Resumo de matemática estratégia

1. Aula 07 Matemática p/ PRF - Policial - 2014/2015 (Com videoaulas) Professor: Arthur Lima

5. AULA 07: RESUMO TEÓRICO Caro aluno, Para finalizar nosso curso, preparei um resumo de toda a teoria vista nas aulas anteriores. Espero que ele permita uma boa recordação de tudo o que vimos em nosso curso. Desejo-lhe muita força e dedicação nessa reta final! AULA 01 – PROBLEMAS DE CONTAGEM - Princípio da contagem (regra do produto): quando temos eventos sucessivos e independentes, o número total de maneiras desses eventos acontecerem é igual a multiplicação do número de maneiras de cada evento acontecer separadamente. - Permutação simples: P(n) = n! (leia “n fatorial”) - usada quando queremos calcular o número de formas de colocar n elementos em n posições - a ordem dos elementos deve necessariamente tornar uma disposição diferente da outra (“a ordem é relevante”) - exemplo: calcular de quantas formas 5 pessoas podem formar uma fila P(5) = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 - Permutação com repetição: ! ( ; ) ! ! n PR n m e p m p = × (leia: permutação de n elementos, com repetição de m elementos e de p elementos) - usada para calcular permutações onde existem elementos repetidos - por ser uma permutação, a ordem dos elementos deve tornar uma distribuição diferente da outra - exemplo: cálculo do número formas de ordenar 5 livros em uma estante, sendo que 2 livros são iguais PR(5, 2) = 5! / 2! = 60

9. - Arranjo simples: ! ( , ) ( )! n A n m n m = − (leia: arranjo de n elementos em m posições) - trata-se de uma permutação de n elementos em m posições, onde temos mais elementos do que posições disponíveis (n m) - Novamente, a ordem dos elementos deve diferenciar um arranjo do outro - Exemplo: número de maneiras de preencher 3 posições disponíveis de uma fila usando 7 pessoas. Esses exercícios podem ser resolvidos com a simples multiplicação: 7 x 6 x 5 - Arranjo com repetição: AR (n, m) = nm (leia: arranjo de n elementos em m posições, com repetição) - trata-se do princípio fundamental da contagem, onde temos n elementos que podemos colocar em m posições, com repetição (isto é, não precisamos colocar apenas elementos distintos) - exemplo: número de placas formadas por 3 letras, distintas ou não, usando as 26 letras do alfabeto A (26,3) = 263 = 26x26x26 - Combinação: ( ) ! ( , ) ! ! n n C n m m m n m = = − (leia: combinação de n elementos em grupos de m elementos; ou combinação de n elementos, m a m) - trata-se do cálculo do número de grupos de m elementos que podemos formar utilizando n elementos - deve ser utilizado quando a ordem dos elementos no grupo não diferenciar um grupo do outro (“a ordem de escolha não é relevante”) - lembrar que C(n, m) = C (n, n-m). Ex.: C(5,4) = C(5,1) = 5 - para facilitar o cálculo de C(n,m), basta multiplicar os primeiros “m” termos de n! e dividir por m!. Ex.: C(7,3) é calculado pela multiplicação dos três primeiros termos de 7!, dividido por 3!. Isto é, C(7,3) = (7x6x5)/3! = 35 - exemplo: número de equipes/grupos/comissões de 3 profissionais que podemos montar utilizando 7 profissionais disponíveis C(7,3) = 35. - Permutação circular: Pc (n) = (n-1)! (leia: permutação circular de n elementos)

13. - usado para calcular o número de permutações de n elementos em disposições fechadas (circulares), onde não podemos fixar um início e um final. - exemplo: número de formas de dispor 4 pessoas ao redor de uma mesa quadrada com as 4 bordas iguais Pc(4) = (4-1)! = 3! = 6 AULA 02 – NOÇÕES DE PROBABILIDADE - Espaço amostral: conjunto dos resultados possíveis de um experimento aleatório - Evento: subconjunto do espaço amostral formado pelos resultados “favoráveis”, isto é, que atendem a condição prevista no enunciado do exercício - Probabilidade: é dada pela razão: n(Evento) Probabilidade do Evento= n(Espaço Amostral) ou simplesmente número de resultados favoráveis Probabilidade do Evento= número total de resultados - você pode calcular o número total e o número de resultados favoráveis através das fórmulas de combinação/arranjo/permutação vistas anteriormente - a probabilidade de ocorrência do próprio espaço amostral é 100% - dizemos que 2 eventos são independentes quando a ocorrência de um deles não altera a probabilidade do outro ocorrer. - princípio multiplicativo: se A e B são independentes, então P(A B)=P(A) P(B)∩ × (leia: probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente é a multiplicação das probabilidades de cada um ocorrer) - probabilidade da união: trata-se da probabilidade de ocorrência do evento A ou do evento B (ou dos dois ao mesmo tempo). É dada por: ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩

17. - dizemos que 2 eventos são mutuamente excludentes quando a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, e vice-versa. Assim, ( ) 0P A B∩ = - princípio aditivo: se A e B são mutuamente excludentes ( ( ) 0P A B∩ = ), a probabilidade de um ou outro ocorrer é dada pela soma das probabilidades de ocorrência de cada um deles. Isto é, P(A ou B) = P(A) + P(B) - dois eventos são considerados complementares quando não possuem intersecção e a sua soma equivale ao espaço amostral. Sendo E um evento e Ec o seu complementar, então: Probabilidade(E) = 1 - Probabilidade(Ec) - exemplo: E = probabilidade de sair resultado par em um dado; Ec = probabilidade de sair um resultado ímpar. - probabilidade condicional (probabilidade de ocorrer A, sabendo que B ocorre): ( ) ( / ) ( ) P A B P A B P B ∩ = - basta calcular o número de casos onde tanto A quanto B ocorrem, e dividir pelo número de casos em que B ocorre - ex.: ao sortear um dos 7 dias da semana, calcular a probabilidade de a data obtida ser um “sábado”, dado que a data obtida caiu em um fim de semana P = 1 / 2 = 50% - se A e B são eventos independentes, então P(A/B) = P(A) isto é, o fato de B ter ocorrido em nada altera a probabilidade de A ocorrer - se repetirmos um determinado experimento N vezes, com probabilidade “p” de obter sucesso em cada repetição, o número esperado de vezes que obteremos sucesso é dado por N x p AULA 03 – NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

21. - População: conjunto formado por todas as entidades sob estudo (ex.: conjunto dos moradores do meu bairro) - Censo: consiste na análise de todos os indivíduos que compõem aquela população - Amostra: subconjunto daquela população (ex.: dentre os moradores do meu bairro, podemos segregar os moradores da minha quadra) - Variável: um determinado atributo os integrantes da população. - pode ser qualitativa (ex.: sexo) ou quantitativa (ex.: altura). - as variáveis quantitativas podem ser contínuas (quando podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo) ou discretas (quando só podem assumir determinados valores). - chamamos uma variável de Variável Aleatória quando ela pode assumir, de maneira aleatória, qualquer dos seus valores possíveis. - Observação: valor da variável para um determinado membro da população (ex.: a idade de Fulano é 18 anos, ou seu sexo é Masculino). - Frequências absolutas simples (ou simplesmente “frequências”) : são os números de repetições de cada valor assumido pela variável (ex.: em uma amostra podemos ter 10 pessoas com 1,70m, 15 com 1,75m, e 5 com 1,80m). A partir delas, podemos definir: Altura Frequências absolutas simples Frequências absolutas acumuladas Frequências relativas simples Frequências relativas acumuladas 1,70m 10 10 10/30 = 33,3% 33,3% 1,75m 15 10 + 15 = 25 15/30 = 50% 33,3% + 50% = 83,3% 1,80m 5 25 + 5 = 30 5/30 = 16,7% 83,3% + 16,7% = 100% - Histograma é um gráfico de barras que representa, no seu eixo horizontal, as classes (intervalos) de valores que uma variável pode assumir, e em seu eixo vertical os valores das frequências de cada classe. - Ogiva: gráfico de frequências acumuladas, onde ligamos os pontos extremos (limites superiores) das classes de valores. Chamamos a figura formada no gráfico de polígono de freqüências.

