Concreto Armado - Ivo J. Padaratz

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
CENTRO TECNOLÓGICO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
PROFESSOR: IVO J. PADARATZ
ECV 5261
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO I
COLABORAÇÃO: PROGRAMA ESPECIAL DE TREINAMENTO – PET/ECV

2. 1. PRINCÍPIOS BÁSICOS DO MATERIAL CONCRETO ARMADO
O concreto armado é atualmente o material mais usado na construção de
estruturas de edificações e obras viárias como pontes, viadutos, passarelas, etc.
Figura 1.1 - Edifício em concreto armado.
Figura 1.2 - Ponte em concreto armado.
1.1. COMPOSIÇÃO DO CONCRETO
O material concreto é composto por dois componentes principais, a argamassa
e os agregados graúdos. A argamassa é formada pela pasta + agregados miúdos,
com ou sem aditivos, sendo que a pasta representa o aglomerante e a água.

3. 1.2. CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DO CONCRETO
Boa resistência à compressão
 Concreto de baixa resistência: 10 a 25 MPa
 Concreto de média resistência: 30 a 55 MPa
 Concreto de alta resistência: > 60 MPa
Má resistência à tração (10% da resistência à compressão).
1.3. PRINCÍPIO DO CONCRETO ARMADO
CONCRETO ARMADO = CONCRETO + ARMADURA + ADERÊNCIA
É possível devido a duas propriedades:
 aderência recíproca entre concreto e aço
 coeficiente de dilatação térmica dos dois materiais aproximadamente
igual CONCRETO ~ 1,010-5/ oC
AÇO = 1,210-5/ oC
O concreto protege a armadura contra a agressividade do meio ambiente.
Figura 1.3 - Viga de concreto simples rompendo-se na parte inferior devido à pequena
resistência à tração do concreto.
Figura 1.4 - Viga de concreto armado. As armaduras, colocadas na parte inferior,
absorvem os esforços de tração, cabendo ao concreto resistir à compressão. As
armaduras controlam a abertura das fissuras.

4. 1.4. VANTAGENS DO CONCRETO ARMADO
As principais vantagens do concreto armado são:
 Economia: matéria prima barata, principalmente a areia e a brita; não
exige mão de obra com muita qualificação; equipamentos em geral
simples
 Moldagem fácil
 Resistência: ao fogo; às influência atmosféricas; ao desgaste
mecânico; ao choque e vibrações
 Monolitismo da estrutura
 Durabilidade – com manutenção e conservação
 Rapidez de construção (pré-moldados)
 Aumento da resistência à compressão com o tempo
1.5. DESVANTAGENS DO CONCRETO ARMADO
As principais desvantagens na utilização do concreto armado são:
 Peso próprio elevado (C = 25 kN/m3)
 Menor proteção térmica
 Reformas e demolições são trabalhosas e caras
 Precisão no posicionamento das armaduras
 Fissuras inevitáveis na região tracionada
 Construção definitiva
1.6. HISTÓRICO
1.6.1. HISTÓRICO NO MUNDO
1824 - Josef Aspdin desenvolve o chamado cimento Portland.
1845 - Johnson produziu um cimento do tipo usado atualmente (Inglaterra).
1848 - Lambot constrói um barco de cimento armado.
1852 - Coignet executa vigotas e pequenas lajes.
1855 - Lambot expõe o barco de cimento armado na Exposição Universal (França).
1861 - Monier fabrica vasos de flores.
1867 - Monier consegue chegar ao concreto armado usado atualmente (em termos
dos materiais).
1877 - Hyatt (USA) publica resultados de suas experiências.
1878 - Monier patenteia a construção de tubos, lajes e pontes (sem base científica).
1880 - Hennebique constrói a 1a. laje armada com barras de aço de seção circular.
1884 - Freytag adquire patentes de Monier (Alemanha).
1885 - Wayss adquire patentes para usar na Áustria e Alemanha.
1892 - Hennebique patenteia a viga como atualmente empregada (barras
longitudinais com estribos).
1897 - Rabut inicia o 1o. curso de concreto armado na “École National des Ponts e
Chaussées”.
1902 - Wayss e Freytag publicam trabalhos experimentais.
1902 - Mörsch (Alemanha) elabora e publica a 1a. teoria cientificamente consistente e
comprovada experimentalmente.
1904 - 1a. norma para cálculo e construção em concreto armado (Alemanha).
1906 - 1a. norma francesa.
1909 - 1a. norma suiça.

5. 1907 a 1911 - Maurice Levy, E. Freyssinet, A. Mesnager, G. Perret, François
Hennebique desenvolvem e avançam muito no campo teórico e prático do concreto
armado.
1911 - F. Hennebique constrói a ponte do Risorgimento, em Roma, com 100m de vão
que representaria um recorde mundial de 1911 a 1921.
1.6.2. HISTÓRICO NO BRASIL
1908 - 1a. ponte em concreto armado, projeto de Hennembique, construção em
Hecheverria - RJ.
1912 - 1a. Companhia Construtora de Concreto Armado, de Riedlinger, técnico
alemão, RJ.
1920 a 1940 - Emílio H. Baumgart, engenheiro de origem germânica, nasceu em
Blumenau - SC, cursou engenharia no Rio de Janeiro onde se formou em 1918, teve
destacada atuação no início do concreto armado no Brasil. Projetando a ponte sobre o
Rio do Peixe em Joaçaba - SC com 68m de vão (1928) e o edifício “A Noite” de 22
andares (1930) no Rio de Janeiro - RJ.
1940 - 1a. Norma brasileira (NB-1) baseada em propostas da ABC (1931) e da ABCP
(1937).
1940 a 1950 - Antônio Alves Noronha - professor da Escola Nacional de Engenharia,
trabalhou com Baumgart. Projetou mais de 100 obras, entre elas os prédios do
Ministério da Fazenda, do Trabalho, Clube de Engenharia, Estádio do Maracanã, Hotel
Quitandinha, e os túneis do Leme, do Pasmado e Catumbi- Laranjeiras.
1.7. NORMAS PARA O CONCRETO ARMADO
1.7.1 REGULAMENTOS INTERNACIONAIS
CEB-FIP – Comité Euro-Internacional du Beton/Federation Internationale de la
Precontrainte: sintetiza o desenvolvimento técnico e científico de análise e projeto de
estruturas de concreto dos países membros do comitê.
Building Code Requirements for Reinforced Concrete (regulamentos editados pelo
ACI - American Concrete Institute)
EUROCODE – regulamenta o projeto de estruturas de concreto da União Européia
1.7.2 ASSOCIAÇÕES NACIONAIS
ABCP - Associação Brasileira de Cimento Portland.
IBRACON - Instituto Brasileiro do Concreto.
ABECE – Associação Brasileira de Engenharia e Consultoria Estrutural
1.7.3 NORMAS TÉCNICAS APLICÁVEIS A ESTRUTURAS DE CONCRETO

6. Normas da ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas:
NBR 6118/2003 - Projeto de estruturas de concreto (a partir de abril/2004)
NBR 12655 - Preparo, controle e recebimento de concreto
NBR 7480 - Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto armado
NBR 8953 - Concreto – Classificação pela resistência para fins estruturais
NBR 8681 - Ações e segurança nas estruturas
NBR 6120 - Cargas para o cálculo de estruturas de edificações
NBR 7187 - Projeto e execução de pontes de concreto armado
NBR 6119 - Cálculo e execução de lajes mistas
NBR 7188 - Carga móvel em pontes rodoviárias e passarela de pedestre
NBR 7191 - Execução de desenhos para obras de concreto armado
NBR 6123 - Forças devidas ao vento em edificações
NBR 7808 - Símbolos gráficos para projetos de estruturas
NBR 9062 - Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado
NBR 7197 - Cálculo e execução de obras de concreto protendido
NBR 6122 - Projeto e execução de fundações

7. 1.8. TIPOS DE CONCRETO ESTRUTURAL
Tabela 2.1 - Tipos de concreto estrutural.
MATERIAL CONCRETO
SIMPLES
CONCRETO
ARMADO
CONCRETO
PROTENDIDO
CONCRETO
C/ FIBRAS
ARGAMASS.
ARMADA
ESTRUTUR.
DE AÇO
descrição cimento
Portland +
agregados
concreto c/
armadura de
aço
concreto
armado +
armadura ativa
concreto
armado +
fibras
descontín.
concreto
armado +
telas de fios
de aço
perfis
metálicos
M
a
tipo de
agregado
miúdo +
graúdo
miúdo +
graúdo
miúdo +
graúdo
miúdo e/ou
graúdo
só miúdo
t
r
consumo
de cimento
150 a 300
kg/m3
250 a 400
kg/m3
300 a 500
kg/m3
300 a 600
kg/m3
500 a 700
kg/m3
i
z
fator água/
cimento
0,50 - 0,80 0,45 - 0,75 0,30 - 0,50 0,35 - 0,55 0,35 - 0,50
A
r
tipo fios e barras
de aço
fios e barras
de aço+fios de
aço especial
fios de aço
curtos e
descontín.
+ telas
soldadas
perfis
industrializ.
m
a
taxa de
armadura
60 a 100
kg/m3
80 a 120
kg/m3
50 a 100
kg/m3
100 a 300
kg/m3
d
u
difusão espaçament
. limitado
espaçament.
limitado
armadura
difusa
armadura
difusa
discreta
r
a
quantidade taxas
mínima e
máxima
taxas
mínima e
máxima
limite de
inclusão vol.
Crítico
taxas mínima
e máxima
maiores que
o c.a.
APLICA-
ÇÃO
PESADO PESADO PESADO PESADO LEVE LEVE
EXECU-
ÇÃO
com uso de
formas
no local com
formas e
armaduras
como o c.a.
+ protensão
industrial
aplicação
única sem
formas
como o c.a.
com maiores
cuidados
montagem
no local
COMPORT.
ESTRU-
TURAL
compressão
simples
material
anisotrópico
como o c.a. +
participação
da protensão
material
quase
homogêneo
como o c.a. material
homogêneo

8. 2. CONCRETO
2.1 RESISTÊNCIA À COMPRESSÃO
2.1.1 RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA À COMPRESSÃO
Resistência característica de um concreto à compressão (fck) é o valor mínimo
estatístico acima do qual ficam situados 95% dos resultados experimentais.
fc k fc j fc (R e s is tê n c ia )
9 5 %
5 %
1 .6 5 S n
N(Freqüência)
Figura 2.1 - Distribuição normal mostrando a resistência média (fcj = fm) e a
resistência característica do concreto à compressão (fck).
fc (R e s is tê n c ia )fc k
A
B
N(Freqüência)
Figura 2.2 - Distribuição normal de dois concretos com a mesma resistência
característica.

