Introdução à Análise Estatística de Experimentos com Restrição na Aleatorização

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS
1º SEMESTRE DE 2010

EXPERIMENTOS COM RESTRIÇÃO
NA ALEATORIZAÇÃO


PROBLEMA:

Um professor conduziu um experimento cujo objetivo era o de
com comparar quatro diferentes fontes de informação ( A – Jornal;
B – Televisão; C – Revistas; D – Rádio). Para verificar este objetivo,
foi escolhido aleatoriamente um conjunto de 24 alunos dentre os
quais 12 cursavam a 1a série do ensino médio (Grupo II) e 12 a 6a
série do ensino fundamental (Grupo I). Os alunos foram então
divididos em 2 grupos, segundo a série que cursavam e para cada
um foi atribuído aleatoriamente uma fonte de informação. Os
alunos tomaram então conhecimento de certa notícia através da
sua fonte de informação sendo então submetidos a um teste de
conhecimento sobre o assunto.

PROBLEMA:
Objetivo:

Comparar as diferentes fontes de informação.

Unidades Experimentais:

Dois grupos de alunos com diferentes idades (diferentes séries).

Condição:

As diferentes fontes de informação devem ser aplicadas aos
diferentes grupos de estudantes.

Restrição na forma de distribuição os tratamentos as unidades
experimentais.


EXPERIMENTOS COM RESTRIÇÃO NA ALEATORIZAÇÃO

SITUAÇÃO:

Unidades experimentais são heterogêneas devido a
presença de uma (ou mais) fonte(s) de variação(ões)
conhecida(s) e que pode(m) ser controlada(s) quando
da realização do experimento.



CONSEQÜÊNCIA:

Aleatorização deve ser realizado após o agrupamento
das unidades experimentais em subconjuntos
homogêneos

Subconjuntos homogêneos, usualmente chamado de
“blocos”



OBJETIVO:

Espera-se que exista uma variabilidade entre unidades
experimentais de diferentes blocos, explicada pela
fonte de variação conhecida, e uma homogeneidade
(baixa variabilidade) entre as unidades experimentais
de um mesmo “bloco”.


EXPERIMENTOS ALEATORIZADOS EM BLOCOS

Problema:
As unidades experimentais são heterogêneas devido a
presença de uma fonte de variabilidade conhecida e que pode
ser controlada na realização do experimento de forma a se obter
subgrupos homogêneos.

PLANEJAMENTO E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 1
1º SEMESTRE DE 2009 PROF. PEDRO FERREIRA FILHO

Objetivo:
Agrupar as unidades experimentais em subgrupos
homogêneos de forma a manter sob controle a fonte de
variabilidade conhecida garantindo desta forma que os
resultados a serem obtidos serão devidos somente aos efeitos
dos tratamentos em estudo.


DADOS:
Fonte de Informação
A B C D
Grupo I 65 56 58 38
69 49 65 30
73 54 57 34

Grupo II 72 73 76 71
79 77 69 65
80 69 71 62


DEFINIÇÕES:
Blocos: sub-grupos de unidades experimentais homogêneas
Blocos Completos: em cada bloco existe pelo menos uma unidade
experimental submetida a cada tratamento.
Blocos Incompletos: o número de unidades experimentais é
inferior, em um ou mais blocos, ao número de tratamentos, logo
nem todos os tratamentos são aplicados em todos os blocos.
Aleatorização: Processo de atribuição aleatória dos tratamentos às
unidades experimentais dentro de cada bloco.


IMPORTANTE:

Um bloco deve ser entendido como uma restrição a aleatorização.
Se não for considerado este princípio, ele provavelmente deve ser
outro fator e deve ser tratado como tal, ou seja, como um
experimento fatorial.

BLOCO ≠ FATOR


Blocos
Tratamentos
DADOS: ESTRUTURA GERAL 1 2 … b
1 y111 y112 y121 y122 ... y1b1 y1b2
y113 y114 y123 y124 y1b3 y1b4
“a” tratamentos …. …… …… …… …..
“b” blocos. a ya11 ya12 ya21 ya22 ... yab1 yab2
ya13 ya1n ya23 ya2n yab3 yabn

yijk : i = 1, 2, ..., a tratamentos
j = 1, 2, ..., b blocos
k = 1, 2, ...,nij unidades experimentais por tratamentos em cada bloco.

Observação: Se nij é o mesmo ( =n ) para todo i e j temos experimento balanceado.

na : número total de unidades experimentais por blocos
nab : número total de unidades experimentais no experimento
nb : número de unidades experimentais que receberam cada tratamento.


