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ARCH e GARCH
Alysson Ramos Artuso
INTRODUÇÃO
 Modelo não-linear no que se refere à
variância, introduzido por Engle (1982).
 Muito usado para séries financeiras.
 Variância condicional do retorno 
volatilidade.
NOTAÇÃO
 Pt  preço de um ativo financeiro no instante t
 Xt  retorno logarítmico no instante t.
 μt = E(Xt | Ft-1)
 ht = V(Xt | Ft-1)
 Ft-1 é a informação até o instante t-1 que
consideramos ser {Xt-1, ..., X1}






=
−1
ln
t
t
t
P
P
X
MODELOS NÃO-LINEARES
Xt = g(at-1, at-2,…) + ath(at-1, at-2,…)
com at supostos i.i.d.
 g(.) representa a média condicional
 h2
(.) representa a variância condicional
 Se g(.) for não-linear o modelo é não-linear
na média
 Se h2
(.) for não-linear o modelo é não-linear
na variância
EXEMPLOS
 Exemplo 1:
é um modelo não-linear na média, pois
e h(.) = 1
 Exemplo 2:
é um modelo não-linear na variância, pois g(.) = 0
e
2
1−+= ttt aaX α
2
1(.) −= tag α
2
1−= ttt XaX α
2
1(.) −= tXh α
MODELOS ARCH
 Modelo auto-regressivo com heteroscedasticidade
condicional (AutoRegressive Condicional
Heterocedasticity)
 O objetivo era estimar a variância da inflação
 A idéia básica é que o retorno Xt é não-
correlacionado serialmente, mas a volatilidade
(variância condicional) depende de retornos
passados por meio de uma função quadrática.
 Agrupamento da volatilidade
ARCH(r) – DEFINIÇÃO
 onde εt é uma seqüência de variáveis aleatórias
independentes e identicamente distribuídas com
média zero e variância um;
 α0 > 0, αi ≥ 0, i > 0
22
22
2
110 ... rtrttt
ttt
XXXh
hX
−−− ++++=
=
αααα
ε
ARCH (1)
com α0 > 0, α1 ≥ 0
 Média: E(Xt) = 0
 Variância: V(Xt) = E(Xt
2
) = α0 + α1 E(Xt-1
2
)
 Se o processo for estacionário de segunda ordem:
2
110 −+=
=
tt
ttt
Xh
hX
αα
ε
1
0
1
)(
α
α
−
=tXV
ARCH (1)
 Autocovariância: γX(k) = 0, k ≥ 1
 Curtose maior que 3  caudas longas
 Xt é uma seqüência de variáveis aleatórias não
correlacionadas (ruído branco) com média zero e
variância 1
0
1
)(
α
α
−
=tXV
ARCH (1)
 Xt
2
= htεt
2
 Xt
2
– ht = htεt
2
– ht
 Xt
2
– (α0 + α1 Xt-1
2
) = ht (εt
2
– 1)
 Xt
2
= (α0 + α1 Xt-1
2
) + ht (εt
2
– 1)
 Xt
2
= (α0 + α1 Xt-1
2
) + vt
 temos um modelo AR(1) para Xt
2
, mas com
erros não-gaussianos.
TRABALHANDO COM ARCH
 Se houver correlação serial na série, ajusta-
se um modelo ARMA para removê-la. Nesse
caso teremos:
sendo at ~ ARCH (r)
tt aBXB )()( 0 θθφ +=
TRABALHANDO COM ARCH
 Para verificar se a série apresenta
heteroscedasticidade condicional, aplica-
se os seguintes testes:
– Teste de Box-Pierce-Ljung para Xt
2
– Teste de Multiplicadores de Lagrange de Engel
(ML)
TRABALHANDO COM ARCH
 Os estimadores dos parâmetros do modelo são
obtidos pelo método da máxima verossimilhança
condicional.
 A verificação do modelo é feita pelo cálculo da
estatística Q de Ljung-Box para a seqüência Xt
padronizada.
