matrizes

1. Dicaselaboradas
peloprofessorGilberto
doSistemadeEnsinoEnergia.
vestibular
s ib
r
ve t ula
esti r
v bulae i l
v st bu ar
vestibular
rvestibula
e b l rv sti u a
v s ibule t ar
v stibulare
ves ibular
t
vestibular
e ulv stib arl
vestibu ar
rvestibula
v stibul r
e
a
vestibular
e lv stibu arvestibular
u rvestib lavest bular
ivest bi ular
st bve i ular
e ti av s bul rv ti ul r
es b avestibularvestibular
s ib
r
ve t ula
est r
v ibulae iv st bular
vest bulari
vestibular
b rvesti ula
vestibular
v s ibulare t
es ibul r
v t
avestibular
ulvestib arvestibular
e u rv stib la
i u r
vest b la
es lar
v tibu
e b lv sti u arvestibular
vestibularu a
vestib l r
vest b lari u
vest bi ular
e ti av s bul r
ti ul r
ves b avestibularvestibular
r
vestibula
vestibulares ibul r
v t
a
vest bularirvestibula
e b l rv sti u a
v stibule ar
v s ibulare t
ves ibular
t
vestibular
e ulv stib arla
vestibu r
e u rv stib la
v stibul r
e
a
vestibular
e lv stibu arvestibular
ve ti u ars b l
ula
vestib
r
vest b li u ar
st bve i ular
e ti av s bul rvesti ul rb avestibulardicas do vestibular Confiraessaeoutrasdicasemnossosite
www.energia.com.br
Matrizes Matriz quadrada
Matriz na qual o número de linhas é igual ao de colunas.
m = n
Observe a matriz quadrada:
a = i + j = n + 1ij
n = ordem da matriz
Traço: soma dos elementos da diagonal principal.
Obs.: Se m πn, a matriz recebe o nome de retangular.
Matrizes especiais
1) Matriz linha (A ) – Possui apenas uma linha.1 x n
Exemplo
A = (1 2 3)1 x 3
2) Matriz coluna (A ) – Apresenta apenas uma coluna.m x 1
Exemplo
A =
3) Matriz nula – Tem todos os elementos nulos.
Exemplo
A = = 02 x 3
4) Matriz diagonal – Matriz quadrada em que a = 0, se i πj.ij
Exemplo
A =
5) Matriz triangular – Possui os elementos acima ou abaixo da diagonal principal nulos.
Exemplo
6) Matriz identidade (In) – In Þa =ij
Exemplo
I = Obs.: A matriz identidade também é chamada matriz unidade.3
t t
Transposta de uma matriz (A , A)
É uma matriz obtida trocando-se, ordenadamente, linha por coluna.
Exemplo
t
A =A =
t
Obs.: Se A = A, A é simétrica.
Exemplo
t
A = A =
Oposta de uma matriz (–A)
É uma matriz obtida trocando-se os sinais de seus elementos.
Exemplo
t
A = A =
t
Obs.: Se A = –A, A é anti-simétrica.
Exemplo
t
A = A = –A =
O estudo formal de matrizes teve início em 1855 com
Arthur Cayley (1821-1895), embora o termo matriz já
tenha sido usado por Joseph Sylvester (1814-1897),
em uma revista alemã, em 1850.
Em textos chineses, de alguns anos antes de Cristo, já
se resolviam sistemas lineares, por um processo em
que a notação matricial já estava subentendida.
Cayley tinha em mente apenas os aspectos
algébricos, e não os efeitos práticos, de matrizes
quando formulou sua teoria.
Matriz
É uma tabela disposta em m linhas e n colunas. (m, n IN*)
Exemplo
A =
Os elementos da matriz possuem dois índices de localização (i) para a posição da linha e
para a posição da coluna (j).
Exemplo
a = 723
Então, genericamente, a matriz é representada por:
A = (a )ij m x n
Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, de mesmo tipo, serão iguais se, e somente se, seus elementos
correspondentes (que ocupam a mesma posição) forem iguais.
2 3 7
0 5 2 2 x 3
1 2 3
A = 4 5 6
7 8 9
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø diagonal principal aij Þi = j
diagonal secundária
2
3
7 3 x 1
0 0 0
0 0 0
2 0 0
0 4 0
0 0 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 0 0
A = 3 2 0
5 2 3
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
triângular inferior
2 3 5
A = 0 2 3
0 0 3
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç ÷
è ø
triângular superior
1, se i = j
0, se i jπ
2 3 4
1 1 4
2 1
3 1
4 4
2 3 4
3 1 7
4 7 5
2 3 4
3 1 7
4 7 5
–2 3 1
0 –4 2
2 –3 –1
0 4 –2
0 –2
2 0
0 2
–2 0
0 2
–2 0
ij
2x3
3x2
2x2
3x3
jix
mxn
mxn
4x1
1x4
ij
m
nx