resumão de resistencia dos materiais, ode aborda de forma resumida e completa.

1. Resumão – ResistênciadosMateriais
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
1. Tração e compressão entre os limites elásticos.
Pontos importantes
Resistência dos materiais é o estudo da relação entre as cargas externas que atuam em um
corpo e a intensidade das cargas internas no interior desse corpo
As forçasexternaspodemseraplicadasaum corpo como cargas de superfícies distribuídas ou
concentradas ou como forças de corpo que atuam em todo o volume do corpo.
Cargas lineares distribuídas produzem uma força resultante com grandeza igual à área sob o
diagrama de carga e com localização que passa pelo centróide dessa área.
Um apoio produz uma força em uma direção particular sobre seu elemento acoplado, se ele
impedir a translação doelementonaqueladireção,e produz momento binário noelemento se
impedir a rotação.
As equações de equilíbrio ∑ 𝐹 = 0 𝑒 ∑ 𝑀 = 0 devem ser satisfeitas a fim de impedir que o
corpo se translade com movimento acelerado e que tenha rotação. Quando se aplicam as
equaçõesde equilíbrio,é importante primeiro desenhar o diagrama de corpo livre do corpo a
fim de considerar todos os termos das equações.
O métododasseçõesé usadopara determinarascargas internasresultantesque atuam sobre
a superfície docorpo secionado.Emgeral, essas resultantes consistem em uma força normal,
uma força de cisalhamento, um momento de torção e um momento fletor.
Tensão
Hipóteses em relação às propriedades do material
 Contínuo → Distribuição uniforme de matéria, sem vazios.
 Coeso → Suas partes bem unidas, sem trincas, falhas e etc.
Definição:A tensãodescreve a intensidade da força interna sobre um plano específico (área)
que passa por determinado ponto.
Tensão Normal: É a intensidade daforçaque atua no sentido perpendicular a ΔA por unidade
de área (σ).
Distribuição média de Tensão que atua na Seção Transversal de uma Barra prismática com
carga axial
Hipóteses:

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1- A barra permanece reta antes e depois da carga ser aplicada. A seção transversal deve
permanecer plana durante a deformação.
 Obs. 1: As linhas horizontais e verticais da grade inscrita na barra deformam-se
uniformemente quando a barra está submetida a carga.
 Obs. 2: Desconsiderar as regiões da barra próximas a sua extremidade, pois as cargas
externas podem provocar distorções localizadas.
2- P deve ser aplicada ao longo do eixo do centróide da seção transversal. Material deve ser
homogêneo e isotrópico.
 Material homogêneo: Mesmas propriedades físicas e mecânicas em todo o seu
volume.
 Material Isotrópico: Possui essas mesmas propriedades em todas as direções
Tensão de Cisalhamento: É a intensidade da força, ou força por unidade de área, que atua
tangente a ΔA (τ)
Cisalhamento simples ou direto
O cisalhamentoé provocadopelaaçãodireta da carga aplicada F. Ocorre frequentemente em
vários tipos de acoplamentos simples que usam parafusos pinos, material de solda etc.
Coeficiente de Segurança: É a relação entre o carregamento último e o carregamento
admissível. 𝐹𝑆 =
𝑃 𝑓𝑎𝑙ℎ𝑎
𝑃 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙
.
A escolha de um coeficiente de segurança baixo pode levar à estrutura a possibilidade de
ruptura e a escolha de um coeficiente de segurança alto pode levar a um projeto
antieconômico.