 Os programas EViews, SPLUS (módulo
S+FinMetrics), PcGIVE e RATS, entre outros,
podem ser usados para se trabalhar com modelos
ARCH e GARCH.
EXEMPLO
 Ajuste um modelo ARCH (1) aos retornos
diários (Yt) da série A9 – Petrobrás do livro
do Morretin e Toloi (2004). A série pode ser
conseguida em http://www.ime.usp.br/pam
 Essa série possui observações da ação
Petrobrás PN do período de 03/01/1995 até
27/12/2000.
EXEMPLO
 Aparente estacionariedade
 Média em torno de zero
 Agrupamento de volatilidades (crise do México; crise
da Ásia; moratória russa; desvalorização do Real;
queda da Nasdaq)
EXEMPLO
 1º passo: ajustar um modelo ARMA (p, q) à série de retornos
para eliminar a correlação serial entre as observações.
 No EViews 6:
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO
ttttt XYYYY ++−= −−− 931 0802,00510,00982,0
EXEMPLO
 View/ARMA Structure
 View/Residual
Tests/Correlogram-Q-
statistics
 View/Residual Tests/Serial
Correlation LM Test
EXEMPLO
 2º passo: verificar se os resíduos do modelo apresentam
heteroscedasticidade condicional e modelar um ARCH.
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO
EXEMPLO
 3º passo: verificar o modelo (estatística de Ljung-Box;
teste ML).
2
3
2
2
2
1
1
2708,02373,01938,0004,0
,1604,0
−−−
−
+++=
=+=
tttt
tttttt
XXXh
hXXYY ε
EXEMPLO
 Estimativa do desvio padrão condicional:
MODELOS GARCH
 Generalização do modelo ARCH sugerida
por Bollerslev (1986)
 Assim como um modelo ARMA pode ser
mais parcimonioso que um modelo AR ou
MA puro, um modelo GARCH pode
apresentar menos parâmetros que um
modelo ARCH.
GARCH(r,s) – DEFINIÇÃO
 onde εt i.i.d. (0,1)
 α0 > 0, αi ≥ 0, βi ≥ 0
 , q = max (r,s)
∑∑ =
−
=
− ++=
=
s
j
jtj
r
i
itit
ttt
hXh
hX
11
2
0 βαα
ε
∑=
<+
q
i
ii
1
1)( βα
GARCH (r,s)
 E(Xt) = 0

 Volatilidades altas são precedidas de retornos ou
volatilidades grandes.
 As caudas de Xt são mais longas do que as da curva
gaussiana.
∑=
+−
= q
i
ii
tXE
1
02
)(1
)(
βα
α
GARCH (1,1)
 com α0 > 0, α1 ≥ 0, β1 < 1, α1 + β1 < 1
11
2
110 −− ++=
=
ttt
ttt
hXh
hX
βαα
ε
GARCH (1,1)
 Assim temos um modelo ARMA para Xt
2
, mas vt não
é, em geral, um processo i.i.d.
11
2
1110
2
)( −− −+++= tttt vvXX ββαα
TRABALHANDO COM GARCH
 A identificação da ordem do modelo GARCH
é usualmente difícil.
 Modelos de ordem baixa, como (1,1), (1,2)
ou (2,1).
 Escolha baseada em critérios como o AIC,
BIC, valores de assimetria e curtose, da log-
verossimilhança ou de uma função perda.
TRABALHANDO COM GARCH
 Os estimadores dos parâmetros do modelo
são obtidos pelo método de máxima
verossimilhança condicional.
 A verificação do modelo é feita pelo cálculo
da estatística Q de Ljung-Box para a
seqüência Xt padronizada.
EXEMPLO
 Vamos ajustar um modelo AR(1) - GARCH
(1,1) aos retornos diários (Yt) da Petrobrás
de 14/10/1998 a 22/09/2008 supondo εt ~
N(0,1).