9. fc j fc (R e s is tê n c ia )
B
A
N(Freqüência)
Figura 2.3 - Distribuição normal de dois concretos com a mesma resistência
média.
2.1.2 RESISTÊNCIA DE DOSAGEM
(NBR 12655 - item 6.4.3) A resistência de dosagem do concreto (fcj) deve
atender às condições de variabilidade prevalecente durante a construção. Esta
variabilidade medida pelo desvio-padrão Sd é levada em conta no cálculo da
resistência de dosagem, segundo a equação:
dckcj
Sff .65,1
onde:
fcj é a resistência média do concreto à compressão, prevista para a idade de j
dias, em megapascais;
fck é a resistência característica do concreto à compressão, em megapascais;
Sd é o desvio padrão da dosagem, em megapascais.
(NBR 12655 - item 6.4.3.2) Quando o concreto for elaborado com os mesmos
materiais, mediante equipamentos similares e sob condições equivalentes, o valor de
Sd deve ser fixado com no mínimo 20 resultados consecutivos obtidos no intervalo de
30 dias, em período imediatamente anterior.
(NBR 12655 - item 6.4.3.3) Se não for conhecido o desvio padrão Sd, o mesmo
será dado em função das condições de preparo (Tabela 1 da NBR 12655):
a) Sd = 4 MPa para concreto preparado na condição A (classes C10 até C80):
controle de dosagem rigoroso
b) Sd = 5,5 MPa para concreto preparado na condição B (classes C10 até C25):
controle de dosagem razoável
c) Sd = 7 MPa para concreto preparado na condição C (classes C10 e C15):
controle de dosagem regular

10. 2.1.3 CLASSIFICAÇÃO POR GRUPOS DE RESISTÊNCIA
(NBR 8953) Os concretos são classificados em grupos de resistência, grupo I e
grupo II, conforme a resistência característica (fck), determinada a partir do ensaio de
corpos-de-prova.
Tabela 2.1 - Grupos de resistência de concreto (NBR 8953 - tabelas 1 e 2)
Grupo I de
resistência
fck
(MPa)
Grupo II de
resistência
fck
(MPa)
C10 10 C55 55
C15 15 C60 60
C20 20 C70 70
C25 25 C80 80
C30 30
C35 35
C40 40
C45 45
C50 50
2.1.4 AMOSTRAGEM
(NBR 12655 - item 7.2) A amostragem do concreto para ensaios de resistência
à compressão deve ser feita dividindo-se a estrutura em lotes que atendam a todos os
limites da tabela abaixo:
Tabela 2.2 - Valores para formação de lotes de concreto (NBR12655 - Tabela 2)
Solicitação principal dos elementos da estrutura
Limites superiores Compressão ou
compressão e flexão
Flexão simples
Volume de concreto 50 m3 100 m3
Número de andares 1 1
Tempo de concretagem 3 dias de concretagem (*)
(*) Este período deve estar compreendido no prazo total máximo de sete dias, que
inclui eventuais interrupções para tratamento de juntas.
Definido o lote, o controle da resistência pode ser feito de duas maneiras
distintas:
2.1.4.1 Controle estatístico por amostragem parcial
Para este tipo de controle são retirados exemplares de algumas betonadas,
sendo que as amostras devem ter no mínimo seis exemplares para os concretos do
Grupo I e doze exemplares para os concretos do grupo II.
a) para lotes com número de exemplares 6  n  20

11. m
m
ckest
f
m
fff
f 




1
2
121
onde:
m = n/2. Despreza-se o valor mais alto de n, se for ímpar;
f1, f2, ..., f m = valor das resistências dos exemplares, em ordem crescente.
Obs.: Não se deve tomar para fckest valor menor que 6 . f1, onde 6 é dado
pela tabela abaixo.
Tabela 2.3 - Tabela de valores para 6 (NBR12655 - Tabela 3)
Condição Número de exemplares (n)
de preparo 2 3 4 5 6 7 8 10 12 14 16
A 0,82 0,86 0,89 0,91 0,92 0,94 0,95 0,97 0,99 1,00 1,02
B ou C 0,75 0,80 0,84 0,87 0,89 0,91 0,93 0,96 0,98 1,00 1,02
Os valores de n entre 2 e 5 serão empregados para os casos excepcionais
b) para lotes com número de exemplares n  20:
dmckest
Sff .65,1
onde:
fm é a resistência média dos exemplares do lote, em megapascais;
Sd é o desvio-padrão do lote para n - 1 resultados em megapascais.
2.1.4.2 Controle estatístico por amostragem total
Para este tipo de controle são retirados exemplares de cada betonada, e aplica-
se a casos especiais, não havendo limitação para o número de exemplares do lote.
a) para n  20
1
ff ckest

b) para n  20
ickest
ff 
onde:
i = 1+0,05n. Quando o i for fracionário, adota-se o número inteiro
imediatamente superior.

12. 2.1.4.3 Casos excepcionais
Para lotes correspondentes a no máximo 10 m3 e amostras com número de
exemplares entre 2 e 5.
16
. ff ckest

2.1.5 ACEITAÇÃO DA ESTRUTURA (NBR 6118:2003)
(NBR 6118 - item 25.3) Existência de não-conformidades em obras executadas
Ações corretivas
No caso da existência de não-conformidades, devem ser adotadas as seguintes
ações corretivas:
a) Revisão do projeto para determinar se a estrutura, no todo ou em parte, pode ser
considerada aceita, considerando os valores obtidos nos ensaios;
b) no caso negativo, devem ser extraídos e ensaiados testemunhos conforme disposto
na NBR 7680, se houver também deficiência de resistência do concreto cujos
resultados devem ser avaliados de acordo com a NBR 12655, procedendo-se a seguir
nova verificação da estrutura visando sua aceitação;
c) não sendo eliminada a não-conformidade, aplica-se o disposto em 25.3.3. Há casos
em que pode também ser recomendada a prova de carga, desde que não haja risco
de ruptura frágil.
Não conformidade final
Constatada a não-conformidade final de parte ou do todo da estrutura, deve ser
escolhida uma das seguintes alternativas:
a) determinar as restrições de uso da estrutura;
b) providenciar o projeto de reforço;
c) decidir pela demolição parcial ou total.
2.2 RESISTÊNCIA À TRAÇÃO
(NBR6118:2003 - item 8.2.5) A resistência do concreto à tração indireta fct,sp e
a resistência à tração na flexão fct,f devem ser obtidas em ensaios realizados segundo
a NBR 7222 e a NBR 12142, respectivamente. O seu valor característico será
estimado da mesma maneira que o concreto à compressão.
dtjtk
Sff .65,1

13. 1 .6 5 S n
N(Freqüência)
9 5 %
5 %
ftk ftj fc (R e s is tê n c ia )
Figura 2.4 - Distribuição normal mostrando a resistência média (ftj) e a
resistência característica do concreto à tração (ftk).
Os processos experimentais mais utilizados para a determinação da resistência
à tração são:
2.2.1 TRAÇÃO DIRETA (OU AXIAL)
Figura 2.5 - Ensaio de tração axial (fct).

14. 2.2.2 TRAÇÃO NA FLEXÃO
Figura 2.6 - Ensaio de tração na flexão (fct,f).
3
.
a
LF
f tj

2.2.3 TRAÇÃO INDIRETA (OU COMPRESSÃO DIAMETRAL)
Figura 2.7 - Ensaio de tração indireta (fct,sp).
L
F
f tj
..
.2
.86,0



A resistência a tração direta fct pode ser considerada igual a:
fct = 0,9 fct,sp
fct = 0,7 fct,f
Na falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f, pode ser avaliado o valor de
fct médio ou característico por meio das seguintes equações:
fct,m = 0,3 fck2/3 (valor médio)
fck,inf = 0,7 fct,m (valor característico inferior)

15. fck,sup = 1,3 fct,m (valor característico superior)
O valor a ser utilizado em cada caso é determinado pela norma.
2.3 RESISTÊNCIA DE CÁLCULO
A resistência do concreto para fins de cálculo é minorada através de
coeficientes de ponderação, os quais tem por finalidade cobrir as incertezas que ainda
não possam ser tratadas pela estatística, tais como:
 incerteza quanto aos valores considerados para a resistência dos materiais
utilizados;
 erros cometidos quanto a geometria da estrutura e de suas seções;
 avaliação inexata das ações;
 hipóteses de cálculo consideradas que possam acarretar divergências entre
os valores calculados e as reais solicitações;
 avaliação da simultaneidade das ações.
Os valores de cálculo da resistência do concreto à compressão e tração são os
respectivos valores característicos adotados para projeto, divididos pelo coeficiente de
ponderação no estado limite último (ELU) c, levando em conta:
- possíveis diferenças entre a resistência dos materiais na estrutura e
aquelas obtidas em ensaios padronizados;
- dispersão na qualidade dos materiais;
- imprecisões nas correlações de resistência utilizadas nos projetos.
a) Para idade do concreto  28 dias:
c
ck
cd
f
f

 e
c
tk
td
f
f


b) Para verificações em idade < 28 dias:
c
ck
cd
f
f

 1
 (Para valores de 1 veja item 2.4.2)
(NBR6118 - item 12.4.1, tabela 12.1) O coeficiente de ponderação c varia de
acordo com a qualidade do concreto, sendo:
 c = 1,4 (para combinações de ações normais; ver tabela para demais casos);
 Para execução de elementos estruturais com más condições de transporte,
adensamento manual ou concretagem deficiente pela concentração de
armadura deve ser adotado c multiplicado por 1,1.
 Para elementos estruturais pré-moldados e pré-fabricados, deve ser
consultada a NBR 9062.
 Admite-se, no caso de testemunhos extraídos da estrutura, dividir c por 1,1.

