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No âmbito da didáctica, e seguindo as últimas tendências do paradigma do professor investigador, decidimos debruçar-nos sobre o pensamento algébrico de alunos de três turmas do ensino básico, uma do 5º, uma do 6º e uma do 7º ano. O nosso objectivo foi identificar as estratégias utilizadas percebendo em que nível se encontravam estes alunos, tendo como referência as investigações de autores como Ponte (2009) e Fiorentini (1993). Da análise realizada às produções dos alunos pretendíamos estabelecer algumas linhas de orientação para o trabalho a desenvolver no futuro.
Para o desenvolvimento deste estudo foi utilizada uma metodologia qualitativa de cariz interpretativo, usando o modelo de estudo de três casos.
Foi conclusivo que a grande maioria dos alunos ultrapassou o nível pré-algébrico, encontrando-se na transição do nível aritmético para o algébrico. Contudo, há evidências que os alunos do 7º ano se encontram ao nível do pensamento algébrico mais desenvolvido.

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  1. 1. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 1 Didáctica da Matemática I O desenvolvimento do pensamento algébrico - Onde estão os alunos? Reflectir para actuar Carlos Leão, Colégio Rainha D. Leonor Doroteia Pimparel, Escola Básica e Secundária de Maceira Margarida Santos, Escola Básica e Secundária de Maceira ResumoNo âmbito da didáctica, e seguindo as últimas tendências do paradigma do professorinvestigador, decidimos debruçar-nos sobre o pensamento algébrico de alunos de três turmasdo ensino básico, uma do 5º, uma do 6º e uma do 7º ano. O nosso objectivo foi identificar asestratégias utilizadas percebendo em que nível se encontravam estes alunos, tendo comoreferência as investigações de autores como Ponte (2009) e Fiorentini (1993). Da análiserealizada às produções dos alunos pretendíamos estabelecer algumas linhas de orientação parao trabalho a desenvolver no futuro.Para o desenvolvimento deste estudo foi utilizada uma metodologia qualitativa de carizinterpretativo, usando o modelo de estudo de três casos.Foi conclusivo que a grande maioria dos alunos ultrapassou o nível pré-algébrico, encontrando-se na transição do nível aritmético para o algébrico. Contudo, há evidências que os alunos do 7ºano se encontram ao nível do pensamento algébrico mais desenvolvido.Palavras – Chave: Pensamento algébrico, relações, representações, padrões, regularidades,sequências
  2. 2. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 2 Didáctica da Matemática IIntroduçãoAs orientações para a implementação do Novo Programa do Ensino Básico enfatizam aimportância do desenvolvimento do pensamento algébrico nos alunos, desde os primeiros anosde escolaridade. Dada a importância que o Currículo Nacional (DEB, 2001) e o Novo Programado Ensino Básico (DGIDC, 2007) dão a esta temática, e atendendo à pouca divulgação deexperiências efectuadas neste campo, é pertinente reflectir sobre os resultados obtidos naaplicação de uma mesma proposta pedagógica com padrões de crescimento, aos alunos de trêsturmas do 5º, 6º e 7º anos, com o objectivo de identificar a compreensão dos padrões, asrelações estabelecidas pelos alunos, a que representações recorrem e se seleccionam processosde generalização.Segundo Pacheco (1994), uma das dimensões que a função pedagógica da avaliação encerra é adidáctica, pela sua contribuição na criação de ambientes de aprendizagem, através dodiagnóstico, que possibilita inventariar necessidades, fornecendo ao professor informações quelhe permitem reformular o processo de ensino-aprendizagem, nomeadamente no que se refereà selecção das tarefas que melhor ajudem a colmatar as carências diagnosticadas.Concluiremos este trabalho identificando os níveis de desempenho dos alunos na tarefaproposta, o tipo de estratégias utilizadas e reflectindo acerca de possíveis medidas aimplementar com vista a melhorar o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos.O pensamento algébrico nas orientações curriculares para o Ensino BásicoAs orientações do Currículo Nacional (ME-DEB,2001) são claras quando preconizam que nodesenvolvimento de competências nos alunos se devem incluir aspectos relacionados com aprocura de padrões e regularidades em situações diversas e em diferentes contextos. Aexplicação das descobertas efectuadas e a necessidade de procurar representações paratransmitir raciocínios, concorrem para o desenvolvimento da comunicação matemática e,consequentemente, para uma efectiva apropriação das relações que se estabelecem ajudandoos alunos a perceber e a dar sentido aos símbolos.Pode ler-se no corpo do Novo Programa do Ensino Básico (DGIDC, 2007) que o trabalho comregularidades generalizáveis, segundo regras que os alunos podem formular por si próprios,ajuda a capacidade de abstracção e contribui para o desenvolvimento do pensamento algébrico(p.14) salientando-se que o propósito principal de ensino da Álgebra no 2º ciclo é desenvolvernos alunos o pensamento algébrico, bem como a sua capacidade de representar simbolicamente
  3. 3. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 3 Didáctica da Matemática Isituações matemáticas e não matemáticas e de resolver problemas em contextos diversos (p.40).Para o 3º ciclo reservam-se questões relacionadas com o desenvolvimento da linguagem, dainterpretação e da exploração e modelação de situações em diferentes contextos.Regularidades e PadrõesNo nosso quotidiano enquanto professores falamos de álgebra, pensamento algébrico, padrões,sequências e regularidades. Contudo, para uma melhor compreensão de cada um dos conceitose de como se relacionam devemos tentar clarificar cada um deles.A álgebra, a par com a geometria e a análise infinitesimal, é um dos grandes ramos daMatemática. Tendo origem nas primeiras formalizações e sistematizações na resolução deproblemas e estudo de métodos gerais de resolução de equações, foi-se desenvolvendo aolongo da história (Costa, 2005; NCTM, 2007). Nos seus primórdios, que se crê nas antigascivilizações egípcias, babilónias, chinesas e indianas, os enunciados e resoluções eram expressosem linguagem natural, contudo, com o avanço nos estudos esses mesmos problemas passarama incluir abreviações (Ponte, Branco e Matos, 2009) conduzindo deste modo ao uso de umasimbologia específica, a linguagem algébrica.Para alguns autores, como Devlin (2002), a Matemática desapareceria com a inexistência dossímbolos