DADOS: ESTRUTURA GERAL : Simplificação (Caso Usual):
Consideremos a situação em que existe somente uma unidade experimental
submetida a cada tratamento em todos os blocos, isto é, n = 1 N = ab.


MODELO:
yij = + i + j + ij

: efeito comum que independe de blocos ou tratamentos

i : efeito de tratamentos; i = 1, ..., a

j: efeito de blocos; j = 1, ..., b

ij : Erros aleatórios



ESTIMADORES:



TESTE DE HIPÓTESES:
Modelo:
yij = + i + j + ij

Problema: Hipótese de Igualdade de Tratamentos



Questão: Como testar H0 ?

Análise da Variabilidade : Identificar a “quanto” cada
componente do modelo contribui (ou explica”) para a
variabilidade total dos valores observados

Modelo:
yij = + i + j + ij



SQT = SQModelo + SQE

= SQTr + SQBloco + SQE



Graus de liberdade: (n=1)

Total: N – 1 ( N = nab = ab)

tratamentos: a – 1
blocos: b – 1
erro: (a – 1) (b – 1)



Esperança dos Quadrados Médios

Sob Ho

E (QME) = E (QMT) = 2



Estatística de Teste:

Sob a hipótese 2):
ij ~ N (0,

Fc ~ Fa-1,(a-1)(b-1)
rejeita-se H0 se Fc > Ft



Problema: Hipótese de Igualdade de Blocos

Quando os blocos controlam uma causa de
variação conhecida, o teste de efeitos de blocos é
totalmente desnecessário. A definição do experimento
com uma estrutura de blocos é devido ao fato de que é
conhecida a variabilidade existente nas unidades
experimentais em função das características que definem
os blocos



Problema: Hipótese de Igualdade de Blocos

Entretanto, o pesquisador, às vezes, organiza blocos
para controlar uma fonte de variação sobre a qual tem
dúvidas sobre a sua significância. Nestes casos depois de
realizado o experimento, deseja-se verificar a diferença
entre blocos, pois assim conclusões poderão ser tomadas
de forma a contribuir no planejamento de experimentos
futuros.



Hipóteses:

Ho : j= 0 j
H1 : j 0 para pelo menos um j

Vimos que:



Sob H0:

E (QME) = E (QMBloco) = 2

Rejeita-se H0:



Conclusão:

Se os pressupostos que levaram a fixar a estrutura
de blocos estão corretos, o teste F* deve ser
sempre significativo, ou seja, deve confirmar a
informação de diferença entre as unidades
experimentais.



TESTE DE HIPÓTESES: ANÁLISE DE VARIÂNCIA
ANOVA GL SQ QM F
Modelo a+b–2 SQM -
. Blocos b–1 SQB SQB/b-1 QMB/QME
. Tratam. a–1 SQTr SQTr/a-1 QMTr/QME
Erro (a – 1) (b – 1) SQE SQE/(a-1)(b-1)
Total N-1



TESTE DE HIPÓTESES: ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Expressões:

SQE SQT SQB SQTr



TESTE DE HIPÓTESES: Complementando a Análise
Comparações Múltiplas:
Seguem os mesmos procedimentos do caso completamente
aleatorizado.

Uso apenas para no caso da rejeição da hipótese de igualdade dos
tratamentos



TESTE DE HIPÓTESES: Complementando a Análise
Adequabilidade do Modelo:

Devem ser utilizados os mesmos procedimentos vistos
para o caso de um único fator, devendo no entanto o gráfico de
resíduos ser utilizado nas seguintes alternativas:

- Gráfico de resíduos x predito
- Gráfico de resíduos x tratamentos
- Gráfico de resíduos x blocos



CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO:
Fonte de Informação
A B C D
Grupo I 65 56 58 38
69 49 65 30
73 54 57 34

Grupo II 72 73 76 71
79 77 69 65
80 69 71 62



CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO:
COMPARANDO RESULTADOS COM MODELO COM E SEM BLOCOS
SEM BLOCO COM BLOCO


CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO: ANOVA

Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F
Model 3 1668.00000 556.000000 4.10 0.0203
Error 20 2714.00000 135.700000
Corrected
23 4382.00000
Total

COM BLOCO

Sum of Mean
Source DF Squares Square F Value Pr > F
Model 4 3612.00000 903.000000 22.28 <.0001
Error 19 770.000000 40.526316
Corrected
23 4382.00000
Total


SEM BLOCO

R-Square Coeff Var Root MSE Nota Mean
0.380648 18.49053 11.64903 63.00000

COM BLOCO

R-Square Coeff Var Root MSE Nota Mean
0.824281 10.10481 6.366028 63.00000


SEM BLOCO

Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F
Fonte 3 1668.000000 556.000000 4.10 0.0203

