cos
05,916,0
10
4,044
/92,1
)10(
4,06088
0
0
00
22





Carregamento equivalente
=1,0 m
59,25 tf
9,48 tf u=1,92 tf 9,48 tf
59,25 tf
O cálculo da resultante das forças verticais mostra que podemos considerar o
carregamento auto equilibrado, senão vejamos:
V ( ) = 9,48 x 2 = 18,96 tf
V ( ) = 1,92 x 10 = 19,2 tf
= 0,24 tf ( 1,25% )

52. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 52
O erro encontrado pode ser desprezado, e se origina da curvatura da parábola ser
considerada constante: o termo 0256,0
4
2

f
foi desprezado (conforme Anexo 1).
Exemplo 2: Mesmo exercício para cabo com três trechos, inclusive pontos de inflexão (mudanças
de concavidade) em B e C.
5cm
12,0m
P = 150 t f
1,2m 1,2m
0.7m
A B C D
fAB
fBC
1,2 4,8
fAB + fBC = 70 cm – 5 cm = 65 cm
mcm
x
y
/833,10
6
65
fAB = 10,833 x 1,2 = 13 cm
fBC = 10,833 x 4,8 = 52 cm
tf
mtf
u
tf
m
mtfPf
u
AB
AB
AB
AB
77,6
6,9
52,01508
08,27
4,2
13,01508
2
8
2
222


53. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 53
27,08 t f / m
6,77 t f / m
27,08 t f / m
150 t f150 t f
1,2 m 1,2 m9,6 m
Notar que V ( ) = 27,08 x 2 x 1,2 = 64,99 tf
V ( ) = 6,77 x 9,6 = 64,99 tf
No apoios só há componentes horizontais, auto equilibradas.
Exemplo 3) Seja determinar o carregamento equivalente e o hiperestático de protensão na viga
abaixo:
A
P
1,80 7,20 7,20 1,80 1,00 9,00
0
B
C
D
E F
Dados: P = 120 tf
y0 = 0,45 m
yA = 0,05 m
yD = 0,85 m
yF = 0,45 m
A, C, E : pontos de inflexão
Solução: vamos inicialmente determinar as coordenadas dos pontos de inflexão:
mYY AA 37,020,7
0,9
05,045,0
05,0
O ponto OA deve estar sobre a reta OB
Analogamente: mYY AC 69,020,7
0,9
80,0
05,0
mYY AE 81,09
10
40,0
45,0
As planilhas seguintes são de fácil preenchimento: A primeira contém a ordenada dos
pontos determinantes dos ramos da parábola: a Segunda obtém "f" e "l" e finalmente "u" de cada
trecho.

54. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 54
ORDENADAS Obtenção de “u” de cada trecho
Y TRECHO f(m) "l" (m)
2
8

Pf
(tf/m)
0 0,45 0A
0,08 3,60 5,93
A 0,37 AB 0,32 14,40 1,48
B 0,05 BC 0,64 14,40 2,96
C 0,69 CD 0,16 3,60 11,85
D 0,85 DE 0,04 2,00 9,60
E 0,81 EF 0,36 18,00 1,07
F 0,45
As figuras abaixo mostram:
- cargas equivalentes à protensão;
- diagrama do momento total de protensão (isostáticos + hiperestáticos);
- Momentos hiperestáticos (provocados apenas pela reações verticais não equiliibradas).

55. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 55
5,93 t / m
2,96 t / m
1,48 t / m
9,6 t / m
11,85 t / m
1,07 t / m
120 t f
A
( - )
( - )
( + )
EDCB
49,16
0,39 t 0,266 t0,118 t
M(iso) + M(hip)
M(hip)
Momento de Protensão
Reações Hiperestáticas
9,82
26,59
45,51
40,94
F
Notar que, no apoio
M(iso) + M(hip) = 45,51 tfm
M(iso) - 2,49 = 45,51 ou M(iso) = 48 tfm
Isto corresponde ao momento provocado pela excentricidade da força de protensão no apoio
central, ou seja M (isostático)= 120 (0,85 - 0,45) = 48 tfm.
2.5 - A PROTENSÃO PARA BALANCEAR CARGAS
A protensão, vista como um caso a mais de carregamento, representa uma boa ferramenta
de projeto, visando propiciar à peça condições mais favoráveis de comportamento.
Na prática, isto equivale a determinarmos valores de protensão e traçados de cabo, cujos
efeitos na estrutura se contraponham aos efeitos do carregamento externo. Em outras palavras, a
meta é anular parte considerável dos momentos e cortantes destes carregamentos.

56. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 56
O método de balanceamento de cargas ("balancing load") foi introduzido por T.Y.Lin e sua
grande vantagem é a abrangência de sua aplicação a todas as situações de projeto e de modelos
estruturais.
No caso das edificações, um bom procedimento de projeto é aplicar uma protensão de
modo a contrabalançar as cargas permanentes (peso próprio + sobrecarga fixas, tais como
revestimentos e alvenarias).
A grande vantagem, neste caso, seria a redução drástica das flechas causadas por essas
cargas; como sabemos, por causa da fluência do concreto, as cargas permanentes são
responsáveis pela maior parcela das deformações das vigas e lajes.
Podemos, ao fim destes dois capítulos, estabelecermos as seguintes diretrizes genéricas,
que, caso atingidas, conduzirão a um projeto eficiente:
- cabos com a forma sugerida no final do Capítulo 1;
- protensão que promovam cargas equivalentes (ou “balanceadas”) compatíveis com as
cargas que o projetista deseje “anular”.
Como de ilustração, mostraremos a seguir exemplos de viga com carregamentos externos
conhecidos. As vigas foram processadas usando o programa ADAPT.PT. Para cada caso são
mostradas:
(B) Diagrama de momento fletor das cargas permanentes;
(C) DMF proporcionado pela protensão
(D) Comparação de (B) e (C)
(E) Cortantes da carga permanente
(F) Cortante proporcionado pela protensão
(G) Comparação (E) e (F)
(H) Perfil do cabo

57. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 57
2.5.1 – VIGA V1
A) ESQUEMA GRÁFICO
B) MOMENTO PERMANENTE

58. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 58
C) MOMENTO PROTENSÃO - CORDOALHAS
D) MOMENTO PROTENSÃO + PERMANENTE

59. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 59
E) CORTANTE PERMANENTE
F) CORTANTE PROTENSÃO

60. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 60
G) CORTANTE PROTENSÃO + PERMANENTE
H) PERFIL DO CABO

61. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 61
2.5.2 – VIGA 2
A) ESQUEMA GRÁFICO
B) MOMENTO PERMANENTE

62. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 62
C) MOMENTO PROTENSÃO - CORDOALHAS
D) MOMENTO PROTENSÃO + PERMANENTE

63. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 63
E) CORTANTE PERMANENTE
F) CORTANTE PROTENSÃO

64. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 64
G) CORTANTE PROTENSÃO + PERMANENTE
H) PERFIL DO CABO

65. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 65
2.5.3 – VIGA 3
A) ESQUEMA GRÁFICO
B) MOMENTO PERMANENTE

66. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 66
C) MOMENTO PROTENSÃO
D) MOMENTO PROTENSÃO + PERMANENTE

67. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 67
E) CORTANTE PERMANENTE
F) CORTANTE PROTENSÃO

68. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 68
G) CORTANTE PROTENSÃO + PERMANENTE
H) PERFIL DO CABO

69. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 69
2.5.4 – VIGA 4
A) ESQUEMA GRÁFICO
B) MOMENTO PERMANENTE

70. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 70
C) MOMENTO PROTENSÃO
D) MOMENTO PROTENSÃO + PERMANENTE

71. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 71
E) CORTANTE PERMANENTE
F) CORTANTE PROTENSÃO

72. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 72
G) CORTANTE PROTENSÃO + PERMANENTE
H) PERFIL DO CABO

73. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 73
2.5.5 – VIGA 5
A) ESQUEMA GRÁFICO
B) MOMENTO PERMANENTE

74. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 74
C) MOMENTO PROTENSÃO
D) MOMENTO PROTENSÃO + PERMANENTE

75. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 75
E) CORTANTE PERMANENTE
F) CORTANTE PROTENSÃO

76. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 76
G) CORTANTE PROTENSÃO + PERMANENTE
H) PERFIL DO CABO

77. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 77
ANEXO 1- CARGA EQUIVALENTE PARA CABOS PARABÓLICOS SUAVES
P
x

 


 





y
u
y(x) = 4f x
2
; y’(x) = 8f x ;
y”(x) =
8f
(x) =
r
1
=
y”
=
8f/
2
(y) [1+(y’) ]
2
[1+( 4f ) ]
2
( 4f )
2
Parábola Suave
(x)
*(x)
< 1,10 [1+( 4f ) ]
2
< 1,10
1+( 4f ) < 1,066 4f < 0,256
2
< 0,064 = 6,4%
f
P
Cabo Parabólico Simples
22 2
2
2
3/2
3/2
3/2
<< 1 *(x) = 8f/
2
u= 8Pf
ρ
ρ
ρ
ρ
f

78. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 78
ANEXO 2 – EQUILIBRIO DE UM TRECHO DE CABO
P
A
B
x
y
r(x)
P
u(x)
TEORIA EXATA
xxP
xr
Pxu )(
)(
1
)(
/2
P
P
A
Vértice
B
P tg
f
u
α
α
α

TEORIA SIMPLIFICADA
%4,6
8
)( 2


f
pf
uxu
0:0 PPH
Ptg
f
Px
Pf
uV )
4
(
2
8
2
:0 2




0
8
42
:
2
2
Pf
Pf
PfuoM
B




79. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 79
ANEXO 3
DESVIADORES
CARGA EQUIVALENTE PARA CABOS POLIGONAIS
DESVIADOR
12
U
Vg
Vx
Vx = P(cos - cos )1 2
Vy = P(sen - sen )1 2
M = Vx . e
M
PP
Linha “cg”
e

80. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 80
ANEXO 4
f1 f2
B
C
A
A
1
1
2P P
P tg 1
P tg 1
P tg 2
P tg 2
INFLEXÃO
VÉRTICE
VÉRTICE
VÉRTICE
1/2
8Pf1
8Pfi
8Pf2
1 3 42



1/2
U1
U1
f1
f2
2
C D
E
B
U2
U3
U4
U2
α
α
α
α
α
α
α
α
COMBINAÇÃO DE PARÁBOLAS SUCESSIVAS
PARÁBOLAS DE 2 PLANOS
f 3
u =1
u =1
u =22
2
2
1
i
2
2 2 2 2

81. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 81
CAPÍTULO 3 - ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO NAS PEÇAS
PROTENDIDAS
3.1 - CONCEITUAÇÃO
Da mesma maneira que no projeto de peças em concreto armado, no caso de elementos
protendidos também se exige a verificação de que algum dos estados limites venha a ser atingido.
As normas prevêem dois tipos básicos de estado limite: os estados limites de utilização e os
estados limites últimos.
a) Os estados limites de utilização referem-se ao comportamento das estruturas quando
submetido às cargas normais de uso, ou seja, em situações de utilização (em "Regime
de Serviço", como também são tratados na literatura). Estas verificações visam garantir
as boas condições de comportamento da peça quanto à durabilidade, conforto e
aparência.
b) Os estados limites últimos referem-se a situações que, se atingidas, levariam a peça ao
colapso, quer pelo esmagamento do concreto, quer pela deformação excessiva do aço
(situações normalmente designadas como "Regime de Ruptura"). Os ELU são
"protegidos" por coeficientes de segurança (majoração para esforços e minoração para
as resistências características dos materiais).
Neste Capítulo, serão estudados os Estados Limites de Utilização. No Capítulo 6 serão
estudados os Estados Limites Últimos.
3.2 - ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO
São os seguintes os estados limites que devem ser verificados em regime de serviço:
a) Estado Limite de Formação de Fissuras
Estado em que se inicia a formação de fissuras. É uma situação particularmente
importante, quando a utilização da estrutura requer a eliminação de fissuras para
determinadas combinações de carregamentos, como no caso de reservatórios. Por
definição, este estado limite é atingido quando a máxima tensão de tração no
concreto atinge o valor fctk.
b) Estado Limite de Abertura de Fissuras
Estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos
especificados para a construção. Deve-se garantir, que a abertura de fissuras não
prejudicará a utilização e durabilidade da estrutura. As normas fixam de wlim em
função do grau de agressividade do ambiente e da sensibilidade do aço.
c) Estado Limite de Deformações Excessivas
Estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização
normal da construção. Os deslocamentos em serviço (flechas e rotações) devem ser

82. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 82
limitados de forma a não comprometer a aparência da estrutura, a integridade de
elementos não estruturais e o próprio funcionamento da estrutura ou de
equipamentos.
Geralmente as normas estabelecem limites para a relação L/f , onde L é o vão da
viga ou laje, e f é o deslocamento máximo (flecha) desse vão.
Ex.: 300, para o caso das cargas totais em edificações prediais,
Caso 300
f

(ou
300

f ) considera-se verificado o E.L.D.E.
d) Estado Limite de Descompressão
Estado no qual em um ou mais pontos da seção transversal a tensão normal é nula,
não havendo ação no restante da seção. Caracteriza a passagem da situação de uma
seção totalmente comprimida para o surgimento de tensão de tração no concreto.
e) Estado Limite de Compressão Excessiva
Estado em que as tensões de compressão atingem um limite convencional
estabelecido. Excessivas tensões de compressão no concreto em serviço podem
gerar fissuras longitudinais além de uma elevada deformação por fluência, com
serias conseqüências para as perdas de protensão. O valor 0,6.fck tem sido
recomendado por diversas normas como um limite que não deve ser atingido em
peças protendidas, para qualquer combinação de carga.
Verificar os estados limites de utilização consiste, na prática, em comparar os níveis de
carga para os quais estes estados limites são atingidos, com os valores de combinações de cargas
de serviço previstos para a estrutura.
Segundo a própria definição de Concreto Protendido, o objetivo da protensão é impedir ou
limitar a fissuração do concreto nas condições de serviço. Portanto: as verificações dos EL de
Formação de Fissuras, Abertura de Fissuras e Compressão Excessiva são normalmente as primeiras
verificações efetuadas nas peças protendidas, precedendo mesmo às verificações da peça dos
Estados Limites Últimos.
Pode-se se dizer que de uma forma geral, são os Estados Limites de Utilização que
governam o dimensionamento e o traçado da cablagem nas peças protendidas. Ao contrário do
concreto armado convencional, onde normalmente o ELU é que é o determinante no projeto das
peças.

83. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 83
3.3 - COMBINAÇÕES DE CARGA PARA OS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO
Um carregamento é definido pela combinação das ações, que tem probabilidade não
desprezível de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período pré-
estabelecido. As combinações devem ser feitas de diferentes maneiras, de forma que possam ser
determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura.
As combinações previstas para verificação dos estados limites de utilização são
classificadas em quase-permanentes; freqüentes e raras, de acordo com a ordem de grandeza de
permanência na estrutura.
Na formação das combinações, as cargas permanentes comparecem com seus valores
característicos (Fgi,k) e as cargas variáveis com seus valores característicos multiplicados por um
fator de redução ( Fqi,k), onde os valores de acham-se definidos nas normas e dependem de
cada tipo de combinação. São as seguintes as combinações consideradas:
3.3.1 - Combinações Quase-Permanentes
Podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura. Utilizadas
principalmente na verificação de deformações excessivas, abertura de fissuras, compressão
excessiva.
3.3.2 - Combinações Freqüentes
Se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura. Utilizadas normalmente
para verificação de formação ou abertura de fissuras e vibrações excessivas.
3.3.3 - Combinações Raras
Podem ocorrer no máximo algumas vezes durante o período de vida da estrutura. São
normalmente utilizadas para a verificação dos estados limites de formação de fissuras, abertura de
fissuras e descompressão.
Para as obras em geral, a força de protensão entrará na combinação como carga
permanente e com seu valor característico Pk (x,t) já deduzido de todas as perdas de protensão.
3.4 - GRAUS DE PROTENSÃO
Os graus ou níveis de protensão estão relacionados com níveis de intensidade da força de
protensão, que por sua vez é função da proporção de armadura ativa utilizada em relação à
passiva.
A protensão poderá ser então: Completa, Limitada e Parcial.
3.4.1 - Protensão Completa
A armadura de protensão é dimensionada visando o não aparecimento de tensões de
tração no concreto. É recomendada para reservatórios. A armadura passiva é apenas construtiva,
ou mínima.

84. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 84
A protensão pode ser considerada completa quando se verificam as duas condições
seguintes:
a) Paras as combinações freqüentes é respeitado o estado limite de descompressão.
b) Para as combinações raras é respeitado o estado limite de formação de fissuras.
3.4.2 - Protensão Limitada
A armadura ativa é preponderante. Não são permitidas fissuras em serviço e normalmente
é necessária armadura passiva para atender a verificação à ruptura. É usada normalmente para
lajes de edifícios.
A protensão pode se enquadrada como limitada quando se verificam as duas condições
seguintes:
a) Para as combinações quase-permanentes é respeitado o estado limite de
descompressão.
b) Paras as combinações freqüentes é respeitado o estado limite de formação de
fissuras.
3.4.3 - Protensão Parcial
Caracterizado pela combinação de armaduras ativas e passivas. Fissuras são permitidas e
controladas em serviço. Admite-se sua utilização em vigas de edifícios.
A protensão pode ser classificada como parcial quando se verificam as duas condições
seguintes:
a) Para as combinações quase-permanentes é respeitado o estado limite de formação
de fissuras e o de descompressão no eixo do cabo mais excêntrico.
b) Para as combinações freqüentes é respeitado o estado limite de abertura de
fissuras: wk < wlim = 0,2 mm
Os graus de protensão são meras classificações não garantindo de nenhuma forma a
segurança da estrutura quanto aos outros estados limites. Os graus de protensão são
normalmente utilizados pelas normas para orientar o projetista na escolha da quantidade de
protensão em função da agressividade do ambiente, do sistema construtivo e da natureza das
cargas variáveis.

85. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 85
3.5 - VERIFICAÇÃO DE TENSÕES
3.5.1 - Modelo de Cálculo
Os seguintes estados limites de utilização: formação de fissuras, de descompressão e de
compressão excessiva, podem ser verificados pela aplicação das fórmulas clássicas da Resistência
dos Materiais, supondo regime elástico linear e considerando a seção bruta do concreto.
A = Área da seção;
J = Momento de Inércia à flexão
Trata-se de um processo aproximado, que não leva em conta a presença das armaduras
passivas nem de diversos efeitos, inerentes ao processo, tais como fluência, retração ou relaxação
do aço, mas que é aceito pela maioria das normas.
3.5.2 - Fases Mínimas para Verificação
i. Ato da Protensão: Nesta situação, considera-se a carga permanente mobilizada
(normalmente apenas o peso próprio), e a protensão apenas com as perdas
imediatas. Verifica-se então o respeito do estado limite de formação de fissuras que
pode surgir nas faces opostas à da ação da protensão. É uma fase temporária
podendo a eventual fissuração ser controlada por armaduras passivas ou
escalonamento das etapas de protensão. Verifica-se também a presença de
compressão excessiva.
ii. Combinações Quase-Permanentes: Nestas situações considera-se a força de
protensão com seu valor após todas as perdas. No caso dos edifícios, esta fase
resume-se praticamente à seguinte combinação:
Fd,ut = Fg,k + 0,4 Fq,k
O objetivo é verificar o cumprimento do estado limite de descompressão de forma a
garantir que para a carga quase permanente não tenhamos tensão de tração no
concreto. Isto é normalmente conseguido com o balanceamento da carga
permanente.

86. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 86
iii. Combinações Freqüentes: Nestas situações considera-se a força de protensão com
seu valor após todas as perdas. No caso dos edifícios, resume-se praticamente a
seguinte combinação:
Fd,ut = Fg,k + 0,6 Fq,k
O objetivo é verificar o cumprimento do estado limite de formação de fissuras de
forma a garantir que para combinação freqüente não tenhamos fissuras no
concreto, visando uma protensão limitada.
iv. Combinações Raras: Nestas situações considera-se a força de protensão com seu
valor após todas as perdas. No caso dos edifícios, resume-se praticamente a
seguinte combinação:
Fd,ut = Fg,k + Fq,k
O objetivo é verificar o estado de compressão excessiva (evitar fissuras
longitudinais) e controlar a abertura máxima de fissuras.
3.5.3 – Considerações sobre as verificações de tensões nos Estados Limites de Utilização.
3.5.3.1- Tensão de compressão média na laje (P/A):
O ACI 318-99 exige uma pré-compressão média mínima, após a consideração de todas as
perdas, de 0.9 MPa na seção transversal da laje. A nova NBR 6118 não faz nenhuma referência a
essa exigência.
Usualmente, o valor dessa pré-compressão varia de 1.5MPa a 2.0Mpa, sendo que valores
até 3.5Mpa são admitidos. Na prática, valores mais altos resultam em maiores perdas por
deformação lenta e em um encurtamento inicial maior, causando, também, retenção da força de
protensão pelos pilares.
Baseado em ensaios com protótipos de lajes, T. Y. Lin recomenda uma protensão média
mínima de P/A=0.9 MPa a ser adotado nos projetos. Foi comprovado através desses ensaios que
uma protensão média P/A garantida em toda seção da laje contribui para sua resistência ao
cisalhamento.
Outro fator importante é que a pré-compressão média diminui a fissuração na laje,
principalmente aquela devido à retração, fazendo com que, segundo Bijan O Aalami, a laje tenha a
performance de uma placa elástica homogênea com o seu inerente comportamento em duas
direções.

87. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 87
3.5.3.2- Tensões admissíveis no concreto:
Tensões
máximas
admissíveis
No ato da protensão
Após as perdas iniciais
Para as cargas de serviço
Após todas as perdas
ACI NBR 2003 ACI NBR 2003
Compressão 0,60 fci’ 0,70 fckj
(1) 0,45 fc’
(2) 0,60 fc’
Não indica
Tração 0,25 (fci’)1/2
0,36 (fckj)2/3
0,50 (fc’)1/2
0,315 (fck)2/3
Considerando fckj=21 MPa (=fci’) ; fck=30 MPa (=fc’)
Tensões
máximas
admissíveis
No ato da protensão
Após as perdas iniciais
Para as cargas de serviço
Após todas as perdas
ACI NBR 2003 ACI NBR 2003
Compressão 12,6 Mpa 14,0 MPa
(1) 13,5 MPa
(2) 18,0 MPa
Não indica
Tração 1,15 Mpa 2,74 MPa 2,74 MPa 3,04 MPa
(1) Devido a protensão mais cargas quase permanentes (sustained loads).
(2) Devido a protensão mais cargas totais.
A tensão de compressão admissível menor para a combinação quase-permanente é
justificada pelo ACI para evitar a ruptura do concreto devido às cargas repetidas e para diminuir os
efeitos da deformação lenta do concreto.

88. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 88
3.5.3.3- Tensões admissíveis nos cabos de protensão (Aços RB)
Normas Por ocasião da protensão Ao término da protensão
ACI 318-99 0,80.fpu e 0,94.fpy 0,74.fpu e 0,82.fpy
Euro Code 0,80.fptk e 0,90.fpyk 0,75.fptk e 0,85.fpyk
NBR 7197-89 0,77.fptk e 0,86.fpyk 0,77.fptk e 0,86.fpyk
NB1-2003 0,74.fptk e 0,82.fpyk 0,74.fptk e 0,82.fpyk
- Por ocasião da protensão: os limites estabelecidos visam evitar que a força não ultrapasse
o limite elástico do aço e que não haja ruptura de fios dos cabos.
- Ao término da protensão: Os limites fixados objetivam menores tensões nas ancoragens e
menores perdas por relaxação do aço.
Pelo exame do quadro acima podemos constatar:
- Ao término da protensão, os limites estabelecidos pelas quatro normas são praticamente
os mesmos.
- Por ocasião da protensão, o limite de 0,80.fptk do Euro Code e do ACI estão 8,1%acima do
limite de 0,74.fptk da NB1/2003.
- No Brasil, muitos projetistas já usam como tensão inicial de protensão, nas cordoalhas
engraxadas, o valor de 1500 MPa (15tf), ou seja, 0,79.fptk, sem causar problemas de ruptura de
fios (o limite da NB nos parece bastante conservador).
3.5.3.5- Considerações Complementares
Não deve ser esquecido que a obtenção dos valores das tensões como mostrado se baseia
nas hipóteses simplificadoras da Resistência dos Materiais.
O Prof. Joaquim Mota, em curso ministrado na ACEE- Associação Cearense de Engenharia
Estrutural, tece os comentários seguintes, que transcrevemos como alerta sobre as limitações da
aplicação das fórmulas expostas:
“A verificação de tensões feita através da consideração das hipóteses simplificadoras da
Resistência dos Materiais é suficiente para avaliar, com bons resultados, as peças com protensão
total ou limitada, situações em que não há fissuras.
A protensão parcial, contudo, exige a verificação de abertura de fissuras para as
combinações freqüentes. Muitas normas como a americana, inglesa e a alemã, por exemplo,
admitem uma verificação indireta da abertura de fissuras através da limitação da tensão de tração
no concreto. Estas tensões limites são maiores que a resistência à tração do concreto e são

89. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 89
comparadas com tensões fictícias, calculadas hipoteticamente com base na seção não fissurada.
Este critério justifica-se em resultados experimentais, que indicam que os limites de abertura de
fissuras não serão ultrapassados, se nas combinações de carga analisadas, estas tensões
hipotéticas, calculadas, no Estádio I, não ultrapassarem os limites fixados, estabelecendo inclusive
correspondência entre aberturas de fissuras e valores limites de tensão de tração.
A norma suíça não fixa valores limites de tensões de tração, mas limita as tensões na
armadura passiva, calculadas no Estádio lI, sob carga total de serviço, ou o acréscimo de tensões,
após a descompressão, na armadura ativa aderente em 150 MPa. Sob estas tensões, em vigas
parcialmente protendidas, realmente, o problema da fissuração perde o interesse, pois não
aparecerão mais do que fissuras muito finas.
A filosofia do CEB/Eurocode ao contrário, não fixa limites de tensões de tração, nem no
concreto e nem no aço, mas sim limites de abertura de fissuras sob cargas mais freqüentes,
estabelecendo condições para o cálculo das armaduras aderentes, escolha de diâmetro e
disposição de barras, de modo a serem satisfeitas as exigências estabelecidas. Isso representa uma
passagem, sem solução de continuidade, do concreto armado convencional através da protensão
parcial até o concreto com protensão completa, exigindo em todos os casos, indistintamente, um
mínimo de armadura aderente longitudinal de tração.
Podemos dizer então, resumindo, que se as condições de utilização permitem acentuada
fissuração sob cargas permanentes, a solução em concreto armado convencional é a indicada. Se,
ao contrário, sob cargas totais de serviço, a fissuração é indesejável, é o caso de preferir-se a
protensão completa. Todas as demais situações intermediárias entre estas citadas, constituem,
sem dúvida, um vasto campo de exploração do pesquisador e do projetista, com utilização da
protensão parcial e limitada.”
3.6 - EXEMPLO NUMÉRICO
Dada a viga abaixo, determinar a protensão que neutralizará as cargas permanentes. Qual
o tipo de protensão daí resultante, com os valores de sobrecarga fornecidos?
Secção:
S1 S2
10m 10m
150
10
50 30 30
10

90. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 90
AC = 0,34 m2
= 3.400 cm2
Io = 0,0106 m4
yS = 0,22 m; yi = 0,28 m
WS = 0,048 m3
= 48.000 cm3
Wi = 0,038 m3
= 38.000 cm3
Cargas:
g0 = 2,5 tf/m (peso próprio da estrutura, inclusive lajes adjacentes)
gi = 0,5 tf/m (carga advinda da sobrecarga de pavimentação e alvenarias)
q = 2,00 tf/m (sobrecarga útil sobre a viga)
Solução:
cmfadotf 5,315
2
2845
max 
Carga a balancear: qb = 3,0 tf/m (g0 + g1)
Força de protensão: tf
f
qb
P 119
315,08
)10(3
8
22

Adotando P(1 ) = 80% x 15 tf = 12 tf (considerando perdas de 20%), teremos 10
cordoalhas de 12,5 mm. Estas cordoalhas propiciarão uma carga equivalente de:
mtf
pf
P /02,3
)10(
315,012088
22

Calcularemos, então, a viga para os seguintes casos de carga:
Peso próprio da estrutura, obtendo dos esforços nas secções indicadas:
S1 S2
2,5 tf/m

91. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 91
1 - G0: Carga permanente inicial (g0=2,5 tf/m)
Mg0(S1) = 17,6 tf.m
Mg0(S2) = - 31,25 tf.m
2 - G1: Carga permanente adicional (g1 = 0,5 tf/m)
Mg0(S1) = 3,52 tf.m
Mg0(S2) = - 6,25 tf.m
3 - Q: Carga acidental (q = 2 tf/m)
Mq(S1) = 14,08 tf.m
Mq(S2) = - 25 tf.m
4 - P0: no ato da protensão (10% perdas)
Np0(S1) = - 135 tf
Mp0 (S1) = - 23,9 tfm
Np0(S2) = - 135 tf
Mp0(S2) = + 42,5 tfm
5 - P1: no tempo infinito (20% perdas)
Np(S1) = - 120 tf
Mp (S1) = - 21,27 tfm
Np(S2) = - 120 tf
Mp(S1) = 37,75 tfm
S1 S2
P = 3,02 tf/m
120 tf 120 tf
S1
S2P = 3,40 tf/m
135 tf 135 tf

92. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 92
As verificações serão feitas a partir das diversas combinações dos carregamentos anteriores:
1) No ato da protensão:
Cargas consideradas. Carga permanente inicial; protensão com perdas iniciais (10%)
Em S1: N = 135 tf = 135.000 kgf
M = 17,6 - 23,9 = - 6,3 tfm = - 6.300 kgm
2
2
/7,39
400.3
000.135
000.38
100300.6
/7,39
400.3
000.135
000.48
100125.3
cmkfg
cmkfg
i
s
Em S2: N = 135 tf = 135.000 kgf
M = - 31,25 + 42,5 = + 11,25 tfm = 11.250 kgm
2
2
/1,10
400.3
000.135
000.38
100250.11
/14,63
400.3
000.135
000.48
100250.11
cmkfg
cmkfg
i
s
Suponhamos que a protensão total fosse autorizada para quando fckj=200 kgf/cm2
.
Então admitiríamos c até 0,6 x fckj, ou seja, até 120 kgf/cm2
. Os resultados acima
mostram que a protensão pode ser dada de uma só vez.
2) Na utilização:
2.1) Combinação quase-permanente
Em S1: N = 120 tf = 120.000 kgf
M = 17,6 + 3,52 + 0,4 x 14,08 - 21,27 = 5,48 tfm = 5.480 kgf.m
2
2
/9,20
400.3
000.120
000.38
100480.5
/7,46
400.3
000.120
000.48
100480.5
cmkfg
cmkfg
i
s
Em S2: N = 120 tf = 120.000 kgf
M = - 31,25 - 6,25 - 0,4 x 25 + 37,75 = - 9,75 tfm = - 9.750 kgf.m
2
2
/9,60
400.3
000.120
000.38
100750.9
/15
400.3
000.120
000.48
100750.9
cmkfg
cmkfg
i
s
Nesta combinação de cargas, as secções estão inteiramente comprimidas.
2) Combinação freqüente

93. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 93
Em S1: N = 120 tf
N = 17,6 + 3,52 + 0,6 x 14,08 - 21,27 = 8,3 tf.m
s = - 52,58 kgf/cm2
i = - 13,45 kgf/cm2
Em S2: N = 120 tf
N = - 31,25 - 6,25 - 0,6 x 25 + 37,75 = - 14,75 tf.m
s = - 4,56 kgf/cm2
i = - 74,10 kgf/cm2
Atendido o estado limite de descompressão para a combinação freqüente, satisfazendo,
portanto, o item (a) da protensão completa.
3) Combinação rara
Em S1: N = 120 tf
N = 17,6 + 3,52 + 14,08 + 14,08 - 21,27 = 13,39 tf.m
s = - 63,2 kgf/cm2
(ainda comprimida)
i = - 0,06 kgf/cm2
Em S2: N = 120 tf
N = - 31,25 - 6,25 - 25 + 37,75 = - 24,75 tf.m
s = + 16,27 kgf/cm2
(tração) !!
i = - 100 kgf/cm2
Considerando fck = 300 kgf/cm2
podemos considerar que fctk = 25 kgf/cm2
(Norma Brasileira).
Portanto está respeitado o estado limite de formação de fissura (item b, da protensão completa).
Conclusão: A protensão da viga para as cargas dadas pode ser considerada completa.

94. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 94
CAPÍTULO 4 - PERDAS DE PROTENSÃO
4.1 - INTRODUÇÃO
As forças de protensão aplicadas inicialmente a uma estrutura não mantém seu valor ao
longo do tempo.
Por várias causas, a protensão diminui. Perdas de Protensão são, portanto, as quedas no
valor da protensão, pelos mais diferentes fatores.
Por não saber estimar esta queda, as primeiras construções protendidas apresentaram
problemas de fissuração e deformações excessivas. É que não se dispunha de informações sobre o
comportamento reológico do concreto e a relaxação dos aços não era prevista de forma confiável.
As perdas de protensão podem ser enquadradas em duas categorias.
- As perdas instantâneas ou imediatas;
- As perdas lentas ou diferidas.
As perdas imediatas são:
- Perdas internas no macaco;
- Perdas por atrito cabo/bainha
- Perdas por cravação das cunhas
- Perdas por deformação elástica imediata do concreto
As perdas diferidas têm como fonte:
- Retração do concreto
- Deformação lenta do concreto (fluência do concreto)
- Relaxação do aço (fluência do aço)
A força de protensão em um cabo dependerá da seção considerada e da idade ou maturidade do
concreto.
Teremos então que, a força de protensão é uma função não apenas do tempo, mas com a posição
da seção transversal:
P = P(x,t) = força é variável com o tempo e com a secção.
P(x,t0) = força Instalada de Protensão (força de Protensão após as perdas imediatas.

95. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 95
P(x,t ) = Força Final de Protensão, após todas as perdas.
4.2 - TENSÕES INICIAIS DE PROTENSÃO
A tensão inicial de protensão deve ser a máxima possível, sem comprometer a integridade
e as características elásticas do aço. As normas fixam limites que resguardam o atingimento de
tensões perigosas quanto à ruptura e escoamento.
Para aços de relaxação normal (RN) essa tensão inicial deve atender:
i 0,8 fptk e i 0,95 fpyk
Para aços de relaxação baixa (RB):
i 0,8 fptk e i 0,9 fpyk
fptk: Resistência característica à tração
fpyk: Resistência convencional de escoamento
Representa a tensão que corresponde a uma deformação unitária de 0,2% quando se retira o
tensionamento do aço. Para os fios e cordoalhas trefilados esta tensão corresponde a um
alongamento relativo de 1%. Para o aço CP190RB as condições acima são atendidas para tensões
de 1500 MPa (15 tf/cm2
) (alongamentos da ordem de 0,7%).
4.3 - PERDAS IMEDIATAS
4.3.1 - Atrito Interno no Macaco
Dependendo do tipo de macaco, o sem valor deve ser fornecido pelo fabricante do
equipamento. Esta perda pode ser eliminada pelo aumento da pressão de protensão lida no
manômetro. Deve-se ler no manômetro uma pressão dada por m .
Exemplo: m' =1,04 i, caso a perda seja 4% d tensão lida no manômetro.
i = Tensão Inicial de Protensão prevista no projeto.
Alguns equipamentos já vêm calibrados para compensar a perda interna, ou seja, calibra-se
o manômetro para uma certa tensão que se deseja no final do cabo, sem a necessidade de
majoração no valor. Portanto, o projetista deve ter conhecimento do tipo de equipamento que vai
ser usado, bem como deve-se exigir constantemente a aferição do mesmo, para a certeza de que a
força de projeto seja a que realmente vai ser aplicada à estrutura.
4.3.2 - Atrito Cabo-Bainha
Esta é decorrente do atrito gerado pelo deslocamento do cabo em contato com a bainha
por ocasião da realização da protensão. É uma perda portanto exclusivamente dos sistemas tipo
pós-tração.
No Anexo 1, é mostrado como se dá a diminuição da força de protensão ao longo do cabo.

96. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 96
Deve-se acrescentar ainda uma perda chamada de parasita ou de perda em linha,
considerando um ângulo suplementar de deflexão por cada metro de cabo, visando cobrir sua
curvatura entre os suportes que o posicionam na forma.
A fórmula completa para perda por atrito será data então por:
i
i
xxx
xKPxP )(.exp.)( 0
Cada sistema comercial de protensão fornecerá os coeficientes de atrito a serem
considerados para cada tipo de cabo.
α: coeficiente de atrito devido às variações angulares do cabo;
k : coeficiente de perda em linha (wobble coefficient)
Para as cordoalhas engraxadas adotamos α = 0,07/rd e k = 0,0035/m.
Transcrevemos a seguir uma tabela de coeficientes de atrito recomendada pelo ACI.
COEFICIENTES DE ATRITO RECOMENDADOS PELO ACI
Tipo de cordoalha
Coeficiente de
arrasto, por metro (k)
Coeficiente de
curvatura ( )
Cordoalhas em bainhas metálicas
flexíveis
- Cordoalhas de fios
- Cordoalhas de 7 fios
- Barras de alta resistência
0.0033 - 0.0049
0.0016 - 0.0066
0.0003 - 0.0020
0.15 - 0.25
0.15 - 0.25
0.08 - 0.30
Cordoalhas engraxadas e plastificadas
(7 fios)
0.0010 - 0.0066 0.05 - 0.15
Diagramas de Variação da Força de Protensão
Os diagramas de variação da força de protensão poderão assumir então os seguintes aspectos:
- Cabos Protendidos por um lado:

97. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 97
- Cabos Protendidos pelos dois lados:
Cálculo dos Alongamentos
Com os diagramas de variação da força de protensão podemos obter os alongamentos
previstos para o cabo utilizando a seguinte expressão.
- Cabos protendidos por um lado:
)()( xx dx
A
dxxP
d
)(

S
dXxP
dxxP
)(
1)(

- Cabos protendidos pelos dois lados:
1S

2S
D

98. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 98
4.3.3 - Acomodação da Ancoragem
A acomodação da ancoragem consiste num deslocamento de valor ò no sentido do interior
da peça, sofrido pela extremidade do cabo junto as ancoragens ativas. Este deslocamento ocorre
imediatamente após a cravação e se deve a acomodação do sistema de cunhas tronco cônicas
(clavetes) responsáveis pela transferência da força de cada cordoalha para o tambor e placa da
ancoragem.
Mais uma vez entra em jogo as forças de atrito cabo-bainha só que neste caso com direção
contrária àquela da operação de protensão. A força de atrito é sempre contrária à direção do
movimento do cabo. As forças de atrito impedem a propagação- da perda de cravação por todo o
cabo.
O problema do cálculo da perda de cravação consiste basicamente na determinação do
chamado ponto de bloqueio, que é o limite da propagação ao longo do cabo do deslocamento da
cunha.
O problema admite uma interpretação geométrica interessante:
S
S
A pesquisa do ponto de bloqueio que leva ao valor de área S = E Ap é normalmente executada
por algoritmos numéricos do tipo bissecação.
No caso de cabos curtos poderemos ter as seguintes situações:
- Cabos Protendidos por um lado:


99. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág 99
- Cabos Protendidos pelo dois lados:
ℓ
EXEMPLO NUMÉRICO
- Determinar as perdas imediatas na viga dada, considerando cordoalhas engraxadas:
Dados Protensão:
PA = 120 tf
AP = 10 cm2
EP = 1960 tf/cm2
AC = 0,36 m2
= 6 mm

100. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
100
= 0,07/Rad
k = 0,0035/m
A, C, E : pontos de inflexão
Ordenadas de A, C, E
1) mYY AA 49,020,7
0,9
55,0
05,0
2) mYY CC 69,020,7
0,9
80,0
05,0
3) mYY EE 81,00,9
10
40,0
45,0
ORDENADAS DOS PONTOS:
Y TRECHO f "l"

f4
0 0,60 0A 0,11 3,60 0,122
A 0,49 AB 0,44 14,40 0,122
B 0,05 BC 0,64 14,40 0,178
C 0,69 CD 0,16 3,60 0,178
D 0,85 DE 0,04 2,00 0,08
E 0,81 EF 0,36 18,00 0,08
F 0,45
P(Xi) = P0 . exp [ - - kx ]
P(Xi) = 120 . exp [ - (0,007 - 0,0035x) ]
X P
0 0 0 120
A 1,80 0,122 118,23
B 8,0 0,244 114,31
C 16,2 0,422 110,08
D 18,0 0,60 108,04
E 19,0 0,68 107,06
F 28 0,76 103,16

101. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
101
Alongamento:
PP AE
Área
tfcm
cm
tf
AE PP 500.19101950 2
2
Área:
cm
cmA
A
90,15
500.19
100109.3
20,109.3
80,1
2
08,11004,108
0,9
2
16,10306,107
0,1
2
06,10704,108
20,7
2
08,11031,114
20,7
2
23,11831,114
80,1
2
23,118120
2
Perda por encunhamento:
Área = mtfcm
cm
tf
AE PP .117101950006,0 2
2
mtfA
A
.52,45
80,184,7
2
80,154,3
2
20,784,7

102. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
102
1ª tentativa
Até C:
mtfAA .1,152152,45946,8
2
20,746,8
X estará entre B e C
cmX
X
20,14
1,152
0,117
2,16
2ª tentativa

103. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
103
Diagrama de Forças, considerando perdas por atrito e por encunhamento
OBS.:
tfXXP 3,111
20,7
11031,114
2110)(
P(B) = 2 x 111,3 - 114,31 = 108,29 tf
P(A') = 108,29 - (118,23 - 114,31) = 104,37 tf
P(0') = 104,37 - (120 - 118,23) = 102,60 tf
4.3.4 - Encurtamento Elástico Imediato do Concreto
À proporção que vão sendo protendidos, os cabos provocam encurtamentos elásticos na
laje, causando perdas de tensão nos cabos anteriores. Em lajes de edifícios essas perdas são
pequenas.
O valor das perdas de tensão nos cabos será calculado pelas expressões:
fpe = ce Ep onde ce = 0,5. fco / Eci;
fco = tensão de compressão no concreto no nível do cabo;
Eci = módulo de elasticidade do concreto no tempo t=0.
Para cabos não aderentes, utiliza-se a tensão de compressão média no concreto ao longo
do comprimento do cabo.
4.4 - PERDAS LENTAS OU DIFERIDAS
4.4.1 - Introdução
As perdas lentas ou diferidas são ocasionadas pela atuação de três fenômenos reológicos:

104. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
104
a) Retração do Concreto: Trata-se aqui da chamada retração hidráulica, essencialmente
ligada à perda d'água que não está quimicamente associada, que ocorre
principalmente nos primeiros anos de vida da obra. Não se trata da reação térmica,
decorrente do resfriamento do concreto quando reação de hidratação do cimento
tende a reduzir e se estabilizar, fenômeno observado nas primeiras horas de vida da
obra, antes mesmo que o concreto exista enquanto estrutura, isto é, esteja
suficientemente endurecido. Entende-se por refração o encurtamento que o concreto,
livre de esforços, sofre ao longo do tempo.
b) Deformação Lenta do Concreto (Fluência): O fenômeno da fluência corresponde ao
acréscimo das deformações do concreto comprimido, ao longo o tempo, sob tensão
uniforme permanente.
c) Relaxação do Aço: O fenômeno da relaxação corresponde à redução assintótica, ao
longo do tempo, das tensões inicialmente impostas à cordoalha. ε
Os fenômenos relacionados ao concreto (“a” e “b”) levam ao encurtamento das peças, que
levam a um afrouxamento da cordoalha, com a conseqüente queda no valor da força no cabo.
Devemos salientar que essas perdas, apesar de inevitáveis, podem ser reduzidas pela
adoção de bons procedimentos construtivos. Uma boa cura reduz as deformações finais da
retração; deixar escoramentos residuais após a desforma posterga o carregamento precoce da
estrutura, contribuindo para que seja obtido um módulo de elasticidade inicial o maior possível,
minorando as deformações inicias.
O cálculo das perdas se apresenta como um problema dos mais complexos, uma vez que os
fenômenos atuam simultaneamente e têm entre si relação de causa de efeito.
Além dos fatores ambientais há a interação entre as próprias perdas; por exemplo: a
deformação lenta introduz perdas de protensão que afetam a relaxação; as tensões variam ao
longo das secções e o cabo muda de posição a cada secção.

105. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
105
Como se vê, há inúmeras variáveis interdependentes num problema com várias não-
linearidades.
Também há diferenças na consideração dessa interação para cordoalhas com aderência
(inicial ou posterior) e cordoalhas engraxadas.
Um cabo com aderência inicial ou posteriormente restabelecida acompanhará, ao longo do
tempo, a variação da deformação do concreto no nível da fibra onde esteja posicionado. Assim
sendo este cabo sofrerá uma variação de tensão proporcional a cada instante desta variação de
deformação no concreto. Já a queda na força aplicada às cordoalhas engraxadas está mais ligada
ao deslocamento das seções de implantação das cargas.
Cada norma apresenta formulação que tentam resolver este problema.
Mesmo sendo as perdas de tensão ao longo dos cabos variáveis, no caso de lajes
protendidas com cordoalhas engraxadas é comum calcular-se um valor representativo das
mesmas para todo o cabo. A pré-compressão média no concreto é usada para calcular esse valor
representativo.
4.4.2- Deformação lenta (creep) do concreto:
O valor das perdas de tensão nos cabos será calculado pelas expressões:
fpcc = cc Ep onde cc = . fco / Eci;
: coeficiente de deformação lenta ou de fluência do concreto.
O valor de depende dos seguintes parâmetros:
- espessura equivalente 2Ac/u (Ac/ é a área da secção transversal e u é o perímetro da
secção em contato com a atmosfera;
- umidade relativa do ar;
- idade do concreto por ocasião do carregamento.
4.4.3- Retração do concreto (shrinkage).
O valor das perdas de tensão nos cabos será calculado pela expressão:
fpcs = cs Ep
cs = deformação específica de retração, que é função do tempo, da espessura equivalente
Ac/u e da umidade do ar

106. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
106
Cada norma apresenta ábacos ou fórmulas para avaliar estes parâmetros. Para umidade
ambiente de 75%, podemos adotar =2 e cs = - 20 x 10-5
4.4.4- Relaxação do aço
É a redução da tensão no aço com o tempo. Há os aços de relaxação normal (RN) e os de relaxação
baixa (RB), e da tensão inicial de protensão. A relaxação também depende da tensão inicial de
protensão
Para aços RB, com tensão inicial de 0,70.ftpk, o valor do coeficiente de relaxação após 1000
horas é 1000 = 2,5%.
ANEXO 1

107. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
107
ANEXO 2
OU
GENERALIZANDO

108. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
108
CAPÍTULO 5 - SISTEMAS ESTRUTURAIS PARA CONCRETO PROTENDIDO -
RECOMENDAÇÕES GERAIS
5.1 - GENERALIDADES
Pretende-se, neste Capítulo, fornecer aos projetistas informações que subsidiem o
lançamento da estrutura e a escolha dos modelos estruturais a serem adotados, tendo em mente
que o concreto protendido vai ser a opção de material estrutural a ser adotada.
Daremos ênfase a estruturas para obras residenciais e comerciais, bem como ao concreto
protendido com monocordoalhas engraxadas, que é a solução tecnológica em geral mais
vantajosamente aplicável às edificações citadas. Para os diversos modelos, serão comentados os
procedimentos de análise estrutural indicados para cada caso.
5.2 - VIGAS
5.2.1 – Recomendações de Uso
Podem ser usadas vantajosamente para vãos a partir de 10m e balanços maiores que
4m. São projetadas corriqueiramente com cordoalhas vigas com 20m ou mais. Vigas de
maiores vãos podem ser viabilizadas com adoção de seções duplo T ou caixão perdido.
Não se deve abrir mão da contribuição da mesa para compor viga T, bem mais eficiente
que as vigas retangulares, pois a “subida” do centro de gravidade aumenta a flecha disponível
“f” para a aplicação da força de protensão “P”, aumentando a carga balanceada “p”, para um
vão “L”. De modo simplificado, temos: p = 8 * P *f / L2
.
5.2.2 - Pré-dimensionamento
Altura de viga em torno de L/20, onde L é o vão a ser vencido; em vigas com balanço
apreciável, pode prevalecer a altura exigida pelo balanço: um bom indicativo para se achar a
dimensão necessária seria a de considerar Lb/10, sendo Lb o comprimento do balanço.
A largura deve ser de pelo menos 30cm, o que na prática permite a colocação de 4
ancoragens por camada. Se, por imposições arquitetônicas ou funcionais, for necessária a
adoção de alturas menores, resta aumentar a largura.
A adoção de vigas baixas (“shallow beams”), com L/h até 30 ou mais, pode levar a
tensões elevadas na região dos apoios. O alargamento da viga nessa região pode ser um bom
recurso para aliviar a concentração exagerada de placas de ancoragem nessa região e facilitar
a concretagem.
Para se verificar se o pré-dimensionamento foi adequado, um critério prático seria
imaginar a viga em concreto armado com dimensões que viabilizassem as seções mais
solicitadas trabalhando como seção normalmente armada (domínio 3 de deformação do CEB),
o que garante uma boa ductibilidade da seção. Como dimensões limites, podemos sugerir
seções na passagem do domínio 4 para o 4a do CEB.

109. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
109
As equações (1) e (2) seguintes retratam as condições acima propostas para seções
retangulares:
d = 2,4626 [ Mk / (b.fck)] 1/2
(1)
d = 2,1918 [ Mk / (b.fck)] ½
(2)
onde b é a largura e Mk é o momento fletor .
5.2.3- Vantagens da utilização de vigas.
- são muito eficientes quando incorporadas aos pórticos de contraventamento às cargas de vento;
- Permite ao projetista ou construtor optar por diversas soluções para a escolha das lajes:
- lajes volterranas (protendidas ou não);
- lajes alveolares;
- lajes treliçadas (protendidas ou não);
- lajes nervuradas em concreto armado ou protendido.
Nas lajes onde há necessidade de material inerte, podem ser utilizados tijolos cerâmicos,
isopor (EPS) ou caixas removíveis. O nível de protensão geralmente usado não danifica os
materiais usados.
5.2.4- Limitações
Devem ser evitadas dimensões que levem a tensões médias de protensão acima de
8MPa (80Kgf/cm²). Compressões médias muito elevadas propiciam maiores valores de perdas
imediatas e diferidas.
5.2.5- Modelo Estrutural
Podem ser utilizados os modelos simplificados de viga, ou os de vigas integrantes de
pórticos. Em ambos os casos, o responsável pelo dimensionamento dos pilares deve estar
informado.
Em caso de vigas que integram pórticos de contraventamento às ações laterais do
vento, os momentos nos nós devem ser adicionados às extremidades das vigas.
Como roteirização de procedimentos em escritórios, sugerimos que sejam utilizados os
programas gerais (TQS, Eberick, ...) para geração de esquemas que contenham os vãos e as
cargas aplicadas. Os diagramas de esforços (principalmente o DMF), se disponíveis, podem
orientar o lançamento de cabos.
Feitos o dimensionamento e a análise em programas específicos (ADAPT PT) podem ser
editados os arquivos de detalhamento gerados pelo programa geral, ficando a protensão para
ser detalhada à parte.
Outra alternativa seria a de se lançar a protensão como um caso de carga, dentro do
programa geral. A vantagem é que podem ser usados para o pavimento modelos de análise
mais sofisticados disponibilizados pelo programa geral (grelhas, elementos finitos,...); nestes

110. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
110
casos, exige-se do projetista experiência que lhe permita aplicar o nível protensão adequada,
bem como cargas equivalentes corretas.
5.2.6 - Ilustração
Foto 1- viga com balanço de 6,5m (Fortaleza)
Foto 2- Balcão com viga em balanço de 10m (Brasília)

111. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
111
5.3 - LAJES MACIÇAS SEM VIGAS PROTENDIDAS NAS DUAS DIREÇÕES: LISAS (Flat Plates) OU
COM CAPITÉIS (Lajes Cogumelo)
5.3.1 – Recomendações de Uso
Muito vantajosas do ponto de vista construtivo, essa solução é excelente para espaçamentos
entre pilares na faixa de 6 a 8m. São muito utilizadas em edifícios residenciais e comerciais, com as
seguintes vantagens:
- rapidez na execução e flexibilidade na colocação das paredes divisórias, propiciando
liberdade para dispor do espaço interno;
- não necessitam de forro falso;
- pé-direito livre maior;
- pela ausência de vigas (assoalho plano), essa solução permite que possam ser adotadas
técnicas mais eficazes para fôrma e escoramento.

112. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
112
Na Foto 3, mostramos a solução adotada no César Towers (Brasília- DF), com vãos
contínuos de 5,5m na direção longitudinal e vãos de 9,1m-3,8m-9,1m na direção transversal
(espessura de 20cm) .
FOTO 3
Foto 4 - Prédios residenciais em Fortaleza (Projeto da MD Engenheiros Associados)

113. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
113
5.3.2 - Pré-dimensionamento
Pré-dimensionamento e recomendações
- espessura L/45 (vãos contínuos) a L/40 (vãos biapoiados), onde L é o vão maior, para lajes
de piso. Em lajes de forro podem ser adotadas lajes mais esbeltas (45 ≤ L/h ≤ 48);
- o ACI recomenda L/h ≤ 42 para lajes de piso e L/h ≤ 48 para lajes de forro;
- a Norma NBR 6118 não faz referência a índices de esbeltez de lajes lisas protendidas.
Estabelece somente para as lajes com protensão apoiadas em vigas, os limites: L/h ≤ 42, no
caso de lajes de piso biapoiadas e L/h ≤ 50, para lajes de piso contínuas (item 13.2.4.1).
Fixa, no entanto, valores limites para as flechas: L/250 para as cargas totais (limitação
visual) e L/350 para as cargas acidentais (vibrações indesejáveis);
- Em seu item 13.2.4.1, a NBR 6118, recomenda espessuras mínimas de 15 cm para lajes
com protensão apoiadas em vigas e 16cm para lajes lisas apoiadas diretamente sobre
pilares.
- Um dos condicionantes mais fortes na fixação da espessura a ser adotada é a punção na
região dos pilares. As normas especificam valores quer delimitam três situações dos efeitos
da punção:
a) não há necessidade de armadura adicional;
b) exigência de armaduras adicionais;
c) ultrapassagem do limite admissível para aquela espessura.
- O condicionante “c” acima surge para vãos maiores, acima de 12m, ou para sobrecargas
altas - acima de 5kN/m², por exemplo, o que leva o calculista a lançar mão de capitéis (lajes
cogumelo), evitando aumentar a espessura de todo o painel.
5.3.3 - Modelo Estrutural para Cálculo
5.3.3.1 - Método do pórtico equivalente (ADAPT-PT, Modeler)
O método do pórtico equivalente é bastante usado nos EUA, sendo aceito como opção de
cálculo de momentos e cortantes pelo ACI 318-99, pelas normas inglesas e canadenses.
Os resultados obtidos pelo processo são confirmados por diversos testes, dando
confiabilidade do processo.
Resumidamente, o Método do Pórtico Equivalente consiste em:
- Dividir a estrutura seguindo as linhas que unem os pilares (linhas de apoio), nas direções
longitudinal e transversal;
- Cada pórtico se compõe de uma linha de pilares ou apoios e uma faixa de laje (faixa
tributária), limitada lateralmente pelas linhas que unem os pontos médios dos painéis de
lajes adjacentes à linha de apoio ou por uma face externa da laje (Figuras ilustrativas a
seguir);

114. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
114
- Para cálculo dos esforços devido às cargas verticais, os pórticos poderão ser considerados
isoladamente para cada piso, com os pilares superiores e inferiores engastados nas
extremidades.
Na modelagem do pórtico equivalente, as rigidezes dos pilares são modificadas para levar
em consideração o funcionamento das lajes em duas direções.
A protensão é considerada como um carregamento externo equivalente, levando em conta
o princípio da carga balanceada.
- Arranjo das cargas acidentais:
Quando as cargas acidentais não ultrapassarem 75% das cargas permanentes, os esforços
poderão ser calculados considerando todos os vãos carregados, simultaneamente, com a carga
total.
Caso contrário, os esforços deverão ser calculados alternando-se as cargas acidentais, de
modo a produzirem o maior esforço na seção considerada, tomando-se, no entanto, apenas 75%
do valor da carga acidental. Os esforços não deverão ser menores que aqueles resultantes do
carregamento total em todos os vãos.
Os quadros a seguir, retirados do manual do ADAPT-PT, mostram o roteiro para a obtenção
dos pórticos equivalentes numa edificação de plantas e vãos não muito regulares.

115. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
115
Aplicação do MPE – Ilustrações do Prof. Bijam Aalami, titular da ADAPT-PT

116. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
116

117. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
117

118. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
118

119. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
119

120. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
120

121. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
121

122. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
122
Proposta de roteiros para escritórios
- Usando o ADAPT-PT associado ao TQS ou similar, sem módulo de protensão.
→ Usar o TQS para gerar as tributárias: serão necessários dois processamentos pelo
método simplificado, um em cada direção (“horizontal” e “vertical”), utilizando em cada direção,
vigas fictícias (sem peso próprio) no alinhamento dos apoios e considerando bordos livres nas
direções perpendiculares, para que a totalidade das cargas convirja para a viga fictícia.
É necessário que se conheça, para cada linha tributária, o esquema de cargas a ela
convergentes, com separação de cargas permanentes e acidentais.
As tributárias serão processadas pelo ADAPT-PT, que já fornece as armaduras ativas e
passivas.
As armaduras serão detalhadas usando o editor gráfico do TQS.
5.3.3.2- Método das grelhas (TQS)
A laje é discretizada como uma grelha para obtenção dos esforços, momentos fletores e cortantes,
nas barras da mesma.
Para levar em conta a protensão, a laje é dividida em faixas, onde serão lançados os cabos de
mesmo perfil. Cada faixa é considerada isolada das outras e os momentos fletores nas seções transversais
são tomados pela média ou pelo máximo dos momentos atuantes nas barras da grelha que atravessam a
seção. A consideração da protensão é feita através da aplicação de diversos momentos “P * e” nos pontos
utilizados para discretização das barras das grelhas.
A partir dos momentos fletores obtidos das combinações dos carregamentos externos e dos
esforços de protensão são feitas as verificações de tensões e o dimensionamento das seções.
5.3.3.3- Método dos elementos finitos (ADAPT – Builder)
Devido à sua complexidade é utilizado somente no cálculo de estruturas muito irregulares ou com
grandes vazios, que não possam ser modeladas adequadamente pelos métodos anteriores.
5.4 - Lajes com Faixas Largas (Slabs with wide shallow beams ou banded slabs).
Quando os vãos nas duas direções perpendiculares são diferentes, a espessura necessária
da laje (escolhida em função do vão maior) leva a soluções anti-econômicas. Para evitar um
consumo exagerado de concreto, adotamos na direção dos vãos maiores uma faixa de concreto
mais espessa e a espessura da laje será calculada em função do menor vão.
Os cabos na direção dos maiores vãos ficam concentrados nas faixas e o aumento das
excentricidades dos mesmos resulta em cargas balanceadas maiores.
As dimensões da faixa são escolhidas de forma a evitar um aumento significante da rigidez
da laje nessa direção, de maneira que o comportamento da laje em duas direções não seja
prejudicado. O vão da laje na menor direção deve ser considerado de eixo a eixo dos pilares e não
de face a face das faixas.

123. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
123
Figura 2
As dimensões recomendadas para as faixas são: h ≤ ≥
laje e b e h, respectivamente, a largura e altura da faixa, conforme Figura 3.
Figura 3
Para h>2t, a faixa deve se calculada como viga e as lajes como do tipo “one way
5.5 - Lajes nervuradas de Concreto Armado apoiadas em Faixas de Mesma Altura
Essa solução estrutural apresenta bons resultados para modulações de apoios entre 8m e
10m, razoavelmente equilibrados nos dois sentidos, pois os painéis “internos” podem ser
nervurados em concreto armado convencional, com alturas totais (caixas + mesa) em torno de 26
a 32cm. Para vão com esta ordem de grandeza as faixas necessitam de larguras entre 90 e 150 cm.
Para vãos entre pilares a partir de 11m, as faixas de mesma altura das nervuras não são eficientes
e necessitariam de grande largura (alto volume de concreto), sendo recomendável a adoção de
faixas mais altas ou mesmo de vigas.

124. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
124
Figura 4

125. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
125
Os números acima podem mudar, dependendo das dimensões das caixas ou do material
disponível para a execução das lajes; esses valores (8 a 10m) são válidos para caixas removíveis
mais usuais (21 a 26 cm de altura).
A vantagem desta solução é que construtivamente ela pode ser executada com as técnicas
viáveis para as lajes maciças sem vigas. Estruturalmente, o projetista tem liberdade de lançar
faixas “como se fossem vigas”, “transportando” as cargas de maneira mais eficiente. A
desvantagem é a necessidade, quase sempre, de forros falsos.
Pré-dimensionamento
- Para as lajes nervuradas de concreto armado, a altura total das nervuras fica em torno de
L1/30, sendo L1 o menor vão da laje; neste caso L1 pode ser tomado como o vão interno entre as
faixas, somado com a altura total das nervuras;
- como nesse caso a altura da laje condiciona a altura das faixas, resta lançar pilares tais
que uma relação L2/35 possa ser atendida (L2 é o vão máximo entre pilares);
- evidentemente, as dimensões das nervuras devem atender as prescrições das normas
vigentes.
Modelos de Análise
As faixas devem ser calculadas como vigas protendidas que recebem as lajes nervuradas de
concreto armado. As recomendações de armadura mínima, verificação de cortante, etc...são,
portanto, aquelas indicadas para as vigas (estruturas armadas numa só direção).
É aceitável que as lajes possam ser calculadas isoladamente, já que a protensão
geralmente assegura às faixas pequenas deformações verticais.
Caso se deseje usar modelos mais sofisticados de grelha ou elementos finitos, integrando
nervuras e faixas, a protensão pode ser lançada como carga equivalente. Nesse caso, as
verificações em serviço são aceitáveis, mas cuidado com o dimensionamento no ELU, pois nesse
caso o tratamento dos esforços para dimensionamento composto por diferentes parcelas (carga
permanente, carga acidental e protensão) não está sendo feito (a não ser, é claro, se o software
esteja preparado para isso).
Proposta de roteiros para escritórios
- Usando o ADAPT-PT associado ao TQS ou similar.
→ processar o pavimento pelo método simplificado, para que se possam obter os
esquemas estáticos das “vigas faixa”; através dos esquemas serão retiradas informações (seção,
vão, cargas, etc.) necessárias para a entrada no programa ADAPT-PT. Os esquemas estáticos
deverão dar condições de se conhecer as parcelas de carga permanentes e acidentais atuantes;
As vigas serão processadas no ADAPT-PT, que fornece armaduras ativas e passivas.
Usa-se o programa de edição de armadura de vigas do TQS, a partir do detalhamento
gerado no processamento do pavimento (simplificado ou outro qualquer mais sofisticado).

126. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
126
Detalha-se a protensão com editores gráficos ou Auto CAD, com as informações do ADAPT-PT
- Usando TQS Com Módulo de Protensão:
Procedimentos preconizados pelos manuais do TQS.
5.6 - Lajes Nervuradas Unidirecionais Protendidas apoiadas em Faixas “Longitudinais” de
mesma altura, também Protendidas.
Solução muito interessante quando os pilares são alinhados apenas em um dos
sentidos. Usam-se faixas apoiadas nos pilares. As nervuras devem vencer o vão transversal;
este vão deve ser maior que o vão das faixas.
Este sistema é ideal quando se tem edificações retangulares, com um lado bem maior
que o outro.
Como ordem de grandeza em que a solução se mostra interessante poderíamos
apontar painéis com vãos a partir de 7m. Como a laje é bi apoiada, a protensão é “bem vinda”
para resolver o problema de deformação Dependendo do material ou da caixa para a
confecção das nervuras, podemos ter lajes maiores (até 16m).

127. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
127
As faixas devem ter vãos menores e sua altura está condicionada a altura da laje
nervurada.
Construtivamente essa laje pode ser executada com as mesmas técnicas das soluções
anteriores.
Pré-dimensionamento
- As lajes geralmente têm sua altura determinada pelas deformações e deve ficar em torno
de L1/35, sendo L1 o vão interno entre as faixas, somado com a altura total das nervuras;
apontaríamos como limite, lajes com esbeltez em torno de 40 (altura total inferior a de L1/40).
- Também nesse caso, a altura da laje condiciona a altura das faixas, resta lançar pilares tais
que uma relação L2/30 (pelo menos L2/35) possa ser atendida (L2 é o vão máximo entre pilares);
As dimensões das nervuras protendidas devem atender as prescrições das normas.
Sugerimos o critério do ACI:
Figura 5
De acordo com a simbologia da figura acima
a) Espessura da mesa: t ≥ s/12 e t ≥ 5cm;
b) Largura das nervuras: b ≥ h/3,5 e b ≥ 10cm;
c) Espaçamento entre nervuras: s ≤ 80cm.
Proposta de roteiros para escritórios
- Usando o ADAPT-PT associado ao TQS ou similar.
As lajes nervuradas são processadas como lajes protendidas numa só direção (“one way”
slab).
Para tanto, o painel é subdividido em trechos de mesma geometria (mesmos vãos), com
todas as cargas daquela região. Podem ser usados os vãos internos entre as faixas (acrescidos da
altura da laje).
No ADAPT-PT, a seção transversal a ser usada será em “T” ou “I” equivalente à “adição” de
todas as nervuras da região.

128. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
128
SEÇÃO
SEÇÃO EQUIVALENTE
Figura 6
A protensão total bem como as armaduras obtidas serão distribuídas na região analisada.
Obviamente, a armadura positiva será dividida entre as nervuras; a negativa, distribuída
uniformemente na mesa, na zona de momento negativo.
As faixas podem ser analisadas como vigas. Pode usar um programa que forneça as cargas
que convergem à viga (em suas parcela: permanente e acidental).
Processam-se as faixas pelo ADAPT e usa-se o programa de edição de armadura de vigas do
TQS, a partir do detalhamento gerado no processamento do pavimento (simplificado ou outro
qualquer mais sofisticado).
Analogamente ao modelo anterior, detalha-se a protensão com editores gráficos ou Auto
CAD, com as informações do ADAPT-PT.

129. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
129
Estacionamento do pátio da alfândega, modulação 12x16, altura do conjunto 40 cm
(Projeto Sérgio Osório, Recife)

130. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
130
5.7- Lajes Nervuradas e Protendidas nas Duas Direções
Essa solução estrutural é excelente para painéis acima de 10 x 10m², com o contorno
apoiado em vigas rígidas. A adição de protensão às lajes nervuradas, que já é uma solução
estrutural eficiente, resulta numa modelagem ainda mais otimizada, podendo se lançar mão de
vãos bastante arrojados em edificações usuais.
Pré-dimensionamento
As lajes deverão ter altura total entre L1/40 e L1/35 , sendo L1 o menor dos vãos da laje.
Modelo de Cálculo: Proposta de roteiros para escritórios
A - Lajes isoladas:
Um procedimento simplificado para obtenção da protensão nas nervuras seria o de se usar
um método qualquer para se obter de maneira confiável os valores dos momentos da laje em cada
direção.
Suponhamos uma laje com vãos Lx e Ly, cuja carga real gere momentos Mx e My, (em
KNm/m, ou Kgm/m) nas duas direções. Em x, o Momento total seria Mx *.Ly (em KNm); em y, My
* Lx (em KN.m).
Na direção x, processaríamos, via ADAPT, uma laje protendida unidirecionalmente, com
vão Lx. Esta laje teria inércia equivalente à de todas as nervuras nesta direção (expediente
semelhante ao exposto no modelo do item 4). A carga seria de valor tal que o momento
reproduzisse o valor Mx * Ly.
A protensão e as armaduras assim obtidas seriam distribuídas nas nervuras. Sugere-se
concentrar a protensão nas nervuras mais centrais, já que são as que apresentarão realmente os
maiores esforços, o que não pode ser capturado neste modelo simplificado.
Caso a análise disponível permite um cálculo mais rigoroso para o momento nas nervuras,
este momentos devem ser somados, e aí se repete a análise proposta acima.
Uma outra opção poderia ser a de adoção de uma protensão (a critério do projetista),
transformá-la em carga equivalente que seria lançada na laje como mais um caso de carga.
B - Lajes com Continuidade
Pode-se processar a laje em cada direção, com uma parcela (“quinhão”) da carga total. Em
cada uma delas se utiliza uma seção com inércia equivalente à nervuras daquela direção. A
protensão e armaduras totais obtidas no processamento são distribuídas pelas nervuras
consideradas.
As vigas de apoio devem ser calculadas com as reações transmitidas pelas lajes com suas
respectivas parcelas.
Aqui também seria viável a adoção de uma protensão e sua correspondente carga
equivalente. Valem os mesmos comentários: a análise das tensões e flechas (Estado Limite de
Utilização) pode ser realizada diretamente dos resultados do programa; entretanto as armaduras
e verificações do Estado Limite Último devem ser feitas à parte.

131. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
131
Ed. Torre Santos Dummont (Vãos de 12x12, nervuras com 30cm)
UNIFOR - Lajes nervuradas + Faixas Protendidas (Fortaleza-CE)

132. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
132
5.9 - PLACAS PARA FUNDAÇÃO (“RADIER”) EM CONCRETO PROTENDIDO
5.9.1 - Generalidades
Uma das aplicações mais vantajosas das cordoalhas engraxadas consiste na protensão de
lajes assentadas sobre o solo, destinadas a apoiar residências, pisos industriais para galpões e
mesmo edifícios de grande porte. Este sistema construtivo, muito comum nos Estados Unidos
(onde são chamados de “slabs on ground”), apresenta vantagens bastante atraentes:
a) a laje desempenha a função de fundação; por se estender em toda projeção da
edificação, transmite de maneira segura as suas cargas ao solo, sem exigir dele grande
resistência, já que as tensões a serem equilibradas pelo solo ficam bastante diluídas;
b) A laje já desempenha as funções de “piso pronto”, com excelente qualidade de
acabamento, estando praticamente adequado para receber a pavimentação;
c) o construtor está dispensado de fazer escavações, alicerces em alvenaria de pedra,
baldrames e cintas, além do piso citado no item anterior.

133. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
133
5.9.2 - Recomendações para Uso
A preparação do solo consiste em seu nivelamento e compactação. É exigido o controle do
CBR, devendo os ensaios comprovarem os valores adotados pelo calculista (ver item 5.9.3).
É claro que nesta fase as tubulações para as instalações hidro-sanitárias, elétricas e
telefônicas já devem estar posicionadas no solo sob a placa, com saídas através da laje. Mesma
observação é pertinente para as saídas das ferragens de escadas e pilares, para evitar cortes
indesejáveis numa laje já concretada.
As cordoalhas são montadas, geralmente espaçadas entre 80 a 100cm. A laje é então
concretada, recomendando-se fck de pelo menos 20MPa.
Para edificações de pequeno porte (térreo + pav. superior) espessuras de 10cm são
suficientes, com taxas baixíssimas de armadura passiva (às vezes nenhuma armadura).
Recomenda-se a construção de uma contenção ao longo do perímetro da edificação, como
elemento de enrigecimento das bordas e como proteção à erosão.
Para cargas concentradas ou lineares de grande valor recomendam-se, respectivamente,
capitéis ou nervuras invertidas.
5.9.3 - Modelo para Projeto Estrutural
Podem ser usados vários modelos, desde os mais simplificados até os mais complexos.
Um modelo simples seria o cálculo de lajes “trabalhando” de maneira invertida (de baixo
para cima) apoiadas nas paredes ou pilares, solicitadas pela reação do solo. Neste caso, o
calculista tem de assumir uma distribuição de tensões no solo compatíveis com a natureza do
mesmo.
Um modelo mais refinado, recomendado para edificações de maior porte, seria considerar
um laje sobre base elástica, sendo o solo representado por molas, cuja constante elástica é obtida
a partir das características mecânicas (ensaios CBR e SPT). O calculista não pode dispensar a
assessoria de engenheiros geotécnicos experientes, pois a adoção de constantes elásticas
associadas a um tipo de solo exige conhecimento da relação entre as faixas de validade das
constantes elásticas (função do carregamento) e do recalque admitido.
A análise dos esforços solicitantes é então realizada por “softwares” específicos, que
normalmente utilizam o Método dos Elementos Finitos ou modelos de grelha.
O módulo de laje protendida do programa TQS tem sido usado, possibilitando uma análise
segura e com boa visualização do comportamento solo-estrutura.
5.9.4 - Utilização Prática
Esta tecnologia, introduzida no Brasil pela IMPACTO PROTENSÃO vem sendo aplicada com
sucesso, em diversas construções em Fortaleza, Natal e Recife.
As obras variam de condomínio residenciais duplex, casas populares e de luxo (Foto 8), e
até edifício de múltiplo andares. Na foto 9 podemos observar a cablagem de uma fundação para

134. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
134
um prédio de 13 lajes. Este “radier” tem 50 cm de espessura, com capitéis de 80cm na região de
alguns pilares mais carregados.
Foto 08
Foto 09

135. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
135
CAPÍTULO 6 - ANÁLISE DE CUSTOS
Para possibilitar uma visão mais completa das implicações que a adoção dos sistemas
estruturais aqui propostos acarreta, estamos apresentando 8 plantas de fôrma de edificações
efetivamente projetadas e executadas:
Anexos 6.1: Laje lisa protendida, com duas alternativas: usando cordoalhas engraxadas ou o
sistema com aderência posterior;
Anexos 6.2 e 6.3: Lajes lisas protendidas, projetadas com cordoalhas engraxadas.
Anexos 6.4 e 6.5: Paineis planos, com lajes nervuradas em concreto armado e faixas protendidas
com cordoalhas;
Anexos 6.6, 6.7 e 6.8: Paineis planos, com lajes nervuradas protendidas numa direção, apoiadas
em faixas protendidas, também em cordoalhas engraxadas.
6.1 - ÍNDICES E CUSTOS UNITÁRIOS
Apresentamos, nas Tabelas 6.1, 6.2, 6.3 e 6.4, os principais resultados da análise realizada.
A estrutura do Anexo 6.1 foi tratada separadamente das outras, pois sua definição obedeceu a
critérios arquitetônicos e funcionais (altura disponível para passagem de veículos). Suas
dimensões em planta são 10,0 por 34,0m, com pilares apenas ao longo dos 34,0m. Teria sido
melhor estruturada com nervuras na direção dos 10m, apoiadas em vigas longitudinais. Seus
índices não foram comparados com as outras soluções, mas usados para comparar os custos do
sistema não aderente (cordoalhas engraxadas), com relação ao sistema pós-aderente. Em todos os
quantitativos apresentados, os pilares não estão contabilizados, pois a inclusão deles poderia
dificultar a comparação com outras edificações com diferentes números de pavimentos.
Tabela 6.1- Índices de Consumos de Materiais por m² de pavimento tipo
Anexos Concreto (M2
) Fôrma (M2
) CP190 (Kg) CA 50/60
(Kg)
Moldes
1 – Laje Lisa – Cordoalha
Engraxada
0,25 1,00 7,10 8,17 -
1 – Laje Lisa – Sistema
Pós-Aderente
0,25 1,00 7,90 5,00 -

136. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
136
Tabela 6.2 - Índices de Consumos de Materiais por m² de pavimento tipo Anexos Concreto
Anexos Concreto
(M2
)
Fôrma
(M2
)
CP190
(Kg)
CA 50/60
(Kg)
Moldes
2 – Laje Lisa – Cordoalha Engraxada 0,170 1,21 3,00 6,50 -
3 – Laje Lisa – Cordoalha Engraxada 0,164 1,27 3,80 4,80 -
4 – Laje Nervurada CA – Faixas CP 0,129 1,21 2,12 8,24 1,30 ud
5 – Laje Nervurada CA – Faixas CP 0,124 1,09 2,89 10,31 1,60 ud
6 – Laje Nervurada CP – Faixas CP 0,141 1,27 2,99 7,66 1,65 ud
7 – Laje Nervurada CP – Faixas CP 0,147 1,34 2,89 11,85 1,14 ud
8 – Laje Nervurada CP – Faixas CP 0,145 1,19 3,75 7,04 0,12 m3
Tabela 6.3 - Custos unitários por m² de área do pavimento tipo
Anexos Custo por m2
de
área estrutural (R$)
Apenas Protensão (R$)
1 – Laje Lisa – Cordoalha Engraxada 197,86 63,90
1 – Laje Lisa – Sistema Aderente 231,79 110,34
Tabela 6.4 – Custos unitários por m² do pavimento tipo
Anexos Custo por m2
de área estrutural (R$)
2 – Laje Lisa – Cordoalha Engraxada 132,94
3 – Laje Lisa – Cordoalha Engraxada 131,84
4 – Laje Nervurada CA – Faixas CP 122,36
5 – Laje Nervurada CA – Faixas CP 135,17
6 – Laje Nervurada CP – Faixas CP 133,07
7 – Laje Nervurada CP – Faixas CP 153,43
8 – Laje Nervurada CP – Faixas CP 161,60
Para a avaliação do custo do m², adotamos os seguintes custos unitários, considerando a
praça de Fortaleza em out/2010, estando incluídos os materiais consumidos, os serviços e
equipamentos necessários (adensamento, escoramentos, serviços de protensão...) e a mão de
obra com encargos sociais:

137. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
137
- Concreto: Usinado, bombeado e adensado (fck=30 MPa) = R$308,79/m³
- Fôrma para laje convencional = R$28,00/m²;
- Fôrma para laje plana = R$ 20,00/m²
- CA 50/60: R$4,50/Kg
- CP 190RB = R$9,00/Kg (Preço total do sistema com cordoalha engraxada, acessórios e
serviços)
- Bainha para 4 cordoalhas (Aderente) = R$8,56/m
- Ancoragens para 4 cordoalhas (Aderente) = R$ 110,01/ud
- Fornecimento de cordoalhas e serviços = R$6,00/Kg;
- Caixas plásticas = R$1,67/unidade (R$5,00/mês com 3 utilizações)
- Isopor Reciclado = R$230,00/m³.
6.2 - COMPARAÇÕES ENTRE OS SISTEMAS DE PROTENSÃO
Para a laje projetada (Anexo 6.1), constata-se que a protensão com cordoalhas engraxadas
apresenta-se como a solução mais econômica: os custos com serviços e materiais de protensão
ficaram 42% abaixo do sistema aderente, conduzindo a uma economia de 15% nos custos finais da
estrutura (Tabela 6.3).
Realmente, a ausência de bainhas metálicas, da necessidade de injeção de nata de cimento,
aliadas a facilidades de montagem e protensão, tornam a protensão não aderente mais vantajosa
para as edificações comercias e residenciais.
6.3 - COMPARAÇÕES ENTRE OS SISTEMAS ESTRUTURAIS
Embora as edificações sejam diferentes em vãos, em aspectos arquitetônicos (número de
pavimentos, exigência de vigas na região de esquadrias, por exemplo), podem ser confirmadas
algumas expectativas de projeto:
- as lajes lisas (maciças) apresentam maior consumo de concreto e protensão, mas o
consumo de aço CA50/60 é menor;
- as painéis planos com lajes nervuradas reduzem o volume de concreto e de protensão,
mas têm maior consumo de CA50/60;
- apesar dos consumos de fôrma serem da mesma ordem de grandeza, os tetos nervurados
exigem custos adicionais para o execução completa da fôrma;
- quando possíveis, os painéis planos com protensão apenas nas faixas conduzirão menores
consumos de concreto e protensão, comparando os projetos examinados.

138. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
138
A planilha na Tabela 6.4 revela que os custos finais não diferem significativamente (em torno
de 20% entre os valores extremos); esta diferença cairia se forem computados os custos de forros
falsos, caso sejam exigidos para as soluções em lajes nervuradas.
6.4 - CONCLUSÕES
Os resultados encontrados na análise dos custos das edificações, a partir da adoção dos
sistemas estruturais recomendados neste Trabalho, mostram que a protensão não aderente se
torna uma solução competitiva para edificações usuais na construção civil. As dimensões adotadas
estão dentro de padrões recomendados noutros países, conforme tabela mostrada no Anexo 7.
Também, pelos inúmeros exemplos, constata-se que as cordoalhas engraxadas podem ser usadas
nos mais diversos sistemas estruturais. Arquitetonicamente, abrem-se excelentes perspectivas de
utilização de amplos espaços livres, de tetos lisos, sem a interferência de vigas, dando maior
flexibilidade ao uso da edificação. Para os construtores, um incremento na eficiência e qualidade
da estrutura, além da melhoria do processo construtivo que pode ser conseguida com custos
semelhantes e até inferiores aos das estruturas convencionais.

139. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
139
6.5 – ANEXOS
6.5.1 – Ed. Murano
Opção 1 – Cordoalha Engraxada
Consumo por M2
: Somente Laje
Concreto M3
0,250
Fôrma M2
1,00
CP-190 (Protensão) Kg 7,10
CA-50/60 Kg 8,17
Área Estrutural = 322,24 m2
Opção 1 – Sistema Aderente
Consumo por M2
: Somente Laje
Concreto M3
0,250
Fôrma M2
1,00
CP-190 (Protensão) Kg 7,90
CA-50/60 Kg 5,00

140. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
140
6.5.2 – Ed. Loft-Praia
Laje Plana Protendida (fck > 30 MPa).
Consumo por M2
: Laje + Viga
Concreto M3
0,170
Fôrma M2
1,21
CP-190 (Protensão) Kg 3,00
CA-50/60 Kg 6,50
Área Estrutural = 336,78 m2

141. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
141
6.5.3 – Ed. Arcos
Laje Plana Protendida (Fck > 25 MPa).
Consumo por M2
: Laje + Viga
Concreto M3
0,164
Fôrma M2
1,27
CP-190 (Protensão) Kg 3,80
CA-50/60 Kg 4,80
Área Estrutural = 665,03 m2

142. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
142
6.5.4 – ITACON
Laje Nervurada em Concreto Armado e Faixas Protendidas (fck > 30 MPa).
Consumo por M2
: Laje + Viga
Concreto M3
0,129
Fôrma M2
1,21
CP-190 (Protensão) Kg 2,12
CA-50/60 Kg 8,24
Caixas (Moldes) -ud 1,30
Área Estrutural = 328,27 m2

143. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
143
6.5.5 – Ed. Cartier
Laje Nervurada com Concreto Armado e Faixas Protendidas (fck > 30 MPa).
Consumo por M2
: Laje + Viga
Concreto M3
0,124
Fôrma M2
1,09
CP-190 (Protensão) Kg 2,89
CA-50/60 Kg 10,31
Caixas (Moldes) -ud 1,60
Área Estrutural = 479,32 m2

144. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
144
6.5.6 – ACOPI
Laje Nervurada e Faixas Protendidas (fck > 30 MPa).
Consumo por M2
: Laje + Viga
Concreto M3
0,141
Fôrma M2
1,27
CP-190 (Protensão) Kg 2,99
CA-50/60 Kg 7,66
Caixas (Moldes) –ud 1,65
Área Estrutural = 373,54 m2

145. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
145
6.5.7 – Ed. Antônio G. Landi
Laje Nervurada e Faixas Protendidas (fck > 30 MPa).
Consumo por M2
: Laje + Viga
Concreto M3
0,147
Fôrma M2
1,34
CP-190 (Protensão) Kg 2,89
CA-50/60 Kg 11,85
Caixas (Moldes) -ud 1,14
Área Estrutural = 380,57 m2

146. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
146
6.5.8 – Ed. Domini
Laje Nervurada com Concreto Armado e Faixas Protendidas (fck > 30 MPa).
Consumo por M2
: Laje + Viga
Concreto M3
0,145
Fôrma M2
1,19
CP-190 (Protensão) Kg 3,75
CA-50/60 Kg 7,04
Isopor (EPS) –m³ 0,12
Área Estrutural = 448,11 m2

147. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
147
6.5.9 – Projeto UNIFOR
Laje Nervurada com Concreto Armado e Faixas Protendidas (fck > 30 MPa).
Consumo por M2
: Laje + Viga
Concreto M3
Fôrma M2
CP-190 (Protensão) Kg
CA-50/60 Kg
Caixas (Moldes) -ud
Área Estrutural = xxxxxxx m2

148. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
148
6.5.10 – Projeto UNAMA
Laje Nervurada com Concreto Armado e Faixas Protendidas (fck > 30 MPa).
Consumo por M2
: Laje + Viga
Concreto M3
Fôrma M2
CP-190 (Protensão) Kg
CA-50/60 Kg
Caixas (Moldes) -ud
Área Estrutural = xxxxxxx m2

149. P r o f . J o s é R i c a r d o B r í g i d o d e M o u r a Pág
149
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E CRÉDITOS
1- Curso de Concreto Protendido”, Profº Joaquim E. Mota, Apostilha adotada em curso
promovido pela ACEE- Associação Cearense de Engenharia estrutural;
2- Projeto de Lajes Protendidas com Cordoalha Engraxada, Engº Giordano Loureiro,
apresentado no 44º Congresso Brasileiro do IBRACON.
3- Manual do programa ADAPT-PT, Prof. Bijam Aalami;
4- Acervo da empresa HM ENGENHARIA, Eng°Hleder Martins;
5- Fotos: Imapacto Protensão; Prof. Ricardo Brígido, HM Engenharia, MD Engenheiros
Associados