algébricos, defendendo que o uso da simbologia permite o distanciamento necessáriodas dualidades semânticas que podem surgir dos objectos conceptuais. No entanto, quandofalamos de álgebra escolar, do pensamento algébrico dos alunos e das suas capacidades deutilizar representações simbólicas, verificamos que a complexa rede de símbolos utilizados naálgebra, ao perderem a sua ligação ao concreto e passando a uma abstracção inerente e própria,pode tornar-se um ponto de ruptura levando um aluno a perder-se na compreensão dasrelações que se pretendem desenvolver.Foi precisamente o Movimento da Educação Matemática Realista, fundado por Freudenthal,que começou por criticar o distanciamento dos símbolos abstractos de uma realidade maisconcreta. Na história antiga do pensamento algébrico, este era traduzido utilizando umalinguagem mais próxima da natural. Actualmente, a linguagem corrente está bastante maisdistanciada da linguagem algébrica, gerando assim uma maior complexidade. Esta complexidadelevará a um natural surgimento de incorrecções nas interpretações dos problemas por parte dosalunos, com consequências na aprendizagem deste ramo da Matemática. Schoen (1995),clarifica, que o desenvolvimento histórico do pensamento algébrico começou com um período deálgebra verbal ou retórica, que durou pelo menos três milénios. Ao período retórico surgiu-se um
  4. 4. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 4 Didáctica da Matemática Ioutro, de mais de um milénio, em que o discurso algébrico caminhou gradualmente da faseretórica para a simbologia. (p.138)A natural discussão que foi surgindo acerca do tema, levou a que se tentasse perceber de queforma deveria a álgebra ser integrada e trabalhada no currículo do ensino básico e secundário.Surge então a necessidade de caracterizar o pensamento algébrico.Apesar da definição de álgebra ter mudado ao longo da História, James Kaput (1999), citado porPonte, Branco e Matos (2009), também assenta as suas ideias no já exposto por Freudenthalacabando por definir pensamento algébrico como algo que se manifesta quando, através deconjecturas e argumentos, se estabelecem generalizações sobre dados e relações matemáticas,expressas através de linguagens cada vez mais formais (p. 9).Kaput (1999) define cinco facetas no pensamento algébrico e mais tarde (Kaput, 2008)reorganiza essas facetas do seguinte modo: a) Aspectos nucleares do pensamento algébrico(generalização e formalização de padrões e restrições; manipulação de formalismos guiadasintacticamente); b) Ramos do pensamento na Matemática Escolar (estudo de estruturasabstractas; estudo de funções, relações e de variação conjunta de duas variáveis; utilização demúltiplas linguagens na modelação matemática e no controlo de fenómenos).Também o Programa de Matemática do Ensino Básico, assim como as orientações do NCTM,referem que o pensamento algébrico diz respeito ao estudo de estruturas, simbolismo,modelação e estudo das variações, ou seja: - compreender padrões, relações e funções, - representar e analisar situações e estruturas matemáticas usando símbolos algébricos, - usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas, - analisar as variações em diversos contextos.Debrucemo-nos agora sobre o termo padrão. O termo, devido à vastidão de conceitos que lhepodemos associar no dia-a-dia, é de difícil definição no âmbito da matemática. Contudo, aomesmo tempo, são precisamente as noções mais utilizadas no quotidiano que nos podem ajudara perceber do que se trata.Segundo Orton (1999), padrão tanto pode referir-se à disposição ou arranjo de formas, cores,sons, etc., sem nenhuma regularidade entre si, como também se pode referir aos mesmosobjectos quando nestes identificamos claramente regularidades entre si, sejam estas simetrias,repetições ou outras. No entanto, o autor reforça que em geometria o conceito de padrão não
  5. 5. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 5 Didáctica da Matemática Ise encontra limitado a repetições, incluindo as noções de identificação de formas, congruência esemelhanças.Também Borralho et al. (2007), referem que em todos os aspectos à nossa volta e ao longo davida somos atraídos para as regularidades que vamos tentando compreender e interpretar,procurando ou impondo-lhes padrões. Segundo os autores, a própria Matemática é a buscaconstante de medição de padrões e regularidades, tentando encontrar a ordem na aparentedesordem.Alguns autores como Ponte (2005;2009) utilizam o termo sequência em vez de padrão. Contudo,a noção de regularidade é comum, sendo esta a base do conceito. Assim, padrão ou sequênciasão estruturas onde podemos encontrar regularidades mais ou menos directas.Como podemos perceber das ideias desenvolvidas pelos autores anteriores, quando falamos depadrões podemos estar a referir-nos a vários tipos. Vale e Pimentel (2009), indicam pelo menosdois tipos de padrão que surgem muito associados ao ensino, padrões de repetição e padrões decrescimento, que podem ser numéricos ou visuais. Já Ponte (2009) utiliza os termos pictóricos,quando se refere a padrões visuais.Nos padrões de repetição, a ideia envolve a possibilidade de conseguirmos identificar umamudança ou repetição no objecto em estudo ou na possibilidade do mesmo se repetir. Podemospois identificar um elemento, ou motivo, que se repete indefinidamente de forma cíclica.Segundo Vale e Pimentel (2007;2009), este tipo de padrões podem e devem ser desenvolvidosnas crianças desde muito cedo. Contudo, a exploração destes padrões deve ser profunda e combase em ideias matemáticas fortes procurando alcançar as generalizações, onde o pensamentoalgébrico é potencialmente desenvolvido.A descoberta de padrões desenvolve pois o pensamento algébrico e a capacidade de abstracção,fundamentais para o bom desenvolvimento das capacidades matemáticas do aluno.O outro tipo de padrões apresentado por Vale e Pimentel (2009), é o de crescimento. Tal comonos padrões de repetição, estes também apresentam um motivo que se repete indefinidamentee de forma previsível. Contudo, para além da repetição de um motivo, este vai sofrendoalterações, sendo também estas previsíveis.As relações matemáticas que se podem desenvolver com este tipo de padrões e a diversidadede situações que potenciam, proporcionam explorações ricas e fundamentais, fazendo aindaconexões com diversos conteúdos curriculares. Os autores anteriormente referidos indicamainda que estes padrões de crescimento podem ser lineares ou não lineares.