25. Medidas de posição (ou medidas de tendência central) - Média Aritmética: soma de todos os valores da variável observada, dividida pelo total de observações. Fórmula para dados em rol (listados): 1 n i Xi Média n = = Para dados em tabela de frequências: 1 1 ( ) n i n i Xi Fi Média Fi = = × = Para dados agrupados em classes (usar os pontos médios PMi das classes): 1 1 ( ) n i n i PMi Fi Média Fi = = × = Principais propriedades da média: - somando-se ou subtraindo-se um valor constante em todas as observações, a média desse novo conjunto será somada ou subtraída do mesmo valor (ex.: se somamos 5 a cada item de uma amostra, a nova média será 5 unidades maior) - multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores observados por um valor constante, a média desse novo conjunto será multiplicada ou dividida pelo mesmo valor (ex.: se dobramos cada item de uma amostra, a nova média será o dobro da anterior). - se temos uma variável X, para a qual sabemos a média M, e uma variável Y do tipo Y = a.X + b (onde a e b são números), podemos dizer que a média de Y é a.M + b; - o valor da média é calculado utilizando todos os valores da amostra. Portanto, qualquer alteração nesses valores poderá alterar a média (ela é afetada pelos valores extremos). - o valor esperado, esperança ou expectância de uma variável aleatória é dado por: 1 ( ) ( ). n i ii E X p x x= =

29. - em regra o valor esperado de uma variável é a sua própria média. - Média Geométrica: a média geométrica de um conjunto de “n” dados é a raiz de grau “n” do produto destes dados. Ex.: se temos o conjunto {3, 3, 81}, a média geométrica será a raiz de grau 3 (raiz cúbica) da multiplicação deles: 3 3 3 81 9Média = × × = - aplicação comum: o rendimento médio de um investimento que rendeu 5% no primeiro ano, 6% no segundo e 7% no terceiro é dado pela média geométrica: 3 1,05 1,06 1,07 1,0599Média = × × = - Mediana: é a observação “do meio” quando os dados são organizados do menor para o maior. É o termo da posição (n+1)/2, se n for ímpar. E é a média aritmética dos termos ao redor de (n+1)/2, se n for par. - Cálculo da mediana através do método da interpolação linear: 1º passo: calcular a divisão n/2, onde n é o número total de frequências, obtendo a posição da mediana. 2º passo: identificar a classe onde se encontra a mediana 3º passo: montar a proporção entre as frequências acumuladas e os limites da classe da mediana. Ex.: Frequência: 26 40 45 |-----------------------------|----------------| Valores: 1,60 X 1,70 |-----------------------------|----------------| 4º passo: calcular a mediana (X):

33. superior mediana superior superior inferior superior inferior freq - freq valor - X = freq - freq valor - valor - a mediana é única para um conjunto de dados, e não é afetada pela inclusão ou exclusão de algum valor extremo (máximo ou mínimo) na amostra. - Moda: valor da observação com maior número de frequências. Uma amostra pode ter 1, 2 ou mais modas (ser unimodal, bimodal etc.). Quando os dados estiverem agrupados em classes, seguir os passos: 1. Descobrir qual é a classe modal (CM): aquela com maior número de frequências. 2. Identificar a classe posterior (post) e a classe anterior (ant). 3. Aplicar uma das duas fórmulas abaixo, dependendo do método de cálculo da moda indicado pelo exercício: a. Moda de King: fpost Moda li c fant fpost = + × +

34. b. Moda de Czuber: 2 ( ) fcm fant Moda li c fcm fant fpost − = + × − +

35. - O valor da moda não é afetado pelos valores extremos (mínimos e máximos) da amostra. - a partir dos valores da mediana, média e moda, é possível identificar a simetria ou assimetria de uma distribuição: Simetria Média, Mediana e Moda Simétrica Média = Mediana = Moda* Assimétrica positiva (à direita) Média Mediana Moda Assimétrica negativa (à esquerda) Média Mediana Moda * se unimodal.

39. - Assimetria à direita (assimetria positiva): temos um pico na parte esquerda do gráfico, e os dados se estendem para a direita (sentido positivo): - Assimetria à esquerda (negativa): temos um pico à direita do gráfico, e os dados se estendem para a esquerda (sentido negativo). - Quartis: dividem os dados em 4. Podem ser calculados utilizado o método da interpolação linear: Quartil Posição 1 (n+1)/4 2 2(n+1)/4 3 3(n+1)/4

