Aula 6 - Sistemas de informação

Caroline Godoy
Turma : Sistemas de Informação

Teste de Hipótese

Última aula
• Teste para a variância com uma constante;

2 (n 1) / S 2 2
c 2
~ n 1
0

• Teste para a variância de duas populações

(n1 1) S12 2
U
U ~ (n1 1)
2
S12 (n1 1)
2
~ F (n1 1, n2 1)
2
(n2 1) S 2 2 S2 V
V 2
~ (n2 1)
(n2 1)

Teste de Hipótese

Última aula
• Comparação de duas populações:

• Planejamento Aleatorizado (amostras independentes)
Pop. 1: Perda de peso dos indivíduos submetidos à dieta A;
(amostra de n1 valores)
Pop. 2: Perda de peso dos indivíduos submetidos à dieta B.
(amostra de n2 valores)

• Planejamento Pareado (amostras dependentes)
Pop. 1: Peso dos indivíduos antes da dieta A
Pop. 2: Peso dos indivíduos depois da dieta A.
(amostra única de tamanho n)

Teste de Hipótese

Última aula
• Questões iniciais:

1. As duas populações são normais?
Verificar por gráficos como Box Plot ou Histograma já vistos.
2. As variâncias são iguais ou diferentes?
Realizar o Teste F já visto.
3. As variâncias da população são conhecidas ou desconhecidas?

Teste de Hipótese

Última aula – Amostras independentes
• Considerando as duas populações Normais ; variâncias iguais e
desconhecidas temos a estatística de teste pelo teste da Razão de
Verossimilhança:
H 0: A B

H 0: B A

2 2
(YB YA ) ( B ) (n A 1) S A (nB 1) S B
tc A onde Sp
n A nB 2
1 1
Sp
nA nB

Teste de Hipótese

Comparação de Duas Populações ou
Tratamentos – Amostras independentes
• Considerando as duas populações Normais ; variâncias diferentes e
Verossimilhança:

H 0: 1 2

H 1: 1 2

ni
(Y2 Y1 ) ( 1
2 1) onde Si2 ( yi y j )2
tc nj 1 i
2 2 1
S 1 S2
n1 n2

Teste de Hipótese

Tratamentos – Amostras independentes
• Considerando as duas populações Normais ; variâncias diferentes e
Verossimilhança:
tc tv; /2 tc H1 : B A
• Rejeita-se H0 se:
tc tv; H1 : B A

tc tv; H1 : B A

2
2 2
S 1 S2
• onde n1 n2
v 2 2
2 2
S1 S 2
n1 n2
n1 1 n2 1

Teste de Hipótese

Exemplo 1
• Considerando dois diferentes métodos submetidos aleatoriamente a um
grupo de unidades experimentais, deseja-se saber: B é mais eficiente que
A?

Tratamentos
Estatísticas
A B
Amostra ni 8 8
Média y 5,0 7,0
Variância S2 4,0 1,71

y1 j nota do m étodoA
y2 j nota do m étodoB

Teste de Hipótese

Tratamentos – Amostras dependentes
• Considerando um exemplo de uma nova droga para emagrecimento
proposta com N indivíduos observados com relação ao seu peso inicial.
Após o tratamento com a nova droga o peso é novamente observado.
• A droga pode ser considerada eficiente?

• Hipótese Científica:
H0: A droga não é eficiente
H1: A droga é eficiente

y1 j peso antes da droga j 1,...n
y2 j peso depoisda droga
• Para os testes é considerada a diferença entre antes depois do
tratamento e quanto mais distante de zero, maior a presença do efeito
do tratamento em estudo.