  6. 6. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 6 Didáctica da Matemática IApesar dos padrões de repetição serem importantes num trabalho inicial com os alunos, ospadrões de crescimento são os que reforçam de forma significativa a passagem da aritméticapara a álgebra. A possibilidade do aluno estabelecer relações entre as figuras que vê ou constrói,com as anteriores e as posteriores, assim como, com a sua posição na própria sequência,aumenta o número de relações a estabelecer, permitindo um trabalho de interligação de umagrande diversidade de conteúdos transversais ao currículo. Potenciam pois as conexões dentroda matemática, sendo a par com a geometria, um tema unificador da matemática.Segundo, Lee e Freiman (2006), citados por Vale e Pimentel (2009), ver padrões, o que implicatrabalhar com padrões visuais, é fundamental para o início da exploração de padrões. Segundoas autoras, e apesar de os alunos observarem os mesmos padrões visuais, estes irão decompor afigura inicial de modos diferentes. Esta diferença prende-se com a necessidade de cada umdecompor a figura inicial em segmentos para si significativos.Para Ponte (2009), na exploração de uma sequência pictórica, os alunos identificam e procuramrelacionar as características locais e globais das figuras que as compõem, assim como dasequência numérica que lhe está directamente associada.Serão precisamente estes aspectos que irão permitir ao aluno melhor desenvolver as relaçõesque pode estabelecer entre os elementos que compõem a figura e a sua posição na sequência,adquirindo uma melhor compreensão das propriedades e relações numéricas subjacentes aopadrão.Tendo em conta os aspectos apresentados anteriormente e após reflexão acerca dos objectivosque nos propusemos estudar, decidimos o tipo de tarefa a desenvolver na sala de aula para opresente trabalho.A importância da utilização de padrões no desenvolvimento do pensamento algébricoTodos os alunos deveriam aprender álgebra (NCTM, 2007, p.39). Esta afirmação, retirada dosPrincípios e Normas para a Matemática Escolar, é o ponto de partida na tentativa de perceber aimportância dos padrões nos actuais currículos do ensino da Matemática. Mas de onde surgeesta necessidade e quais os pressupostos que a fundamentam?A Matemática não é, há já alguns milhares de anos, uma ciência estática e concluída, onde osseus produtos se encontram acima de qualquer crítica. No entanto, não será difícil de perceberque do senso comum a ideia de matemática é o estudo dos números ou a ciência que estuda osnúmeros (Devlin, 2002). As investigações constantes nesta área têm vindo a demonstrar o
  7. 7. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 7 Didáctica da Matemática Icontrário. A Matemática não está acabada, e a sua definição enquanto ciência, já ultrapassou aideia redutora do estudo dos números. Estes estudos chegaram a uma ideia mais profunda econsensual da Matemática como sendo a ciência dos padrões. Actualmente, o que omatemático faz é analisar padrões, sejam numéricos ou geométricos, ou estabelece conexõescom todas as outras ciências em busca de padrões que auxiliem o Homem na compreensão domundo que o rodeia. Devlin (2002) sobre o assunto esclarece ainda que, esses padrões tantopodem ser reais como imaginários, visuais ou mentais, estáticos ou dinâmicos, qualitativos ouquantitativos, puramente utilitários ou assumindo um interesse pouco mais que recreativo (p.9).Também Davis e Hersh (1995) afirmam que o próprio objectivo da Matemática é, em certamedida, descobrir a regularidade onde parece vingar o caos, extrair a estrutura e a invariânciada desordem e da confusão (p. 167).Das ideias expostas depreendemos que os padrões vão muito mais longe do que a simplesexploração de repetições no âmbito da Geometria. O estudo dos padrões, dada a sua vastidãode exemplos a explorar, concede-lhe uma transversalidade, tanto ao nível de conteúdos comodas próprias capacidades a desenvolver no aluno. Facilmente se conclui que existe uma forteligação com a resolução de problemas, actividades de investigação e exploração, permitindoconexões ao nível de todos os conteúdos do currículo.Também ao nível da motivação e ao nível do desenvolvimento de uma imagem positiva daMatemática, bem presente nos novos programas do Ensino Básico, o estudo e exploração depadrões fornecem ao professor uma ferramenta indispensável, pois apelam a que os alunosdesenvolvam a par com a abstracção, o seu sentido estético, reconhecendo também a relaçãocom as outras disciplinas e com o mundo que os rodeia.São variadas as situações do mundo natural que se podem observar e explicar à luz dos padrõesmatemáticos. No mundo animal, os revestimentos dos animais formam padrões com variadosobjectivos ligados à continuidade da espécie. Também a disposição das folhas ou flores dealgumas plantas, como o girassol revelam-nos a sequência de Fibonacci. Nas asas das borboletasencontramos variados padrões geométricos, o mesmo acontecendo nas célebres células de umacolmeia. A couve-flor, ou o feto são exemplos reais de fractais, um tipo de padrão de belezaímpar. Existe pois um grande e belo manancial de situações onde se podem identificar padrões eregularidades na natureza, onde um indivíduo mais motivado consegue observar a beleza damatemática.Se nos anteriores documentos curriculares do ensino básico a álgebra e o estudo dos padrõesera visto com alguma superficialidade nos primeiros níveis de ensino, neste novo programa,
