Caroline GodoyTurma : Sistemas de Informação
Teste de HipóteseÚltima aula• Teste para a variância com uma constante;                         2      (n 1) / S 2        ...
Teste de HipóteseÚltima aula• Comparação de duas populações:   • Planejamento Aleatorizado (amostras independentes)       ...
Teste de HipóteseÚltima aula• Questões iniciais:    1.   As duas populações são normais?         Verificar por gráficos co...
Teste de Hipótese Última aula – Amostras independentes• Considerando as duas populações Normais ; variâncias iguais e     ...
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Teste de HipóteseExemplo 1• Considerando dois diferentes métodos submetidos aleatoriamente a um  grupo de unidades experim...
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Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Amostras dependentes• Então, podemos definir:              ...
Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Amostras dependentes• A estatística de teste para as hipóte...
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Teste de HipóteseExemplo 2:• Já foi dito que ouvir Mozart melhora o desempenho dos alunos em  testes. Na história “Floral ...
Teste de HipóteseExemplo 2:                -7,37        -10,48        14,30        -10,77                -3,14        -0,8...
Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Proporção• Vimos o teste para a proporção, comparado com um...
Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Proporção• Estatística de teste:                   ˆ ˆ     ...
AnovaANOVA com um fator Vimos até agora comparações de médias com uma constante e comparações de médias de duas populaçõe...
AnovaSituação 1 Um estudo foi conduzido, no período de um ano, para    acompanhar três grupos de alunos de Sistemas de   ...
AnovaComparando 3 populações     Grupo                 Grupo                  Grupo     A                     B           ...
AnovaComo Comparar as Médias?   Teste z ou t duas a duas:                                     3    3!          Para 3 amos...
AnovaProblemas ... 1) A quantidade de testes “explode”, quando a quantidade de    amostras aumenta. 2) A condução de múlti...
AnovaDeseja-se um teste para comparar asdiversas médias, no qual a probabilidadede cometermos um Erro Tipo I seja igual aa...
AnovaConceitos Estudos observacionais – observação de indivíduos ou    objetos de interesse, mas não procura influenciar ...
AnovaConceitos Aleatorização usa o acaso para alocar os ‘sujeitos’ aos  tratamentos. Aleatorização + Comparação evitam o...
AnovaConceitos - Exemplo Um pesquisador está interessado em investigar o efeito de vários tipos de ração que diferem pela...
AnovaConceitos – Exemplo 2 Estudo do efeito de quatro fertilizantes e três variedades  de feijão quanto à sua produção.  ...
AnovaConceitos1.   Uma indústria de parafusos adquiriu 5 máquinas de uma determinada     marca para produzir parafusos, e ...
AnovaConceitos No item 1 máquina é um efeito fixo e no item 2 é um efeito aleatório;                                Refer...
AnovaProcedimento de aleatorização Experimentos completamente aleatorizados   Tratamentos atribuídos aleatoriamente à to...
AnovaTipos de Experimentos Experimentos com uma única fonte de variação: ONEWAY (com  um fator)    Exemplo: Comparar a p...
ExemploUm experimento foi conduzido com a finalidade decomparar os tempos de transmissão de dados dequatro servidores (A, ...
ExemploDesenho esquemático do tempo de transmissão de cada servidor                                            Existe uma...
1-2 A Análise de Variância Para descrever situações com apresentado neste exemplo, adota-se um modelo do tipo:            ...
1-2 A Análise de VariânciaEm geral           Tabela 1-2 Dados gerais de um experimento com um único fator           Tratam...
Modelo estatístico (one-way):             y ij      μi      ε ij      μ τ i ε ij              i=1,2,...,a,                ...
1-3 Análise de VariânciaHipóteses: H0:    1=      2=...=    a   =           Ha:    i        ᵥ para   pelo menos um par (i,...
