O documento descreve um projeto de controlador por avanço de fase discreto para melhorar a resposta de uma planta. O controlador foi projetado para tornar a resposta da planta em malha fechada duas vezes mais rápida com um overshoot de 10%. O período de amostragem escolhido foi de 0,013 segundos para atingir a frequência de zero dB desejada de 16 rad/s. O controlador por avanço de fase discreto foi projetado usando ferramentas do Matlab e Simulink para validar a resposta da planta em malha fechada

1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO MÉDIA E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO AMAZONAS
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA, PÓS GRADUAÇÃO E INOVAÇÃO
CAMPUS MANAUS DISTRITO INDUSTRIAL
COORDENAÇÃO DE PESQUISA E INOVAÇÂO TECNOLOGICA
ÁLVARO DE AZEVEDO PERES NETO
GABRIEL WENDEL SANTOS DA SILVA
PROJETO DE CONTROLADORES POR AVANÇO DE FASE DISCRETO
MANAUS, 2015

2. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO MÉDIA E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO AMAZONAS
PRÓ-REITORIA DE PESQUISA, PÓS GRADUAÇÃO E INOVAÇÃO
CAMPUS MANAUS DISTRITO INDUSTRIAL
COORDENAÇÃO DE PESQUISA E INOVAÇÂO TECNOLOGICA
ÁLVARO DE AZEVEDO PERES NETO
GABRIEL WENDÉL SANTOS DA SILVA
PROJETO DE CONTROLADORES POR AVANÇO DE FASE DISCRETO
Relatório técnico apresentado para
obtenção de nota parcial na área de
conhecimento Controle Discreto do
curso de Engenharia de Controle e
Automação do Instituto Federal de
Educação, Ciência e Tecnologia do
Amazonas.
Professor Flávio José Aguiar Soares.
MANAUS, 2015

3. 1. INTRODUÇÃO
Os sistemas de controle discretos estão presentes no dia-a-dia das pessoas de
inúmeras formas, entre elas em sistemas digitais que precisam da utilização de um
microcontrolador, micromputador ou CLP. Para se executar, dentro de uma planta, o
controlador, se faz necessária a utilização de um conjunto de componentes, tais como:
conversor analógico/digital (A/D), conversor digital/analógico (D/A), algoritmo do
controlador e clock [1].
O conversor A/D é um dispositivo de hardware que possui a função que aquisitar
um sinal analógico, externo do computador, e converter tal sinal para um sinal digital que
será utilizado pelo computador. O conversor D/A, ao contrário do conversor A/D,
converte um sinal digital em um sinal contínuo. O algoritmo de controle é o algoritmo
que possui a linha de comando que executará o código responsável pela ação do
controlador. O clock é o responsável pelo sincronismo entre os blocos dos conversores e
do algoritmo de controle [1].
O controlador pode ser de vários tipos, dentre eles estão o controlador PID e o
controlador por avanço de fase. O controlador por avanço de fase é um controlador com
características de resposta no domínio da frequência. Os parâmetros fundamentais do
controlador por avanço de fase são: o ganho DC do compensador (𝐾𝑐), o zero do
controlador (𝛼) e o polo do controlador (𝛽). Dependendo dos ganhos dos zero e polo do
controlador, o controlador por avanço de fase pode melhorar a estabilidade do sistema em
malha fechada pelo fato de aumentar o amortecimento do sistema. Além disso, ele pode
melhorar o tempo de subida e o tempo de assentamento do sistema [2].
Este relatório mostra a solução de um problema que envolve o controle discreto
de uma planta utilizando um controlador por avanço de fase discreto. O problema foi
resolvido em [1], porém, foram encontrados erros na linha de comandos e, por conta
disso, foram feitas as correções necessárias para que o problema fosse solucionado.

4. 2. DESENVOLVIMENTO
O problema é mostrado abaixo:
Para avaliar a equivalência entre as funções de transferência representadas nos domínios contínuo e
discreto,será apresentado o projeto do controlador de avanço de fase que faça comque a resposta variável
de saída do sistema de malha-fechada quando submetido a um sinal de entrada do tipo degrau seja duas
vezes mais rápida que a apresentada, com um sobrepasso percentual de 10%. Pela análise do diagrama
de Bode apresentado,para o sistema ser duas vezes mais rápido a nova frequência de zero dB deverá ser
de aproximadamente 16.0 rad/s. Sendo assim, o período de amostragem escolhido para o controlador
discreto será de 𝑇 = 2𝜋/(30𝜔0𝑑𝑏 ), que é de aproximadamente 0.013 segundos.Ocompensador de avanço
de fase obtido é apresentado na função de transferência discreta. [1]
2.1. Embasamento teórico
O projeto de sistema de controle foi desenvolvido com uma grande quantidade de
ferramentas gráficas, tais como os diagramas de Bode e Nyquist, e as cartas de Nichols.
Todos estes são realizados no domínio da frequência, o que faz necessário o
conhecimento de especificações no domínio da frequência como margem de ganho,
margem de fase, dentre outros.
Segundo [3], a margem de fase é definida como o ângulo, em graus, pelo qual o
diagrama 𝐿( 𝑗𝜔) em de ser girado em relação à origem, de modo que o cruzamento de
ganho passe pelo ponto (-1, j0). Além disso, [3] define a margem de ganho como sendo
o valor do ganho em decibéis que pode ser adicionado à malha antes do sistema em malha
fechada se tornar estável.
2.1.1. Fração de Amortecimento
Segundo [4], a fração de amortecimento ou coeficiente de amortecimento ( ) é
definido como o valor que será amortecido. Em outras palavras, é o valor pelo qual a
energia de um sistema será dissipada.
2.1.2. Máximo Percentual de Overshoot
Segundo [4], o máximo percentual de Overshoot (MP) é definido como o valor de
pico máximo que é assumido pela curva de resposta. Em outras palavras, MP é definido
como:
2
1
pM e