  8. 8. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 8 Didáctica da Matemática Ibasta uma análise muito breve para percebermos que de forma intencional, o estudo específicodos mesmos surge desde os primeiros anos do 1º ciclo, sendo aprofundado de forma gradual efuncional ao longo do 2º e 3º ciclos. Num olhar mais atento, podemos perceber que mesmo aonível do pré-escolar, todo o trabalho com padrões e regularidades deve ser feito tendo em contatanto o nível de desenvolvimento do aluno como as suas necessidades futuras.Segundo as Normas (2007), a álgebra é considerada um fio condutor curricular desde osprimeiros anos de escolaridade, onde o professor deve seleccionar, implementar e apresentartarefas que maximizem o potencial de aprendizagem do aluno, ajudando-o a criar uma basesólida na sua compreensão e nas suas experiências. Desta forma, estaremos a auxiliá-lo para otrabalho algébrico do 3º ciclo e secundário.Um último motivo que realça a importância do trabalho no âmbito da álgebra, agora reforçadonos novos programas do ensino básico, refere-se aos relatórios PISA de 2003. Estes relatóriosreferem que, no que à Álgebra (mudanças e relações) diz respeito, a percentagem de alunosidentificados com baixo nível de literacia é ainda superior à média da OCDE: 31% versus 23%; e apercentagem de alunos com níveis elevados de literacia matemática é ainda inferior à média daOCDE: 8% versus 16% (Duarte, 2005, p.44). O relatório português sobre o estudo referido vemmesmo afirmar ser preocupante a situação média dos estudantes portugueses no que toca àscompetências relacionadas com o pensamento algébrico.Concluindo, mais que desejável é essencial que se desenvolvam trabalhos no âmbito da álgebra.É através da resolução de problemas algébricos, a procura de padrões e toda a sua exploração,que os alunos poderão compreender e experienciar toda a utilidade da matemática, a suabeleza e profundidade, desenvolvendo a compreensão e conhecimento de novos ediversificados conceitos.MetodologiaPara um investigador em educação é fundamental a preocupação em analisar e fundamentarmuito bem os métodos a que recorre, pois tal como afirma Morse et al. (2002, p. 2) sem rigor, ainvestigação não terá valor, tornando-se ficção e perdendo a sua utilidade.O nosso trabalho envolve duas vertentes, a compreensão do nível de desempenho dopensamento algébrico dos alunos e, com base nessa compreensão, inventariar necessidades,reflectindo sobre elas, tendo em vista a futura tomada de decisões.
  9. 9. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 9 Didáctica da Matemática ITratando-se o estudo de caso de uma abordagem metodológica de investigação, especialmenteadequada quando procuramos compreender, explorar ou descrever acontecimentos e contextoscomplexos e específicos (Bogdan e Biklen, 1994; Carmo e Ferreira, 1998; e Stake, 2007),considerámo-la possivelmente a mais adequada ao ter em conta os objectivos que seperseguem neste estudo. Também Ponte (2006) considera que o estudo de caso “É umainvestigação que se assume como particularística, isto é, que se debruça deliberadamente sobreuma situação específica que se supõe ser única ou especial, pelo menos em certos aspectos,procurando descobrir a que há nela de mais essencial e característico e, desse modo, contribuirpara a compreensão global de um certo fenómeno de interesse.” (Ponte, 2006, p.107). Vai maislonge afirmando que na Educação Matemática, os estudos de caso têm sido usados parainvestigar questões de aprendizagem dos alunos bem como do conhecimento e das práticasprofissionais de professores, programas de formação inicial e contínua de professores, projectosde inovação curricular, novos currículos (…) (Ponte, 2006, p.108).A garantia de que nos encontrávamos a avançar pelo caminho mais adequado, ao optarmospelo estudo de caso, foi-nos dado pelo facto de estarem simultaneamente envolvidos diversosfactores, ao debruçarmo-nos sobre uma situação específica, como é o caso do pensamentoalgébrico. Uma vez que se trata de estudar alunos concretos, os nossos casos, em queprocuramos descobrir o que há de mais essencial e característico em cada um deles, irácontribuir para uma melhor compreensão do assunto em estudo. Contudo, devido ao númeroelevado de alunos que compõem os três casos, e em busca de conseguir criar uma identidadeespecífica dos casos que pretendíamos estudar, optámos por escolher uma amostra, tendo emconta objectivos específicos:1) evidência de alguma compreensão algébrica da tarefa. Para isso foram analisadas asproduções dos alunos nas questões 1, 2 e 3; O facto de optarmos por procurar produções querevelavam que os alunos tinham compreendido os objectivos da tarefa, visava retirar daamostra exemplos que devido a variáveis que não podemos controlar, não tenham desenvolvidotrabalhos que pudessem servir para análise e reflexão acerca dos propósitos deste estudo.2) evidência de algum trabalho na generalização. Neste caso analisámos a questão 4.Quanto ao propósito deste estudo, podemos enquadrá-lo ainda na investigação em avaliação.Carmo e Ferreira (1998) referem que um estudo que pretenda compreender a situação actualde um objecto de investigação, com o fim de facilitar tomadas de decisão, se enquadra nasinvestigações em avaliação. Assim, apesar da nossa opção pelo estudo de caso, conscientes dalimitação dos resultados obtidos quando pretendemos generalizar, ou tão pouco compreender
  10. 10. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 10 Didáctica da Matemática Ioutras turmas no futuro, também é nosso propósito imediato avaliar as opções de quedispomos com vista a desenvolver uma sequência de tarefas no âmbito da álgebra.Participantes do estudoComo participantes no estudo foram escolhidas três turmas do Ensino Básico, maisprecisamente, uma do 5º ano, uma do 6º ano e finalmente uma do 7º ano.Para a escolha dos alunos e suas produções tivemos em conta os seguintes aspectos: (i)Facilidade de acesso; para a recolha dos dados neste estudo, optámos por trabalhar com osnossos alunos. (ii) Das turmas disponíveis, optámos por aquelas onde ainda não tinha sidodesenvolvido um trabalho específico no âmbito da álgebra.Como já foi referido, foi realizada uma análise prévia de todas as produções dos alunos das trêsturmas, e com base nos objectivos propostos decidimos escolher uma amostra de 6 produçõesem cada turma, ou seja, iniciámos o nosso estudo com 18 produções, 6 de cada ano deescolaridade. Contudo, e uma vez que pretendemos perceber como pensam algebricamente osnossos alunos