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2. Análise das tensões e deformações.
Deformações
Deformação é a mudança na forma e tamanho de um corpo quando uma força é aplicada no
mesmo.
Deformação normal: É o alongamentoouacontração de umsegmentode retapor unidade de
comprimento. 𝜖 =
∆𝑠´−∆𝑠
∆𝑠
Se a deformação normal for conhecida, podemos utilizar a equação acima para obter o
comprimento final aproximado, da seguinte forma: ∆𝑠´ ≈ (1 + 𝜖)∆𝑠
Deformação por Cisalhamento:É a mudançade ânguloocorridaentre doissegmentos de reta
originalmente perpendiculares entre si. O ângulo é denotado por γ e medido em radianos.
𝛾 𝑛𝑡 =
𝜋
2
− lim
𝐵→𝐴 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑛
𝐶→𝐴 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑡
𝜃´
Componentes Cartesianas das Deformações Específicas
Suposições:

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 Dimensõesdoelemento retangular muito pequena, seu formato deformado será um
paralelepípedo.
 Segmentos de reta muito pequenos permanecem retos após a deformação do corpo
Observações:
 Deformações normais provocam mudança de volume do elemento retangular
 Deformações por cisalhamento provocam mudança no seu formato.
O estado de deformaçãoemum ponto é caracterizado por seis componentes da deformação:
Três deformaçõesnormais εx ,εy e εz e três deformaçõesporcisalhamento γxy ,γyz e γxz . Esses
componentesdependemda orientação dos segmentos de reta e de sua localização no corpo.
Análise de pequenas deformações: A maioria dos materiais da engenharia sofre pequenas
deformações que em algumas aplicações podem ser admitidas. Desse modo, quando a
deformação normal for pequena (ε << 1), pode-se desprezar tanto o produto de duas
deformações específicas quanto o produto de duas deformações.
Diagrama tensão x deformação convencional
Tensão nominal ou de engenharia: Determina-se com os dados registrados, dividindo-se a
carga aplicada P pela área da seção transversal inicial do corpo de prova A0.
Deformação nominal ou de engenharia:É obtidadaleituradoextensômetro, ou dividindo-se
a variação do comprimento de referência, δ, pelo comprimento de referência inicial L0.

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Lei de Hooke: É a Relação linear entre tensão e deformação na região de elasticidade. Foi
descoberta por Robert Hooke, em 1676, com o auxílio de molas. Um material é chamado de
linear-elátisco se a tensão for proporcional a deformação dentro da região elástica. Essa
condição é denominada Lei de Hooke e o declive da curva é chamado de módulo de
elasticidade E. 𝜎 = 𝐸𝜀
3. Estado plano de tensões.
Transformação de Tensão ou Análise de Tensão
O estado geral de tensão não é encontrado com freqüência na prática da engenharia.
AproximaçõesouSimplificaçõesdascargassobre o corpo, a fimde que a tensão produzida em
um sistema estrutural ou mecânico seja analisado em um plano simples
Observações gerais:
 Em torno de um ponto, um elemento de superfície podendo assumir uma infinidade
de posições, ensejará o aparecimento de tensões diferentes no mesmo ponto,
correspondentes a cada uma dessas posições.

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 O estadode tensãonum ponto é o conjunto de todas as tensões ocorrendo em todos
os planos passando pelo ponto.
Os diferentes estados de tensão num ponto
Estado Triplo ou Tri-Axial – As tensões que atuam nas faces do paralelepípedo elementar
admitem componentes nas direções de todas as suas arestas.
Estado Plano, Duplo, ou Bi-Axial – As tensões no paralelepípedo apresentam componentes
paralelas a apenas dois eixos.
Estado Simples ou uniaxial – Nas faces do paralelepípedo atuam tensões na direção de uma
única aresta
Estado de Cisalhamento Puro - Nas faces do paralelepípedo atuam apenas tensões
tangenciais.Osimples valor 𝜏 𝑥𝑦 = 𝜏 𝑦𝑥 é suficiente para definir o estado de tensão no ponto.
Análise das tensões no Estado Plano
O problema da análise das tensões consiste em determinar as componentes da tensão num
plano qualquer, a partir das componentes da tensão que atuam em três planos ortogonais
passando pelo ponto e supostas previamente conhecidas.
Equações Gerais de Transformação de Tensão para o Estado Plano
O componente das tensões normal ou de cisalhamento será positivo caso atue na direção
positiva da coordenada da face positiva do elemento, ou caso atue na direção negativa da
coordenada da face negativa do elemento como na figura acima.

