GeoGebra na Geometria Euclidiana

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE PROGRAMA
INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO A DOCÊNCIA
PIBID/MATEMÁTICA/CCT/UFCG Página 1
O MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO À
DOCÊNCIA
PROJETO UFCG NA EDUCAÇÃO BÁSICA:
“OLHARES – DIÁLOGOS – INTERAÇÕES”
SUBPROJETO PIBID/MATEMÁTICA – CAMPINA GRANDE
O GEOGEBRA NA GEOMETRIA EUCLIDIANA
PLANA
CAMPINA GRANDE
2014

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME
AUTORES:
Bruno Santos
Érica Vicente de Souza
José Hugo Ferreira da Silva
Lucas Diêgo de Lima
Marrythiely Rodrigues Oliveira
Poliana Franque de Oliveira
Rubiane da Costa Farias
ORIENTADOR:
Severino Horácio da Silva

APRESENTAÇÃO
A proposta desta oficina é qualificar e treinar os professores para melhorar os
resultados alcançados nas aulas de matemática com a utilização do software GeoGebra.
Assim o GeoGebra é utilizado como recurso metodológico, diferente do método
tradicional, proporcionando e enriquecendo as aulas de matemática, pois sabemos que o
professor fundamenta os conhecimentos matemáticos e o GeoGebra age como um elo
complementar de estruturação do ensino-aprendizagem, fornecendo a construção dos
fazeres didático pedagógico.

1. INTRODUÇÃO
Tendo em vista que as aulas de matemática realizadas no laboratório de informática
tornam-se mais dinâmicas e convidativas, realizamos um trabalho utilizando o software
GeoGebra com roteiros sobre as construções de algumas demonstrações de teoremas,
definições e axiomas da Geometria Euclidiana Plana.
O diferencial de se trabalhar com o GeoGebra é que ele possui uma dinâmica,
podendo ser trabalhada a interdisciplinaridade com conteúdos matemáticos fazendo a
construção de figuras com animação no próprio software. Diante disso trazemos alguns
roteiros que auxiliaram os professores na utilização do GeoGebra nas aulas de matemática.
2. OBJETIVOS
 Auxiliar professores que já trabalham em escolas e alunos de graduação;
 Demonstrar aos professores meios e métodos de como trabalhar no GeoGebra de forma
simplificada e inovadores dentro da sala de aula.
 Desempenhar uma melhor interação entre professor e aluno, facilitando o Ensino-
Aprendizagem da Geometria Euclidiana Plana com uso da tecnologia.
 Avaliar o uso de recursos tecnológicos no processo de Ensino-Aprendizagem.
3. METODOLOGIA
Na busca por uma execução o mais sucinta possível, a oficina será ministrada e
fundamentada em dois momentos:
Primeiro Momento – Esclarecer a importância do uso do software GeoGebra na educação
matemática;
Segundo Momento – Fazer a junção entre teoria e prática, com a execução dos trabalhos
realizados em um laboratório de informática (oficina – O Uso do GeoGebra na Geometria
Euclidiana plana).

4. A IMPORTÂNCIA DO USO DO GEOGEBRA NA EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
A falta de interesse dos alunos no estudo da matemática e a má formação dos
professores vêm deixando marcas preocupantes na educação. Conforme Silva (2004, p.10)
“A tarefa dos educadores em geral não é mais a de transmitir, e, sim, dar condições para
que a aprendizagem realmente aconteça. O interesse na aprendizagem depende das
situações estimuladoras criadas pelo educador para proporcionar ao educando o maior
número possível de descobertas e desafios, estimulando, assim, a curiosidade dos alunos”.
Notamos a necessidade de que os educadores procurem novas formas de ensino,
embasados neste pensamento, vimos que a utilização do GeoGebra é um importante
recurso para o professor trazer para sua aula o uso da tecnologia, ensinando como deve ser
utilizados de forma educativa e saudável.
A utilização de softwares no auxílio no processo de ensino-aprendizagem é um dos
maiores motivadores para a existência de laboratórios de informática nas escolas, pois com
os avanços tecnológicos e os computadores cada vez mais inseridos no cotidiano dos
jovens, a aprendizagem com a utilização deste acaba por tornar-se mais satisfatória. A
ampliação da visão dos discentes é outro ponto positivo causado na inserção da tecnologia
nas aulas, pois grande parte dos softwares possibilita ao aluno uma abordagem gráfica,
deixando um pouco de lado toda a abstração que permeia a matemática.
5. ROTEIROS
Com uso do GeoGebra verificaremos a seguir alguns dos teoremas, axiomas e
demonstrações presentes no livro Geometria Euclidiana Plana do autor João Lucas
Marques Barbosa.
5.1 Os Axiomas de Incidência e Ordem.
Axioma I: Qualquer que seja a reta existe pontos que pertencem e pontos que não
pertencem a reta.