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  1. 1. Caroline GodoyTurma : Sistemas de Informação
  2. 2. Teste de HipóteseÚltima aula• Teste para a variância com uma constante; 2 (n 1) / S 2 2 c 2 ~ n 1 0• Teste para a variância de duas populações (n1 1) S12 2 U U ~ (n1 1) 2 S12 (n1 1) 2 ~ F (n1 1, n2 1) 2 (n2 1) S 2 2 S2 V V 2 ~ (n2 1) (n2 1)
  3. 3. Teste de HipóteseÚltima aula• Comparação de duas populações: • Planejamento Aleatorizado (amostras independentes) Pop. 1: Perda de peso dos indivíduos submetidos à dieta A; (amostra de n1 valores) Pop. 2: Perda de peso dos indivíduos submetidos à dieta B. (amostra de n2 valores) • Planejamento Pareado (amostras dependentes) Pop. 1: Peso dos indivíduos antes da dieta A Pop. 2: Peso dos indivíduos depois da dieta A. (amostra única de tamanho n)
  4. 4. Teste de HipóteseÚltima aula• Questões iniciais: 1. As duas populações são normais? Verificar por gráficos como Box Plot ou Histograma já vistos. 2. As variâncias são iguais ou diferentes? Realizar o Teste F já visto. 3. As variâncias da população são conhecidas ou desconhecidas?
  5. 5. Teste de Hipótese Última aula – Amostras independentes• Considerando as duas populações Normais ; variâncias iguais e desconhecidas temos a estatística de teste pelo teste da Razão de Verossimilhança: H 0: A B H 0: B A 2 2 (YB YA ) ( B ) (n A 1) S A (nB 1) S Btc A onde Sp n A nB 2 1 1 Sp nA nB
  6. 6. Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Amostras independentes• Considerando as duas populações Normais ; variâncias diferentes e desconhecidas temos a estatística de teste pelo teste da Razão de Verossimilhança: H 0: 1 2 H 1: 1 2 ni (Y2 Y1 ) ( 1 2 1) onde Si2 ( yi y j )2tc nj 1 i 2 2 1 S 1 S2 n1 n2
  7. 7. Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Amostras independentes• Considerando as duas populações Normais ; variâncias diferentes e desconhecidas temos a estatística de teste pelo teste da Razão de Verossimilhança: tc tv; /2 tc H1 : B A• Rejeita-se H0 se: tc tv; H1 : B A tc tv; H1 : B A 2 2 2 S 1 S2• onde n1 n2 v 2 2 2 2 S1 S 2 n1 n2 n1 1 n2 1
  8. 8. Teste de HipóteseExemplo 1• Considerando dois diferentes métodos submetidos aleatoriamente a um grupo de unidades experimentais, deseja-se saber: B é mais eficiente que A? Tratamentos Estatísticas A B Amostra ni 8 8 Média y 5,0 7,0 Variância S2 4,0 1,71 y1 j nota do m étodoA y2 j nota do m étodoB
  9. 9. Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Amostras dependentes• Considerando um exemplo de uma nova droga para emagrecimento proposta com N indivíduos observados com relação ao seu peso inicial. Após o tratamento com a nova droga o peso é novamente observado.• A droga pode ser considerada eficiente?• Hipótese Científica:H0: A droga não é eficienteH1: A droga é eficiente y1 j peso antes da droga j 1,...n y2 j peso depoisda droga• Para os testes é considerada a diferença entre antes depois do tratamento e quanto mais distante de zero, maior a presença do efeito do tratamento em estudo.