 (1)
Com isso, pode-se definir a coeficiente de amortecimento como sendo:
2
2 2
ln ( )
ln ( )
Mp
Mp




(2)
2.1.3. Fração de amortecimento a partir da margem de fase e Fase máxima
Considerando o sistema de realimentação unitária cuja função de transferência em
um sistema malha aberta seja:
2
( )
( 2 )
n
n
G s
s s




(3)
Encontrando a frequência quando |G (𝜔)| = 1, têm-se:

5. 2
2
| ( )| 1
| 2 |
n
n
G j
j


  
 
 
(4)
A frequência 1 que satisfaz (4) é:
2 4
1 2 1 4n       (5)
O ângulo de fase de G(j𝜔) a esta frequência é:
1 1
( ) 90 tan
2 n
G j



  
     
 
(6)
Portanto, pode-se concluir que a margem de fase desejada para determinado
coeficiente de amortecimento é:
2 4
1 2 1 4
90 tan
2
M
 


      
 
 
Segundo [2], a fase incluída pelo compensador de avanço de fase na frequência
desejada é a margem de fase desejada menos um ângulo de 25°. Portanto:
max 25M    (7)
2.1.4. Controlador por avanço de fase
A função de transferência de um controlador de avanço ou atraso de fase é
expressa como:
1
1
( ) c
s z
C s K
s p



(8)
O controlador é dito de avanço de fase quando 1 1p z e é dito de atraso de fase
quando 1 1z p .
Por questões de didática, se diz que a função de transferência de um controlador
por avanço de fase é dada por:
1
( )
1
aTs
C s
Ts



(9)
Analisando a margem de ganho de (9), pode-se concluir que:
10 10 10
1 1 1
log log log
2
m
aT T

 
  
 
(10)
Portanto,
1
m
aT
  (11)
Analisando a margem de fase de (9), pode-se concluir que:
1 1
( ) ( ) tan tanC j j aT T     
    (12)
Obtendo-se portanto,
tan ( )
1 ( )( T)
aT T
jw
aT
 

 



(13)
Substituindo a equação (11) na equação (13), têm-se:

6. max
1
tan
2
a
a

  (14)
Ou,
max
1
1
a
sen
a

 

(15)
Onde a é um coeficiente que é absorvido pelo ganho de caminho direto K para que
o controlador por avanço de fase não aumente o erro de regime estacionário. Escrevendo
a equação (15) em termos de a, têm-se:
max
max
1
1
sen
a
sen
 

 
(16)
Para a função de transferência mostrada em (9), os valores de cK , 1z e 1p são:
3
cK
a
 (17)
1 maxfz a (18)
max
1
f a
p
a

 (19)
2.1.5. Controlador de avanço de fases discreto
Considerando a equação (8) e escrevendo na forma de equação diferencial,
descrita no domínio do tempo, têm-se:
1 1
( ) ( )
( ) ( )c c
du t de t
p u t K K z e t
dt dt
   (20)
Aproximando a transformada z da derivada como sendo:
( ) ( ) ( )df t f KT f KT T
dt T
 
 (21)
Têm-se, aplicando a transformada z em (20):
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )c c
u KT u KT T e KT e KT T
p u KT K K z e KT
T T
   
   (22)
Organizando a equação (22), encontra-se:
1
1
(1 ) ( ) ( ) ( )
( )
1
c cK z T e KT K e KT T u KT T
u KT
p T
    


(23)
Substituindo KT por z e aplicando as propriedades de deslocamento no tempo da
transformada z na equação (23), encontra-se:
1 1
1
1
(1 ) ( ) ( ) ( )
( )
1
c cK z T E z K z E z z U z
U z
pT
 
  


(24)
Reescrevendo a equação (24), em forma de função de transferência, chega-se à
conclusão de que a função de transferência do controlador por avanço de fase discreto é
dada por:

7. 1 1
1
1
1
1 1( )
( )
1( ) 1
1
c
z
z T z TU z
C z K
E z p T z
p T
 
  
  