16. 2.4 FATORES QUE INFLUEM NA RESISTÊNCIA DO CONCRETO
2.4.1 QUALIDADE DOS MATERIAIS
2.4.1.1 Água
Deve se apresentar isenta de resíduos industriais, detritos e impurezas que
prejudiquem as reações químicas do cimento.
2.4.1.2 Agregados
Concretos executados com seixos ou com britas de maior diâmetro produzem
concretos com menor exigência de água e, conseqüentemente, mais resistentes. Para
concretos de elevada resistência se dá preferência para agregados de menor
diâmetro. Os agregados devem estar isentos de impurezas para não prejudicar a
aderência com a pasta, apresentar resistência mecânica superior a pasta (para
concretos convencionais) e uma granulometria contínua, diminuindo o volume de
pasta de cimento.
2.4.1.3 Cimento
A composição química do cimento influencia na evolução da resistência dos
concretos. A finura também influencia na evolução da resistência (cimentos mais finos
fornecem maiores resistências iniciais).
Tabela 2.4 - Tipos de Cimento Portland Nacionais
CP I - Cimento Portland Comum
CP I-S - Cimento Portland Comum c/adição
CP II-E - Cimento Portland Composto c/ escória
CP II-Z - Cimento Portland Composto c/ pozolana
CP II-F - Cimento Portland Composto c/ filer
CP III - Cimento Portland de Alto Forno
CP IV - Cimento Portland Pozolânico
CP V - Cimento Portland de Alta Resistência Inicial
MRS - Cimento Portland de Moderada Resistência a Sulfatos
ARS - Cimento Portland de Alta Resistência a Sulfatos
2.4.1.4 Aditivos
São adicionados aos constituintes convencionais do concreto, durante a
mistura, quando se busca alguma propriedade especial, como aumento da
plasticidade, controle do tempo de pega e do aumento da resistência e redução do
calor de hidratação. Os tipos mais comuns são:
a) Plastificantes e superplastificantes: reduzem a quantidade de água
necessária para conferir a trabalhabilidade desejada, aumentando a resistência.
b) Retardadores: Reduzem o início da pega por algumas horas permitindo a
concretagem de grandes volumes sem juntas.

17. c) Aceleradores: Aceleram a pega e o endurecimento do concreto, devendo
ser aplicados na quantidade correta, caso contrário provocam endurecimento muito
rápido, diminuição da resistência e corrosão da armadura.
c) Incorporadores de ar: produzem bolhas de ar melhorando a
trabalhabilidade e impermeabilidade, além de melhorar a resistência a meios
agressivos.
2.4.2 IDADE DO CONCRETO
A resistência do concreto aumenta com a idade, devido ao mecanismo de
hidratação do cimento. Para fins de projeto utiliza-se a resistência do concreto aos 28
dias (fc28). A partir desta idade o incremento da resistência é variável de acordo com
o tipo de cimento e geralmente pequeno, ficando como adicional à segurança.
A evolução da resistência à compressão com a idade deve ser obtida através de
ensaios especialmente executados para tal.
Na ausência de dados experimentais, em caráter orientativo, pode-se adotar os
valores indicados na NBR 6118 item 12.3.3.
fckfck j 1

Onde:    2/1
1
/281exp ts 
S=0,32 para cimento CPIII e IV
S=0,25 para cimento CPI e II
S=0,20 para cimento CPV-ARI
Tabela 2.5 - Comparação da evolução da resistência do concreto em função do
tempo para dois tipos de cimentos nacionais (valores experimentais)
Idade do concreto (dias) 3 7 28 90 360
Cimento Portland Comum 0,40 0,65 1,00 1,20 1,35
Cimento Portland de Alta Resistência 0,55 0,75 1,00 1,15 1,20
Figura 2.8 - Evolução da resistência do concreto em função da idade.

18. 2.4.3 FORMA E DIMENSÕES DOS CORPOS-DE-PROVA
O corpo-de-prova para ensaio de resistência à compressão do concreto,
normalizado no Brasil, é o cilindro de diâmetro 15cm e altura 30cm (ou 10x20 cm). A
resistência obtida em cubos de concreto é mais alta que a obtida em cilindros,
obedecendo a relação:
)()(
.2,1 cilindrocjcubocj
ff 
De um modo geral, podemos converter a resistência de um corpo-de-prova com
forma e dimensões não padronizadas para resistência do corpo-de-prova padrão
15x30cm.
)()(
. padrãonãocjpadrãocilindrocj
fcf 

Tabela 2.6 - Valores de “c” para corpos-de-prova cilíndricos
 x h 10x20 15x30 25x50 45x90
c 0,97 1,00 1,05 1,15
Tabela 2.7 - Valores de “c” para corpos-de-prova cúbicos
aresta 10 15 20 30
c 0,80 0,80 0,83 0,90
Tabela 2.8 - Valores de “c” para corpos-de-prova prismáticos
dimensões 15x15x45 20x20x60
c 1,05 1,05
Para qualquer forma, quanto menores foram as dimensões do corpo-de-prova,
maiores serão as resistências obtidas. Isso se explica devido ao efeito do cintamento
nas faces do corpo-de-prova em contato com a prensa.
Figura 2.9 - Dois corpos-de-prova cilíndricos com o mesmo diâmetro, mas com
alturas diferentes, irão apresentar resistências diferentes.

19. Na obra de José Carlos Süssekind “Estruturas de Concreto”, (1989), encontra-
se a seguinte expressão para relacionar empiricamente valores de resistência de c.p.
cilíndricos não padronizados para padronizados 15x30 cm:
h
c




2
0515,0
697,0
56,0
81,0
2.4.4 VELOCIDADE DE APLICAÇÃO DE CARGA
Maiores velocidades tendem a gerar valores de resistência mais elevados. Para
velocidades menores, o tempo para a propagação de fissuras, que surgem durante o
carregamento, é maior.
2.4.5 DURAÇÃO DA CARGA
O concreto resiste maiores níveis de carga para cargas de curta duração.
Também se explica pela velocidade de propagação das fissuras.
2.4.6 RELAÇÃO ÁGUA/CIMENTO
É o principal fator que influencia na resistência do concreto, pois o excesso de
água na mistura deixa após o endurecimento vazios na pasta de cimento. Diz-se que a
resistência do concreto é inversamente proporcional à relação água/cimento, segundo
a Lei de Abrams.
Figura 2.10 - Curva de Abrams que indica a variação da resistência em função
da relação água/cimento.
2.5 DEFORMAÇÕES
O concreto não é um corpo sólido, e sim um pseudo-sólido, logo pode
apresentar deformações não só quando submetido a ações externas, mas também
devidas a variações das condições ambientais (denominadas deformações próprias).

20. 2.5.1 DEFORMAÇÕES PRÓPRIAS OU DEVIDAS À VARIAÇÃO DAS CONDIÇÕES
AMBIENTAIS
2.5.1.1 Retração
É a redução de volume do concreto, provocada pela perda de água existente no
interior do concreto através da evaporação. Para reduzir o efeito da retração no
concreto dispõe-se de algumas alternativas:
 aumentar o tempo de cura do concreto, para evitar a evaporação prematura
da água necessária à hidratação do cimento
 prever junta de movimentação, provisória ou definitiva
(NBR 6118 - item 11.3.3.1) A variação linear devido à retração do concreto em
obras correntes de concreto armado será (peças com dimensões entre 10 e 100
cm em ambientes com Ur  75 %):
LL csr
.
onde: cs = -15x10-5
Valores mais precisos de cs do concreto, consultar a NBR 6118 no item 8.3.11, tabela
8.1, ou o anexo A da norma. Cabe observar, que no caso de uma peça de concreto
simples (sem armadura), o efeito da retração será maior.
L
L r
C
Figura 2.11 - Variações dimensionais nas estruturas devidas a retração do
concreto.
2.5.1.2 Variação da umidade do meio ambiente
O aumento de umidade produz no concreto um inchamento e a redução de
umidade um encolhimento. Tais deformações são geralmente desprezíveis para
variações ambientais de umidade.
2.5.1.3 Variação da temperatura
Caracteriza-se por uma dilatação ou uma contração, conforme aumente ou
diminua a temperatura, respectivamente. As deformações devidas à variação de

21. temperatura são importantes em estruturas hiperestáticas, por causa do surgimento de
esforços solicitantes adicionais provocados pelas restrições vinculares.
(NBR 6118 - item 11.4.2) Considera-se que as variações de temperatura sejam
uniformes na estrutura, salvo quando a desigualdade dessas variações, entre partes
diferentes da estrutura, seja muito acentuada.
Coeficiente de dilatação térmica do concreto armado:
t = 1,0x10-5/ o C
A variação de temperatura da estrutura, causada pela variação de temperatura
da atmosfera, depende do local da obra e deverá ser considerada:
 entre  10oC e  15oC em torno da média para peças maciças ou com os
espaços vazios inteiramente fechados, cuja menor dimensão seja menor que
50cm;
 entre  5oC e  10oC em torno da média para peças maciças ou com os
espaços vazios inteiramente fechados, cuja menor dimensão seja maior que
70cm;
 para peças cuja menor dimensão esteja entre 50cm e 70cm será feita
interpolação linear entre os valores acima citados.
Deformações numa peça estrutural dependerão da variação da temperatura na
estrutura (T) e das suas dimensões:
LTL
LL
tt
ctt
..
.




2.5.2 DEFORMAÇÕES DEVIDAS ÀS CARGAS EXTERNAS
2.5.2.1 Imediata
Observada no ato de aplicação das cargas externas, onde o esforço interno é
absorvido parte pelo esqueleto sólido do concreto e parte pela água confinada nos
poros. A deformação imediata será:
LL cii
.
ci = deformação imediata unitária
2.5.2.2 Lenta
Observada no decorrer do tempo, em concretos submetidos a cargas
permanentes. A água dos poros saturados se desloca e transfere o esforço que ela
absorvia inicialmente para o esqueleto sólido, aumentando a deformação inicial. A
água que chega na superfície evapora, aumentando as tensões nos poros capilares,
parcialmente preenchidos com água, e assim aumentado ainda mais as deformações.
A deformação lenta será:
LL ccc
.