43. Medidas de dispersão (ou medidas de variabilidade): - Amplitude Total (AT): AT = Xmax – Xmín - Amplitude interquartílica (Dq): Dq = Q3 - Q1 - Amplitude semi-interquartílica (Dqm): Dqm = Dq/2 - Desvio médio (DM): 1 | | n Xi X DM n − = - Variância: é a diferença entre o valor esperado dos quadrados de uma variável aleatória e o quadrado do valor esperado daquela variável, isto é: Variância = E(X2 ) – (E(X))2 - para dados em rol (listados): 2 2 1 ( ) n iX X n σ − = - para dados em tabela de frequências: 2 2 1 1 [ ( ) ] n i i n i f X X f σ × − = - para dados em tabela com intervalos de classes: 2 2 1 1 [ ( ) ] n i i n i f PM X f σ × − =

47. - para calcular a variância sem precisar calcular anteriormente a média, podem ser usadas as fórmulas abaixo: 2 2 1 12 1n n i i i i X X n n σ = = − = ou 2 2 1 12 1 ( ) ( ) n n i i i i i i X f X f n n σ = = × − × = ou 2 2 1 12 1 ( ) ( ) n n i i i i i i PM f PM f n n σ = = × − × = Obs.: para calcular a variância AMOSTRAL, é preciso substituir n por “n-1” nos denominadores das fórmulas, ou substituir 1 n Fi por 1 1 n Fi − (também apenas nos denominadores). Ex.: 2 2 1 12 1 ( ) ( ) n n i i i i i i PM f PM f n n σ = = × − × = (var. populacional) 2 2 1 12 1 ( ) ( ) 1 n n i i i i i i PM f PM f n s n = = × − × = − (var. Amostral) - Desvio-padrão (σ ): é a raiz quadrada da variância: Varianciaσ = - Propriedades do desvio padrão e da variância: - se somarmos/subtrairmos um mesmo valor de todos os elementos de uma amostra, o desvio padrão e a variância permanecem inalterados

51. - se multiplicarmos/dividirmos todos os elementos da amostra pelo mesmo valor, o desvio padrão é multiplicado/dividido por este mesmo valor. Já a variância é multiplicada/dividida pelo quadrado desse valor (pois ela é igual ao quadrado do desvio padrão). - se temos uma variável X com desvio padrão σ e variância 2 σ , e criamos uma variável Y tal que Y = aX + b (onde a e b são valores constantes), o desvio padrão de Y é a σ× , e a variância de Y é 2 2 a σ× . - Coeficiente de variação (CV): é uma relação entre o desvio-padrão e a média de uma amostra ou população: CV σ µ = - o CV é medida de dispersão relativa, enquanto o desvio padrão e a variância são medidas de dispersão absolutas; - enquanto o CV não tem unidade (ele é expresso normalmente de maneira percentual ou decimal), o desvio-padrão tem a mesma unidade da variável X. Ex.: se uma variável X, que mede idade em anos, tem média igual a 2 anos e desvio- padrão igual a 1 ano, então o CV é ½ = 0,5 = 50%, e a variância é igual a 2 anos2 ; Medidas de assimetria: - coeficiente quartílico de assimetria: relação entre o 1º, 2º e 3º quartis (lembrando que o 2º quartil é a Mediana – Md) 3 1 3 1 2Q Q Md AS Q Q + − = − - 1º coeficiente de Pearson: indica o grau de distorção de uma distribuição qualquer em relação a uma distribuição simétrica: X Mo AS σ − = ou X Mo AS s − =

55. (Mo é a moda) - coeficiente percentílico de assimetria: relação entre o 10º, 50º e 90º percentis: 90 10 50 90 10 2P P P AS P P + − × = − Medidas de curtose - trata-se de uma medida do “achatamento” de uma distribuição: 3 1 90 102( ) Q Q K P P − = − Coeficiente K (curtose) Distribuição K 0,263 Platicúrtica K = 0,263 Mesocúrtica K 0,263 Leptocúrtica AMOSTRAGEM - existem diversas técnicas para, a partir de uma população, definirmos uma amostra para um determinado estudo. Algumas dessas técnicas são chamadas de probabilísticas (ou casuais), pois são técnicas científicas e, por isso, permitem a aplicação das técnicas de inferência estatística que veremos na próxima aula. Outras técnicas são chamadas não-probabilísticas (ou não-casuais), pois não tem o mesmo rigor científico. - Técnicas de amostragem casual (probabilísticas): - Amostragem aleatória simples: escolha aleatória dos indivíduos da população que farão parte da amostra (em uma lista, por exemplo). Pode ser feita com reposição (onde um mesmo indivíduo pode ser escolhido mais de uma vez para a amostra) ou sem reposição (onde cada indivíduo só pode ser escolhido uma vez). É preciso que você tenha acesso aos dados de todos os indivíduos da população.