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Para lembrar a convenção de sinais: A tensão normal é positiva quando atua para fora de
todasas facese a tensãode cisalhamentoé positiva quando atua para cima na face direita do
elemento.
Ânguloθ:Orientaçãodoplanoinclinadonoqual devemserdeterminadososcomponentesdas
tensões normal e de cisalhamento (Positivo no sentido anti-horário).
Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máxima no Plano
Nosplanosemque agem osvaloresmáximoe mínimodastensõesnormais (tensõesque agem
nos planos principais), a tensão de cisalhamento é nula.
Orientação dos planos de tensões normais máxima e mínima:
Tensões principais: A equação abaixo nos dá a tensão normal máxima ou mínima no plano a
qual atua sobre um pontoemque σ1 ≥ σ2. A tensãocisalhante atuante nos planos principais é
nula.

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Tensão cisalhante máxima no plano:
Tensão normal nos planos de tensão cisalhante máxima:
Círculo de Tensões de Mohr
É utilizado para obter graficamente uma solução mais rápida para os problemas de
transformação de tensões (Análise das tensões no ponto).
Traçado do Círculo de Mohr
I. Estabelecerumsistemade coordenadastal que aabscissarepresente atensãonormal
σ, com sentido positivo para a direita, e a ordenada represente a tensão de
cisalhamento τ, com sentido positivo para baixo.
II. Usando a convenção de sinal positiva para σx , σy e τxy, marcamos o centro do círculo,
localizado no eixo σ a uma distância 𝜎 𝑚é𝑑 = ( 𝜎 𝑥 − 𝜎 𝑦)/2da origem.
III. Marcar o “ponto de referência” A de coordenadas A(σx,τxy ). Esse pontorepresenta os
componentes das tensões normal e de cisalhamento na face vertical direita do
elemento e, como o eixo x’ coincide com o eixo x, isso significa que θ=0°.
IV. Unir o ponto A ao centro C e determinar CA usando trigonometria. Essa distância
representa o raio R do círculo.
V. Traçar o círculo.

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4. Força cortante e momento fletor.
Deflexão de Vigas
Deflexão de vigas → Equações diferenciais da curva de deflexão
Estruturasencontradasna vidadiáriasofrempequenasvariaçõesnaformaenquantoestãoem
serviço e não são percebidas por um observador casual. Dessa forma, a curva de deflexão da
maioria das vigas e colunas tem ângulos de rotação muito pequenos, deflexões muito
pequenas e curvaturas muito pequenas.
Se o material é elástico e linear e segue a Lei de Hooke, a curvatura é dada por: 𝜅 =
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
A deflexãodavigaemqualquerpontoaolongode seueixoé o deslocamento desse ponto em
relação à sua posição original, medida na direção de y.
Flexão Pura e Flexão Não-Uniforme
Flexão Pura - Referente à flexão na viga submetida a um momento fletor constante. Ocorre
nas regiões onde a força de cisalhamento é zero, pois V=dM/dx.

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Flexão Não-Uniforme – Flexão na presença de forças de cisalhamento, o que significa que o
momento fletor varia quando nos movemos ao longo do eixo da viga.
Tensões normais em vigas (Materiais Elásticos Lineares)
A relaçãotensãodeformaçãomaiscomumencontradanaengenharia é a equação do material
linear e elástico. A equação abaixo mostra que a tensão normal varia linearmente com a
distância y da superfície neutra.
Da figuraacima observa-se que:M>0; κ >0; σx<0 (compressão) acimadasuperfície neutra; σx >
0 (tração) abaixo da superfície neutra. A linha neutra passa através do centróide da área da
seçãotransversal quandoomaterial segue alei de Hooke e não existemforçasaxiaisagindona
seção transversal.
Fórmula de flexão
Tensõescalculadasapartir da fórmulade flexãosãochamadasde tensões fletoras ou tensões
de flexão. 𝜎 𝑥 =
𝑀𝑐
𝐼
A expressão da flexão mostra que as tensões são diretamente proporcionais aos momentos
fletores e que aumenta linearmente com o aumento de y. Nota-se que momentos fletores
positivos causam tensões de compressão na viga na parte superior acima da linha neutra e
causam tensões de tração na parte inferir, pois o y é negativo e também se pode visualizar
este resultado na prática. Caso os momentos sejam negativos, as tensões terão sinais
invertidos como mostra a figura abaixo.