22. cc = deformação lenta unitária
A deformação total na estrutura será:
cccict
cict
LLL
 

Para efeitos práticos, ct=2,5 (deformação unitária final, ao ar livre).
Valores mais precisos de cc podem ser obtidos no item 8.2.11, tabela 8.1, da
NBR 6118 ou no anexo A. Em geral, a deformação lenta depende
principalmente da umidade relativa do ar, da geometria da peça e da idade do
concreto por ocasião do carregamento da estrutura.
c
c c c c 
T e m p o
In s ta n te d e a p lic a ç ã o
d a c a rg a
c i
to
c c
Figura 2.12 - Gráfico deformação unitária x tempo para um concreto, mostrando
a deformação imediata no momento da aplicação do carregamento externo e a
fluência, que progride com o tempo.
2.6 PROPRIEDADES DO CONCRETO
2.6.1 TRABALHABILIDADE
A trabalhabilidade do concreto deve ser compatível com as dimensões da peça
a ser moldada, com a distribuição e densidade das armaduras e com os processos de
lançamento e adensamento a serem usados.
2.6.2 DURABILIDADE
Para garantir uma adequada durabilidade a uma estrutura de concreto armado,
o projetista deve considerar o nível de agressividade do meio ambiente onde a obra
vai ser executada, adotar um cobrimento mínimo de concreto e especificar parâmetros
para a dosagem do concreto tais como, relação a/c, módulo de elasticidade do

23. concreto, dimensão máxima do agregado graúdo e tipo de cimento. Os capítulos
seguintes tratarão destes assuntos com mais detalhes.
2.6.3 RESISTÊNCIA MECÂNICA
O concreto a ser especificado nos projetos, de acordo com a nova NBR 6118,
deverá apresentar uma resistência característica fck não inferior a 20 MPa. O concreto
pré-misturado deverá ser fornecido com base na resistência característica.
2.6.4 DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO
Figura 2.13 - O diagrama tensão x deformação acima mostra as curvas para dois
concretos: “A” de baixa resistência (c rup = 0,30 a 0,45%) e “B” de alta resistência (c rup
= 0,20 a 0,25%). Percebe-se que o concreto A apresenta uma deformação superior ao
concreto B na ruptura.
(NBR 6118) O diagrama tensão-deformação à compressão, a ser usado no
cálculo, será suposto como sendo o simplificado da figura abaixo, composto de uma
parábola do 2o grau que passa pela origem e tem seu vértice no ponto de abcissa
0,2% e ordenada 0,85fcd, representado pela equação















2
002,0
11..85,0 c
cdc
f


fcd: resistência de cálculo à compressão do concreto (veja item 2.3 deste
material)

24. c (‰ )3 ,52 ,0
 c
0 ,8 5 fc k
Figura 2.14 - Diagrama tensão (c) x deformação (c) simplificado para
concreto
O diagrama tensão x deformação experimental de um concreto qualquer, é
obtido em laboratório ensaiando-se corpos-de-prova padronizados do material.
2.6.5 MÓDULO DE ELASTICIDADE
Tensão
D e fo rm a ç ã o
 s
 t
 i
Figura 2.15 - O gráfico acima mostra a curva tensão x deformação do concreto
mostrando o módulo de elasticidade longitudinal à compressão para vários
pontos.
tct
scs
ici
tgE
tgE
tgE







25. Figura 2.16 - O gráfico acima mostra a curva tensão x deformação do concreto e o
módulo de elasticidade longitudinal à compressão Ec, dado em função de Eo.
(NBR6118:2003 - item 8.2.8) Na falta de determinação experimental, pode-se
estimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão:
ckci
fE .5600 (MPa)
Para idades inferiores a 28 dias, pode-se estimar o módulo de elasticidade pela
mesma expressão, substituindo fck por fckj, com j  7 dias.
O módulo de elasticidade secante a ser utilizado em análises elásticas de
projeto deve ser calculado pela expressão:
ciscs
EtgE .85,0 
2.6.6 COEFICIENTE DE POISSON
Juntamente com as deformações longitudinais, ocorrem no concreto submetido
à compressão ou tração deformações transversais (efeito de Poisson).
trans = -.long
(NBR 6118 – item 8.2.9) Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e
tensões de tração menores que fct, o coeficiente de Poisson “” relativo às
deformações elásticas no concreto pode ser considerado igual a 0,20 e o módulo de
elasticidade transversal Gc = 0,4Ecs.

26. 3. AÇO
3.1 INTRODUÇÃO
O aço é utilizado em estruturas principalmente para suprir a baixa resistência a
tração apresentada pelo concreto. No entanto, como o aço resiste bem tanto a tração
quanto à compressão, poderá absorver esforços também em regiões comprimidas do
concreto. Os aços para concreto armado são fornecidos sob a forma de barras e fios
de seção circular, com propriedades e dimensões padronizadas pela norma NBR 7480
da ABNT.
3.1.1 DIÂMETRO NOMINAL ()
(NBR 7480 - item 3.4) É o número correspondente ao valor, em milímetros, do
diâmetro da seção transversal do fio ou da barra.
3.1.2 CLASSIFICAÇÃO
Os aços para concreto armado são classificados de acordo com a sua bitola,
sua resistência característica e o processo empregado em sua fabricação.
(NBR 7480 - item 4.1.1) Classificam-se como barras os produtos de diâmetro
nominal 5,0 ou superior, obtidos exclusivamente por laminação a quente, e
classificam-se como fios aqueles de diâmetro nominal 10,0 ou inferior, obtidos por
trefilação ou processo equivalente.
(NBR 7480 - item 4.1.2) De acordo com o valor característico da resistência de
escoamento, as barras de aço são classificadas nas categorias CA-25 e CA-50 e os
fios de aço na categoria CA-60.
TELAS: formadas por fios soldados nos pontos de cruzamento.

27. 3.1.3 BARRAS DE AÇO
As barras de aço são obtidas por laminação a quente. São caracterizadas por
apresentarem patamar de escoamento bem definido no diagrama  x . A resistência
elevada é obtida pela adição de elementos como C, Mn, Si e Cr.
D e fo rm a ç ã o
Tensão
fy k
fm
A
B
C
Figura 3.1 - Diagrama tensão x deformação de barras, mostrando o limite de
escoamento/proporcionalidade (A), o limite de resistência (B) e o limite de
ruptura (C).
3.1.4 FIOS DE AÇO
Obtidos geralmente por trefilação. Este tipo de aço não apresenta nos ensaios
patamar de escoamento bem definido. O limite de escoamento é estabelecido
convencionalmente como sendo a tensão que produz uma deformação permanente de
0,2 %.
D
C
A
fm
fy p
Tensão
D e fo rm a ç ã o
B
fy k
0 ,2 %
Figura 3.2 - Diagrama tensão x deformação de fios. “A” representa o limite de
proporcionalidade, “B” o limite escoamento, “C” o limite de resistência, e “D” o
limite de ruptura.

28. 3.2 DESIGNAÇÃO
A designação dos aços para concreto armado deve apresentar a sigla CA,
seguida da resistência característica de escoamento.
Exemplo: “CA - 50” , “CA - 60”
“CA”: iniciais de concreto armado
“50”: resistência característica de escoamento em kN/cm2 (fyk = 500 MPa)
3.3 HOMOGENEIDADE GEOMÉTRICA E DEFEITOS
(NBR 7480 - item 4.2) As barras e fios de aço destinados a armadura para
concreto armado devem apresentar suficiente homogeneidade quanto às suas
características geométricas.
(NBR 7480 - item 4.3) As barras e os fios de aço destinados a armadura para
concreto armado devem ser isentos de defeitos prejudiciais. Uma oxidação do produto
pode ser admitida, quando for uniforme, leve e superficial.
3.4 MASSA, COMPRIMENTO E TOLERÂNCIA
(NBR 7480 - item 4.4) A massa real das barras deve ser igual à sua massa
nominal, com tolerância de  6 % para diâmetro igual ou superior a 10,0 e de  10 %
para diâmetro inferior a 10,0; para os fios, essa tolerância é de  6 %. A massa
nominal é obtida multiplicando-se o comprimento da barra ou do fio pela área da
seção nominal e por 7,85 kg/dm3.
(NBR 7480 - item 4.5) O comprimento normal de fabricação das barras e fios é
de 11m e a tolerância de comprimento é de 9 %. Permite-se a existência de até 2 %
de barras curtas, porém de comprimento não inferior a 6m.
Tabela 3.1 - Características de fios e barras (NBR 7480 - Tabela 1 do anexo B)
DIÂMETRO NOMINAL (mm) VALORES NOMINAIS
FIOS BARRAS ÁREA DA SEÇÃO
(mm2)
MASSA POR
UNIDADE DE
COMPRIMENTO
(kg/m)
PERÍMETRO
(mm)
3,4 9,1 0,071 10,7
4,2 13,9 0,109 13,2
5,0
6,0
-
5,0
-
6,3
19,6
-
31,2
0,154
-
0,245
17,5
-
19,8
8,0 8,0 50,3 0,395 25,1
10,0 10,0 78,5 0,617 31,4
12,5 122,7 0,905 39,3
16,0 201,1 1,578 50,3
20,0 314,2 2,466 62,8
25,0 490,9 3,853 78,5
32,0 804,2 6,313 100,5
40,0 1256,6 9,865 125,7

29. 3.5 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DAS BARRAS COM NERVURAS
(NBR 7480 - item 4.6) A configuração das nervuras deve ser tal, que não
permita a movimentação da barra dentro do concreto.
Figura 3.3 – Barras CA 50 (Cortesia Gerdau – www.gerdau.com.br)
3.6 MARCAÇÃO
(NBR 7480 - item 4.7) Todas as barras nervuradas devem apresentar marcas
de laminação em relevo, identificando o produtor, com registro no INPI, a categoria do
material e o respectivo diâmetro nominal. A identificação de fios e barras lisas deve
ser feita por etiqueta ou marcas em relevo.
3.7 RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA
O valor da resistência característica do aço (fyk) é o valor mínimo estatístico
acima do qual ficam situados 95% dos resultados experimentais. A resistência
característica do aço é a mesma para tração e compressão, desde que seja afastado
o perigo de flambagem.
f f Syk ym n  1 6 5, .