59. - Amostragem sistemática: consiste na criação de um sistema de escolha de indivíduos a partir de critérios pré-determinados. - Amostragem por conglomerados (ou agrupamentos): dividir a população em subgrupos (“conglomerados”) e então escolher alguns destes subgrupos para serem totalmente analisados. Os conglomerados deve ser mutuamente exclusivos, isto é, cada indivíduo só fará parte de 1 conglomerado. - Amostragem estratificada: dividir a população em estratos, que são subconjuntos da população compostos por indivíduos com algumas semelhanças entre si. Os estratos também devem ser mutuamente exclusivos. - Técnicas não-casuais de amostragem (não probabilísticas): - Amostragem acidental: o pesquisador fica em um local com grande circulação de pessoas e vai entrevistando pessoas ao acaso (acidentalmente). - Amostragem intencional: entrevistador escolhe pessoas que ele acredita serem relevantes para a sua pesquisa. - Amostragem por cotas: consiste em dividir a população em grupos e, a seguir, extrair quantidades pré-definidas (“cotas”) de indivíduos de cada grupo para se montar a amostra. - Amostragem de voluntários: como o nome diz, é composta por indivíduos que voluntariamente participam da pesquisa. AULA 04 – PROPORÇÕES E PORCENTAGEM - A porcentagem é uma divisão onde o denominador é o número 100; - Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um todo, basta efetuar a seguinte divisão: quantia de interesse Porcentagem = 100% total × - Podemos transformar um número percentual em um número decimal dividindo-o por 100. Podemos também fazer o caminho inverso, multiplicando um número decimal por 100 para chegar em um número percentual. - Podemos dizer que: quantia de interesse = porcentagem total×

63. - Em porcentagem, o “de” equivale à multiplicação. Portanto, 20% de 300 é igual a 20% x 300. - para aumentar um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 + x%). Exemplo: para aumentar em 30%, basta multiplicar por 1,30; - para reduzir um valor em x%, basta multiplicá-lo por (1 – x%). Exemplo: para reduzir em 15%, basta multiplicar por 0,85; - para duas operações sucessivas de aumento ou redução, basta multiplicar os índices. Exemplo: para aumentar o preço de um produto em 20% em um ano e então aumentar em 30% no ano seguinte, basta multiplicar o preço inicial por 1,20 x 1,30; - Proporção é uma igualdade entre duas razões (divisões, frações). Dizemos que duas grandezas são proporcionais quando é possível criar, entre elas, razões que permanecem constantes. - Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra também cresce. - Podemos usar uma regra de três simples para relacionar grandezas diretamente proporcionais. Após montar a regra de três, devemos efetuar a multiplicação cruzada (das diagonais) e igualar os resultados: A ------------------- B C ------------------ D A x D = C x D - Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando uma cresce à medida que a outra diminui. - No caso de termos 3 ou mais grandezas proporcionais entre si (direta ou inversamente), temos uma regra de três composta. Neste caso, devemos: - Identificar as grandezas que são diretamente proporcionais e as que são inversamente proporcionais em relação a grandeza que queremos descobrir (aquela que possui a variável X).

67. - inverter as colunas que forem inversamente proporcionais à grandeza que queremos. - igualar a razão onde está a grandeza X com o produto das outras razões. - para efetuar divisões em partes proporcionais, lembre-se que: Se a c b d = , então a a c b b d + = + , e também c a c d b d + = + - você também pode utilizar constantes de proporcionalidade. Ex.: se uma taxa é diretamente proporcional ao peso de uma mercadoria, então podemos escrever que: taxa = k . peso (onde k é a constante de proporcionalidade) AULA 05 – ÁLGEBRA Conjuntos numéricos Nome do conjunto (e símbolo) Definição Exemplos Observações Números Naturais (N) Números positivos construídos com os algarismos de 0 a 9, sem casas decimais N = {0, 1, 2, 3 …} Lembrar que o zero não é positivo nem negativo, mas está incluído aqui. Números Inteiros (Z) Números naturais positivos e negativos Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...} Subconjuntos: Não negativos: {0, 1, 2...} Não positivos: {..., -2, -1, 0} Positivos: {1, 2, 3...} Negativos: { …-3, -2, -1} Números Racionais (Q) Podem ser representados pela divisão de 2 números inteiros Frações: , ; Números decimais de representação finita. Ex.: 1,25 (igual a ) As dízimas periódicas são números racionais. Ex.: 0,333333... ou ou