  10. 10. Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Amostras dependentes• Então, podemos definir: dj y2 j y1 j j 1,...n• Suposição: 2 d j ~ N( d; d )• Hipóteses a serem testadas H 0: d 0 H 1: d 0 H 1: d 0 H 1: d 0
  11. 11. Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Amostras dependentes• A estatística de teste para as hipóteses é d td ~ tn 1 Sd n• onde n n 1 1 d di Sd (d i d )2 n i 1 n 1i 1
  12. 12. Teste de Hipótese Comparação de Duas Populações ou Tratamentos – Amostras dependentes• Rejeita-se H0 sei) ii) iii)• Se quiséssemos calcular um IC: Sd IC( d ;1 ): d t /2 n
  13. 13. Teste de HipóteseExemplo 2:• Já foi dito que ouvir Mozart melhora o desempenho dos alunos em testes. Na história “Floral Scents and Learning”, os pesquisadores questionam cheiros agradáveis tem efeito semelhante. Vinte e um sujeitos resolveram um labirinto de papel e lápis enquanto usavam uma máscara que não tinha nenhum perfume ou tinha um aroma floral. A variável resposta é o tempo médio deles em 3 ensaios.• O experimento analisou o tempo médio sem perfume e o tempo médio com perfume para cada sujeito. Na tabela consta as diferenças dos tempos médios com perfume menos o tempo médio sem perfume.
  14. 14. Teste de HipóteseExemplo 2: -7,37 -10,48 14,30 -10,77 -3,14 -0,87 -24,57 24,97 4,1 8,7 16,17 -4,47 -4,4 2,94 -7,84 11,9 19,47 -17,24 8,6 -6,26 6,67• O primeiro sujeito por exemplo foi 7,37 segundos mais rápido usando a máscara perfumada, logo a diferença é negativa. Como tempos mais curtos representam um desempenho melhor, difereças negativas mostram que o sujeito teve um melhor desempenho quando usou a máscara perfumada.
  15. 15. Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Proporção• Vimos o teste para a proporção, comparado com uma constante, um valor fixo. Agora veremos como comparar duas populações quando nos referimos à proporção. População Proporção Tamanho Proporção ou populacional da amostral Tratamento amostra 1 p1 n1 ˆ p1 2 p2 n2 ˆ p2• Hipóteses a serem testadas: H 0: p1 p 2 H 1: p1 p 2 p1 p 2 0 H 1: p1 p 2 p1 p 2 0 H 1: p1 p 2 p1 p 2 0
  16. 16. Teste de HipóteseComparação de Duas Populações ouTratamentos – Proporção• Estatística de teste: ˆ ˆ p1 p2 Zc ˆ ˆ ˆ ˆ p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n1 n2• Rejeita-se H0 se: i) | Z c | z 2 (teste bilateral) ii) Z c z (teste unilateralà direita) iii) Z c z (teste unilateralà esquerda)i) ii) iii)
  17. 17. AnovaANOVA com um fator Vimos até agora comparações de médias com uma constante e comparações de médias de duas populações verificando se eles diferem ou não significativamente; Porém, frequentemente existe a necessidade de comparar mais que duas médias, isto é comparação de várias populações, vários grupos.
  18. 18. AnovaSituação 1 Um estudo foi conduzido, no período de um ano, para acompanhar três grupos de alunos de Sistemas de Informação com excesso de peso. No primeiro grupo, aplicou-se dieta, com redução no consumo de calorias. No segundo, a prática de exercícios regularmente. No terceiro, mantiveram-se os hábitos alimentares e o nível de atividade física. A massa corpórea foi mensurada no início e no final do período. Como avaliar se há alguma evidência de que exista diferença na variação média da massa corpórea nessas três populações? Comparação de Vários Grupos!!
  19. 19. AnovaComparando 3 populações Grupo Grupo Grupo A B C 1 , 1 2 , 2 3 , 3 X 1 , s12 X 2 , s22 X 3 , s32Populações independentes e normalmente distribuídas.
  20. 20. AnovaComo Comparar as Médias? Teste z ou t duas a duas: 3 3! Para 3 amostras teremos: 2 3 testes 2!1! 6 6! Para 6 amostras teremos: 15 testes 2 2!4!