30. fy (R e s is tê n c ia )fy jfy k
5 %
9 5 %
N(Freqüência)
1 .6 5 S n
Figura 3.4 - Distribuição normal para a resistência do aço, mostrando a
resistência média (fym) e a resistência característica (fyk).
3.8 CONDIÇÕES ESPECÍFICAS
(NBR 7480 - item 5.1) A resistência de escoamento das barras e fios de aço
pode ser caracterizada por um patamar de escoamento no diagrama tensão-
deformação ou calculada pelo valor da tensão sob carga correspondente à
deformação permanente de 0,2%.
(NBR 7480 - item 5.2) No ensaio de dobramento o corpo-de-prova deve ser
dobrado a 180o, em um pino com diâmetro conforme Tabela 2 do Anexo B, sem
ocorrer ruptura ou fissuração na zona tracionada.
(NBR 7480 - item 5.3.2) As barras e os fios de diâmetro nominal 10 ou superior
devem apresentar as propriedades de aderência exigidas para a categoria
correspondente, definidas pelos coeficientes de conformação superficial (), conforme
Tabela 2 do Anexo B. As barras da categoria CA-50 são obrigatoriamente providas de
nervuras transversais ou oblíquas. Os fios de diâmetro nominal igual ou superior a 10
da categoria CA-60, quando solicitado, devem ter obrigatoriamente entalhes ou
nervuras, de forma a tender o coeficiente de conformação superficial .
3.9 CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS E ENSAIOS
Os aços para concreto armado devem apresentar algumas características de
modo que tenham um bom desempenho quando trabalharem com o concreto. Para
tanto é realizada uma série de ensaios nos aços:
 ensaio de tração (NBR 6152)
 ensaio de dobramento (NBR 6153)
 ensaio de fissuração do concreto (NBR 7477)
 ensaio de fadiga (NBR 7478)

31. Tabela 3.2 - Propriedade mecânicas exigíveis de barras e fios de aço
destinados a armaduras para concreto armado (NBR 7480 - tabela 2)
Ensaio de tração Ensaio de
a
dobramento
180o
Aderência
Categoria
Resistência
característica
de
escoamento
Limite de
resistência
Alongamento em 10
 (C)
(%)
Diâmetro
(mm)
de pino (D)
Coeficiente
de
conformação
superficial (F)
fyk
(A)
(MPa)
fst
(B)
(MPa)   20   20
mínimo para
  10mm

CA-25 250 1,20 fyk 18 2  4  1,0
CA-50 500 1,10 fyk 8 4  6  1,5
CA-60 600 1,05 fyk (E) 5 5  - 1,5
(A) Valor característico do limite superior de escoamento.
(B) O mesmo que resistência convencional à ruptura ou resistência convencional à tração.
(C)  é o diâmetro nominal.
(D) As barras de diâmetro nominal   32 da categoria CA-50 devem ser dobradas sobre pinos de 8 .
(E) fst mínimo de 660 MPa.
(F) Para efeitos da norma NBR 6118, a conformação superficial é medida pelo coeficiente 1, usado para cálculo de ancoragens
e emendas por traspasse simples (Cap. 4).
Tipo de barra 1
Lisa (CA 25) 1,0
Entalhada (CA 60) 1,4
Alta aderência (CA 50) 2,25

32. 3.10 RESISTÊNCIA DE CÁLCULO (Estado limite último)
A resistência de cálculo do aço é obtida através da aplicação de coeficientes de
minoração pelas mesmas razões já apresentadas para o concreto, ressaltando-se
ainda o problema da oxidação do aço antes do seu uso e precisão geométrica das
armaduras. No entanto, os valores são menores que os empregados para o concreto,
já que o processo de fabricação do aço apresenta um controle de qualidade superior.
Para fins de projeto usa-se:
f
f
yd
yk
s


(Tração) e f
f
ycd
yck
s


(Compressão)
Em geral o coeficiente de minoração s (ou de ponderação) vale:
 s = 1,15 (NBR 6118:2003 – item 12.4.1)
 Em obras de pequena importância admite-se o emprego do aço CA 25 sem
realização do controle de qualidade estabelecido na NBR 7480, desde que
se utilize nos cálculo 1,1s.
3.11 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO SIMPLIFICADO PARA PROJETO
(NBR 6118:2003, item 8.3.6)
Para cálculo nos estados limites de serviço e último pode-se utilizar o diagrama
simplificado mostrado na figura 3.5 para os aços com ou sem patamar de
escoamento. Este diagrama é válido para intervalos de temperatura entre –20o C e
150o C e pode ser aplicado para tração e compressão.
 y d
y d
s
f
E

No diagrama da figura 3.5 pode ser adotado como módulo de elasticidade do
aço o valor constante,
Es = 210.000 MPa (NBR 6118:2003, item 8.3.5)

33. Figura 3.5 - Diagrama tensão x deformação simplificado para os aços.

34. 4. CONCRETO ARMADO
4.1 ADERÊNCIA
4.1.1 INTRODUÇÃO
O trabalho conjunto do concreto e das armaduras se faz por transmissão de esforços
internos de um material a outro através de tensões de aderência. A aderência serve para ancorar
as barras nas extremidades ou nas emendas por traspasse, e para impedir o escorregamento das
barras nos segmentos entre fissuras, limitando a abertura das mesmas. As causas que mobilizam
a aderência são as ações sobre a estrutura de concreto armado, a retração do concreto, a
deformação lenta e a variação da temperatura. Pode-se citar três tipos de aderência no concreto
armado:
 adesão: é a “colagem” natural entre o concreto e o aço;
 atrito: é a resistência ao escorregamento após a ruptura da adesão, sendo provocado
pela rugosidade superficial natural das barras;
 mecânica: é provocada pelas modificações feitas na superfície das barras de aços de
elevada resistência (mossas ou saliências).
Figura 4.1 - Barra de aço submetida à tração, mostrando as tensões no concreto que surgem nas
saliências da barra, podendo provocar fissuração.
Figura 4.2 - Barra de aço submetida à tração mostrando as tensões que surgem na interface com o
concreto e a fissura principal de tração.

35. 4.1.2 REGIÕES DE BOA E MÁ ADERÊNCIA (NBR 6118 – item 9.3.1)
A qualidade da aderência é definida pelas regiões de boa e de má aderência na estrutura,
as quais dependem da posição das barras de aço e da altura em relação ao fundo da forma ou
junta de concretagem mais próxima. Considera-se em situação de boa aderência os trechos das
barras que estejam em uma das seguintes situações:
 com inclinação não inferior a 45o
sobre a horizontal ( i  45o
)
Figura 4.3 - Regiões de boa aderência.
 horizontais ou com inclinação menor que 45o
sobre a horizontal ( i  45o
)
Figura 4.4 - Regiões de boa aderência.
4.1.3 TENSÕES DE ADERÊNCIA

36. Para que haja solidariedade entre aço e concreto é necessário que exista entre ambos
aderência que impeça o escorregamento de um em relação ao outro. A aderência entre o
concreto e a armadura manifesta-se sob a forma de tensões.
Figura 4.5 - Tensões de aderência.
dx
A
u
d
dx
d
u
A
dAdxuA
FdxuF
s
bs
ss
b
sssbss
b
..
.
).(...
2..1









dx
A
u
s
bs
.. 
onde:
s é a tensão na barra
b é a tensão de aderência na superfície de contato
u é o perímetro da barra
As é a área da seção transversal da barra
4.1.4 RESISTÊNCIA DE ADERÊNCIA
Para efeitos práticos
Lu
F
br
.

onde:
F é a força necessária para produzir um deslocamento de 0,1 mm na extremidade da
barra
Para fins de cálculo adota-se br = fbd (resistência de aderência) cujos valores são
especificados pela NBR6118, item 9.3.2.1, conforme segue:

37. fbd = 1 2 3 fctd (Valores em MPa)
fctd = fctk,inf/c (NBR 6118 - item 8.2.5)
fctk,inf = 0,7fct,m fct,m = 0,3(fck)2/3
fctd = resistência de cálculo à tração do concreto
fctk,inf = resistência característica à tração inferior
fct,m = resistência média à tração do concreto
1 = 1,0 para aço CA-25 (Liso)
1 = 1,4 para aço CA-60 (Entalhado) (NBR 6118 – Tabela 8.2)
1 = 2,25 para aço CA-50 (Nervurado)
2 = 1,0 Em situações de boa aderência (NBR 6118 – item 9.3.1)
2 = 0,7 Em situações de má aderência
3 = 1,0 para barras com < 32 mm
3 = (132-)/100 para barras com  32 mm
4.2 ANCORAGEM DAS ARMADURAS
4.2.1 DEFINIÇÃO
É o trecho mínimo necessário de uma barra para transferir sua força ao concreto. (NBR
6118 - item 9.4.1) Todas as barras deverão ser ancoradas de forma que os esforços a que estejam
submetidos sejam integralmente transmitidos ao concreto.
Figura 4.6 - Ancoragem de armadura tracionada no concreto.

38. ydsbbd
yds
bbd
bdbyds
ydsss
bdbbb
fAluf
fAF
lufF
ff
fAF
fluF
...
.
..
.
..









bd
yd
b
f
f
l 


4
Comprimento de ancoragem básico (NBR 6118-item 9.4.2.4)
4.2.2 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM NECESSÁRIO
(NBR 6118 - 9.4.2.5) O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:
min,
,
,
1, b
efets
calcs
bnecb
l
A
A
ll 








 
1 = 1,0 para barras sem gancho e 0,7 com gancho (ver seção 4.3.1), mas com cobrimento
lateral 3
lb = comprimento de ancoragem básico.
Ascal = área da seção da armadura calculada com o esforço a ancorar
Asef = área efetiva (adotada)
lb,min = maior valor entre 0,3 lb, 10 e 100 mm
Condições a serem consideradas (NBR 6118 - 9.4.2.1):
a) as barras tracionadas devem ser obrigatoriamente ancoradas com gancho para barras
lisas;
b) barras ancoradas sem gancho, nas que tenham alternância de solicitação, de tração e
compressão;
c) barras ancoradas com ou sem gancho nos demais casos, não sendo recomendado o
gancho para barras de > 32 mm ou para feixes de barras.
No caso de ancoragem de feixes de barras (NBR 6118 – item 9.4.3), o feixe é considerado como
uma barra única de diâmetro equivalente igual a:
nfeixe
.
onde
 = diâmetro das barras
n = número de barras que formam o feixe (n=2,3 ou 4).