Utilizando o software GeoGebra, daremos um roteiro para verificação do resultado
geometricamente do axioma “Qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem e
pontos que não pertencem a reta”. Observe a demonstração a seguir.
I. Construa uma reta
 Clique em “Reta” , depois clique na área de desenho e em seguida em alguma
coordenada. Conforme a figura 1.
Figura 1
 Logo após vamos criar um novo ponto, clique em “Ponto” e em seguida clique
na área de desenho, que não esteja contido na reta que você desenhou anteriormente.
Conforme a figura 2.
Figura 2
Axioma II: Dados dois pontos distintos existe uma única reta que os contém
II. Construa uma reta

Figura 3
OBS.: Quando duas retas têm um ponto em comum dizemos que elas se intersectam ou
que elas se cortam neste ponto. Conforme a figura 4.
Figura 4
Axioma III: Dados três pontos distintos de uma mesma reta, um e apenas um deles
localiza-se entre os outros dois.
III. Construa uma reta
Figura 5

 Clique em “Ponto” e em seguida clique na reta construída anteriormente.
Conforme as figuras 6.
(a) (B)
(c)
Figura 6
Proposição I: Para as semirretas determinadas por dois pontos A e B tem-se:
SABᴗSBA é a reta que contém A e B e SABᴖSBA = AB
IV. Construa união e interseção das semirretas 𝑺 𝑨𝑩 e 𝑺 𝑩𝑨
 Clique em “Semirreta” e em seguida clique na área de desenho. Conforme a
figura 7.
Figura 7
 Logo após clique nos pontos “B” e “A” respectivamente. Conforme a figura 8.

Figura 8
Axioma IV: Dados dois pontos distintos A e B sempre existe um ponto C entre A e B e
um ponto D tal que B está entre A e D.
V. Construindo uma reta
Figura 9
 Clique em “Ponto” e em seguida clique na reta construída anteriormente.
Conforme a figura 10.
Figura 10
5.2. Axiomas Sobre Medição de Ângulos

Definição I. Chamamos de ângulo a figura formada por duas semi-retas com a mesma
origem.
Construção no GeoGebra
 Trace um segmento 𝑨𝑩̅̅̅̅, para isto clique em “Segmento definido por Dois Pontos”
e em seguida clique na área de desenho em dois pontos distintos, assim o
segmento abaixo surgirá, conforme a Figura 11.
Figura 11
 Repetindo o processo crie segmento 𝑨𝑪̅̅̅̅ com o ponto C diferente do ponto B.
Figura 12
 Para determinar o ângulo α formado por essas duas semirretas clique em “Ângulo”
e selecione os segmentos em sentido anti-horário, no nosso caso, será 𝑨𝑩̅̅̅̅ e
posteriormente 𝑨𝑪̅̅̅̅.

Figura 13
 Clique em, “seletor” e clique na área de trabalho para especificar a posição do
seletor. Observe que ao clicar abrirá uma janela que deveremos fazer os seguintes
passos:
Selecione a opção “ângulo” sendo este denominado de α (alfa) e na aba “intervalo”
digitar na caixa de texto máx. 360° como mostra a Figura14.
Figura 14
 Em seguida clique em “Ângulo com Amplitude Fixa” e a janela abaixo será
exposta. Nela digitaremos na caixa de texto ângulo α (alfa) e definimos o sentido
anti-horário conforme a Figura 15.
Figura 15

 Depois clique em B e depois em A, então surgirá o ponto B’, conforme a figura 16.
Figura 16
 Trace um segmento 𝑨𝑩′̅̅̅̅̅, para isto clique em “Segmento definido por Dois Pontos”
e em seguida clique na área de desenho em dois pontos distintos, assim o
segmento abaixo surgirá, conforme a Figura 17.
Figura 17
OBS 1.: A figura acima representa um ângulo agudo, ou seja, α < 90°.
OBS 2.: Movendo o seletor podemos obter os demais ângulos.
Definição II. Um ângulo cuja medida é 90° é chamado ângulo reto.

Figura 18
Definição III. Um ângulo é obtuso se mede mais de 90°.
Figura 19
Definição V. Um ângulo é raso quando sua medida é 180°.
Figura 20
Teorema I. Por qualquer ponto de uma reta passa uma única perpendicular a esta reta.

 Crie um “Ponto” , em seguida trace uma reta paralela ao eixo x, clicando em
“Reta Paralela” , conforme a figura 21.
Figura 21
 Crie uma reta perpendicular passando A, por clicando em “Reta Perpendicular”
.
Figura 22
 Crie uma semirreta clicando em “Semirreta Definida por Dois Pontos” sobre a
reta perpendicular, e em seguida clique com o botão direito do mouse sobre a reta
perpendicular e pressione “Exibir/Esconder Objetos” .

Figura 23
 Crie um seletor clicando em “Seletor” e chame-o de α_1, em seguida clique em
“Rotação em Torno de um Ponto” . Feito isso, clique na semirreta e no ponto A,
agora chame o ângulo da rotação de α_1 e selecione a opção sentido ante-horário.
Em seguida chame a nova semirreta de n’. Veja a figura 24.
Figura 24
 Novamente clique em “Rotação em Torno de um Ponto” , clique na semirreta e
no ponto A, agora chame o ângulo da rotação de α_1 e selecione a opção sentido
horário, e em seguida chame a nova semirreta de n. Veja a figura 25.
Figura 25

GeoGebra na Geometria Euclidiana

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