O documento descreve conceitos fundamentais sobre vetores e movimento circular. Define vetor, módulo, direção e sentido de um vetor. Explica a soma, diferença, produto escalar e decomposição de vetores. Também aborda lançamento horizontal, movimento circular uniforme e propriedades como deslocamento angular e velocidade angular.

1. Vetores:<br />Conceito:<br />Um vetor é um segmento de reta orientado utilizado para definir uma grandeza vetorial. Para que possa ser definido, um vetor deve possuir : Valor numérico (módulo) com unidade de medida, direção e sentido.<br />Módulo (valor numérico): É o tamanho do vetor ou o valor da grandeza que ele representa. Por exemplo : Na figura (I) temos um vetor comprimento, com exatamente 10 centímetros (cm), então, seu módulo será representado da seguinte forma: |A|=10cm. Na figura (II) temos um vetor velocidade com valor 50km/h. Logicamente é impossível representar na figura o valor 50 e principalmente a unidade km/h. Utilizamos, então, um comprimento qualquer para o vetor e indicamos seu módulo assim: |v|=50km/h. right0<br />Direção : Corresponde à posição ocupada pela reta suporte do vetor. Nas figuras anteriores, as retas pontilhadas embaixo dos vetores são suas retas suporte. A posição ocupada por ela é a direção. Por exemplo, na figura (I), a direção do vetor quot;
Aquot;
é Horizontal e na figura (II), a direção do vetor quot;
vquot;
é inclinado de um ângulo quot;
aquot;
em relação à horizontal, no sentido anti-horário.<br />Sentido: É a posição da seta do vetor, para onde ele aponta. Sobre uma direção podemos encontrar dois sentidos. Na figura (I) o vetor tem sentido para a direita e na figura (II) o vetor tem sentido inclinado para cima. Sobre a direção horizontal podemos ter dois sentidos : para a direita ou para a esquerda.<br />O módulo de se indica por ||<br />Soma de vetores <br />Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por: <br />v + w = (a+c,b+d) <br /> <br />Propriedades da Soma de vetores<br /> <br />Diferença de vetores <br />Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por: <br />v - w = (a-c,b-d) <br /> <br />Produto de um número escalar por um vetor <br />Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v como:<br />c.v = (ca,cb)<br /> <br />Propriedades do produto de escalar por vetor <br />Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores: <br /> <br />Módulo de um vetor <br />O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:<br />Vetor unitário <br />Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1. <br />Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R², que são dados por:<br />i = (1,0) j = (0,1) <br />Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é: <br />Observação: Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv, onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos:<br />Se c = 0, então u será o vetor nulo.Se 0 < c < 1, então u terá comprimento menor do que v.Se c > 1, então u terá comprimento maior do que v.Se c < 0, então u terá sentido oposto ao de v. <br /> <br />Decomposição de vetores em Vetores Unitários<br />Para fazer cálculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se apresenta, pode-se decompor este vetor em vetores unitários em cada um dos planos apresentados.<br />Sendo simbolizados, por convenção, î como vetor unitário do plano x e como vetor unitário do plano y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em três dimensões, o vetor utilizado para o plano z é o vetor unitário .<br />Então, a projeção do vetor no eixo x do plano cartesiano será dado por , e sua projeção no eixo y do plano será: . Este vetor pode ser escrito como:<br />=(,), respeitando que sempre o primeiro componente entre parênteses é a projeção em x e o segundo é a projeção no eixo y. Caso apareça um terceiro componente, será o componente do eixo z.<br />No caso onde o vetor não se encontra na origem, é possível redesenhá-lo, para que esteja na origem, ou então descontar a parte do plano onde o vetor não é projetado.<br /> <br />Produto escalar <br />Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d) definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por: <br />u.v = a.c + b.d <br /> <br />Exemplos: <br />O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é: <br />u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14 <br />O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é: <br />u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19 <br /> <br />Propriedades do produto escalar <br />Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:<br /> <br />Ângulo entre dois vetores <br />O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: <br />u.v = |u| |v| cos(x) <br />onde x é o ângulo formado entre u e v.