  21. 21. AnovaProblemas ... 1) A quantidade de testes “explode”, quando a quantidade de amostras aumenta. 2) A condução de múltiplos testes t para duas amostras, duas a duas, pode levar a uma conclusão incorreta! Suponha que 1 2 3 e = 0,05 em cada teste t. Então: p(conclusão correta em todos os testes) = (0,95)3 = 0,857 e p(rejeitar H0 em pelo menos um teste) = 1 - 0,857 = 0,143. Portanto, ao realizar múltiplos testes t, aumentamos a chance de cometer um Erro Tipo I !! 3) Uma vez que os testes são conduzidos com o mesmo conjunto de dados, eles não são mais todos independentes.
  22. 22. AnovaDeseja-se um teste para comparar asdiversas médias, no qual a probabilidadede cometermos um Erro Tipo I seja igual aalgum valor predeterminado . ANOVA
  23. 23. AnovaConceitos Estudos observacionais – observação de indivíduos ou objetos de interesse, mas não procura influenciar as respostas; Experimentos – impõe tratamentos aos indivíduos ou objetos de interesse para observar suas respostas; Fatores – variáveis explicativas, independentes, ou controláveis em um experimento que se deseja verificar seu efeito sob a variável de interesse observada; Níveis – os diferentes valores que o fator pode assumir no experimento; Tratamento – condição experimental específica aplicada aos sujeitos (combinação dos níveis com cada fator); Plano – descreve a escolha de tratamentos e a maneira pela qual os sujeitos são alocados;
  24. 24. AnovaConceitos Aleatorização usa o acaso para alocar os ‘sujeitos’ aos tratamentos. Aleatorização + Comparação evitam o vício, ou favoritismo sistemático Quanto mais ‘sujeitos’ pegamos mais fica sensível a diferença entre os tratamentos, ou seja, mais fácil de identificar quais as diferenças.
  25. 25. AnovaConceitos - Exemplo Um pesquisador está interessado em investigar o efeito de vários tipos de ração que diferem pela quantidade de potássio no aumento do peso de determinado tipo de animal.  Hipótese Científica: Verificar o efeito dos diferentes tipos de ração para engorda de animais;  Hipótese Estatística: Comparar as médias de ganho de peso obtido pelos animais submetidos aos diferentes tipos de ração;  Variável independente / Fator – tipo de ração  Níveis – diferentes tipos de ração (ex: tipo de ração A, tipo de ração B)
  26. 26. AnovaConceitos – Exemplo 2 Estudo do efeito de quatro fertilizantes e três variedades de feijão quanto à sua produção.  Hipótese Científica: Verificar o efeito dos diferentes tipos de fertilizantes e diferentes tipos de feijão quanto à produção;  Hipótese Estatística: Comparar as médias de produção obtidas;  Variável independente / Fator – 1) tipo de fertilizante 2) tipo de feijão;  Níveis – 1) diferentes tipos de fertilizante (A, B, C e D); 2) diferentes tipos de feijão (alpha, beta, gama);  Tratamentos – (A, alpha), (A, beta), (A, gama), (B, alpha), (B, beta), (B, gama), (C, alpha), (C, beta), (C, gama), (D, alpha), (D, beta), (D, gama) (12)
  27. 27. AnovaConceitos1. Uma indústria de parafusos adquiriu 5 máquinas de uma determinada marca para produzir parafusos, e está interessada em realizar um experimento para investigar se as 5 máquinas são homogêneas com relação à resistência média dos parafusos por ela produzidos.2. A indústria das máquinas acima está interessada em realizar um experimento para investigar se as máquinas produzidas por ela são homogêneas com relação à resistência média dos parafusos que estas máquinas vão produzir. Como a população das máquinas produzidas é muito grande, o pesquisador quer realizar o experimento com uma amostra de máquinas (5), mas as conclusões devem ser tomadas para toda a população.
