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A construção do conceito de potência com a geometria fractal

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A construção do conceito de potência com a geometria fractal

  1. 1. A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE POTÊNCIA COM A GEOMETRIA FRACTAL UFF – Universidade Federal Fluminense Curso de Pós Graduação em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática Disciplina: Informática Educativa I Aluna: Alessandra Muniz da Silva
  2. 2. Introdução Grande parte dos elementos naturais não pode ser representada por figuras costumeiramente estudadas como retângulos, quadrados entre outros. No entanto, a construção manual de muitos fractais pode ser uma atividade trabalhosa, exigindo tempo e precisão de medidas, processo que pode ser facilitado com a utilização de um recurso computacional. Propomos a realização de uma intervenção pedagógica que faz uma abordagem alternativa da construção de fractais com uso de um recurso computacional o software Geogebra , explorando conteúdos geométricos e algébricos.
  3. 3. Objetivos Propor uma abordagem alternativa da construção de fractais usando como principal ferramenta de apoio o software Geogebra de modo a propiciar o desenvolvimento de conteúdos geométricos e conceitos de potência. Público alvo: Alunos do 6º ano Pré-requisitos Conceitos de triângulo equilátero, ponto médio, segmentos de reta, circunferência, multiplicação dos números naturais. Tempo previsto para as atividades Tempo previsto em duas horas aula. Desenvolvimento: na sala de aula e na sala de computadores.
  4. 4. 1ª aula Na sala de aula Sugere-se uma breve revisão sobre um problema que induziria os alunos a construírem o conceito de potência.
  5. 5. Atividade proposta 1 Breve introdução sobre o Triângulo de Sierpinsky. O Triângulo de Sierpinsky (descoberto pelo matemático Waclav Sierpinsky 1882-1969), construir a partir de um triângulo inicial e uma regra: dividir o triângulo em 4 partes iguais e retirar a parte central. A cada triângulo restante é aplicada a mesma regra, infinitas vezes. Veja o desenho abaixo: Deixe os alunos observarem os desenhos por alguns minutos. Após essa observação, induzir os alunos a perceberem que o triângulo da fase 1 possui todos os lados iguais, ou seja, que é um triângulo equilátero. Induzir, também, a notarem o triângulo da fase 2 como sendo formado por três triângulos equiláteros, uma vez que o triângulo central foi “retirado”. Nesse momento propor comentários sobre as figuras.
  6. 6. Atividade proposta 2 Solicitar aos alunos que construam o triângulo de Sierpinsky até a fase quatro, ou seja, que os alunos desenham triângulos equiláteros dentro de triângulos equiláteros e retirarem a parte central até formar triângulos em que um dos seus lados fosse a oitava parte do lado do triângulo original que eles haviam desenhado. Utilizando régua, lápis e folha A4 . Sugestão: pedir aos alunos que pintem com o próprio lápis os triângulos que estão formando. Com os alunos em sala após essa atividade, o professor lança a seguinte pergunta: Quantos triângulos estão pintados? A contagem será igual para todos, porém eles irão perceber que essa atividade facilitou a interpretação do conteúdo.
  7. 7. Atividade proposta 3 Pedir aos alunos para preencher a tabela abaixo. Nesta atividade o professor pode intervir ao surgir dificuldades. Na sala de computadores 2ª aula Preparação Organizar os alunos em grupos conforme o número de computadores no laboratório. Recomenda-se que o trabalho seja realizado em duplas de alunos, para que ocorra a troca de ideias e de estratégias. Requerimentos técnicos Software Geogebra
  8. 8. Apresentam-se aos alunos os passos operacionais de acesso ao software Geogebra. * Acessando o Geogebra pela área de trabalho * Conhecendo o Geogebra
  9. 9. A Barra de Ferramentas está dividida em 12 janelas como a que apresentamos na Figura 2. Figura 2 – Janelas do Geogebra Fonte: Interface do software Geogebra (2014). Cada janela possui várias ferramentas que podem ser visualizadas com um clique na parte inferior do ícone. Assim, o programa abrirá as opções referentes à janela. Cada ícone tem um desenho e um nome para ajudar a lembrar o que a ferramenta faz. O Campo de Entrada fica no rodapé da janela do Geogebra. Por meio dele é possível operar o programa usando comandos escritos, que desempenham praticamente as mesmas funções da Barra de Ferramenta. Dependendo do objetivo que se tem, este recurso pode apresentar algumas vantagens como, por exemplo, a precisão de um ponto ao digitarmos suas coordenadas, que com um clique no mouse pode não sair no local desejado. A Janela da Álgebra, que geralmente aparece quando iniciado o Geogebra, pode ser ocultada a partir da Barra de Menu, em exibir e marcando a opção janela de álgebra. Uma das funções desta Janela é exibir as informações algébricas dos objetos que estão na Janela de Visualização, sendo possível editar as suas respectivas propriedades. Para tanto, é preciso clicar com o botão direito do mouse sobre a informação algébrica do objeto e escolher a opção propriedades, ou então, fazer essa edição com um duplo clique sobre a informação algébrica. Depois de apresentado o software aos alunos, deixa um tempo livre para que possam se familiarizar com as funções e possibilidades de trabalho com uso o programa.