COM BLOCO
Mean
Source DF Type I SS Square F Value Pr > F
Bloco 1 1944.000000 1944.000000 47.97 <.0001
Fonte 3 1668.000000 556.000000 13.72 <.0001


SEM BLOCO COM BLOCO
r esi duo r esi duo

20
10

r r

e e

s s
i 0
i 0
d d

u u
o
o

- 10 - 20
-1 0 1
-1 0 1
r esi duo nor mal quant i l es
N esi duo
_r

Test s f or N m i ty
or al
Test s f or N m i ty
or al
Test S at i st i c
t V ue
al p- val ue
Test S at i st i c
t V ue
al p- val ue
Shapi r o- W l k
i 0. 977981 0. 8559
Shapi r o- W l k
i 0. 986365 0. 9793 K m
ol ogor ov- S i r nov
m 0. 115343 >. 1500
K m
ol ogor ov- S i r nov
m 0. 098059 >. 1500 C am - von M ses
r er i 0. 040335 >. 2500
C am - von M ses
r er i 0. 028444 >. 2500 Ander son- D l i ng
ar 0. 230951 >. 2500
Ander son- D l i ng
ar 0. 161130 >. 2500


CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO: COMPLEMENTANDO A ANÁLISE

Means with the same letter are
not significantly different.
Alpha 0.05
Tukey Gro
Error Degrees of Freedom 19
uping Mean N Fonte
Error Mean Square 40.52632
A 73.000 6 Jornal
Critical Value of
3.97655 A 66.000 6 Revistas
Studentized Range
A 63.000 6 Televisão
Minimum Significant
10.335
Difference B 50.000 6 Rádio


EXEMPLO 2:
Um experimento foi realizado com o objetivo de verificar o efeito de
quatro diferentes produtos químicos sobre a resistência de tecidos. Esses
produtos químicos são usados como parte do processo de acabamento
sob prensagem permanente. Para se executar o experimento foi
disponibilizado quatro peças de cinco diferentes tipos de tecidos. Ao final
do experimento foi registrada uma medida de resistência de cada peça
de tecido utilizada.


EXEMPLO 2:
Objetivo: Comparar o efeito dos quatro diferentes produtos
químicos

Unidades Experimentais: 20 peças de tecidos sendo 4 de cinco
diferentes tipos de tecidos.

Problema: Garantir que os diferentes tipos de tecidos sejam
submetidos a todos os diferentes produtos químicos em estudo.


EXEMPLO 2:
Solução: Distribuir aleatoriamente os diferentes produtos químicos
nas peças de cada tipo de tecido, ou seja, os diferentes tipos de
tecidos devem ser considerados como blocos e os tratamentos
(produtos químicos) devem ser atribuídos as peças dentro de cada
tecido.
Variável Resposta: Medida de resistência observada ao final do
experimento.


EXEMPLO 2: DADOS OBSERVADOS

Produtos Tipos de Tecidos
Químicos 1 2 3 4 5

A 1.3 1.6 0.5 1.2 1.1

B 2.2 2.4 0.4 2.0 1.8

C 1.8 1.7 0.6 1.5 1.3

D 3.9 4.4 2.0 4.1 3.4


EXEMPLO 2: RESULTADOS - ANOVA
Source DF Sum of Mean F Value Pr > F
Squares Square

Model 7 24.73700000 3.53385714 44.59 <.0001

Error 12 0.95100000 0.07925000

Corrected 19 25.68800000
Total

R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean

0.962979 14.36295 0.281514 1.960000



Source DF Type III SS Mean Square F Pr > F
Value

TE 4 6.69300000 1.67325000 21.11 <.0001

PQ 3 18.04400000 6.01466667 75.89 <.0001


Means with the same letter
Alpha 0.05
are not significantly different.
Error Degrees of 12
Freedom Tukey Groupi Mean N PQ
ng
Error Mean Square 0.07925
A 3.5600 5 D
Critical Value of 4.19852
Studentized Range B 1.7600 5 B
Minimum Significant 0.5286 C B 1.3800 5 C
Difference
C 1.1400 5 A

Introdução à Análise Estatística de Experimentos com Restrição na Aleatorização

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (8)

Destaque

Destaque (6)

Semelhante a Introdução à Análise Estatística de Experimentos com Restrição na Aleatorização

Semelhante a Introdução à Análise Estatística de Experimentos com Restrição na Aleatorização (7)

Mais de Dharma Initiative

Mais de Dharma Initiative (20)

Último

Último (20)

Introdução à Análise Estatística de Experimentos com Restrição na Aleatorização