11
2
110
11 ,
−−
−
++=
=+=
ttt
tttttt
hXh
hXXYY
βαα
εφ
EXEMPLO
1
2
1
1
8334,01384,000003,0
,131726,0
−−
−
++=
=+=
ttt
tttttt
hXh
hXXYY ε
EXEMPLO
 Estimativa do desvio padrão condicional:

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2009 - Seminário pós-graduação UFPR - Arch e garch

  • 1. ARCH e GARCH Alysson Ramos Artuso
  • 2. INTRODUÇÃO  Modelo não-linear no que se refere à variância, introduzido por Engle (1982).  Muito usado para séries financeiras.  Variância condicional do retorno  volatilidade.
  • 3. NOTAÇÃO  Pt  preço de um ativo financeiro no instante t  Xt  retorno logarítmico no instante t.  μt = E(Xt | Ft-1)  ht = V(Xt | Ft-1)  Ft-1 é a informação até o instante t-1 que consideramos ser {Xt-1, ..., X1}       = −1 ln t t t P P X
  • 4. MODELOS NÃO-LINEARES Xt = g(at-1, at-2,…) + ath(at-1, at-2,…) com at supostos i.i.d.  g(.) representa a média condicional  h2 (.) representa a variância condicional  Se g(.) for não-linear o modelo é não-linear na média  Se h2 (.) for não-linear o modelo é não-linear na variância
  • 5. EXEMPLOS  Exemplo 1: é um modelo não-linear na média, pois e h(.) = 1  Exemplo 2: é um modelo não-linear na variância, pois g(.) = 0 e 2 1−+= ttt aaX α 2 1(.) −= tag α 2 1−= ttt XaX α 2 1(.) −= tXh α
  • 6. MODELOS ARCH  Modelo auto-regressivo com heteroscedasticidade condicional (AutoRegressive Condicional Heterocedasticity)  O objetivo era estimar a variância da inflação  A idéia básica é que o retorno Xt é não- correlacionado serialmente, mas a volatilidade (variância condicional) depende de retornos passados por meio de uma função quadrática.  Agrupamento da volatilidade
  • 7. ARCH(r) – DEFINIÇÃO  onde εt é uma seqüência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média zero e variância um;  α0 > 0, αi ≥ 0, i > 0 22 22 2 110 ... rtrttt ttt XXXh hX −−− ++++= = αααα ε
  • 8. ARCH (1) com α0 > 0, α1 ≥ 0  Média: E(Xt) = 0  Variância: V(Xt) = E(Xt 2 ) = α0 + α1 E(Xt-1 2 )  Se o processo for estacionário de segunda ordem: 2 110 −+= = tt ttt Xh hX αα ε 1 0 1 )( α α − =tXV
  • 9. ARCH (1)  Autocovariância: γX(k) = 0, k ≥ 1  Curtose maior que 3  caudas longas  Xt é uma seqüência de variáveis aleatórias não correlacionadas (ruído branco) com média zero e variância 1 0 1 )( α α − =tXV
  • 10. ARCH (1)  Xt 2 = htεt 2  Xt 2 – ht = htεt 2 – ht  Xt 2 – (α0 + α1 Xt-1 2 ) = ht (εt 2 – 1)  Xt 2 = (α0 + α1 Xt-1 2 ) + ht (εt 2 – 1)  Xt 2 = (α0 + α1 Xt-1 2 ) + vt  temos um modelo AR(1) para Xt 2 , mas com erros não-gaussianos.
  • 11. TRABALHANDO COM ARCH  Se houver correlação serial na série, ajusta- se um modelo ARMA para removê-la. Nesse caso teremos: sendo at ~ ARCH (r) tt aBXB )()( 0 θθφ +=
  • 12. TRABALHANDO COM ARCH  Para verificar se a série apresenta heteroscedasticidade condicional, aplica- se os seguintes testes: – Teste de Box-Pierce-Ljung para Xt 2 – Teste de Multiplicadores de Lagrange de Engel (ML)
  • 13. TRABALHANDO COM ARCH  Os estimadores dos parâmetros do modelo são obtidos pelo método da máxima verossimilhança condicional.  A verificação do modelo é feita pelo cálculo da estatística Q de Ljung-Box para a seqüência Xt padronizada.  Os programas EViews, SPLUS (módulo S+FinMetrics), PcGIVE e RATS, entre outros, podem ser usados para se trabalhar com modelos ARCH e GARCH.