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Limitações
As análises apresentadas nesta seção são para flexões puras em vigas prismáticas composta
de materiaishomogêneose elásticoslineares.Casoaviga esteja submetida a uma flexão não-
uniforme a força de cisalhamento gerará um empenamento, ou seja, uma distorção fora do
plano. Dessa forma, uma seção que era plana antes da flexão, não é mais plana depois da
flexão.
Análisesrevelamque astensõesde flexão,nãosãosignificativamentealteradas pela presença
das forçasde cisalhamentoe seuempenamentoassociado.Dessa forma, utiliza-se a teoria de
flexão pura para calcular tensões normais em vigas submetidas a tensões de flexão não-
uniforme.
A fórmula de flexão fornece resultados precisos apenas nas regiões da viga onde as
distribuiçõesde tensões não são perturbadas pela forma da viga ou por descontinuidades no
carregamento. A fórmula de flexão não é aplicada próximo dos apoios ou de carregamentos
concentrados,poisessasirregularidades produzem tensões localizadas, ou concentrações de
tensões que são muito maiores do que a tensão de flexão.
5. Tensões/deformações em vigas carregadas transversalmente.
Forças e momentos internos em vigas
Vigashorizontais carregadas são elementos comuns na prática e o dimensionamento exige a
determinação das tensões internas em função da(s) carga(s) aplicada(s).
Seja, conforme figura abaixo, uma viga horizontal com um carregamento genérico F(x) ao
longo do seu comprimento. A simples dedução lógica permite concluir que esta viga está
internamente submetida a esforços de cisalhamento e flexão.

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Considerandoumcorte transversal hipotético
emum local qualquerA,é possível separar os
esforçosdistintos:cisalhamentoconforme(b)
da figura e momento de flexão conforme (c)
da mesma figura.
Algumasreferências usam os termos esforço
cortante para o cisalhamento e momento
fletor para o momento de flexão.
Também pode ser encontrada a expressão
força transversal para o cisalhamento.
Em geral adotam-se as convenções de sinais como em (b) e (c), isto é, cisalhamento positivo
tende a girar cada parte no sentido horário e momento positivo tende a tracionar a parte
inferior e comprimir a parte superior da viga (obs: os sinais de cisalhamento e momento da
figura não têm relação com o carregamento indicado).
Diagramas de esforços em vigas
A Figuraabaixo(a) dá exemplode um dos carregamentos mais simples: uma viga apoiada em
dois cutelos com uma única carga vertical F1. O apoio sobre cutelos garante que não há
momentos nas extremidades e que não há forças longitudinais se o carregamento é vertical,
pois o cutelo direito está sobre rolos.
Considerandoaorigemdascoordenadasx = 0, umproblema típico consiste em determinar os
esforços ao longo da viga conhecidos os valores de F1, o seu ponto de aplicação x1 e o
comprimento da viga x2.
O esquema das forças atuantes na viga é dado em (b) da figura. F0 e F2 são as reações dos
apoios. Notar que é uma viga estaticamente determinada, isto é, todas as forças podem ser
calculadas pela aplicação das condições de equilíbrio estático (soma das forças nulas e
também dos momentos).
De ∑ Fy = 0, ocorre
F1 = − F0 − F2.
De ∑ M = 0 (emrelaçãoao ponto0 por exemplo),
F1 x1 = − F2 x2.
A condição∑ Fx = 0 nãose aplicapor nãoexistirforçanesse sentido.