    
(25)
2.1.6. Relação entre os controladores de avanço de fase contínuo e discreto
Comparando a equação (8) à equação (25), conclui-se que a relação entre os
controladores de avanço de fase contínuo e discreto é dado por:
1
1
1
1
cd c
z T
K K
p T
 
  
 
(26)
1
1
1
dz
z T


(27)
1
1
1
dp
p T


(28)
2.2. Materiais e Métodos
Para o projeto do controlador, foi utilizado o Matlab 2015a e para a simulação da
resposta a partir de uma entrada degrau foi utilizado o Simulink. A linha de comando
utilizada para o projeto do controlador por avanço de fases discreto é mostrada abaixo:
clear all; close all; clc; % Limpeza do fluxo
Mp = 0.1; %Overshoot de 10%
ksi = sqrt((log(Mp))^2/((log(Mp))^2+pi^2)); % coeficiente de amortecimento
num = 100; den = [1 10 0];
figure(1)
margin(num,den); %diagrama de bode
[Mg Mf Wg Wf] = margin(num,den); %retorno dos parametros dos diagrama de bode
grid on;
WfMax = 2*Wf; %frequencia de fase desejada
Mfd = 90 - (180/pi)*atan(sqrt(-2*ksi^2+sqrt(4*ksi^4+1))/(2*ksi)); %Margem de fase
desejada
Mfmax = Mfd-25; % Margem de fase máxima
Rzp = (1-sin(pi*Mfmax/180))/(1+sin(pi*Mfmax/180)); % coeficiente absorvido pelo ganho de
caminho direto
z = WfMax*sqrt(Rzp); % zero do controlador
p = z/Rzp; % polo do controlador
Kc = 3*(1/sqrt(Rzp)); % ganho Kc do controlador
numc = 100*Kc*[1 z]; % valor do numerador da função de transferencia discreta
denc = conv(den,[1 p]); %valor do denominador da função de transferencia discreta
figure(2)
margin(numc,denc); % diagrama de bode da função de transferencia discreta
grid on;
T = (2*pi)/(30*WfMax); % tempo de amostragem do sistema
Kcd = Kc*((1+z*T)/(1+p*T)); % ganho Kc do controlador discreto
zd = 1/(1+z*T); % zero do controlador discreto
pd = 1/(1+p*T); % polo do controlador discreto
Projeto1_simulink_versao2; % abre o programa no simulink
Não foi utilizada a linha de comando mostrado em [1] pelo fato do coeficiente de
amortecimento utilizado na mesma estar com um valor não condizente com a literatura,
gerando assim um Overshoot de 13%, ou seja, maior que o pedido no problema. Por conta
disso, foi adaptada esta nova linha de comandos com o intuito de resolver tal problema.
A linha de comandos também faz o diagrama de Bode do sistema não compensado e do
sistema compensado, mostrados nas Figuras 1 e 2. Pode-se notar que a frequência de fase
do controlador é a pedida no problema, ou seja, 16 rad/s.

8. Figura 1 – Diagrama de Bode do sistema não compensado.
Figura 2 – Diagrama de Bode do sistema compensado.

9. Para se executar os valores dos ganhos do controlador no controlador por avanço
de fase discreto, utilizou-se o diagrama em blocos no Simulink, mostrado na Figura 3.
Figura 3 – Diagrama em Blocos no Simulink.
3. RESULTADOS E DISCUSSÕES
A partir do diagrama em blocos mostrado na Figura 3, plotou-se o gráfico do
sistema não compensado, do sistema compensado e da entrada que é mostrado na Figura
4.
Figura 4 – Resultados do diagrama em blocos no Simulink.
Pode-se notar que a partir dos ganhos calculados no projeto, encontrou-se um
sistema com compensação com Overshoot igual a 10% como pedido no enunciado do
problema e frequência de fase de 16 rad/s.
4. CONCLUSÃO E RECOMENDAÇÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
Pode-se concluir que assim como nos sistemas contínuos, o controlador por
avanço de fase discreto possui as mesmas características quanto a modificação da planta

10. a partir dos seus ganhos. A partir desta experiência, pode-se mostrar que com o aumento
da frequência de fase, há uma diminuição no tempo de acomodação do sistema e com o
aumento da margem de ganho, há uma diminuição no Overshoot, assim como no sistema
contínuo.
Para trabalhos futuros, seria interessante aplicar o mesmo sistema na prática, uma
vez que o algoritmo do controlador já está pronto. Com isso, seria possível confrontar a
teoria com a prática e se comparar os resultados obtidos em ambos os casos.
5. REFERÊNCIA
1. _____. Controle Digital. Sistemas de controle – Departamento de Engenharia Elétrica.
PUCRS.
2. OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. Peason. 5ª edição. 2011.
3. KUO, C.B. Sistemas de Controle Automático. Prentice Hall. 1ª edição. 1996.
4. NISE, N.S. Engenharia de Sistemas de Controle. LTC Editora. 6ª edição. 2012.