<br />Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como,<br />desde que nenhum deles seja nulo.<br />Lançamento Horizontal<br />O lançamento horizontal é um movimento composto por um movimento horizontal e um movimento vertical. Segundo Galileu, se um móvel apresenta um movimento composto, cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem e no mesmo intervalo de tempo. Esse é o princípio da Simultaneidade. Quando um corpo é lançado horizontalmente, ele descreve um movimento parabólico em relação à Terra. De acordo com o princípio da simultaneidade, o lançamento horizontal é o resultado da composição de dois movimentos simultâneos e independentes: queda livre e movimento horizontal. <br />Gráfico do Lançamento Horizontal<br />No movimento de queda livre, movimento vertical, o corpo se move em razão da ação da gravidade. Assim, podemos dizer que o movimento é uniformemente variado, pois a aceleração gravitacional é constante. No caso do movimento horizontal, a velocidade v0 permanece constante. Portanto, o movimento é uniforme. A velocidade do móvel ao final do trajeto permanece a mesma do início desse trajeto. Em cada ponto da trajetória, a velocidade resultante v, do corpo lançado, é a soma vetorial da velocidade v0 na direção do eixo x (horizontal) com a velocidade vy na direção do eixo y (vertical). A velocidade resultante se altera a cada instante em virtude da alteração da velocidade vertical, cujo módulo varia em face da aceleração gravitacional. <br />É importante salientar que a velocidade inicial na direção vertical é igual a zero, pois no início da queda o móvel não tem movimento vertical. As equações para o lançamento horizontal são: Para o movimento de queda livre: <br />y = gt2 2 <br /> Para o movimento horizontal <br />x = x0 + v0t <br />Por exemplo, se uma arma dispara uma bala horizontalmente, esta continua a mover-se para diante, por causa da inércia, mas ao mesmo tempo sofre a ação da força da gravidade, que a puxa para a Terra.<br />O resultado é que a bala descreve uma trajetória curva. Em cada ponto da trajetória, a velocidade resultante do móvel, é dada pela soma vetorial da velocidade horizontal, constante, e da velocidade vertical, variável.<br />O fato de as duas velocidades serem independentes tem uma conseqüência importante: o tempo que um projétil gasta para cair, quando lançado horizontalmente, é o mesmo que gastaria para cair em queda livre.<br />Ou seja, se jogarmos uma pedra horizontalmente, do segundo andar de uma casa, com uma velocidade de 10 m/s e deixarmos cair outra pedra ao mesmo tempo, ambas as pedras atingirão o solo no mesmo instante. <br />Movimento circular<br />Na Mecânica clássica, movimento circular é aquele em que o objeto ou ponto material se desloca numa trajectória circular. Uma força centrípeta muda de direção o vetor velocidade, sendo continuamente aplicada para o centro do círculo. Esta força é responsável pela chamada aceleração centrípeta, orientada para o centro da circunferência-trajectória. Pode haver ainda uma aceleração tangencial, que obviamente deve ser compensada por um incremento na intensidade da aceleração centrípeta a fim de que não deixe de ser circular a trajectória.<br />O movimento circular classifica-se, de acordo com a ausência ou a presença de aceleração tangencial, em movimento circular uniforme (MCU) e movimento circular uniformemente variado (MCUV).<br />Propriedades e equações<br />Movimento da Circunferência<br />Uma vez que é preciso analisarmos propriedades angulares mais do que as lineares, no movimento circular são introduzidas propriedades angulares como o deslocamento angular, a velocidade angular e a aceleração angular e centrípeta. No caso do MCU existe ainda o período, que é propriedade também utilizada no estudo dos movimentos periódicos.<br />O deslocamento angular (indicado por ) se define de modo similar ao deslocamento linear. Porém, ao invés de considerarmos um vector deslocamento, consideramos um ângulo de deslocamento. Há um ângulo de referência, adotado de acordo como problema. O deslocamento angular não precisa se limitar a uma medida de circunferência (); para quantificar as outras propriedades do movimento circular, será preciso muitas vezes um dado sobre o deslocamento completo do móvel, independentemente de quantas vezes ele deu voltas em uma circunferência. Se for expresso em radianos, temos a relação<br />, onde é o raio da circunferência e é o deslocamento linear.<br />Pegue-se a velocidade angular (indicada por ), por exemplo, que é a derivada do deslocamento angular pelo intervalo de tempo que dura esse deslocamento:<br />A unidade é o radiano por segundo. Novamente há uma relação entre propriedades lineares e angulares:<br />, onde é a velocidade linear.<br />Por fim a aceleração angular (indicada por ), somente no MCUV, é definida como a derivada da velocidade angular pelo intervalo tempo em que a velocidade varia:<br />A unidade é o radiano por segundo, ou radiano por segundo ao quadrado. A aceleração angular guarda relação somente com a aceleração tangencial α e não com a aceleração centrípeta:<br />, onde é a aceleração tangencial.<br />Como fica evidente pelas conversões, esses valores angulares não são mais do que maneiras de se expressar as propriedades lineares de forma conveniente ao movimento circular. Uma vez quer a direção dos vectores deslocamento, velocidade e aceleração modifica-se a cada instante, é mais fácil trabalhar com ângulos. Tal não é o caso da aceleração centrípeta, que não encontra nenhum correspondente no movimento linear.<br />Surge a necessidade de uma força que produza essa aceleração centrípeta, força que é chamada analogamente de força centrípeta, dirigida também ao centro da trajetória. A força centrípeta é aquela que mantém o objecto em movimento circular, provocando a constante mudança da direcção do vector velocidade.<br />A aceleração centrípeta é proporcional ao quadrado da velocidade angular e ao raio da trajectória:<br />f<br />(A demonstração desta fórmula encontra-se no artigo aceleração centrípeta.)<br />A função horária de posição para movimentos circulares, e usando propriedades angulares, assume a forma:<br />, onde é o deslocamento angular no início do movimento.<br />É possível obter a velocidade angular a qualquer instante , no MCUV, a partir da fórmula:<br />Para o MCU define-se período T como o intervalo de tempo gasto para que o móvel complete um deslocamento angular em volta de uma circunferência completa (). Também define-se frequência (indicada por f) como o número de vezes que essa volta é completada em determinado intervalo de tempo (geralmente 1 segundo, o que leva a definir a unidade de frequência como ciclos por segundo ou hertz). Assim, o período é o inverso da frequência:<br />Por exemplo, um objecto que tenha velocidade angular de 3,14 radianos por segundo tem período aproximadamente igual a 2 segundos, e frequência igual a 0,5 hertz.<br />Transmissão do movimento circular<br />Muitos mecanismos utilizam a transmissão de um cilindro ou anel em movimento circular uniforme para outro cilindro ou anel. É o caso típico de engrenagens e correias acopladas as polias.<br />Nessa transmissão é mantida sempre a velocidade linear, mas nem sempre a velocidade angular. A velocidade do elemento movido em relação ao motor cresce em proporção inversa a seu tamanho. Se os dois elementos tiverem o mesmo diâmetro, a velocidade angular será igual; no entanto, se o elemento movido for menor que o motor, vai ter velocidade angular maior.<br />Como a velocidade linear é mantida, e , então:<br />Exemplos<br />O movimento circular ocorre quando em diversas situações que podem ser tomadas como exemplo:<br />Uma pedra fixada a um barbante e colocada a girar por uma pessoa descreverá um movimento circular uniforme.<br />Discos de vinil rodam nas vitrolas a uma frequência de 33 ou 45 rotações por minuto, em MCU.<br />Engrenagens de um relógio de ponteiros devem rodar em MCU com grande precisão, a fim de que não se atrase ou adiante o horário mostrado.<br />Uma ventoinha em movimento.<br />Satélites artificiais descrevem uma trajetória aproximadamente circular em volta do nosso planeta.<br />A translação aproximada, para cálculos muito pouco precisos, da Lua em torno do planeta Terra (a excentricidade orbital da Lua é de 0,0549).<br />O movimento de corpos quando da rotação da Terra, como por exemplo, um ponto no equador, movendo-se ao redor do eixo da Terra aproximadamente a cada 24 horas.<br />