  28. 28. AnovaConceitos No item 1 máquina é um efeito fixo e no item 2 é um efeito aleatório; Refere-se aos níveis Refere-se à população de níveis
  29. 29. AnovaProcedimento de aleatorização Experimentos completamente aleatorizados  Tratamentos atribuídos aleatoriamente à todas as unidades experimentais (cada u.e. tem igual probabilidade de receber qqr um dos tratamentos) Experimentos com restrição na aleatorização  As u.e. apresentam uma fonte de variabilidade que pode influenciar nos resultados de sua execução. (Blocos)
  30. 30. AnovaTipos de Experimentos Experimentos com uma única fonte de variação: ONEWAY (com um fator)  Exemplo: Comparar a produtividade de 4 novas variedades de feijão; Fonte de variação – variedades de feijão / Tratamentos: variedades A, B, C e D Experimentos com duas ou mais fontes de variação: FATORIAIS (dois ou mais fatores)  Exemplo: Numa determinada indústria química deseja-se verificar qual a combinação de adubo e inseticida maximiza a produção de uma dada cultura. Fonte de variação: A-Adubos: A1,A2 e A3 ;  B-Inseticidas: B1 e B2 / Tratamentos: A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2 FATORES CRUZADOS
  31. 31. ExemploUm experimento foi conduzido com a finalidade decomparar os tempos de transmissão de dados dequatro servidores (A, B, C e D). Os dados abaixoreferem-se ao tempo de transmissão de dados emmilissegundos dos servidores. Servidores A B C D 64 78 75 55 72 91 93 66 68 97 78 49 77 82 71 64 56 85 63 70 95 77 76 68 Total 432 510 456 372 1770 Média 72 85 76 62 73.75
  32. 32. ExemploDesenho esquemático do tempo de transmissão de cada servidor  Existe uma forte suspeita de que há diferença entre os quatro servidores.  Distribuições assimétricas.  Valor discrepante.
  33. 33. 1-2 A Análise de Variância Para descrever situações com apresentado neste exemplo, adota-se um modelo do tipo: y ij μi ε ij μ τ i ε ij i=1,2,...,4,   j=1,2,...,6 μi yij= é o j-ésimo tempo de transmissão do i-ésimo servidor ié média do i-ésimo servidor é uma constante para todas as observações (média geral); i é o efeito do i-ésimo servidor; ijé o erro aleatório(erros de medida, fatores não controláveis, diferenças entre as unidades experimentais, etc.). Objetivo: testar se existe diferenças nos tempos médias de transmissão entre a=4 servidores. Hipóteses: H0: 1= 2=...= 4 = Ha: i ᵥ para pelo menos um par (i,v) , (i≠v= 1, 2,..,4)
  34. 34. 1-2 A Análise de VariânciaEm geral Tabela 1-2 Dados gerais de um experimento com um único fator Tratamentos Observações Totais Médias (níveis) 1 y11 y12 . . . y1r y1. y1 2 y21 y22 . . . y2r y2. y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ya1 ya2 . . . yar ya. ya 35
  35. 35. Modelo estatístico (one-way): y ij μi ε ij μ τ i ε ij i=1,2,...,a,   j=1,2,...,r μi yij= é a j-ésima observação do i-ésimo tratamento; ié média do i-ésimo tratamento é uma constante para todas as observações (média geral); i é o efeito do i-ésimo tratamento; ijé o erro aleatório(erros de medida, fatores não controláveis, diferenças entre as unidades experimentais, etc.). Pressuposições: 1) os erros aleatórios são independentes; 2) os erros aleatórios são normalmente distribuídos; 3) os erros aleatórios tem média 0 (zero) e variância 2; 2Ou, então: yij ~ N ( i; ) e independen tes 36
  36. 36. 1-3 Análise de VariânciaHipóteses: H0: 1= 2=...= a = Ha: i ᵥ para pelo menos um par (i,v) Equivalentemente Hipóteses: H0: 1= 2=...= a =0 Ha: i 0 para pelo menos um i 37
  37. 37. Próxima aula

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