13. Resumão – ResistênciadosMateriais
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Portanto,F2 = − F1 x1 / x2.
F0 = − F1 − F2 = − F1 + F1 x1 / x2.Ou
F0 = − F1 (x2 − x1) / x2.
Considera-seagoraumtrecho genéricode 0
a um pontox, à esquerdade 1, conforme (c)
da figura.
Aplicandoacondiçãode equilíbrio∑Fy = 0,
emmódulo,Fc = F0.E o cisalhamentointerno
é positivoconformecritériodotópico
anterior.
Assim, doponto0 até 1,
Fc = F0.
É fácil deduzirque doponto1 ao ponto2 vale Fc = F0 + F1 = − F2.
Novamente se consideraopontox à esquerdadoponto1 conforme figura.
Aplicando acondição∑ M = 0 emrelaçãoa x,
M = x F0 (positivoconformecritériodotópicoanterior).
Entre ospontos1 e 2, M = x F0 − (x − x1) F1.
Substituindoosvaloresde F0 e F1 conforme jácalculado,
Entre 0 e 1: M= F1 (x2 − x1) x / x2.Portanto,
Para x = 0, M = 0.
Para x = x1,M = F1 (x2 − x1) x1 / x2.
Entre 1 e 2: M= x F0 − (x − x1) F1 = x (F0 − F1) + x1 F1. Mas F0 − F1 = − F2.Assim,
M = − x F1 x1 / x2 + x1 F1 = F1 (x1 − x1 x / x2 ) = F1 x1 (1 − x / x2 ). Portanto,
Para x = x2,M = 0.
Para x = x1,M = F1 x1 (1 − x1 / x2) = F1 x1 (x2 − x1) /x2 . Notarque é igual ao valordo trecho
anterior.E o gráficoé conforme (e) dafigura.
E os valoresmáximossãodadospor:
Fc_max = max (F0,F2) com F0 = F1 (x2 − x1) / x2 e F2 = F1 x1 / x2.
Mmax = F1 (x2 − x1) x1 / x2.

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Viga apoiada com várias cargas concentradas Viga apoiada com carga uniformemente
distribuída
Viga engastada com uma carga na extremidade Viga engastada com carga distribuída
Viga apoiada com momento concentrado

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6. Problemas de flexão estaticamente indeterminados.
Carregamentos hiperestáticos ou estaticamente indeterminados ocorrem quando as
equações fundamentais da estática, ∑F = 0 (ou ∑Fx = 0 e ∑Fy = 0) e ∑M = 0, não são suficientes
para determinar os esforços atuantes. Ou seja, o número de incógnitas excede o número de
equações de equilíbrio.
Viga horizontal com trêsapoios
A Figuraabaixo(a) ilustraumaviga horizontal de seção transversal constante com três apoios
e submetidaàsforçasexternasconhecidas Fe H emcada vão. Asreaçõesdos apoiossão A, C e
B. As distânciashorizontais são todas conhecidas, valendo naturalmente a + b = α + β = m+n =
L.
Desde que sóhá forças verticais,de ∑Fy = 0 tem-se emmódulo
A + C + B = F + H.
De ∑M= 0 emrelaçãoa A,por exemplo,tem-seemmódulo
mC + LB = aF + αH.
Há, portanto três valores desconhecidos (A, C, B) e duas equações, caracterizando um
carregamento hiperestático. Pode-se resolver o problema considerando o fato de ser nulo o
valor da linha elástica em C.
Usando o métododasuperposição,
considera-se asituação(a) igual àsoma dos
carregamentoslistadosaseguir.
(b) só com atuação da força F,que produz
um deslocamento yF emC.
(c) só com atuação da força H, que produz
um deslocamento yH emC.
(d) só com atuação da força de reação C,que
produzum deslocamento yC emC.
Se em módulos yC = yF + yH,conclui-se que o
deslocamentoem Cé nulo.Assim, asituação
equivale aocarregamento(a) e osvaloresde
todasas reaçõesdosapoiospodemser
determinados.
Esses três carregamentos simples são do mesmo tipo, isto é, viga bi-apoiada com carga
concentrada em posição genérica. As fórmulas já foram dadas em páginas anteriores. Assim,

