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Projecto IMLNA
Promover a Aprendizagem Matemática em Números e Álgebra
O DESENVOLVIMENTO DO CONCEITO DE
PROPORCIONALIDADE DIRECTA
PELA EXPLORAÇÃO DE REGULARIDADES
Tarefas para o 1.º e o 2.º Ciclos do Ensino Básico
Materiais de Apoio ao Professor
João Pedro da Ponte
Ana Isabel Silvestre
Cristina Garcia
Sara Costa
Setembro 2010

P
p
Projecto finan
para a Ciência
PTDC
nciado pela FC
a e Tecnologia
C/CED/65448
CT – Fundação
a, contrato N.
8/2006
o
º
Materiais d
Associa
divulgados com
ação de Profes
Matemática
m o apoio da
ssores de

1

Índice
Introdução 2
O conceito de proporcionalidade directa 2
O raciocínio proporcional 3
Problemas que envolvem relações de proporcionalidade directa e estratégias
de resolução dos alunos 4
Objectivos gerais de aprendizagem 6
Sugestões didácticas 7
Referências 10
Tarefa 1 – Os colares 11
Tarefa 2 – Os quadrados 20
Tarefa 3 – A magia da tabela 36
Tarefa 4 – As pilhas 46
Tarefa 5 – Existe proporcionalidade directa? 52
Tarefa 6 – Aluguer das bicicletas 61
Tarefa 7 – Escalas 1 66
Tarefa 8 – Escalas 2 72

2

Introdução
Este documento reúne um conjunto de tarefas que os professores do 1.º e do 2.º
ciclo do ensino básico podem utilizar nas suas aulas para desenvolver o raciocínio pro-
porcional nos seus alunos. Para cada tarefa são indicados os objectivos de aprendizagem
e são apresentadas possíveis estratégias de resolução dos alunos, que o professor deve
ter presente ao acompanhar o trabalho destes e ao dirigir a discussão colectiva na turma.
Começamos por abordar o conceito de proporcionalidade directa e os aspectos funda-
mentais do raciocínio proporcional e, de seguida, apresentamos os principais tipos de
problemas que envolvem relações de proporcionalidade directa e as estratégias de reso-
lução mais frequentemente usadas pelos alunos. Finalmente, apresentamos os objectivos
de aprendizagem do Programa de Matemática e concluímos apresentando um conjunto
de sugestões didácticas para a exploração das tarefas propostas.
O conceito de proporcionalidade directa
Estes materiais procuram mostrar como alguns tipos de tarefa podem enriquecer
a experiência escolar dos alunos e ajudar a desenvolver a sua capacidade de raciocínio
proporcional. Procuramos contrariar a ideia redutora de que a resolução de problemas
que envolvem relações proporcionais tem sempre de ser feita usando a regra de três
simples, regra esta que frequentemente os alunos aplicam sem que compreendam o que
estão a fazer.
Em contrapartida, damos ênfase às relações multiplicativas que se encontram
numa relação de proporcionalidade. Essas relações envolvem dois aspectos: a co-
variação de grandezas e a invariância entre grandezas:

3
 Co-variação de grandezas (representadas por variáveis):
 Invariância entre grandezas (representadas por variáveis):
O conceito de proporcionalidade directa pode ser apresentado aos alunos como
uma igualdade entre duas razões,
d
c
b
a
 ou como uma função linear dada por y=mx,
com m0. O aspecto mais inovador da presente abordagem, que se apoia em resultados
de investigação nacional e internacional, é a exploração intuitiva da proporcionalidade
como função linear logo desde os primeiros anos de escolaridade, que, deste modo
adquire precedência sobre a noção de igualdade entre razões.
O raciocínio proporcional
Na literatura existem várias caracterizações do raciocínio proporcional. Por
exemplo, Lesh, Post e Behr (1988), consideram o raciocínio proporcional como uma
forma de raciocínio matemático que envolve o sentido de co-variação e possibilita múl-
tiplas comparações, requerendo a aptidão para reunir e processar mentalmente diversos
conjuntos de informação, relacionados com inferência e predição e envolvendo pensa-
mento qualitativo e quantitativo.
Pelo seu lado, Lamon (2005) refere que o raciocínio proporcional está associado
à capacidade de analisar relações entre grandezas, o que implica compreensão da rela-