nos três anos de escolaridade acima especificados e, com o objectivo claro dereduzir os factores que poderiam interferir com o desempenho dos mesmos na realização datarefa, optámos por não dar quaisquer indicações ou orientações que pudessem condicionar assuas estratégias de pensamento.De forma consciente retirámos a influência do professor como orientador e condutor dotrabalho, visto que as nossas diferenças enquanto pessoas e profissionais poderiam interferir noobjectivo pretendido com a recolha dos dados.Escolha da tarefaTendo em conta as ideias apresentadas anteriormente sobre os tipos de padrão e suas principaiscaracterísticas, optámos por desenvolver uma tarefa com padrões visuais de crescimento (veranexo).Como afirmámos anteriormente, os padrões de repetição são realmente importantes numtrabalho inicial com os alunos, contudo os padrões de crescimento são os que reforçam deforma significativa a passagem da aritmética para a álgebra, da contagem elemento a elemento,para o estabelecimento de relações entre elementos. É precisamente nesta possibilidade doaluno estabelecer relações entre as figuras e a sequência, diversificando a quantidade de
  11. 11. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 11 Didáctica da Matemática Iconteúdos transversais ao currículo passíveis de serem trabalhados, que nos permitecompreender que os padrões de crescimento potenciam as aprendizagens dos alunos,permitindo variadas conexões na matemática.Concluímos então que, se estes padrões permitem uma maior diversidade de estratégias depensamento por parte do aluno, também serão estes que nos irão permitir perceber melhor omodo como estes realizam as decomposições das figuras e como relacionam as partes com otodo, fazendo ou não generalizações e a que nível.A tarefa (anexo 1) foi construída com base nas ideias anteriormente reflectidas e é compostapor quatro questões que visam a análise das competências inerentes ao pensamento algébrico,nomeadamente: - identificar regularidades num padrão visual; - comunicar essas regularidades por palavras ou utilizando simbologia; - prever situações que não são dadas ou visíveis.Metodologia e categorias de análiseSegundo Stake (2007, p.20), a utilização de casos típicos ou representativos será útil na busca derespostas sobre os assuntos que pretendemos compreender, apesar de em estudos de caso nãose trabalhar com técnicas de amostragem e existirem possibilidades de não serem totalmenterepresentativos de uma realidade. Stake vai mais longe e afirma que alguns casos “atípicos”ajudam a ilustrar aspectos importantes que deixamos passar nos casos típicos.Tendo em conta as ideias apresentadas por Stake (2007), fomos procurar descobrir os nossospossíveis casos típicos. Contudo, para este trabalho, debruçámo-nos novamente sobre as ideiasapresentadas por Ponte (2009). O autor apresenta quatro possíveis estratégias dos alunos naresolução das tarefas que envolvem padrões visuais crescentes: (i) Estratégia de representação econtagem – neste caso o aluno representa ou desenha todos os termos da sequência até aotermo solicitado e depois conta os elementos que o constituem.Nesta estratégia não existe uma clara evidência de generalização, pelo que se torna importanteo professor questioná-lo acerca do seu processo de representação. Deste modo o professorpode perceber como é que o aluno compreende a figura e as contagens que realiza.
  12. 12. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 12 Didáctica da Matemática I(ii) Estratégia aditiva – aqui o aluno compara termos consecutivos identificando as alteraçõesque ocorrem de uns para os outros. Neste caso, muitos alunos já fazem algumas generalizaçõesacerca das descobertas por si efectuadas, utilizando contudo a linguagem natural.Segundo o autor, esta estratégia também pode ser um entrave à descoberta da relação entre ostermos e as ordens, uma vez que se centra somente na relação entre termos, podendo destemodo conduzir a generalizações erradas.(iii) Estratégia do objecto inteiro – Neste caso, o aluno utiliza um termo de uma ordem paradescobrir o termo de uma ordem múltipla daquele de que partiu. Este procedimento tambémpode levar a generalizações erradas, no caso de não haver proporcionalidade directa. Contudo,nos padrões em que a razão entre os termos é constante esta estratégia é bastante funcional.(iv) Estratégia da decomposição dos termos – Nesta estratégia o aluno relaciona o termo com asua ordem, representando depois uma expressão algébrica. Ao decompor o termo de umasequência visual, permitindo a compreensão do processo de construção, consegue maisfacilmente determinar um termo de ordem bastante maior.Após análise das estratégias desenvolvidas pelos alunos e usando como base o estudo deFiorentini et al. (1993), decidimos categorizar as respostas dos alunos em três níveis: (a)Evidências de pensamento pré-algébrico. Segundo Ponte (2009) estarão enquadrados nestacategoria os alunos que desenham e contam todos os termos da sequência, isto é, aqueles quedesenvolvem uma Estratégia de representação e contagem; (b) Evidências da transição dopensamento aritmético ao algébrico. Esta categoria, nas estratégias de Ponte (2009), refere-seaos desempenhos dos alunos que utilizam Estratégia aditiva ou Estratégia do objecto inteiro; (c)Evidência de pensamento algébrico mais desenvolvido. Aqui, enquadram-se os alunos queutilizam a Estratégia da decomposição dos termos, referida por Ponte (2009). Assim, com basenas ideias anteriormente expostas recolhemos 18 trabalhos dos alunos, sendo seis de cada nívelde ensino em causa.Resultados e sua análiseNeste ponto iremos analisar as respostas desenvolvidas pelos alunos.Com base na tarefa e nos objectivos das várias questões, optámos por iniciar a nossa análisepela questão nº 1. Nesta, onde era pedido ao aluno que após analisar os três primeiros termosda sequência desenhasse o 4º termo e explicasse a regra de formação, pretendíamos perceberse o aluno identifica a situação que se repete.
