números complexos: operações

2. SEMI-EXTENSIVO
Caderno 2
MATEMÁTICA C

3. Números Complexos
i1
042
x
42
x
4x
No conjunto dos números
Reais não tem solução
Imaginários
 14 x
14 x
ix 2

4. Números Complexos
N Z Q
I
R
C

5. Números Complexos
  biabaz  , biaz   Rba ,
Forma algébrica

a
b
realparte
imagináriaparte
 00 bea
 0b
puroimaginário
puroreal
 iz 2
 2z

6. Números Complexos
10
i
Potências de i
?39
i
39
339
ii 
ii 1
  11
22
i
iiiii  123
Para expoentes maior ou igual a 4,
dividimos o expoente por 4 e
utilizamos o resto da divisão.
4
93
ii 39

7. Números Complexos
biaz 
Igualdade de números complexos
dicw 
wz 
ca  db e

8. Números Complexos
biaz 
Conjugado de um número complexo
biaz 
iz 34 iz 34
Oposto de um número complexo
biaz  biaz 
iz 34 iz 34

9. Números Complexos
biaz 
Simétrico de um número complexo
biasz 
iz 34 isz 34
Módulo de um número complexo
22
baz  z
222
bazz 

Norma de um número
complexo.

10. Números Complexos
biaz 
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
dicw 
Adição
+
   idbcawz 
dicbiawz 

11. Números Complexos
iz 42
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83
Adição
+
iwz 41
   iiwz 8342 

12. Números Complexos
zwwz 
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
   twztwz 
Propriedades da Soma
wzwz 
zzz  00
  0 zz
Comutativa
Associativa
Elemento neutro

13. Números Complexos
iz 42
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83
Subtração
–
  iwz 125
 wzwz 

14. Números Complexos
iz 42
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83
Multiplicação

2
3212166 iiiwz 
   iiwz 8342 
iwz 2826

15. Números Complexos
zwwz 
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
   twztwz 
Propriedades da multiplicação
wzwz 
  tzwztwz 
zzz  11
Comutativa
Associativa
Distributiva
Elemento neutro

16. Números Complexos
22
bazz 
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
Observação.:
12
i
   biabiazz 
   22
biazz 
222
ibazz 

17. Números Complexos
iz 42
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83
Divisão
÷
i
i
i
i
w
z
83
83
83
42






w
w
w
z
w
z


18. Números Complexos
iz 42
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83
Divisão
÷
   
   ii
ii
w
z
8383
8342



w
w
w
z
w
z


19. Números Complexos
iz 42
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83
Divisão
÷
2
2
6424249
3212166
iii
iii
w
z



w
w
w
z
w
z


20. Números Complexos
iz 42
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83
Divisão
÷
73
438 i
w
z 

w
w
w
z
w
z


21. Números Complexos
iz 42
Operações com números complexos
(FORMA ALGÉBRICA)
iw 83
Divisão
÷
73
4
73
38 i
w
z

w
w
w
z
w
z


22.      701416
2

70162
 yy
280256
24
16 yx 70 yx
yx 16   7016  yy
070162
 yy
03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.

23. 03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.
 
 12
2416


y
2
2416 
y
070162
 yy
16 yx 70 yx
yx 16   7016  yy
2
6216 i
y


iy  68

24. 03) Divida o número 16 em duas partes cujo produto seja 70.
16 yx 70 yx
yx 16   7016  yy
iy  68
iy  681 iy  682
ix  68161
ix  681 ix  682
ix  68162
i 68
i 68
e

25. 04) Determine x e y para que o numero complexo z = (x + 6) – (y2 – 16)·i
seja:
a) real;
162
y
0162
y 16y
4y
4y
    iyxz  166 2
0

26. a) Imaginário puro.
162
y
0162
y
16y
4y
6x
06 x
4
6


y
x
4
6


y
x
ou
04) Determine x e y para que o numero complexo z = (x + 6) – (y2 – 16)·i
seja:
    iyxz  166 2
00

27. 08) Se , calcule x e y.
6
2
5



y
x yyx 23 
5126  yx
03  yx
  yiiyx
y
x
263
2
5



  yiiyx
y
x
263
2
5



1265  yx
176  yx
  01763  yy
05118  yy
5117 y
3y
  1736 x
1x

28. 09) Assinale a alternativa correta.
1...40
 ii
mniia mn
)
iii  ...73
FALSO
iii  ...51
1...62
 ii
12842
) iib 
FALSO
42
242
ii 
4
102
128
0128
ii 
4
320
12
i 10
i
12842
ii 

29. 09) Assinale a alternativa correta.
m
m
m
n
i
i
i
i

.4) demúltiploémniic mn

VERDADEIRO
1m
n
i
i
1mn
i
1...24201612840
 iiiiiii

30. 09) Assinale a alternativa correta.
199
) iid 
FALSO
1) 2
ie
FALSO
9
19
ii 
4
21
19
319
ii 
4
43
ii 1
ii 3
199
ii 
12
i

31. 15) O número complexo z = a + bi, {a,b}  R, tem módulo 10.
sabemos que a + b = 14. Calcule z.
22
baz 10z
10022
ba
1022
ba
14ba
ba 14   10014 22
 bb
10028196 22
 bbb
 2096282 2
 bb
048142
 bb
;61 b 82 b
61 b
6141 a
81 a
82 b
8142 a
62 a
iz 681  iz 862 

32. 31) (UFSC) Se determine
222
baz 
   
2
2
21
10
ii
iii
z



 
 
,
1
10
2
503
i
iii
z



2
z
121
10 22



i
iii
z
i
ii
z
2
210 2



i
i
z
2
210



i
i
i
i
z
2
2
2
210




2
2
4
420
i
ii
z



4
420 i
z


iz  5
125
2
z
26
2
z

33. 35) (UFSC) Dada a expressão sendo z
um número complexo, determine
222
baz 
       biabiaibiabia  22
zzizz  22
2
z
biabiaibiabia  2
2222
biabaibia  223
  ibababia  223
baa 23 
bab  2

34. 35) (UFSC) Dada a expressão sendo z
um número complexo, determine
222
baz 
zzizz  22
2
z
baa 23 
bab  2
024  ba
022  ba
+
0//6 a
0a
02 b
0b
0
2
z
222
baz 

35. Números Complexos
Forma Polar ou Trigonométrica
(PLANO ARGAND–GAUSS)
R (Real)
Im (Imaginário)
(a, b) = a + bi
a
b

36. Números Complexos
Forma Polar ou Trigonométrica
(PLANO ARGAND–GAUSS)
R (Real)
Im (Imaginário)
afixo
3
2
iz 23

37. Números Complexos
Módulo de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
R (Real)
Im (Imaginário)
(a, b)
a
b
0
z
z

38. Números Complexos
Módulo de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
R (Real)
Im (Imaginário)
(a, b)
a
b
0
z
z

39. Números Complexos
Módulo de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
R (Real)
Im (Imaginário)
(a, b)
a
b
0
z
z

a
b
Pitágoras
222
ba 
22
ba 

40. Números Complexos
Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Re
Im
0


P(a, b)
a
b

a
b
Trignometria


b
sen 


a
cos


41. Números Complexos
Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-
Gauss o número complexo iz  3
Im
 1,3
3 12 10 Re
1

42. Números Complexos
Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-
Gauss o número complexo iz  3
Im
 1,3
3 12 10 Re
1

   22
13 
13 2

43. Números Complexos
Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-
Gauss o número complexo iz  3
Im
 1,3
3 12 10 Re
1

2

2
1
sen
2
3
cos



44. Números Complexos
Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-
Gauss o número complexo iz  3
2
1
sen
2
3
cos

 Cos
Seno
+
–
+
+
–
–
–
+
Cos
Seno
F
180º

45. Números Complexos
Argumento de um número complexo
(PLANO ARGAND–GAUSS)
Ex.) Calcule o argumento e represente no plano de Argand-
Gauss o número complexo iz  3
2
1
sen
2
3
cos

 Cos
Seno
F
180º
º30º180 
º30º180 
º150

46. Números Complexos
Forma Polar ou Trigonométrica


b
sen 


a
cos
biaz 
 senb  cosa
 seniz  cos
  seniz  cos
Módulo de z

47. 37) (UFSC) Sendo o argumento principal do número
complexo , então o valor de , em graus, é
22
ba 
 22  i



a
cos
5

422 
2
2
2
cos




b
sen 
2
2
sen
º45º180 
º45º180 
º135 5
º135
5


º27
5




48. 49) (Vunesp) Considerando o número complexo
i
2
1
2
3
 1i

, em que , encontre o número
complexo v cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do
argumento de .


a
cos
2
3
cos 
22
ba 
1
4
1
4
3

1


b
sen 
2
1
sen
º30   3v
º90v

49. 49) (Vunesp) Considerando o número complexo
i
2
1
2
3
 1i

, em que , encontre o número
complexo v cujo módulo é igual a 2 e cujo argumento é o triplo do
argumento de .
º90v
  seniv  cos
 º90º90cos2 seniv 
 102  iv
iv 2

50. Números Complexos
Operações com números complexos na forma trigonométrica
    21212121 cos   senizz
Multiplicação
Divisão
    2121
2
1
2
1
cos 


 seni
z
z
Potenciação
      nseninz nn
cos

51. 58) (UCMG) O produto dos três números complexos:
 º40º40cos21 seniz 
é:
 º135º135cos32 seniz 
 º125º125cos13 seniz 
    321321321321 cos   senizzz
    º125º135º40º125º135º40cos132321  senizzz
 º300º300cos6321 senizzz 
 º60º60cos6321 senizzz 







2
3
2
1
6321 izzz

52. 58) (UCMG) O produto dos três números complexos:
 º40º40cos21 seniz 
é:
 º135º135cos32 seniz 
 º125º125cos13 seniz 







2
3
2
1
6321 izzz
2
36
2
6
321
i
zzz 
izzz  333321
B

53. 61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de
argumento  , então é:
n
n
z
z
1

*
Zn
     nisennz nn
 cos
    

nseninzn
cos
11
      nisennz nn
 cos1
    nseninzn
 cos
   
   




nsenin
nsenin
cos
cos
   
     22
cos
cos1





nsenin
nsenin
zn

54. 61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de
argumento  , então é:
n
n
z
z
1

*
Zn
   
     22
cos
cos1





nsenin
nsenin
zn
   
   




nsenin
nsenin
zn 222
cos
cos1    
   




nsenn
nsenin
22
cos
cos
    


1
cos1  nsenin
zn
     nsenincos

55. 61) (ITA) Seja z um número complexo de módulo 1 e de
argumento  , então é:
n
n
z
z
1

*
Zn
     nsenin
zn
cos
1
     nseninzn
cos e
         nseninnsenin
z
z n
n
coscos
1
  n
z
z n
n
cos2
1
B

56. 61) (Acafe) Dado , o valor de
é:
6
z






66
cos2

seniz
  


















6
6
6
6cos2
66 
seniz
A
  seniz  cos646
 0186
z
86
z