cv

1. Formas
indeterminadas
e
a
Regra
de
L’Hôspital
Material
online:
h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2010_2.html

2. Regra
de
L’Hôspital
Considere a função F(x) =
ln x
x − 1
Como calcular ?
lim
x→1
F(x)
Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada
do tipo
lim
x→a
f(x)
g(x)
0
0
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0
Exemplo:
lim
x→1
x2
− x
x2 − 1
= lim
x→1
x(x − 1)
(x + 1)(x − 1)
= lim
x→1
x
x + 1
=
1
2
lim
x→0
sin x
x
= 1

3. Regra
de
L’Hôspital
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que
Neste caso, o limite é denominado forma indeterminada
do tipo
lim
x→±∞
f(x) = lim
x→±∞
g(x) = ±∞
lim
x→±∞
f(x)
g(x)
∞
∞
Exemplo:
lim
x→∞
ln x
x − 1
= ?

4. Regra
de
L’Hôspital
Regra de L’Hôspital: Sejam f e g deriváveis e g’ não nula em um intervalo
aberto I que contém a (exceto possivelmente em a). Suponha que
e
e
ou
Então
se o limite das derivadas existir.
Obs.: A regra também vale para limites laterais e limites no infinito.

5. Regra
de
L’Hôspital
Exemplo:
Forma indeterminada do tipo
0
0
Aplicando a Regra de L’Hôspital:

6. Regra
de
L’Hôspital
Exemplo:
Forma indeterminada do tipo
∞
∞
Aplicando a Regra de L’Hôspital:
Temos a mesma forma indeterminada novamente. Vamos aplicar a regra novamente:

7. Regra
de
L’Hôspital
Exemplo:
Aplicando a Regra de L’Hôspital:
Temos a mesma forma indeterminada novamente. Mas podemos simplificar!

8. Regra
de
L’Hôspital
Exemplo:
Aplicando a Regra de L’Hôspital:
Forma indeterminada do tipo
0
0
Aplicando a Regra de L’Hôspital novamente:
lim
x→0
2 · sec x · d
dx [sec x]
6x
= lim
x→0
2 · sec2
x tan x
6x
=
1
3
lim
x→0
sec2
x · lim
x→0
tan x
x
=
1
3
lim
x→0
tan x
x

9. Regra
de
L’Hôspital
Exemplo:
Aplicando a Regra de L’Hôspital mais uma vez:
1
3
lim
x→0
tan x
x
=
1
3
lim
x→0
sec2
x
1
=
1
3

10. Regra
de
L’Hôspital
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que e
lim
x→a
f(x) = 0 lim
x→a
g(x) = ±∞
Neste caso, o limite é denominado forma
indeterminada do tipo
lim
x→a
f(x) · g(x)
0 · ∞
Observe que , onde neste caso teremos uma
forma indeterminada do tipo e podemos usar a Regra de L’Hôspital.
lim
x→a
f(x) · g(x) = lim
x→a
f(x)
1
g(x)
0
0

11. Regra
de
L’Hôspital
Exemplo:
ln x
Forma indeterminada do tipo
0 · ∞

12. Regra
de
L’Hôspital
Definição: Sejam f(x) e g(x) tais que e
Neste caso, o limite é denominado forma
indeterminada do tipo
Estratégia: Tentar transformar a diferença em um quociente.
lim
x→a
f(x) = ∞ lim
x→a
g(x) = ∞
lim
x→a
[f(x) − g(x)]
∞ − ∞

13. Regra
de
L’Hôspital
Exemplo:
Aplicando a Regra de L’Hôspital:

14. Regra
de
L’Hôspital
Definição: Potências indeterminadas:
e
e
e
tipo
tipo
tipo
Estratégia: Tome o logaritmo natural:


15. Regra
de
L’Hôspital
Exemplo:
Quando ,
e
Aplicando a Regra de L’Hôspital:
= elimx→0+ ln y