  • 14. EXEMPLO  Ajuste um modelo ARCH (1) aos retornos diários (Yt) da série A9 – Petrobrás do livro do Morretin e Toloi (2004). A série pode ser conseguida em http://www.ime.usp.br/pam  Essa série possui observações da ação Petrobrás PN do período de 03/01/1995 até 27/12/2000.
  • 15. EXEMPLO  Aparente estacionariedade  Média em torno de zero  Agrupamento de volatilidades (crise do México; crise da Ásia; moratória russa; desvalorização do Real; queda da Nasdaq)
  • 16. EXEMPLO  1º passo: ajustar um modelo ARMA (p, q) à série de retornos para eliminar a correlação serial entre as observações.  No EViews 6:
  • 23. EXEMPLO ttttt XYYYY ++−= −−− 931 0802,00510,00982,0
  • 24. EXEMPLO  View/ARMA Structure  View/Residual Tests/Correlogram-Q- statistics  View/Residual Tests/Serial Correlation LM Test
  • 25. EXEMPLO  2º passo: verificar se os resíduos do modelo apresentam heteroscedasticidade condicional e modelar um ARCH.
  • 29. EXEMPLO  3º passo: verificar o modelo (estatística de Ljung-Box; teste ML). 2 3 2 2 2 1 1 2708,02373,01938,0004,0 ,1604,0 −−− − +++= =+= tttt tttttt XXXh hXXYY ε
  • 30. EXEMPLO  Estimativa do desvio padrão condicional:
  • 31. MODELOS GARCH  Generalização do modelo ARCH sugerida por Bollerslev (1986)  Assim como um modelo ARMA pode ser mais parcimonioso que um modelo AR ou MA puro, um modelo GARCH pode apresentar menos parâmetros que um modelo ARCH.
  • 32. GARCH(r,s) – DEFINIÇÃO  onde εt i.i.d. (0,1)  α0 > 0, αi ≥ 0, βi ≥ 0  , q = max (r,s) ∑∑ = − = − ++= = s j jtj r i itit ttt hXh hX 11 2 0 βαα ε ∑= <+ q i ii 1 1)( βα
  • 33. GARCH (r,s)  E(Xt) = 0   Volatilidades altas são precedidas de retornos ou volatilidades grandes.  As caudas de Xt são mais longas do que as da curva gaussiana. ∑= +− = q i ii tXE 1 02 )(1 )( βα α
  • 34. GARCH (1,1)  com α0 > 0, α1 ≥ 0, β1 < 1, α1 + β1 < 1 11 2 110 −− ++= = ttt ttt hXh hX βαα ε
  • 35. GARCH (1,1)  Assim temos um modelo ARMA para Xt 2 , mas vt não é, em geral, um processo i.i.d. 11 2 1110 2 )( −− −+++= tttt vvXX ββαα
  • 36. TRABALHANDO COM GARCH  A identificação da ordem do modelo GARCH é usualmente difícil.  Modelos de ordem baixa, como (1,1), (1,2) ou (2,1).  Escolha baseada em critérios como o AIC, BIC, valores de assimetria e curtose, da log- verossimilhança ou de uma função perda.
  • 37. TRABALHANDO COM GARCH  Os estimadores dos parâmetros do modelo são obtidos pelo método de máxima verossimilhança condicional.  A verificação do modelo é feita pelo cálculo da estatística Q de Ljung-Box para a seqüência Xt padronizada.
  • 38. EXEMPLO  Vamos ajustar um modelo AR(1) - GARCH (1,1) aos retornos diários (Yt) da Petrobrás de 14/10/1998 a 22/09/2008 supondo εt ~ N(0,1). 11 2 110 11 , −− − ++= =+= ttt tttttt hXh hXXYY βαα εφ
  • 40. EXEMPLO  Estimativa do desvio padrão condicional: