1. Movimento em Duas e Três
Dimensões
Isis Vasconcelos de Brito
isis@if.usp.br
FATEC/SP – Física Aplicada I

2. Movimento em 2D - posição
•Utilizar álgebra vetorial
•Localização de uma partícula = vetor posição (vai
de um ponto de referência até a partícula)

3. Movimento em 3D - posição

4. Vetor Deslocamento

5. Vetor Deslocamento:
Exemplo 1: Inicialmente, o vetor posição de uma partícula é:
E logo depois é:
Qual o deslocamento de r1 a r2?

6. Vetor velocidade média

7. Velocidade instantânea
Limite da velocidade média quando Δt tende a
zero:

8. Velocidade instantânea
A velocidade média entre dois pontos é independente do
caminho traçado.
Velocidade instantânea varia ou não em cada ponto da
trajetória

9. Vetor aceleração média

10. Vetor aceleração instantânea
É a derivada primeira da função V(t) em relação a t
É a derivada segunda da função r(t) em relação a t

11. Aceleração

12. Exemplo:
 Uma lebre atravessa correndo um estacionamento de veículos.
A trajetória percorrida pela lebre é tal que as componentes do seu
vetor posição com relação à origem das coordenadas de um sistema
cartesiano desenhado sobre o piso do estacionamento são funções
do tempo dadas por:
Calcule o vetor posição (módulo e direção) da lebre em t=15s.
Calcule o módulo e a direção do vetor velocidade da lebre para t=15s.
Calcule o módulo e a direção do vetor aceleração.

13. Exemplo2:
 Uma partícula com velocidade
(em
m/s), em t=0s está sob a ação de uma aceleração constante a de
módulo igual a 3,0 m/s², fazendo um ângulo de 130° com o semieixo positivo de x. Qual a velocidade da partícula em t=2,0s, na
notação de vetores unitários, assim como seu módulo e direção?

14. Movimento de Projéteis:
Considerando uma partícula (projétil) que executa um
movimento bidimensional de queda livre para baixo sob a
aceleração da gravidade.
Ele é lançado com velocidade inicial v0=
v0xî+ v0yî

15. Movimento de Projéteis:
 Sendo a velocidade uma grandeza vetorial, podemos
decompô-la segundo os eixos x e y, com o intuito de
estudarmos os movimentos separadamente.

Com respeito a vertical, tem-se o movimento
uniformemente variado e movimento uniforme segundo o eixo
horizontal, já que a aceleração da gravidade sendo vertical, não
tem componente nesta direção.

16. Equações de posição e Velocidade

As equações de posição e velocidade estão agrupadas de
acordo com o tipo de movimento, além de considerarmos a
origem dos eixos de referência na posição de lançamento da
partícula, o que faria de x0 e y0 valores nulos.
 Movimento na direção horizontal (MRU):

17. Equações de posição e Velocidade
 Movimento na direção vertical (MRUV):

18. Altura máxima e tempo de subida:
Altura máxima (ymax): sabe-se que vy é nulo
Tempo de subida (ts):

19. Alcance horizontal
Tempo de queda:
Substituindo o tempo de queda na função da posição de x:
Qual o ângulo de alcance máximo?

20. Exemplos:

21. Exemplos