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(b) yF é a flechapara x = m.
yF = [FL3
/(6EJ)] (b/L) (a/L)2
(n/L) [1+ L/a - n2
/ab].
(c) yH é a flechapara x = m.
yH = [HL3
/(6EJ)] (α/L) (β/L)2
(m/L) [1+ L/β - m2
/αβ].
(d) yC é a flechanopontode aplicaçãoda força.
yC = (C m2
n2
) / (3 E J L).
Para obterum fator comumcom as anteriores,multiplicam-se ambospor2L3
yC = 2 [CL3
/(6EJ)] (mn/L2
)2
.
Voltandoàigualdade anterior, yC =yF + yH,faz-se a substituição
2 [CL3
/(6EJ)] (mn/L2
)2
=
[FL3
/(6EJ)] (b/L) (a/L)2
(n/L) [1+ L/a - n2
/ab] +[HL3
/(6EJ)] (α/L) (β/L)2
(m/L) [1+ L/β - m2
/αβ].
Resultandoapóssimplificação:
C = [Fb a2
/ (2 n m2
)] [1 + L/a - n2
/ab] +[H α β2
/ (2 m n2
)] [1 + L/β - m2
/αβ] #A.1#.
Com essafórmula,areação C é determinadae asdemais(A e B) são obtidasdasigualdadesdo
iníciodeste tópico.
7. Torção e momento torsor.
Torção
Torção se refere aogirode uma barra retilíneaquando carregada por momentos (ou torques)
que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra.
Membroscilíndricossubmetidosa torques e que transmitem potência através de rotação são
chamados de eixos.
Deformações de torção de uma barra circular

17. Resumão – ResistênciadosMateriais
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Torção Pura: Toda a seção transversal está submetida ao mesmo torque interno T.
Considerações:
Das condições de simetria, as seções transversais da barra não variam na forma enquanto
rotacionam sobre o eixo longitudinal. Em outras palavras, todas as seções transversais
permanecem planas e circulares e todos os raios permanecem retos.
Caso o ângulo de rotação entre uma extremidade da barra e outra é pequeno, nem o
comprimento da barra e nem seu raio irão variar.
Equação para deformação de cisalhamento na superfície externa: 𝛾 𝑚á𝑥 = 𝑟𝜃
Barras Circulares de Materiais Elásticos Lineares
Caso o material seja elástico-linear, podemos usar a lei de Hooke em cisalhamento: 𝜏 = 𝐺𝛾
O estado de cisalhamento puro na superfície de uma barra é equivalente a tensões iguais de
compressãoe tração agindonum elementoorientadonumângulode 45°. Se uma barra é feita
de um material que é mais frágil em tração do que em cisalhamento, a falha irá ocorrer em
tração ao longo de uma hélice a 45° do eixo.
A Fórmula de Torção
A distribuição de tensões de cisalhamento agindo em uma seção transversal foi ilustrada
anteriormente.Comoessastensões agem continuamente ao redor da seção transversal, têm
uma resultante na forma de um momento – um momento igual ao torque agindo na barra.