  10. 10. Atividade proposta 4: Construção da Curva de Koch com o software Geogebra A Curva de Koch, foi proposta para ser construída no Geogebra com o objetivo de identificar a regra de construção do referido fractal e em seguida mobilizar conhecimentos acerca de segmentos de reta e circunferência para a sua construção. Também objetiva-se fazer uso da potenciação para representar os comprimentos dos segmentos em cada iteração. Abaixo estão os passos para a construção da Curva de Koch. Abrir uma janela no Geogebra e ocultar os eixos caso esteja visível clicando com o botão direito dentro da janela de visualização e no menu rápido selecionar a opção eixos . Primeira iteração: Selecione a ferramenta segmento e crie o segmento com dois pontos, A e B. Segunda iteração: Selecione a ferramenta segmento e crie o segmento com dois pontos, C e D. Digita-se no campo de entrada E=(2C+D)/3, enter e também F=(C+2D)/3 e enter, assim dividimos o segmento CD em três segmentos congruentes. Agora, seleciona-se a ferramenta círculo dados centro e um se seus pontos e clica-se primeiro no ponto E e depois no ponto F, originando a circunferência c; em seguida repete-se o processo, mas agora considerando F como centro e E o outro ponto, obtendo a circunferência d. Depois selecionamos a ferramenta interseção de dois objetos, clica-se nas circunferências c e d, obtendo os pontos G e H. Ocultar as circunferências e o ponto H, clicando com o botão direito sobre as circunferências e escolha opção exibir objeto e depois no ponto H, clique novamente com o botão direito e escolha a opção exibir objeto. Para obter o estágio final basta selecionar a ferramenta segmento, e traçar os segmentos CE, EG, GF e FD.
  11. 11. Criar uma ferramenta: Selecionar o menu Ferramentas, criar uma nova ferramenta Ferramenta 1: Objetos finais: pontos E, G e F e segmentos CE, EG, GF e FD. Objetos iniciais: pontos C e D. Nome da ferramenta: Curva de Koch Ferramenta 2: Objetos finais: pontos E, G e F. Objetos iniciais: pontos C e D. Nome da ferramenta: Curva de Koch 2 Terceira iteração: Selecione a ferramenta segmento e crie o segmento IJ. Selecione a ferramenta 2 criada(curva de Koch 2) e clique sobre os dois pontos, obtendo os pontos K, L e M. Em seguida seleciona a ferramenta 1 (curva de Koch 1) criada e clique sobre os pontos I e K, K e L, L e M, M e J; obtendo a terceira iteração da Curva de Koch.. Material necessário Régua, lápis e papel A4 Sequência de atividades 1ª aula: Trabalho individual em sala de aula – revisão sobre os conceitos de potencia e atividades propostas. (Uma hora aula). 2ª aula: Construção da Curva de Koch no laboratório de informática e exercícios de aplicação sugeridos. (Uma hora aula)
  12. 12. Avaliação Analisar os conceitos construídos e/ou aprimorados pelos alunos após a realização da atividade, esclarecendo dúvidas ainda existentes. Durante toda a atividade o professor poderá avaliar o empenho dos alunos na medida em que observa e interage com os grupos e no momento de discussão analisar as diferentes estratégias, bem como, solicitar um relatório por escrito da atividade, que também pode ser orientado a partir das questões sugeridas anteriormente, ou outras que o professor julgar interessante para avaliação da mesma. Ainda no laboratório de informática, poderá propor as seguintes atividades para complementar a avaliação. Abaixo, apresentamos dois exercícios. A construção da Curva de Koch realizada no software Geogebra, podemos observar a sequência de figuras fractais. Quantas linhas formam cada uma das figuras? Expresse os números do primeiro exercício na forma de potências, indicando a que figura correspondem.
  13. 13. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. http://lounge.obviousmag.org/por_tras_do_espelho/2012/07/os-fractais-da-natureza---a-perfeicao-no-caos.html. Acesso em: 25 de junho de 2014 Fractais no Ensino Fundamental: explorando essa nova geometria. s/d. Disponível em: <http://www.leoakio.com/cariboost_files/fractais_20no_20ensino_20fundamental.pdf>. Acesso em: 15 de fev. 2012.

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