39. Figura 4.7 - Feixes de barras mostrando em tracejado a barra com diâmetro equivalente.
As barras constituintes do feixe devem ter ancoragem reta, sem ganchos. Quando o diâmetro
equivalente for menor que 25 mm, o feixe pode ser tratado como uma barra única, de diâmetro
feixe, e a ancoragem é calculada como apresentado nesta seção para barras isoladas. Para feixe >
25 mm, consultar a NBR 6118 – item 9.4.3.
4.2.2.1 Ancoragem fora do apoio
Figura 4.8 - Ancoragem fora do apoio de armadura tracionada.
lb = lb,nec (com 1 = 1,0) ou lb,nec (com 1 = 0,7)
4.2.2.2 Ancoragem no apoio
(NBR 6118 - item 18.3.2.4.1) No caso de armadura de tração em apoios extremos, as
barras deverão ser ancoradas a partir da face interna do apoio com comprimentos (lba) iguais ou
superiores a:
lb,nec ou (r + 5,5) ou 60 mm r = raio interno de curvatura do gancho (seção 4.3.1)

40. Maiores detalhes sobre ancoragem de armaduras em apoios, serão apresentados no capítulo 6.
Figura 4.9 - Ancoragem no apoio de armadura tracionada.
4.2.2.3 Ancoragem das barras dobradas
(NBR 6118 - item 18.3.3.3.1) No caso de barras dobradas resistentes à tração provocada
por forças cortantes, o trecho reto de ancoragem deve ser maior ou igual “lb,nec” de acordo com
a figura 4.10.
Figura 4.10 - Ancoragem de armadura tracionada dobrada.
4.2.3 COMPRIMENTO DE ANCORAGEM POR ADERÊNCIA DAS BARRAS
COMPRIMIDAS
As barras comprimidas deverão ser ancoradas apenas com ancoragem retilínea (sem
gancho) e o comprimento de ancoragem será calculado como no caso de tração.
4.2.4 ARMADURA TRANSVERSAL NAS ANCORAGENS
- Para barras com < 32 mm (NBR 6118 - item 9.4.2.6.1)

41. Ao longo do trecho de ancoragem, deve ser prevista armadura transversal capaz de resistir a
esforço igual a 25% da força longitudinal de uma das barras ancoradas (Fig. 4.12). Todas as
armaduras transversais existentes ao longo do comprimento de ancoragem poderão ser
consideradas naquela armadura.
Figura 4.12 - Armadura transversal no trecho de ancoragem
Quando se tratar de barras comprimidas, pelo menos uma das barras da armadura
transversal deve estar situada a uma distância igual a 4 ( da barra ancorada) além da
extremidade da barra, destinada a proteger o concreto contra os efeitos do esforço concentrado
na ponta.
Figura 4.13 - Armadura transversal no trecho de ancoragem de barra comprimida.
Para barras com 32 mm consultar a NBR 6118 no item 9.4.2.6.2.
4.3 DOBRAMENTO E FIXAÇÃO DAS BARRAS
4.3.1 GANCHOS DAS ARMADURAS DE TRAÇÃO
(NBR 6118 - item 9.4.2.3) Os ganchos das extremidades das barras da armadura de
tração podem ser:

42. a) semi-circulares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2
b) em ângulo de 45o
(interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4
c) em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8.
Nos ganchos dos estribos, os comprimentos mínimos acima serão de 5t ou 5cm para os
casos a) e b) e 10t ou 7cm para o caso c). Para as barras e fios lisos os ganchos deverão ser
semi-circulares ou em ângulo de 45o
.
O diâmetro interno mínimo da curvatura dos ganchos das barras longitudinais é dado
pela tabela abaixo.
Tabela 4.1 - Diâmetro dos pinos de dobramento (NBR 6118 – tabela 9.1)
Bitola (mm) CA-25 CA-50 CA-60
 20 4 5 6
 20 5 8 -
Para o diâmetro interno da curvatura dos estribos, consultar a tabela 9.2 da norma NBR
6118. As barras da armadura exclusivamente de compressão não deverão ter ganchos.
4.3.2 BARRAS CURVADAS
(NBR 6118 - item 18.2.2) O diâmetro interno da curvatura de uma barra curvada (barra
dobrada de armadura transversal ou em nó de pórtico) não deverá ser menor que 10 para aço
da categoria CA-25, 15 para CA-50 e 18 para CA-60.
Se a tensão na armadura de tração, determinada com a solicitação de cálculo, for inferior
à tensão de escoamento de cálculo especificada para o aço utilizado, esses diâmetros da
curvatura podem ser reduzidos proporcionalmente, mas nunca a valores inferiores aos exigidos
para os ganchos.
Se houver barras de tração curvadas no mesmo plano e o espaçamento entre elas for
inferior ao dobro do mínimo permitido (18.3.2.2), o valor mínimo do diâmetro da curvatura
estabelecido nessa seção deve ser multiplicado pelo número de barras nessas condições.
Quando houver possibilidade de fissuração do concreto no plano da barra dobrada,
ocasionada por tensões de tração normais a esse plano, deve ser colocada armadura transversal
ou aumentado o diâmetro da curvatura da barra.
4.4 EMENDAS DAS BARRAS
4.4.1 EMENDAS POR TRASPASSE
(NBR 6118 -item 9.5.2) Este tipo de emenda não é permitido para barras de bitola maior
que 32 mm, nem para tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de seção inteiramente
tracionada); no caso de feixes, o diâmetro do círculo de mesma área, para cada feixe, não poderá
ser superior a 45mm respeitados os critérios estabelecidos no item 9.5.2.5 da norma.

43. O comprimento do trecho de traspasse das barras tracionadas isoladas deve ser igual a
min,0,00
. tnecbtt
lll  
l0t,min > 0,3 0t lb, 15 e 200mm.
0t é o coeficiente função da porcentagem de barras emendadas na mesma seção,
conforme tabela 9.4 da norma (Tabela 4.2 abaixo). Para obtenção deste coeficiente é necessário
primeiro consultar a tabela 9.3 para verificar a proporção máxima de barras emendadas.
Nos trechos das emendas deverá ser colocada uma armadura transversal, conforme o
item 9.5.2.4 da norma (mesma função da armadura transversal para ancoragens).
Figura 4.14 - Emenda por traspasse de barras tracionadas.
Tabela 4.2 - Valores do coeficiente 0t (NBR 6118 - Tabela 9.4)
Barras emendadas na mesma seção (%)  20 25 33 50 50
Valores de 0t 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
O espaçamento livre entre as faces das barras longitudinais em regiões de emendas por
traspasse deve respeitar o mínimo dado em 18.3.2.2 da NBR 6118. A proporção máxima de
barras tracionadas emendadas na mesma seção transversal da peça será a indicada pela tabela
4.3.
Tabela 4.3 – Proporção máxima de barras tracionadas emendadas (NBR 6118 - Tabela
9.3)
Tipo de barra Situação Tipo de carregamento
Estático Dinâmico
Alta aderência Em uma camada
Em mais de uma camada
100 % 100 %
50 % 50 %
Lisa  < 16 mm
  16 mm
50 % 25 %
25 % 25 %
Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribuição, todas as barras
podem ser emendadas na mesma seção.

44. Considera-se como na mesma seção transversal as emendas que se superpõem ou cujas
extremidades mais próximas estejam afastadas de menos de 20 % do comprimento do trecho de
traspasse, tomando-se o maior dos dois comprimentos quando diferentes (9.5.2.1).
Figura 4.15 - Emendas na mesma seção transversal.
(NBR 6118 – item 9.5.2.3) O comprimento por traspasse de barras comprimidas,
isoladas, será igual a lb,nec, com o mínimo de 200 mm, 15 ou 0,6 lb. As barras
permanentemente comprimidas podem todas ser emendadas na mesma seção e devem possuir
no trecho das emendas armadura transversal conforme a norma no item 9.5.2.4.2.
4.4.2 EMENDAS POR LUVAS ROSQUEADAS
(NBR 6118 - item 9.5.3) Para esse tipo de emenda, as luvas rosqueadas devem ter
resistência maior que as barras emendadas.
4.4.3 EMENDAS POR SOLDA
(NBR 6118 - item 9.5.4) As emendas por solda exigem cuidados especiais quanto às
operações de soldagem que devem atender a especificações de controle do aquecimento e
resfriamento da barra, conforme normas específicas.
As emendas por solda podem ser (figura 4.16):
 de topo, por caldeamento, para bitola não menor que 10 mm;
 de topo, com eletrodo, para bitola não menor que 20 mm;
 por traspasse com pelo menos 2 cordões de solda longitudinais, cada um deles com
comprimento não inferior a 5, afastados no mínimo 5;

45.  com outras barras justapostas (cobrejuntas), com cordões de solda longitudinais,
fazendo-se coincidir o eixo baricêntrico do conjunto com o eixo longitudinal das
barras emendadas, devendo cada cordão ter comprimento de pelo menos 5.
As emendas com solda podem ser realizadas na totalidade das barras em uma seção
transversal do elemento estrutural. Devem ser consideradas como na mesma seção as emendas
que de centro a centro estejam afastadas entre si menos que 15 medidos na direção do eixo da
barra. A resistência de cada barra emendada será considerada sem redução; em caso de barra
tracionada e havendo preponderância de carga acidental, a resistência será reduzida em 20%.
Figura 4.16 - Emendas por solda.
4.5 COBRIMENTO DA ARMADURA
(NBR 6118 - item 7.4) Atendidas as demais condições estabelecidas nesta seção da
norma, a durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e da
espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura.
Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e
nível de agressividade previsto em projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem
atendidos. Na falta destes e devido à existência de uma forte correspondência entre a relação a/c,