18. Resumão – ResistênciadosMateriais
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A fórmula de torção é mostrada abaixo. A tensão de cisalhamento máxima é diretamente
proporcional aotorque aplicado, Te inversamenteproporcional aomomentode inércia polar,
J: 𝜏 =
𝑇𝜌
𝐽
O torque T internodesenvolvenãoapenas uma distribuição linear de tensões cisalhantes em
cada linha radial no plano da seção transversal, mas também uma distribuição de tensões
cisalhantes associadas ao longo de um plano axial.
Para um círculo de raio r e diâmetro d, o momento de inércia polar é: 𝐽 =
𝜋
2
𝑟4
Tubos circulares: Se um eixotemumaseçãotransversal tubular,seumomentopolarde inércia
é dado por: 𝐽 =
𝜋
2
(𝑟𝑒
4 − 𝑟𝑖
4
)
Torção Não-Uniforme
A barra não precisa ser prismática e os torques aplicados podem agir em qualquer lugar ao
longo do eixo da barra. Nesse caso aplica-se a fórmula de torção pura em segmentos
individuais da barra e somam-se os resultados, ou aplicam-se as fórmulas para elementos
diferenciais e integra-se.
Barra consistindo de segmentos prismáticos com torque constante ao longo de cada
segmento
Tem-se que os torques abaixo são constantes ao longo do comprimento de seu segmento:
Convençãode sinal:Um torque internoé positivoquandoseuvetorapontapara fora da seção
cortada e negativa quando seu vetor aponta em direção à seção. Caso o torque tenha sinal
positivo, isso quer dizer que ele está na direção assumida, caso contrário, ele age na direção
oposta.

19. Resumão – ResistênciadosMateriais
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Fórmula geral do ângulo de torção: O subscrito i é um índice numérico para os vários
segmentos, Ti é o torque interno, Li é o comprimento, Gi é o módulo de cisalhamento e Ji é o
momento de inércia polar.
𝜙 = ∑ 𝜙𝑖
𝑛
𝑖=1
= ∑
𝑇𝑖 𝐿𝑖
𝐺𝑖 𝐽𝑖
𝑛
𝑖=1
Transmissão de Potência por eixos Circulares
A potênciaé transmitidaatravésdo movimento rotatório do eixo e a quantidade de potência
transmitidadepende damagnitude dotorque e davelocidade de rotação. Potência é definida
como o trabalho realizado por unidade de tempo.
𝑃 = 𝑇𝜔, onde 𝜔 = 2𝜋𝑓
Engrenamento: A razão entre o número de dentes nas rodas é diretamente proporcional à
razão de torque e inversamente proporcional à razão das velocidades de rotação. Temos a
seguinte equação:
𝑛2
𝑛1
=
𝑧1
𝑧2
8. Momento de inércia das figuras planas.
O momento de inércia mede a distribuição da massa de um corpo em torno de um eixo de
rotação. Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo girar.
Contribui mais para a elevação do momento de inércia a porção de massa que está afastada
do eixo de giro. Um eixo girante fino e comprido, com a mesma massa de um disco que gira
em relação ao seu centro, terá um momento de inércia menor que este. Sua unidade de
medida, no SI, é quilograma vezes metro ao quadrado (kg·m²).

20. Resumão – ResistênciadosMateriais
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9. Critérios de Falha – Materiais Dúcteis
Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima (Critério de Tresca)
O caso mais comum de escoamento de um material dúctil, como o aço, é o deslizamento
(devidoàtensãode cisalhamento) que ocorre aolongodosplanosde contato dos cristais que,
aleatoriamenteordenados,formamoprópriomaterial. Osplanos de deslizamento ocorrem a
aproximadamente 45º do eixo de carregamento.
Considerando-se um elemento do material tirado de um corpo de prova para um ensaio de
tração, submetido apenas ao limite de escoamento σE , como apresenta a Figura abaixo. A
tensãode cisalhamentomáximaé determinada a partir do círculo de Mohr. Dessa forma tem-
se.
Utilizando a idéia de que os materiais Dúcteis falham por cisalhamento, Henri Tresca propôs
em 1868 a sua teoria que é usada para prever a tensão de falha de um material dúctil
submetido a qualquer tipo de carregamento.
O escoamentodomaterial começaquandoatensão de cisalhamento máxima absoluta atinge
o valor da tensão de cisalhamento que provoca escoamento do material quando ele está
submetido apenas à tensão axial. Para evitar a falha tem-se que: 𝜏 𝑚á𝑥
𝑎𝑏𝑠
≤
𝜎 𝐸
2
Para o estudo e aplicações é necessário colocar a tensão de cisalhamento em função das
tensõesprincipais.Lembrando que,quandoatensãoprincipal forado plano é nula. Se as duas
tensões principais no plano tiverem o mesmo sinal, ou seja, se ambas forem de tração ou
compressão, então a falha ocorrerá fora do plano e assim tem-se: 𝜏 𝑚á𝑥
𝑎𝑏𝑠
=
𝜎 𝑚á𝑥
2