Teste de Hipótese

• Então, podemos definir:

dj y2 j y1 j j 1,...n
• Suposição:
2
d j ~ N( d; d )

• Hipóteses a serem testadas

H 0: d 0
H 1: d 0
H 1: d 0
H 1: d 0

Teste de Hipótese

• A estatística de teste para as hipóteses é

d
td ~ tn 1
Sd
n

• onde
n n
1 1
d di Sd (d i d )2
n i 1 n 1i 1

Teste de Hipótese

• Rejeita-se H0 se

i)
ii)
iii)

• Se quiséssemos calcular um IC:

Sd
IC( d ;1 ): d t /2
n

Teste de Hipótese

Exemplo 2:
• Já foi dito que ouvir Mozart melhora o desempenho dos alunos em
testes. Na história “Floral Scents and Learning”, os pesquisadores
questionam cheiros agradáveis tem efeito semelhante. Vinte e um
sujeitos resolveram um labirinto de papel e lápis enquanto usavam uma
máscara que não tinha nenhum perfume ou tinha um aroma floral. A
variável resposta é o tempo médio deles em 3 ensaios.
• O experimento analisou o tempo médio sem perfume e o tempo médio
com perfume para cada sujeito. Na tabela consta as diferenças dos
tempos médios com perfume menos o tempo médio sem perfume.

Teste de Hipótese

Exemplo 2:
-7,37 -10,48 14,30 -10,77
-3,14 -0,87 -24,57 24,97
4,1 8,7 16,17 -4,47
-4,4 2,94 -7,84 11,9
19,47 -17,24 8,6 -6,26
6,67

• O primeiro sujeito por exemplo foi 7,37 segundos mais rápido usando a
máscara perfumada, logo a diferença é negativa. Como tempos mais
curtos representam um desempenho melhor, difereças negativas
mostram que o sujeito teve um melhor desempenho quando usou a
máscara perfumada.

Teste de Hipótese

Tratamentos – Proporção
• Vimos o teste para a proporção, comparado com uma constante, um
valor fixo. Agora veremos como comparar duas populações quando nos
referimos à proporção.

População Proporção Tamanho Proporção
ou populacional da amostral
Tratamento amostra
1 p1 n1 ˆ
p1
2 p2 n2 ˆ
p2
• Hipóteses a serem testadas:
H 0: p1 p 2
H 1: p1 p 2 p1 p 2 0
H 1: p1 p 2 p1 p 2 0
H 1: p1 p 2 p1 p 2 0

Teste de Hipótese

Tratamentos – Proporção
• Estatística de teste: ˆ ˆ
p1 p2
Zc
ˆ ˆ ˆ ˆ
p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 )
n1 n2
• Rejeita-se H0 se:
i) | Z c | z 2 (teste bilateral)
ii) Z c z (teste unilateralà direita)
iii) Z c z (teste unilateralà esquerda)

i)
ii)
iii)

Anova

ANOVA com um fator
 Vimos até agora comparações de médias com uma
constante e comparações de médias de duas
populações verificando se eles diferem ou não
significativamente;

 Porém, frequentemente existe a necessidade de
comparar mais que duas médias, isto é comparação de
várias populações, vários grupos.

Anova

Situação 1
 Um estudo foi conduzido, no período de um ano, para
acompanhar três grupos de alunos de Sistemas de
Informação com excesso de peso.
 No primeiro grupo, aplicou-se dieta, com redução no
consumo de calorias.
 No segundo, a prática de exercícios regularmente.
 No terceiro, mantiveram-se os hábitos alimentares e o
nível de atividade física.
 A massa corpórea foi mensurada no início e no final do
período. Como avaliar se há alguma evidência de que
exista diferença na variação média da massa corpórea
nessas três populações?

Comparação de Vários Grupos!!

Anova

Comparando 3 populações
Grupo Grupo Grupo
A B C
1 , 1 2 , 2 3 , 3

X 1 , s12 X 2 , s22 X 3 , s32

Populações independentes e normalmente distribuídas.

Anova

Como Comparar as Médias?

Teste z ou t duas a duas:
3 3!
Para 3 amostras teremos: 2 3 testes
2!1!

6 6!
Para 6 amostras teremos: 15 testes
2 2!4!