  13. 13. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 13 Didáctica da Matemática INo nível das Evidências de pensamento pré-algébrico, onde o aluno deve encontrar o padrão,isto é, observar os termos dados e perceber o que se repete, verificámos que apenas um aluno,do 6º ano, não representou correctamente o termo pedido, como podemos observar na figura 1e conta somente o número de triângulos não estabelecendo quaisquer outras relações. Fig. 1Contudo, como se ilustra na figura 2, há evidências que alguns alunos tiveram dificuldades emidentificar os elementos que compõem a sequência pictórica. Apesar de terem identificado opadrão de crescimento, não o relacionaram com o número de palitos. Fig. 2Um aluno do 6º ano, na análise que fez da composição dos termos da sequência, tevenecessidade de identificar triângulos, possivelmente devido ao triângulo que surge no final decada termo, decompondo para isso a sua construção em triângulos e quadriláteros, como aseguir se ilustra (fig. 3). Fig. 3No que toca à explicação da regra de formação do 4º termo, um outro objectivo da 1ª questão,que se prende com a descrição do padrão e que envolve a comunicação usando a linguagemcorrente, são mais evidentes as dificuldades encontradas. Descrever padrões para que ainformação dada seja clara, não foi tarefa simples para os alunos. Das 18 respostas analisadas,
  14. 14. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 14 Didáctica da Matemática Isomente dois alunos, um do quinto (Fig.4) e um do sétimo (Fig.5), estabelecem relações entre onúmero da figura, o número de triângulos e o número de palitos. Estes alunos possivelmenteencontram-se ao nível das Evidências da transição do pensamento aritmético ao algébrico. Fig. 4No exemplo apresentado na figura 4, o aluno já relaciona o triângulo com o número de palitosque o compõe, percebendo a sua relação na sequência quando afirma que tem de tirar doispalitos. No caso seguinte, figura 5, o aluno já relaciona cada termo com a sua posição nasequência e efectua a análise da composição do mesmo no que toca ao número de palitosnecessários à sua construção. Fig. 5Contudo, as evidências apresentadas anteriormente referem-se unicamente à análise edescrição do 4º termo. As estratégias usadas pelos alunos não foram impeditivas da conclusãoda tarefa com maior ou menor êxito. Há evidências de alunos que não tendo aprofundado aregra de formação do 4º termo, conseguiram resolver as questões seguintes com sucesso.Analisemos agora a questão 2 e 3. Segundo Stacey (1989), citado por Vale e Pimentel (2009), ageneralização pode ser tratada segundo dois patamares: aquele em que se pretende descobrirtermos muito próximos dos apresentados, a que chamou generalização próxima, e os termosque devido à sua posição distante do apresentado, dificilmente se poderão descobrir porconstrução termo a termo. O autor chamou-lhe generalização distante. Mason (1996), tambémcitado por Vale e Pimentel (2009), utiliza as designações generalização local e generalizaçãoglobal que também utilizaremos na nossa análise. Podemos então afirmar, com base nas ideiasdos autores anteriormente referidos, que a questão 2 permite uma generalização local, mas nocaso da questão 3 já podemos considerar que permite uma generalização global.Verificámos que os alunos utilizaram estratégias diversificadas para resolver as questõespropostas.
  15. 15. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 15 Didáctica da Matemática IAo nível do quinto ano, dois alunos utilizaram estratégias aditivas, recorrendo ainda àrepresentação pictórica como suporte à identificação do número de palitos necessários,cometendo contudo alguns erros de contagem (Fig.6). Fig. 6Neste ano de escolaridade, ainda conseguimos identificar três alunos que usaram a estratégiado objecto inteiro, relacionando a ordem do termo com o número de triângulos e de palitos. Oserros cometidos por dois desses alunos decorreram do facto não existir proporcionalidadedirecta entre os termos, como podemos identificar no exemplo da figura 7, em que o alunomultiplica a ordem do termo pelo número de palito do triângulo que surge completo. Fig. 7De realçar que um aluno (Fig. 8) conseguiu estabelecer as relações necessárias tendo já tentadouma generalização usando alguma simbologia algébrica. Fig. 8No sexto ano, é surpreendente a diversidade de meios que os alunos utilizaram paradesenvolver as suas estratégias. Desde tabelas para organizar e ordenar os dados, esquemas erepresentações pictóricas, assim como o uso de alguma simbologia algébrica como podemosobservar nas figuras 9 e 10.