71. Números Irracionais (I) Não podem ser representados pela divisão de 2 números inteiros Número “pi”: Fazem parte dos Números Reais Números Reais (R) Números Racionais e Irracionais juntos Todos acima R Q Z N e R I Sistemas de medidas Medidas de comprimento - a unidade padrão de medida de comprimento é o metro, representado pela letra m, cujos múltiplos e submúltiplos estão na tabela abaixo: Milímetro (mm) Centímetro (cm) Decímetro (dm) Metro (m) Decâmetro (dam) Hectômetro (hm) Quilômetro (km) 1000mm 100cm 10dm 1m 0,1dam 0,01hm 0,001km - para “caminhar para a direita” (ir de metros para decâmetros, por exemplo) basta ir dividindo o valor original por 10; - para “caminhar para a esquerda” (ir de metros para decímetros, por exemplo) basta ir multiplicando o valor original por 10. Medidas de área - a unidade padrão de medida de área é o metro quadrado, representado pelo símbolo 2 m : Milímetro quadrado (mm 2 ) Centímetro quadrado (cm 2 ) Decímetro quadrado (dm 2 ) Metro quadrado (m 2 ) Decâmetro quadrado (dam 2 ) Hectômetro quadrado (hm 2 ) Quilômetro quadrado (km 2 ) 1.000.000mm 2 10.000cm 2 100dm 2 1m 2 0,01dam 2 0,0001hm 2 0,000001km 2

75. - ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 100, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 100; Medidas de volume - a unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico, representado pelo símbolo 3 m : Milímetro cúbico (mm 3 ) Centímetro cúbico (cm 3 ) Decímetro cúbico (dm 3 ) Metro cúbico (m 3 ) Decâmetro cúbico (dam 3 ) Hectômetro cúbico (hm 3 ) Quilômetro cúbico (km 3 ) 1000000000mm 3 1000000cm 3 1000dm 3 1m 3 0,001dam 3 0,000001hm 3 0,000000001km 3 - ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 1000, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 1000; - 1 litro é igual a 1dm3 (decímetro cúbico), e 1000 litros = 1m3 . Medidas de tempo - a unidade padrão de medida de tempo é o segundo, representado pelo símbolo s. Milissegundo (ms) Segundo (s) Minuto (min) Hora (h) Dia 1.000ms = 1s 1s 1 min = 60s 1 h = 60 min 1 dia = 24 h - basta montar regras de três simples para efetuar as conversões necessárias. Medidas de massa - a unidade padrão de medida de massa é o grama (g):

79. Miligrama (mg) Centigrama (cg) Decigrama (dg) Grama (g) Decagrama (dag) Hectograma (hg) Quilograma (kg) 1.000mg 100cg 10dg 1g 0,1dag 0,01hg 0,001kg - ao andar uma casa para a direita, devemos dividir por 10, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos multiplicar por 10; - uma tonelada equivale a 1.000 quilogramas; Sistema monetário brasileiro - 1 real corresponde a 100 centavos. Assim, tendo uma quantia em reais, basta você multiplicar por 100 e obterá o valor em centavos. Da mesma forma, tendo uma quantia em centavos, basta você dividir por 100 e obterá o valor em reais. Equações e sistemas de primeiro grau - são as equações escritas na forma 0ax b+ = , onde a e b são números que chamaremos de coeficientes, sendo que, necessariamente, 0a ≠ - a variável x está elevada ao expoente 1 (lembrando que 1 x x= ) - o valor de x que torna a igualdade correta é chamado de “raiz da equação”. Uma equação de primeiro grau sempre tem apenas 1 raiz - a raíz da equação é sempre dada por b a − - quando temos um sistema formado por “n” equações e “n” variáveis, devemos resolver usando o método da substituição, que é aplicado em 2 etapas: 1. Isolar uma das variáveis em uma das equações 2. Substituir esta variável na outra equação pela expressão achada no item anterior