46. a resistência do concreto e sua durabilidade, permite-se adotar os requisitos mínimos expressos
na tabela 4.4.
Tabela 4.4 – Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto
(Tabela 7.1 da NBR 6118)
(*) CAA I: agressividade fraca (Classificação geral do ambiente - rural, submersa)
CAA II: agressividade moderada (urbana)
CAA III: agressividade forte (marinha, industrial)
CAA IV: agressividade muito forte (industrial, respingos de maré)
Obs.: Mais detalhes consultar a norma no item 6.4 – Agressividade do ambiente.
Para atender aos requisitos estabelecidos na norma, o cobrimento mínimo da armadura é
o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado e que constitui
num critério de aceitação.
Para garantir o cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento
nominal (cnom):
cnom = cmin + c c: tolerância de execução(em geral 10 mm; para
controle rigoroso pode ser adotado 5 mm)
Assim, as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais,
conforme tabela 4.5.
Concreto Tipo
Classes de agressividade ambiental - CAA (*)
I II III IV
Relação
água/cimento
em massa
CA  0,65  0,60  0,55  0,45
CP  0,60  0,55  0,50  0,45
Classe de
concreto
(NBR 8953)
CA  C20  C25  C30  C40
CP  C25  C30  C35  C40
NOTAS:
CA Componentes e elementos estruturais de concreto armado
CP Componentes e elementos estruturais de concreto protendido

47. Tabela 4.5 – Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento
nominal (Tabela 7.2 da norma)
No caso de elementos estruturais pré-fabricados, os valores relativos ao cobrimento das
armaduras devem seguir o disposto na NBR 9062.
Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa,
em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra deve
sempre ser:
cnom  barra
cnom  feixe
4.6 DISTRIBUIÇÃO TRANSVERSAL
(NBR 6118 – item 18.3.2.2) O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras
longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser no mínimo igual ou superior ao
maior dos seguintes valores:
a) na direção horizontal (ah):
- 20 mm;
- diâmetro da barra, do feixe ou da luva;
- 1,2 x diâmetro máximo do agregado;
b) na direção vertical (ah):
Tipo de estrutura Componente
ou elemento
Classe de agressividade ambiental (tabela 6.1)
I II III IV3)
Cobrimento nominal (c = 10 mm)
Concreto armado Laje2)
20 25 35 45
Viga/Pilar 25 30 40 50
Concreto protendido1)
Todos 30 35 45 55
1)
Cobrimento nominal da armadura passiva que envolve a bainha ou os fios, cabos e cordoalhas, sempre superior ao
especificado para o elemento de concreto armado, devido aos riscos de corrosão fragilizante sob tensão.
2)
Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos
tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos
cerâmicos, pisos asfálticos, e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas pelo item 7.4.7.5
respeitado um cobrimento nominal 15 mm.
3) Nas faces inferiores de lajes e vigas de reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto,
canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos a armadura deve ter cobrimento
nominal 45mm.

48. - 20 mm;
- diâmetro da barra, do feixe ou da luva;
- 0,5 x diâmetro máximo do agregado;
Esses valores também se aplicam às regiões de emendas por traspasse das barras.
4.7 CONTROLE DA FISSURAÇÃO (NBR 6118 – item 13.4)
4.7.1 INTRODUÇÃO
A fissuração em elementos estruturais de concreto armado é inevitável, devido à grande
variabilidade e à baixa resistência do concreto à tração; mesmo sob as ações de serviço
(utilização), valores críticos de tensões de tração são atingidos. Visando obter bom desempenho
relacionado à proteção das armaduras quanto à corrosão e à aceitabilidade sensorial dos
usuários, busca-se controlar a abertura dessas fissuras.
Figura 4.19 - Peça em concreto armado fissurada devido à esforços de tração por flexão.
Exemplo:
s = 105 MPa
Es = 210000MPa
s = s/Es = 0,050%  ct = 0,010 a 0,015% (alongamento de ruptura do concreto)
No caso da armadura de tração, o respectivo alongamento origina fissuras no concreto que a
envolve, através das quais pode o aço ser posto em contato com o meio ambiente.
A abertura das fissuras é o principal fator que influi na maior ou menor possibilidade da
armadura ficar sujeita à oxidação. Verifica-se que o perigo só aparece depois das fissuras terem
atingido determinada abertura, não oferecendo inconveniente grave as fissuras capilares que se
formam junto às armaduras, desde que o concreto seja convenientemente executado.
4.7.2 CONTROLE DA FISSURAÇÃO ATRAVÉS DA ABERTURA ESTIMADA DAS
FISSURAS
(NBR 6118 – itens 7.6.1; 13.4.2; 17.3.3.2) O risco e evolução da corrosão do aço na região das
fissuras de flexão transversais à armadura principal dependem essencialmente da qualidade e da
espessura do concreto de cobrimento da armadura.

49. Aberturas características limites de fissuras na superfície do concreto, dadas no item
13.4.2 da NBR 6118, em componentes ou elementos de concreto armado, são satisfatórias para
as exigências de durabilidade (Consultar item 13.4.2, tabela 13.3).
A grandeza da abertura de fissuras, w, é a menor entre as obtidas pelas expressões que
seguem:










 45
4
5,12 1
1
rs
s
E
w



ctm
s
s
s
fE
w


.3
5,12 1
2



onde
s = tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no estádio II
(tensão em serviço);
 = diâmetro das barras (em mm);
r = taxa de armadura em relação à área da região de envolvimento de concreto Acr interessada
pela fissuração = As/Acr
Es = módulo de elasticidade do aço
1 = coeficiente de conformação superficial da armadura
Figura 4.20 - Concreto de envolvimento da armadura (Acr)
4.8 CONCEITO DE SEGURANÇA
Uma estrutura oferece segurança quando ela possui condições de suportar, em condições não
precárias de funcionamento, todas as ações, com as intensidades e combinações mais
desfavoráveis, de atuação possível ao longo da vida útil para a qual foi projetada.
Uma estrutura deve apresentar:
Estabilidade: segurança contra a ruptura devido às solicitações;
Conforto: evitar deformações excessivas e vibrações que comprometam o uso da estrutura;

50. Durabilidade: evitar fissuração excessiva para impedir a corrosão das armaduras.
Tudo isso deve sempre estar aliado ao aspecto econômico.
Causas que provocam esforços e deformações nas estruturas:
 esforços externos ativos
 variação de temperatura
 retração do concreto
 recalques de apoio
Quando uma estrutura não preenche os requisitos anteriores, diz-se que a mesma atingiu um
“estado limite”, que pode ser:
a) Estado Limite Último: perda da estabilidade da estrutura, ruptura de seções críticas,
instabilidade elástica (flambagem), deterioração por fadiga.
b) Estado Limite de Utilização: deformações excessivas, fissuração excessiva ou prematura,
vibrações excessivas.
Os principais fatores que influem nestas causas são:
 variabilidade das resistências;
 erros de geometria da estrutura e seções;
 variabilidade das ações e solicitações;
 simultaneidade das ações;
 variabilidade do módulo de deformação longitudinal.
Estes fatores representam incertezas ainda não avaliáveis dentro de uma lei de probabilidades.
De forma simplificada, num projeto, adotam-se valores de cálculo para as solicitações, conforme
segue:
a) Em Estado Limite Último
 
 










m
i
qkqkqj
n
j
jkqqkgigid
FFFFF
1
0,
2
0,1,
.... 

onde
g = cargas permanentes
q = cargas acidentais
 = deformações impostas
Valores dos coeficientes de ponderação:
g = 1,4 em casos gerais e g = 1,0 quando a carga permanente for influência favorável
q = 1,4
 = 1,2
b) Estado Limite de Utilização

51.  
 

m
i
qjk
n
j
jkqgikserd
FFFF
1 2
2,11,
..
Os coeficientes de ponderação (majoração) não cobrem: erros de concepção estrutural, erros de
cálculo, nem falhas construtivas - fiscalização e controle de qualidade continuam necessários.
Idéia básica do método atualmente adotado pelas normas para quantificar a segurança:
a) No Estado Limite Último
Majoram-se as ações e os esforços solicitantes denominados ações e solicitações de cálculo, de
modo que seja pequena a probabilidade destes valores serem ultrapassados. Reduzem-se os
valores das resistências, denominadas resistências de cálculo, de modo que seja pequena a
probabilidade dos valores descerem até este ponto. Equaciona-se a situação de ruína dizendo-se
que o esforço solicitante de cálculo encontrou o esforço resistente de cálculo.
Para informações mais detalhadas, consultar a norma NBR 6118, conforme segue:
- item 3.2: definições de estados limites;
- seção 10: segurança e estados limites;
- seção 11: ações

52. 5. FLEXÃO SIMPLES
5.1 HIPÓTESES BÁSICAS PARA A ANÁLISE DOS ESFORÇOS RESISTENTES DE
UMA SEÇÃO DE VIGA OU PILAR
(NBR 6118 - item 17.2.2) As hipóteses básicas para a análise dos esforços resistentes de uma
seção de viga ou pilar no estado limite último, são as seguintes:
a) As seções transversais se mantêm planas após deformação;
b) a deformação das barras passivas aderentes deve ser o mesmo do concreto em seu entorno;
c) as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas,
obrigatoriamente no ELU;
d) Para o encurtamento de ruptura do concreto nas seções não inteiramente comprimidas
considera-se o valor convencional de 0,35% (domínios 3 e 4a da figura 4.23). Nas seções
inteiramente comprimidas (domínio 5 da figura 5.1) admite-se que o encurtamento na borda
mais comprimida, na ocasião da ruptura, varie de 0,35% a 0,2%, mantendo-se inalterada e igual
a 0,2% a deformação a 3/7 da altura total da seção, a partir da borda mais comprimida.
e) O alongamento máximo permitido ao longo da armadura de tração é de 1,0% (domínios 1 e 2
da figura 5.1), a fim de prevenir deformação plástica excessiva.
f) A distribuição das tensões do concreto na seção se faz de acordo com o diagrama parábola-
retângulo, definido em 8.2.10 da norma, com tensão de pico igual a 0,85fcd. Permite-se a
substituição deste diagrama pelo retângulo de altura 0,8x (x é a profundidade da L.N.), com as
seguintes tensões:
- No caso da largura da seção medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta
para a borda comprimida,
c
ck
cd
f
f

.85,0
.85,0 
- No caso contrário:
c
ck
cd
f
f

.80,0
.80,0 
g) A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir do diagrama tensão-deformação, com
valores de cálculo definidos em 8.3.6. da norma.