  16. 16. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 16 Didáctica da Matemática I Fig. 9 Fig. 10A maioria destes alunos ainda desenvolve estratégias aditivas, mas relativamente aos alunos doquinto ano cometem menos erros, não identificando a sequência como uma situação deproporcionalidade directa.Quanto aos alunos do sétimo ano é visível que de uma forma geral procuram descrever umaregra para descobrir o padrão. Fazem-no utilizando essencialmente a linguagem corrente (Fig.11 e Fig. 12). Identificamos nestes casos a possível dificuldade em traduzir da linguagemcorrente para a simbologia algébrica. Fig. 11 Fig. 12Se até este ano de escolaridade os alunos oscilavam entre um nível em que apresentavamevidências da transição do pensamento aritmético ao algébrico, agora identificamos estesalunos num nível que evidencia um pensamento algébrico mais desenvolvido.Na questão 4, onde o objectivo era perceber se os alunos generalizam e como o fazem, fomossurpreendidos por dois aspectos. Em primeiro lugar, o reduzido número de alunos queefectivamente encontraram uma generalização. Somente 5 dos 18 alunos tiveram sucesso. A
  17. 17. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 17 Didáctica da Matemática Imaior parte dos alunos que resolveram a questão apresentaram apenas exemplos concretos(Fig. 13 e 14) que poderiam conduzir à descoberta do termo geral. O facto de muitos destesalunos terem conseguido realizar uma generalização local na questão 2 e voltarem a procurareste tipo de estratégia onde é pedido uma generalização global, pode indicar a necessidade deconcretização com um termo conhecido ou próximo aos dados no início da tarefa. Fig. 13 Fig. 14Existem evidências que apesar destes alunos se encontrarem no nível de transição entre opensamento aritmético e o algébrico a capacidade de abstracção e de estabelecer relações nasequência poderão condicionar a capacidade de generalização.O outro aspecto que nos surpreendeu foi o facto de um dos cinco alunos que conseguegeneralizar ser do 5º ano (figura 15), revelando apenas alguma dificuldade na simbologiaalgébrica, assim como um dos alunos do 7º ano. A análise da produção do aluno do 5º anosuscitou algumas reflexões. Se por um lado foi consensual que efectuou uma verdadeirageneralização, no que toca à comunicação formal que utilizou remeteu-nos para os “comboios”utilizados no 1º ciclo, tornando-se claras as consequências da aceitação dessa prática. Fig. 15
  18. 18. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 18 Didáctica da Matemática ITambém no caso de um aluno do 7º foi evidente a sua dificuldade em lidar com a simbologiaalgébrica, utilizando três expressões e duas variáveis, como é patente na figura 16. Fig. 16No que concerne aos outros dois alunos do 7º ano, um apresenta a generalização utilizandosomente a linguagem corrente e o outro (Fig. 17) revela maior facilidade na simbologia algébricado que no uso da linguagem corrente.Estes alunos utilizaram estratégias que os ajudaram a estabelecer relações entre os termos e asua ordem, segundo Ponte (2009), estratégia da decomposição dos termos. Fig. 17
  19. 19. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 19 Didáctica da Matemática IPodemos sintetizar a nossa análise na tabela que se segue, que ilustra algumas das estratégiasutilizadas pelos 18 alunos seleccionados para este estudo. Tabela 2 - Níveis do pensamento algébrico - Fiorentini et al. (1993) (a) Evidências de pensamento (b) Evidências da transição do (c) Evidência de pensamento pré-algébrico Nº de alunos pensamento aritmético ao algébrico algébrico mais desenvolvido Nº de alunos Nº de alunos Ano de Exemplo de estratégias Exemplo de estratégias Exemplo de estratégias escolaridade utilizadas utilizadas utilizadas “A regra é colocar um triângulo ao lado do outro e retirar ?–1=?x6=?+4 sempre dois palitos ao 5º ano 5 triângulo anterior” (questão 1) 1 (questão 4) “tem 7 triângulos e 42 palitos” (questão 2) “Se alguém me disser o número de triângulos, o “Na posição sete terá “1 – 6; 2 – 12; 3 – 18; 4 – 24;…” número de palitos é 4 6º ano 1 sete triângulos” 4 (questão 2) 1 vezes mais 2 do número (questão 2) de triângulos na figura” (questão 4) x4 2 (questão 4) “É só fazer as seguintes “14 + 8 + 8 = 30” operações: (questão 2) 1 (triângulo) x 6 (palitos) = 6 (palitos) 7º ano 3 “(…)se precisarem de 7 3 Restantes triângulos x 4 triângulos, só temos de fazer 4 (palitos) = a em 4 a partir do 6.” a + 6 = x palitos (questão 4) necessários para um certo número de triângulos” (questão 4)ConclusãoEncontrar, descrever e explicar padrões são competências que permitem compreendersituações complexas e as tarefas que possamos propor aos alunos precursoras dodesenvolvimento do pensamento algébrico irão por certo desencadear mecanismos quevalorizarão a melhoria dos seus desempenhos.Encontrar padrões é uma actividade subjectiva. Diferentes pessoas percebem coisas diferentes,de modo que o que uma pessoa vê não é muitas vezes diferente do que o outro percebe. É porisso que é tão importante para descrever padrões que a linguagem usada seja a que todosentendem - para que outros possam ver o que cada um vê. A simbologia algébrica é, por isso,uma ferramenta privilegiada para descrever padrões.A preocupação em analisar o nível de desempenho dos alunos permite tomar decisõesconscientes sobre que desafios lançar, no sentido de melhorar progressivamente os seusdesempenhos e consequentemente torná-los matematicamente mais competentes.
  20. 20. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 20 Didáctica da Matemática IDas observações efectuadas decorre que a grande maioria dos alunos ultrapassou o nível pré-algébrico, encontrando-se na transição do nível aritmético para o algébrico. Contudo, háevidências que os alunos do 7º ano se encontram ao nível do pensamento algébrico maisdesenvolvido.Importa salientar que os alunos que se encontram no nível de transição utilizaram estratégias deobjecto inteiro, o que revela que já estabelecem relações, apesar de cometerem alguns errosnomeadamente quando utilizam a proporcionalidade directa quando esta não existe.Bastante revelador da disparidade do nível em que se situam os alunos foi o facto de nosdepararmos com cinco desempenhos (um do 5º, um do 6º e três do 7º ano) reveladores depensamento algébrico mais desenvolvido bem como do tipo de simbologia utilizada.Perante a análise efectuada, e de acordo com as orientações preconizadas nos documentosoficiais, importa delinear um conjunto de linhas de acção a desenvolver no sentido de conduziros alunos a ultrapassar dificuldades evidenciadas. Assim, estabelecemos que é prioritáriocontinuar o trabalho com os padrões visuais de crescimento orientando o aluno na descobertadas relações entre os termos da sequência e as contagens que se podem identificar, apostar nastarefas que proporcionem a comunicação matemática dos padrões e suas relações.Oportunidades para incitar os alunos a pensarem sobre como devem verbalizar e expressar umageneralização.Uma última reflexão conduziu-nos às limitações deste estudo no que se refere à interacçãoentre o professor e o aluno, que, de forma intencional reduzimos de forma a não influenciar osdesempenhos, mas que, temos consciência é motor de grande parte da aprendizagem e docrescimento dos alunos.