83. Equações de segundo grau - possuem a variável elevada ao quadrado ( 2 x ), sendo escritas na forma 2 0ax bx c+ + = , onde a, b e c são os coeficientes da equação - as equações de segundo grau tem 2 raízes, isto é, existem 2 valores de x que tornam a igualdade verdadeira - toda equação de segundo grau pode ser escrita também da seguinte forma: 1 2( ) ( ) 0a x r x r× − × − = ( 1r e 2r são as raízes da equação) - a fórmula de Báskara nos dá as raízes para uma equação de segundo grau. Basta identificar os coeficientes a, b e c e colocá-los na seguinte fórmula: 2 4 2 b b ac x a − ± − = - na fórmula de Báskara, chamamos de “delta” (∆ ) a expressão 2 4b ac− , que vai dentro da raiz quadrada - quando 0∆ , teremos sempre duas raízes reais distintas para a equação. Se 0∆ , dizemos que não existem raízes reais para a equação de segundo grau. Já se 0∆ = , teremos duas raízes idênticas Função de primeiro grau - é uma função do tipo f(x) = ax + b - tem como gráfico uma reta (são funções “lineares”) - o coeficiente “a” é chamado de coeficiente angular, pois ele dá a inclinação da reta. Se a 0, a reta será crescente (como a que vimos acima), e se a 0 a reta será decrescente

87. - o coeficiente “b” é chamado coeficiente linear, e ele indica em que ponto a reta cruza o eixo das ordenadas (eixo y, ou eixo f(x)) - a raiz da função é o valor de x que torna f(x) = 0. Para encontrar essa raiz, basta igualar a função a 0 - a raiz será igual a b x a − = Função de segundo grau - são aquelas funções do tipo 2 ( )f x ax bx c= + + - as funções de segundo grau têm um gráfico na forma de parábola - para calcular as raízes, basta igualar a função a zero e usar a fórmula de Báskara para resolver: 2 0ax bx c+ + = - para obter o ponto de máximo ou mínimo de uma função de segundo grau, chamado Vértice, devemos começar calculando a coordenada horizontal: 2vértice b x a − = - uma vez calculado o valor de da coordenada X, basta substituí-la na função e calcular ( )vérticef x , que será o valor máximo ou mínimo da função, dependendo do caso - se a 0, o gráfico é uma parábola com concavidade (“boca”) virada para cima, caso contrário a concavidade é para baixo

91. - se a função f(x) tem duas raízes reais idênticas, o gráfico da função toca o eixo horizontal (x) em apenas 1 ponto, não cruzando-o. Se a função não tiver raízes reais, o gráfico da função não toca o eixo horizontal Inequações - chamamos de inequação uma desigualdade que utiliza os símbolos (maior que), (menor que), ≥ (maior ou igual a) ou ≤ (menor ou igual a) - ao resolver uma inequação não encontraremos o valor exato da variável, mas sim um intervalo onde esta variável pode se encontrar. Este intervalo é chamado de conjunto-solução da inequação - ao multiplicar por (-1) todos os termos de uma inequação, para trocar os sinais dos coeficientes, é preciso inverter o sinal da inequação (ex.: trocar por ) AULA 06 – SEQUÊNCIAS, PA E PG, RACIOCÍNIO LÓGICO Progressões Aritméticas (PAs) - sequências onde cada termo subsequente é igual ao termo anterior somado a um valor constante (razão da PA, simbolizada por “r”); - para obter o termo da posição “n”, simbolizado por an, basta usar a fórmula do termo geral da PA, que é: 1 ( 1)na a r n= + × − - para obter a soma dos “n” primeiros termos da PA (Sn), a fórmula é: 1( ) 2 n n n a a S × + = Progressões Geométricas - são sequências onde o termo seguinte é sempre igual ao termo anterior multiplicado por um valor constante (razão da PG, simbolizada por “q”); - para obter o termo da posição “n”, simbolizado por an, basta usar a fórmula do termo geral da PG, que é: 1 1 n na a q − = ×

95. - para obter a soma dos “n” primeiros termos da PG (Sn), a fórmula é: 1 ( 1) 1 n n a q S q × − = − - caso a PG possua razão de módulo menor que 1 (ou seja, -1 q 1), podemos calcular a soma dos infinitos termos desta progressão através da fórmula: 1 1 a S q ∞ = − ************************************************************************* Fico por aqui, desejando-lhe novamente muita força e dedicação em sua preparação! Saudações, Prof. Arthur Lima

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