53. FIGURA 5.1 - Hipóteses de cálculo (NBR 6118 – item 17.22)
 Ruptura convencional por deformação plástica excessiva
reta a: tração uniforme
domínio 1: tração não uniforme, sem compressão
domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto (c  0,35% e
com o alongamento máximo permitido)
 Ruptura convencional por encurtamento limite do concreto
domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do
concreto e com escoamento do aço (s  yd)
domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura à compressão do
concreto e aço tracionado sem escoamento (s  yd)
domínio 4a: flexào composta com armaduras comprimidas
domínio 5: compressão não uniforme, sem tração
reta b: compressão uniforme
Situações de cálculo que podem ocorrer no caso de peças de concreto armado submetidas à
flexão simples:

54. 1) peça subarmada com alongamento excessivo do aço (s=1% e c<0,35%)
2) peça subarmada com ruptura à compressão do concreto (c=0,35%) e com escoamento do
aço (yd  s  1%)
3) peça normalmente armada com os dois materiais atingindo simultaneamente os respectivos
limites (s=yd e c=0,35%)
4) peça superarmada com ruptura à compressão do concreto (c=0,35%) e aço tracionado sem
escoamento (s<yd) (ruptura frágil).
5.2 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO
5.2.1 COEFICIENTES “kx e ky”
- DIAGRAMA PARÁBOLA-RETÂNGULO
s
0 ,8 5 .fc d c d
FIGURA 5.2 Diagrama parábola-retângulo de tensões para o concreto armado

55.  
xxd
xxd
xdx
cdscd
scd
scd







scd
cd
x
d
x
k




- DIAGRAMA RETANGULAR
s
A s
0 ,8 5 .fc d c d
FIGURA 5.3 Diagrama retangular de tensões para o concreto armado

56. scd
cd
scd
cd
d
y
d
x
y
x
xy










8,0
8,0
8,0
scd
cd
y
d
y
k




8,0
Para s = yd
ydcd
cd
yl
k




8,0
 se ky < kyl temos seção subarmada (s  yd)
 se ky = kyl temos seção normalmente armada ((s = yd)
 se ky  kyl temos seção superarmada (s  yd)
Os valores limites de ky, para os aços especificados pela NBR7480, considerando fyd =
fyk / s, para s=1,15 e Es = 210000 MPa podem ser obtidos como segue:
Ex.: AÇO CA-50
50,0
069,25,3
5,3
8,0
069,2
210000.15,1
500




oo
o
oo
o
oo
o
yl
oo
o
yd
k

Para os demais aços:
AÇO kyl
CA-25 0,62
CA-50 0,50
CA-60 0,47

57. 5.2.2 SEÇÃO RETANGULAR
5.2.2.1 ARMADURA SIMPLES
FIGURA 5.4 Seção transversal de uma viga retangular sujeita à flexão simples com armadura simples
2
8,0
85,0
y
dz
xy
fAAR
ybfR
MM
ydsssst
wcdcc
kfd







d
y
k
bf
Mbfdbfdbf
y
Mydbfybf
y
bfydbfM
y
dybfM
zRM
y
wcd
dwcdwcdwcd
dwcdwcd
wcdwcdd
wcdd
ccd













85,0
)425,0(4)85,0()85,0(
0)85,0()425,0(
2
85,085,0
2
85,0
2
2
2
A expressão de y pode ser simplificada para:

58. wcd
d
bf
M
ddy
85,0
22

 se ky  kyl, temos seção sub-armada








2
y
dfAM
zRM
ydsd
std








2
y
df
M
A
yd
d
s
Ou, pela condição de equilíbrio a translação:
ydswcd
stcc
fAybf
RR


85,0
yd
wcd
s
f
ybf
A
85,0

5.2.2.2 ARMADURA DUPLA

59. FIGURA 5.5 Seção transversal de uma viga retangular sujeita à flexão simples com armadura dupla
ydsst
ydsst
ststydsst
sdssc
lwcdcc
fAR
fAR
RRfAR
AR
ybfR
22
11
21
''
8,0






d
y
ky
bf
M
ddy
wcd
d


85,0
22
se ky  kyl temos seção super-armada. Adotamos então: ky = kyl e dimensionamos
como seção normalmente armada.








2
85,01
l
lwcdd
yll
y
dybfM
dky
)'()'( 222
12
ddfAddRM
MMM
ydsstd
ddd










2
1
1
l
yd
d
s
y
df
M
A

60. )'(
2
2
ddf
M
A
yd
d
s


21 sss
AAA 
 
dky
y
x
x
dx
f
ddAddRM
yll
l
l
l
lcd
S
ss
sdsscd






8,0
'
'
)'('
)'('')'(2




)'('
'
2
dd
M
A
sd
d
s



5.2.3 SEÇÃO TÊ
5.2.3.1 GENERALIDADES
(NBR 6118 - item 14.6.2.2) Quando a estrutura for modelada sem a consideração
automática da ação conjunta de lajes e vigas, esse efeito pode ser considerado mediante a
adoção de uma largura colaborante da laje associada à viga, compondo uma seção transversal
Tê.
A largura colaborante bf deve ser dada pela largura bw (largura da alma) acrescida de no
máximo 10 % da distância “a” entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado em que
houver laje colaborante. Este acréscimo também não deve ser maior do que 0,5 b2 (b2 =
distância livre entre duas nervuras próximas).
A distância “a” pode ser estimada, em função do comprimento “L” do tramo considerado,
como segue:
 viga simplesmente apoiada: a = L
 tramo com momento em uma só extremidade:
La
4
3


61.  tramos com momentos nas duas extremidades:
La
5
3

viga em balanço: a = 2L
5.2.3.2 REGIÃO COMPRIMIDA NA MESA
FIGURA 5.6 Viga de seção T com região comprimida na mesa
- Hipótese inicial: y = hf , obtêm-se o momento resistente de cálculo da mesa.


















2
85,0
2
f
ffcddm
f
ccmdm
h
dhbfM
h
dRM
 se Mdm  Md  y  hf  região comprimida está toda contida na mesa
 se Mdm  Md  y  hf  região comprimida compreende parte da nervura
Para Mdm  Md  y  hf: calcular como seção retangular com largura bf.
fcd
d
bf
M
ddy
85,0
22


62. 







2
y
df
M
A
yd
d
s
5.2.3.3 REGIÃO COMPRIMIDA NA MESA E NERVURA
FIGURA 5.7 Viga de seção T com região comprimida na mesa e na nervura
a) Parcela das Abas

63. FIGURA 5.8 Viga de seção T com parcela comprimida das abas
  

















2
85,0
2
11
f
fwfcd
f
ccd
h
dhbbf
h
dRM










2
1
1
f
yd
d
s
h
df
M
A
b) Parcela da Nervura
FIGURA 5.9 Viga de seção T com parcela comprimida da nervura
d
y
k
bf
M
ddy
MMM
y
wcd
d
ddd



85,0
2 22
12
 se ky  kyl temos seção sub-armada

64. 21
2
2
2
sss
yd
d
s
AAA
y
df
M
A









 se ky  kyl temos seção super-armada
FIGURA 5.10 Viga de seção T super-armada com parcela comprimida da nervura








2
85,021
l
lwcdd
yll
y
dybfM
dky








2
21
21
l
yd
d
s
y
df
M
A

65. FIGURA 5.11 Viga de seção T super-armada com parcela comprimida da armadura
21222 ddd
MMM 
 
 22211
22
22
'
ssss
yd
d
s
AAAA
ddf
M
A



)'('')'(22
ddAddRM sdsscd
 
 ''
'
22
dd
M
A
sd
d
s



 
 
8,0
'
'
''
l
l
l
lcd
s
ssd
y
x
x
dx
f








66. 5.2.4 PRESCRIÇÕES NORMATIVAS
(NBR 6118 - item 13.2.2) A seção transversal das vigas não deve apresentar largura menor
que 12 cm, respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais, sendo
obrigatoriamente respeitadas as seguintes condições:
a) alojamento das suas armaduras e suas interferências com as armaduras de outros
elementos estruturais, respeitando-se os espaçamentos e coberturas estabelecidas na norma;
b) lançamento e vibração do concreto de acordo com NBR 14931.
(NBR 6118 – item 17.3.5.2.1) Armaduras longitudinais máximas e mínimas
A ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, deve ser
evitada considerando-se, para o cálculo das armaduras uma armadura mínima de tração
determinada pelo momento fletor que produziria a ruptura da seção de concreto simples.
A especificação de valores máximos para as armaduras decorre da necessidade de assegurar
condições de dutilidade e de se respeitar o campo de validade dos ensaios que deram origem
às prescrições de funcionamento do conjunto aço-concreto.
As,mín = mín Ac Valores de mín: consultar tabela 17.3 da norma.
A soma das armaduras de tração e de compressão: (As+ As’) = 4% Ac (17.3.5.2.4)
(NBR 6118 - item 17.2.4.1) Os esforços nas armaduras podem ser considerados concentrados
no centro de gravidade correspondente, se a distância deste centro ao ponto da seção da
armadura mais afastado da linha neutra, medida normalmente a esta, for menor que 10% de h.
(NBR 6118 - item 18.3.7) Nas mesas de vigas de seção T deve haver armadura perpendicular
à nervura (armadura de ligação mesa-alma), que se estende por toda a sua largura útil, com
seção transversal de no mínimo 1,5 cm2
por metro. As armaduras de flexão da laje, existentes
no plano de ligação, podem ser consideradas como parte da armadura de ligação.
(NBR 6118 - item 17.3.5.2.3 e 18.3.5) Quando a altura de uma viga ultrapassar 60 cm, deve-se
dispor longitudinalmente uma armadura de pele, próximo a cada face lateral da alma, composta
por barras de alta aderência (1 = 2,25). Essa armadura deve ter em cada face seção
transversal igual a 0,10% de Ac,alma (bw.h). O afastamento entre as barras não deve ultrapassar
d/3 e 20 cm.
(NBR 6118 - item 18.3.2.2) O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras
longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos
seguintes valores:
a) na direção horizontal (ah):
- 20 mm;
- diâmetro da barra, do feixe ou da luva;
- 1,2 vezes o diâmetro máximo do agregado, nas camadas horizontais;
b) na direção vertical (av):
- 20 mm;
- diâmetro da barra, do feixe ou da luva;
- 0,5 vezes o diâmetro máximo do agregado, nas camadas horizontais;
Para feixes de barras deve-se considerar o diâmetro do feixe (ver cap. 4).
Em qualquer caso deve-se respeitar o disposto no item 18.2.1 da norma.