21. Resumão – ResistênciadosMateriais
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Caso as tensões principais tenham sinais opostos, então a falha ocorrerá no plano e sabe-se
que: 𝜏 𝑚á𝑥
𝑎𝑏𝑠
=
𝜎 𝑚á𝑥−𝜎 𝑚𝑖𝑛
2
A teoriada tensãode cisalhamentomáximaparao estadoplanode tensõespode ser expressa
para quaisquer tensões principais no plano como σ1 e σ2 de acordo com o seguinte critério:
Um gráfico dessas equações é apresentado na figura abaixo:
Se qualquer ponto do material estiver sujeito a um estado plano de tensões e suas tensões
principais no plano forem representadas pelas coordenadas (σ1 e σ2 ) marcadas no limite ou
fora da área hexagonal sombreada, o material escoará no ponto e ocorrerá falha.
Teoria da Energia de Distorção Máxima (Critério de Von Mises)
Um material quando deformado por um carregamento externo tende a armazenar energia
internamenteemtodooseuvolume.A energiaporunidade de volumedomaterial é chamada
densidade de energia de deformação e, se ele estiver sujeito a uma tensão uniaxial, σ , essa
densidade é escrita como: 𝑢 =
𝜎𝜀
2
Experimentos demonstram que os materiais não escoam quando submetidos a uma tensão
uniforme (hidrostática), tal como a σméd. Com base nisso, em 1904, M. Huber propôs que
ocorre escoamento em um material dúctil, quando a energia de distorção por unidade de
volume do material é igual ou maior que a energia de distorção por unidade de volume do
mesmo material quando ele é submetido a escoamento em um teste de tração simples.
O critério de falha de Von Mises é dado por: 𝜎1
2
− 𝜎1 𝜎2 + 𝜎2
2
= 𝜎 𝐸
2
E graficamente é representado por:

22. Resumão – ResistênciadosMateriais
22
Caso um ponto do material estiver tracionado de tal forma que a coordenada da tensão (σ1 e
σ2) esteja posicionada no limite ou fora da área sombreada, diz-se que o material falhou. A
figura abaixo representa a comparação entre os critérios de Tresca e de Von Mises.
10. Vasos de Pressão
Vasos de Pressão: São estruturas fechadas contendo líquidos ou gases sob pressão. Vasos de
Pressãode paredesfinas(Estruturasde Cascas) – Cúpulasde telhados, asas de aviões e cascos
de submarinos. A relação r/t > 10 , onde r é o raio e t é a espessura da parede.
Parede Esférica: A parede de um vaso esférico pressurizado está submetida a tensões de
tração uniformes σ em todas as direções. 𝜎 =
𝑝𝑟
2𝑡
Limitações:

23. Resumão – ResistênciadosMateriais
23
a. A espessura da parede deve ser pequena em comparação às outras dimensões ( t/r ≥
10 )
b. A pressão interna deve exceder a pressão externa (para evitar flambagem)
c. A análise apresentada nesta seção é baseada apenas nos efeitos de pressão interna.
d. As fórmulas descritas não são válidas em pontos de concentrações de tensão.
Parede Cilíndrica:
 Tensão Circunferencial: 𝜎1 =
𝒑𝒓
𝒕
 Tensão Longitudinal: 𝜎2 =
𝑝𝑟
2𝑡