Anova

Problemas ...
1) A quantidade de testes “explode”, quando a quantidade de
amostras aumenta.
2) A condução de múltiplos testes t para duas amostras, duas a
duas, pode levar a uma conclusão incorreta!
Suponha que 1 2 3 e = 0,05 em cada teste t. Então:
p(conclusão correta em todos os testes) = (0,95)3 = 0,857 e
p(rejeitar H0 em pelo menos um teste) = 1 - 0,857 = 0,143.
Portanto, ao realizar múltiplos testes t, aumentamos a chance de
cometer um Erro Tipo I !!
3) Uma vez que os testes são conduzidos com o mesmo
conjunto de dados, eles não são mais todos independentes.

Anova

Deseja-se um teste para comparar as
diversas médias, no qual a probabilidade
de cometermos um Erro Tipo I seja igual a
algum valor predeterminado .

ANOVA

Anova

Conceitos
 Estudos observacionais – observação de indivíduos ou
objetos de interesse, mas não procura influenciar as
respostas;
 Experimentos – impõe tratamentos aos indivíduos ou
objetos de interesse para observar suas respostas;
 Fatores – variáveis explicativas, independentes, ou
controláveis em um experimento que se deseja verificar seu
efeito sob a variável de interesse observada;
 Níveis – os diferentes valores que o fator pode assumir no
experimento;
 Tratamento – condição experimental específica aplicada
aos sujeitos (combinação dos níveis com cada fator);
 Plano – descreve a escolha de tratamentos e a maneira pela
qual os sujeitos são alocados;

Anova

Conceitos
 Aleatorização usa o acaso para alocar os ‘sujeitos’ aos
tratamentos.

 Aleatorização + Comparação evitam o vício, ou
favoritismo sistemático

Quanto mais ‘sujeitos’ pegamos mais
fica sensível a diferença entre os
tratamentos, ou seja, mais fácil de
identificar quais as diferenças.

Anova

Conceitos - Exemplo
 Um pesquisador está interessado em investigar o efeito
de vários tipos de ração que diferem pela quantidade de
potássio no aumento do peso de determinado tipo de
animal.

 Hipótese Científica: Verificar o efeito dos diferentes tipos de ração
para engorda de animais;
 Hipótese Estatística: Comparar as médias de ganho de peso obtido
pelos animais submetidos aos diferentes tipos de ração;

 Variável independente / Fator – tipo de ração
 Níveis – diferentes tipos de ração (ex: tipo de ração A, tipo de ração B)

Anova

Conceitos – Exemplo 2
 Estudo do efeito de quatro fertilizantes e três variedades
de feijão quanto à sua produção.

 Hipótese Científica: Verificar o efeito dos diferentes tipos de
fertilizantes e diferentes tipos de feijão quanto à produção;
 Hipótese Estatística: Comparar as médias de produção obtidas;

 Variável independente / Fator – 1) tipo de fertilizante 2) tipo de feijão;
 Níveis – 1) diferentes tipos de fertilizante (A, B, C e D); 2) diferentes
tipos de feijão (alpha, beta, gama);
 Tratamentos – (A, alpha), (A, beta), (A, gama), (B, alpha), (B, beta),
(B, gama), (C, alpha), (C, beta), (C, gama), (D, alpha), (D, beta), (D,
gama) (12)

Anova

Conceitos
1. Uma indústria de parafusos adquiriu 5 máquinas de uma determinada
marca para produzir parafusos, e está interessada em realizar um
experimento para investigar se as 5 máquinas são homogêneas com
relação à resistência média dos parafusos por ela produzidos.

2. A indústria das máquinas acima está interessada em realizar um
experimento para investigar se as máquinas produzidas por ela são
homogêneas com relação à resistência média dos parafusos que estas
máquinas vão produzir. Como a população das máquinas produzidas é
muito grande, o pesquisador quer realizar o experimento com uma
amostra de máquinas (5), mas as conclusões devem ser tomadas para
toda a população.

Anova

Conceitos
 No item 1 máquina é um efeito fixo e no item 2 é um

efeito aleatório;

Refere-se aos
níveis
Refere-se à
população de
níveis

Anova

Procedimento de aleatorização
 Experimentos completamente aleatorizados
 Tratamentos atribuídos aleatoriamente à todas as

unidades experimentais (cada u.e. tem igual
probabilidade de receber qqr um dos tratamentos)

 Experimentos com restrição na aleatorização
 As u.e. apresentam uma fonte de variabilidade que pode

influenciar nos resultados de sua execução. (Blocos)

Anova

Tipos de Experimentos
 Experimentos com uma única fonte de variação: ONEWAY (com
um fator)
 Exemplo: Comparar a produtividade de 4 novas variedades de feijão;
Fonte de variação – variedades de feijão / Tratamentos: variedades A,
B, C e D
 Experimentos com duas ou mais fontes de variação: FATORIAIS
(dois ou mais fatores)
 Exemplo: Numa determinada indústria química deseja-se verificar
qual a combinação de adubo e inseticida maximiza a produção de
uma dada cultura. Fonte de variação: A-Adubos: A1,A2 e A3 ;
 B-Inseticidas: B1 e B2 / Tratamentos: A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1,
A3B2 FATORES
CRUZADOS

Exemplo
Um experimento foi conduzido com a finalidade de
comparar os tempos de transmissão de dados de
quatro servidores (A, B, C e D). Os dados abaixo
referem-se ao tempo de transmissão de dados em
milissegundos dos servidores.
Servidores
A B C D
64 78 75 55
72 91 93 66
68 97 78 49
77 82 71 64
56 85 63 70
95 77 76 68
Total 432 510 456 372 1770
Média 72 85 76 62 73.75

Exemplo
Desenho esquemático do tempo de transmissão de cada servidor

 Existe uma forte suspeita de
que há diferença entre os
quatro servidores.
 Distribuições assimétricas.
 Valor discrepante.

1-2 A Análise de Variância
Para descrever situações com apresentado neste exemplo, adota-se um modelo do tipo:

y ij μi ε ij μ τ i ε ij i=1,2,...,4,

 j=1,2,...,6
μi
yij= é o j-ésimo tempo de transmissão do i-ésimo servidor

ié média do i-ésimo servidor
é uma constante para todas as observações (média geral);

i é o efeito do i-ésimo servidor;

ijé o erro aleatório(erros de medida, fatores não controláveis,
diferenças entre as unidades experimentais, etc.).

Objetivo: testar se existe diferenças nos tempos médias de transmissão entre
a=4 servidores.

Hipóteses: H0: 1= 2=...= 4 =

Ha: i ᵥ para pelo menos um par (i,v) ,
(i≠v= 1, 2,..,4)

1-2 A Análise de Variância
Em geral

Tabela 1-2 Dados gerais de um experimento com um único fator
Tratamentos Observações Totais Médias
(níveis)

1 y11 y12 . . . y1r y1. y1

2 y21 y22 . . . y2r y2. y2
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

a ya1 ya2 . . . yar ya. ya

35

Modelo estatístico (one-way):

y ij μi ε ij μ τ i ε ij i=1,2,...,a,

 j=1,2,...,r
μi

yij= é a j-ésima observação do i-ésimo tratamento;

ié média do i-ésimo tratamento
é uma constante para todas as observações (média geral);

i é o efeito do i-ésimo tratamento;

ijé o erro aleatório(erros de medida, fatores não controláveis,
diferenças entre as unidades experimentais, etc.).

Pressuposições: 1) os erros aleatórios são independentes;
2) os erros aleatórios são normalmente distribuídos;
3) os erros aleatórios tem média 0 (zero) e variância 2;

2
Ou, então: yij ~ N ( i; ) e independen
tes
36

1-3 Análise de Variância

Hipóteses: H0: 1= 2=...= a =

Ha: i ᵥ para pelo menos um par (i,v)

Equivalentemente

Hipóteses: H0: 1= 2=...= a =0

Ha: i 0 para pelo menos um i

37

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