Estatistica - Teoria dasd Probabilidades

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Teoria das Probabilidades
e Variáveis aleatórias
Teoria das Probabilidades
e Variáveis aleatórias

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Probabilidades – Conceitos fundamentais e notação
▪ Quantificação do grau de convicção em relação a um acontecimento
▪ Lançamento de um dado (equilíbrio/ simetria)
▪ Ter cancro do pulmão? (experiência)
▪ Fenómenos aleatórios: os resultados individuais são incertos, mas admite-
se uma regularidade a longo termo
▪ A Teoria das Probabilidades estuda fenómenos aleatórios, através de
modelos matemáticos, a que chamamos modelos probabilísticos.
▪ “Todos os modelos são maus, mas alguns são úteis” (George Box)

EP
▪ Experiência: observação de um fenómeno aleatório; processo que origina
diferentes resultados
▪ Acontecimento: resultado de uma experiência e subconjunto de Ω (ver abaixo)
▪ Acontecimento elementar: resultado que não pode ser simplificado;
subconjunto singular
▪ Acontecimento composto: subconjunto não singular
▪ Espaço de resultados (S ou Ω): todos os acontecimentos possíveis
EXEMPLOS
Se a experiência E1 corresponder ao lançamento de um dado e registo da face, o
espaço de resultados é S = {1,2,3,4,5,6}

EP
EXEMPLOS
▪ Tempo que demora a chegar à Universidade: S = [0 ; + ∞]
▪ Número de caras em 20 lançamentos de uma moeda: S = {0,1,2, …, 18,19,20}
▪ “Quantas pessoas constituem o seu agregado familiar?” N*= {x ∈ N│x ≠ 0}:
conjunto dos números naturais não-nulos.
▪ 3 pessoas: {3} (acontecimento elementar)
▪ Entre 2 e 4 pessoas: {2,3,4} (acontecimento composto)
▪ Menos de 5 pessoas: {1,2,3,4} (acontecimento composto)
▪ Lançamento de dois dados; acontecimento A = soma das faces ser 7

EP
1 , 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 , 5 1 , 6
2 , 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , 5 2 , 6
3 , 1 3 , 2 3 , 3 3 , 4 3 , 5 3 , 6
4 , 1 4 , 2 4 ,3 4 , 4 4 , 5 4 , 6
5 , 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , 5 5 , 6
6 , 1 6 , 2 6 , 3 6 , 4 6 , 5 6 , 6
S = {(i,j): i=1,2,...,6; j=1,2,...6}
A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}

EP
1 , 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 , 5
2 , 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , 5
3 , 1 3 , 2 3 , 3 3 , 4 3 , 5
4 , 1 4 , 2 4 ,3 4 , 4 4 , 5
5 , 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , 5
Experiências com e sem reposição
Bolas numeradas de 1 a 5. Numa experiência que consiste em retirar
consecutivamente duas bolas e verificar o número:
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 , 5
2 , 1 2 , 3 2 , 4 2 , 5
3 , 1 3 , 2 3 , 4 3 , 5
4 , 1 4 , 2 4 ,3 4 , 5
5 , 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
COM REPOSIÇÃO SEM REPOSIÇÃO

EP
1 , 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 , 5
2 , 1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , 5
3 , 1 3 , 2 3 , 3 3 , 4 3 , 5
4 , 1 4 , 2 4 ,3 4 , 4 4 , 5
5 , 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , 5
Experiências com e sem reposição
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 , 5
2 , 1 2 , 3 2 , 4 2 , 5
3 , 1 3 , 2 3 , 4 3 , 5
4 , 1 4 , 2 4 ,3 4 , 5
5 , 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
COM REPOSIÇÃO SEM REPOSIÇÃO
Espaço de resultados do acontecimento D={tirar duas bolas de cor diferente}?

EP
Se os espaços de resultados são conjuntos de acontecimentos… É possível
efetuar com eles operações com conjuntos (matéria do Ensino Básico)
Se Ω for um espaço de resultados e A e B dois acontecimentos, temos:
Operação Notação Descrição
Interseção A ∩ B Ocorrência simultânea de A e B
Reunião A ∪ B Ocorrência de A ou de B ou de ambos
Diferença B – A Ocorrência de B, sem que ocorra A
Complementar ҧ
𝐴 ou ~A ou AC Não ocorrência de A

EP
▪ Acontecimentos mutuamente exclusivos ou disjuntos: quando não podem
ocorrer simultaneamente como resultado; i.e., a ocorrência de um exclui
o outro
EXEMPLO
Se a experiência E1 corresponder ao lançamento de um dado, os acontecimentos A
= {sair um número par} e B = {sair o número 5} são mutuamente exclusivos,
disjuntos ou incompatíveis

EP
Probabilidades – Conceitos fundamentais
▪ Expressão da certeza ou do grau de incerteza atribuído à
realização de um acontecimento
▪ Uma probabilidade deve ser um número entre 0 e 1
▪ O conjunto de todos os resultados possíveis tem probabilidade
igual a 1
▪ Em espaços finitos, a probabilidade de um acontecimento A é a
soma das probabilidades dos acontecimentos elementares que
compõem A.

EP
𝑃 𝐴 =
𝑎
𝑛
a = número de maneiras pelas quais A pode ocorrer
n = número de eventos igualmente prováveis que
existem em relação a este fenómeno
DEFINIÇÃO CLÁSSICA DE PROBABILIDADE
Considere a experiência “lançamento de duas moedas”. Indique o espaço
de resultados e calcule a probabilidade de obter exatamente uma face

EP
𝑃 𝐴 =
𝑛. º 𝑎
𝑛. º 𝑛
Realizando uma experiência um elevado
número de vezes e contando o número de
vezes que um certo evento A ocorreu…
DEFINIÇÃO FREQUENCISTA DE PROBABILIDADE
Tempo
Nº nascimentos
masculinos (a)
Total de nascimentos
(n)
Probabilidade
empírica (a/n)
1965 1902 3760 0,5059
1965 – 1969 9219 17989 0,5125
1965 – 1974 17857 34832 0,5127
A Lei dos Grandes Números indica que as duas definições de probabilidades
tendem a aproximar-se quando n é muito elevado!

EP
Probabilidades – Axiomas e Teoremas
▪ Adição de probabilidades
▪ P(AUB)=P(A)+P(B) se A e B forem mutuamente exclusivos
▪ P(AUB)=P(A)+P(B) – P(A∩B) se A e B não forem mutuamente exclusivos
Para determinar a P(A ∪ B), deve determinar-se P(A) e a P(B); depois determinar o
total, mas garantindo que nenhum acontecimento é contado mais do que devia!
▪ Axiomas (proposição que é considerada como óbvia ou como um consenso necessário para a construção de uma teoria)
▪ P de um evento varia entre 0 e 1
▪ P de todo o espaço de resultados é 1; P(Ω) = 1
▪ Se A e B são acontecimentos mutuamente exclusivos, a P da ocorrência de
A ou de B, representada por (A U B), é dada por P(AUB)=P(A)+P(B)

EP
Probabilidades – Adição de probabilidades
Participante Grupo A Grupo B Grupo C Total
Fumador 330 210 150 690
Não-fumador 770 690 350 1810
Total: 1100 900 500 2500
▪ Qual a probabilidade de selecionar alguém ao acaso do grupo A ou do
grupo C? (acontecimentos mutuamente exclusivos)
▪ Qual a probabilidade de selecionar alguém ao acaso e esta pessoa ser
fumador ou do grupo A?

EP
Probabilidades – Acontecimentos independentes
▪ Um recém-licenciado foi a uma entrevista de emprego. Considere:
▪ B= {o candidato causa boa impressão} = 0,4
▪ E={o candidato consegue o emprego} = 0,2
0,28 0,12 0,08
P(B∩E) = 0,12
Probabilidade de uma pessoa que
causou boa impressão ter conseguido o
emprego?
Causar boa impressão influencia a
probabilidade de conseguir o emprego?
B E

EP
Probabilidades – Acontecimentos independentes
▪ Multiplicação de probabilidades
▪ P(A∩B) = P(A) x P(B) se A e B forem independentes
▪ P(A∩B) ≠ P(A) x P(B) se A e B não forem independentes
▪ P(A∩B) = P(A) x P(B|A) = P(B) x P(A|B) se A e B não forem independentes
A máquina de café no edifício 1 não funciona, aproximadamente, três dias
em cada 2 meses. No edifício do CP, a máquina de café não funciona,
aproximadamente, 6 dias a cada 3 meses. Qual a probabilidade de querer
um café destes dois locais e nenhuma das máquinas estar a funcionar?
(acontecimentos independentes)

EP
Probabilidades – Probabilidade condicional
Considere B={Ter cancro do pulmão} e A={Fumar}. Qual a probabilidade de alguém
ter cancro do pulmão se for fumador?
P(B|A) representa a probabilidade de o acontecimento B ocorrer, sabendo que já
ocorreu A. Pode ler-se como “B dado A”.
Calcula-se através de:
Exposição
Cancro do
pulmão
Saúdável Total
Fumador 390 150 540
Não-fumador 10 1950 1960
Total: 400 2100 2500
𝑃(𝐵|𝐴) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)

EP

EP
Exposição
Cancro do
pulmão
Saudável Total
Fumador 390 150 540
Não-fumador 10 1950 1960
Total: 400 2100 2500
▪ Qual a P(Fumar)?
▪ Qual a P(Ter cancro do pulmão)?
▪ Qual a P(Fumar e ter cancro do pulmão)?
▪ Fumar e ter cancro do pulmão são acontecimentos independentes?

EP
Probabilidades – Operações com probabilidades
▪Sabendo que P(A)=0,5 e P(AUB)=0,6, determine P(B) se:
▪a) A e B são mutuamente exclusivos;
▪b) A e B são independentes;
▪c) P(A|B)=0,4
▪Dois acontecimentos podem ser simultaneamente
independentes e mutuamente exclusivos?

EP
Variáveis aleatórias
O que provavelmente acontecerá...
Uma variável aleatória é uma variável que toma um certo valor numérico
determinado pelo acaso, de cada vez que a experiência é realizada.
Uma distribuição de probabilidade é um gráfico, tabela, ou fórmula que
indica a probabilidade correspondente a cada valor da variável aleatória.
Discretas: resultado finito ou infinito numeráveis
Contínuas: resultado infinito e não numerável

EP
Função densidade
Estabelece a correspondência entre cada acontecimento
possível e a probabilidade correspondente…
Propriedades:
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)
0 ≤ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) ≤ 1
෍
𝑖=1
𝑛
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) = 1
Xi 1 2 3 4
P (X=xi) 0,084 0,256 0,411 0,24

EP
Sumarização da função densidade
𝐸 𝑋 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = ෍
𝑖=1
𝑛
(𝑥𝑖 − 𝐸 𝑋 )2
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖)
𝜎 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋

EP
Distribuição binomial
Distribuição de variável aleatória discreta
Em n provas, calcular a probabilidade de x casos de sucesso…
Sabendo a probabilidade p de sucesso de um caso…
E inferindo a probabilidade de insucesso, q…
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝑛!
𝑥! (𝑛 − 𝑥)!
𝑝𝑥
𝑞𝑛−𝑥
Distribuição Binomial

EP
Distribuição binomial
A prevalência de bronquite no primeiro ano de vida é 5%. De 20
recém-nascidos, qual a probabilidade que 3 desenvolvam a doença?
E pelo menos 3?
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝑛!
𝑥! (𝑛 − 𝑥)!
𝑝𝑥
𝑞𝑛−𝑥

EP
Sumarização da função binomial
𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑛𝑝𝑞

EP
Revisão de conceitos
▪O factorial de n, que se representa por n!, é o produto de
todos os números inteiros de 1 a n. Ou seja:
▪n! = n x (n-1) x … x 3 x 2 x 1.
▪É importante recordar também que 0! = 1

EP
Distribuição de Poisson
Simeon D. Poisson (1781 – 1840)
Associada a acontecimentos raros

EP
Processo de Poisson
O número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são
variáveis aleatórias independentes;
A probabilidade de um certo número de ocorrências se verificar
é a mesma para intervalos da mesma dimensão
A probabilidade de se verificarem duas ou mais ocorrências
num período muito pequeno é negligenciável, quando
comparada com a probabilidade de se verificar apenas uma
ocorrência.

EP
A variável aleatória X tem distribuição de Poisson se a probabilidade
de x acontecimentos ocorrerem num certo período de tempo ou num
dado espaço t, para um distribuição caracterizada por λ, é dada por:
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝜆𝑥
𝑒−𝜆
𝑥!

EP
Para uma distribuição de Poisson com parâmetro λ, a
média e a variância são ambas iguais a λ
E{X} = 𝜆 = Var{X} = np
𝜎{X} = 𝜆

EP
Suponha que estamos interessados em determinar o número de pessoas numa
população de 10 000 que estará envolvido num acidente de veículo a motor a cada ano.
Estima-se que a probabilidade de estar envolvido seja 0,00024.
 = 10 000 × 0,00024 = 2,4 = E [X] = Var [X]
X ~ Poi (2,4)
P(X = x) = (e -2,4 × 2,4 x) / x!
Por exemplo: P(X = 0) = (e -2,4 × 2,4 0) / 0! = 0,091
P(X = 1) = (e -2,4 × 2,4 1) / 1! = 0,218
P(X = 2) = (e -2,4 × 2,4 2) / 2! = 0,261

EP
Suponha que estejamos preocupados com a possível difusão de difteria e
queiramos saber quantos casos podemos esperar num determinado ano. Seja X a
v.a. que representa o número de casos registados de difteria nos EUA num ano. Se
X ~ Poi (2,5), então:
P(X = x) = (e -2,5 × 2,5 x) / x!
Por exemplo: P(X = 0) = (e -2,5 × 2,5 0) / 0! = 0,082
P(X = 1) = (e -2,5 × 2,5 1) / 1! = 0,205
P(X = 2) = (e -2,5 × 2,5 2) / 2! = 0,257
P(X = 3) = (e -2,5 × 2,5 3) / 3! = 0,214
P(X≥4) = 1–P(X< 4) = 1–(0,082 + 0,205 + 0,257 + 0,214) = 0,242
O número médio de casos por ano é 2,5 e o desvio padrão é 1,58.

EP
Às urgências de um hospital chegam em média 5 casos de meningite adulta por
ano. Seja X a v.a. que representa o número de casos de meningite chegados num
ano às urgências de um hospital: X ~ Poi (5)
P(X = x) = (e -5 × 5 x) / x!
Calcule a probabilidade de num ano chegarem ao serviço de urgências:
▪ Só um caso de meningite:
P(X = 1) = (e -5 × 5 1) / 1! = 0,0337
▪ Quatro casos de meningite:
P(X = 4) = (e -5 × 5 4) / 4! = 0,1755
▪ Mais de quatro casos de meningite:
P(X > 4) = 1 – P(X  4) = 1 – P(4) = 1 – 0,4405 = 0,5595

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