  21. 21. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 21 Didáctica da Matemática IReferências BibliográficasLivrosAbrantes, P., Serrazina, L. e Oliveira, I. (1999). A Matemática na Educação Básica. Lisboa:Ministério da Educação.Bogdan, R. e Biklen, S. (1994). Investigação Qualitativa em Educação. Porto: Porto Editora.Carmo, H., e Ferreira, M. M. (1998). Metodologia da Investigação, Guia para Auto-aprendizagem. Lisboa: Universidade Aberta.Davis, P., e Hersh, R. (1995). A experiência matemática. Lisboa: Gradiva.Devlin, K. (2002). Matemática: A ciência dos padrões. Porto: Porto Editora.ME – DGIDC (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: Ministério da EducaçãoDirecção Geral de Inovação Curricular.ME-DEB (2001). Currículo Nacional do Ensino Básico. Lisboa: Ministério da Educação,Departamento da Educação Básica.NCTM (2007). Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Lisboa: APM.Orton, A. (1999). Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics. London: Continuum.Orton, A. (2004). Learning mathematics. Issues, theory and classroom pratice . London:Continuum.Pacheco, José (1994). A avaliação dos alunos na perspectiva da reforma. Porto: Porto EditoraPacheco., José (1995). Análise curricular da avaliação. In José Pacheco e Miguel Zabalza (org.). Aavaliação dos alunos dos ensinos básico e secundário. Actas do I Colóquio sobre QuestõesCurriculares. Braga. Instituto de Educação e Psicologia, Universidade do Minho, pp. 39-49.Pimentel, T. e Vale, I. (2009) Padrões no Ensino e Aprendizagem da Matemática – PropostaCurriculares para o Ensino Básico. Escola Superior de Educação do Instituto Politécnico de Viana doCastelo – Projecto Padrões.Quivy, R., e Van Campenhoudt, L. (1992). Manual de Investigação em Ciências Sociais. Lisboa:Gradiva.Schoen, Harold L. (1995). A resolução de problemas em álgebra. In: Coxford, Arthur F. e Shulte,Albert P. As ideias da Álgebra. São Paulo. Actual.
  22. 22. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 22 Didáctica da Matemática IStake, R. (2007). A arte da Investigação com estudos de caso. Lisboa: Fundação CalousteGulbenkianKaput, J. J. (1999). Teaching and learning a new algebra with understanding. In E. Fennema & T.Romberg (Orgs.), Mathematics classrooms that promote understanding (pp. 133-155). Mahwah,NJ: Erlbaum.Kaput, J. J. (2008). What is algebra? What is algebraic reasoning? In J. J. Kaput, D. W. Carraher &M. L. Blanton (Eds.), Algebra in the early grades (pp. 5-17). New York, NY: Routledge.Revistas e artigosBorralho, A., Cabrita, I., Palhares, P. e Vale, I. (2007). Os Padrões no Ensino e Aprendizagem daÁlgebra. Em Vale, I., Pimentel, T., Barbosa, A., Fonseca, L., Santos, L. e Canavarro, P. (Orgs),Números e Álgebra (pp. 193-211). Lisboa: SEM-SPCE.Branco, N., Matos, A. e Ponte, J. P. (2005). Como vai o pensamento algébrico dos alunos,Educação e Matemática, número 85, pp. 54-59Brocardo, J., Paiva, A. L. e Pires, M. (2005). Dos números para a Álgebra. Por onde vão osalunos?, Educação e Matemática, número 85, pp. 52-53Costa, M.J. (2005). A álgebra nos seus primórdios, Educação e Matemática, número 85, pp.23-29Duarte, J. M. (2005). A álgebra e o estudo PISA, Educação e Matemática, número 85, pp.43-45Fiorentini, D., Miorim, M. A. e Miguel, A. (1993). Contribuições para um repensar…a Educaçãoalgébrica elementar, Pro-posições, número 1, pp. 78-91Pimentel, T. e Vale, I. (2005). Padrões: um tema transversal do currículo, Educação eMatemática, número 85, pp. 14-20Ponte, J. P. (2005). A álgebra no currículo escolar, Educação e Matemática, número 85, pp. 36-42Ponte, J. P. (2006). Estudos de caso em educação matemática. Bolema, 25, 105-132.Veloso, E. (2005). O triunfo da álgebra, Educação e Matemática, número 85, pp. 61-66Artigos onlineAnnenberg Media – Learner. Org: Teacher professional development and teacher resourcesacross the curriculum. Acedido a 05-04-2010 emhttp://www.learner.org/courses/learningmath/algebra/index.htmlMorse, J. M., Barret, M., Mayan, M., Olson, K., & Spiers, J. (2002). Verification strategies forestablishing reliability and validity in qualitative research, em International Journal of Qualitative
  23. 23. Mestrado em Educação e Tecnologias em Matemática 23 Didáctica da Matemática IMethods 1 (2), Article 2. Acedido a 01-05-2010 emhttp://www.ualberta.ca/~iiqm/backissues/1_2Final/html/morse.html

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