4
ção constante entre estas (invariância) e a noção de que ambas variam em conjunto (co-
variação) (como nos esquemas da página anterior). Isto pressupõe que os alunos já
tenham a capacidade de perceber que, na equivalência entre razões, há algo que muda
(quantidades absolutas) e que, ao mesmo tempo, há algo que se mantém constante (na
mesma proporção). Na sua perspectiva, uma deficiente compreensão da natureza multi-
plicativa das situações proporcionais pode estar na origem de muitas das dificuldades
dos alunos. Em ambos os casos, a utilização do raciocínio proporcional implica muito
mais do que o uso da expressão
d
c
b
a
 na resolução de problemas.
Mais recentemente, Silvestre e Ponte (2009), sistematizando ideias de diversos
autores, sugerem que o raciocínio proporcional envolve três condições: (i) capacidade
para distinguir situações que têm subjacentes relações de natureza proporcional de
situações que não o têm; (ii) compreensão da natureza multiplicativa das relações pro-
porcionais; e (iii) capacidade de resolução de vários de tipos de problemas, revelando a
flexibilidade mental para realizar diferentes abordagens sem ser afectado pelos dados
numéricos, pelo contexto, pela linguagem utilizada e pela forma como os problemas são
apresentados (texto, gráficos, tabelas, razões).
Problemas de proporcionalidade e estratégias de resolução dos alunos
Nos primeiros anos de escolaridade, os problemas que envolvem relações de
proporcionalidade directa podem ser agrupados do seguinte modo:
 Problemas de valor omisso, em que são dados três dos valores que com-
põem uma proporção e é pedido o quarto (por exemplo, as questões 2.1 a
2.5 da Tarefa “A magia da tabela”);
 Problemas de comparação, em que são dadas duas razões e pede-se para
indicar qual é maior, menor ou se são iguais (por exemplo, a questão da
Tarefa “Aluguer de bicicletas”);
 Problemas de conversão entre representações, nos quais, a partir dos
dados representados num determinado sistema, se pede a sua representa-
ção noutro sistema mantendo a mesma relação entre si (por exemplo, a
questão 1.2 da Tarefa “As pilhas”).

5
Vários estudos identificam e caracterizam as estratégias usadas pelos alunos
(com idades entre 11 a 16 anos) para resolver estes problemas. Note-se que estas estra-
tégias decorrem das relações multiplicativas apresentadas mais atrás:
 Razão unitária, também conhecida por “quanto para um”, identificada
como a estratégia mais intuitiva atendendo ao facto dos alunos a usarem
desde os primeiros anos de escolaridade (cálculo de razões unitárias em
problemas de divisão e cálculo de múltiplos da razões unitárias em pro-
blemas de multiplicação);
 Factor de mudança ou factor escalar (Hart, 1983), conhecida por “tantas
vezes como”, estratégia que está condicionada a aspectos numéricos dos
problemas mas que está presente no reportório das crianças;
 Comparação das razões, associada a problemas de comparação, que
permite comparar as razões unitárias através de duas divisões;
 Algoritmo do produto cruzado, do qual uma versão é a conhecida “regra
de três simples”, que, embora eficiente, é um processo mecânico despro-
vido de significado no contexto dos problemas.
Post, Behr e Lesh (1988) identificam ainda a estratégia da interpretação gráfica,
em que se usam gráficos para identificar razões equivalentes ou para identificar um
valor desconhecido num problema de valor omisso. Uma outra estratégia é a composi-
ção/decomposição (building-up/building-down, no dizer de Hart, 1984), que não está
confinada à utilização de raciocínios multiplicativos.
Pelo seu lado, Lamon (1994) classifica as estratégias de raciocínio como “den-
tro” (escalar) e “entre” variáveis (funcional), que relaciona com as estruturas multiplica-
tivas. Assim, o raciocínio escalar ocorre quando se realizam transformações “dentro” da
mesma variável e o raciocínio funcional ocorre quando se estabelecem relações “entre”
duas variáveis diferentes. Segundo esta investigadora, a distinção entre estes dois tipos
de relação é importante pois os processos cognitivos envolvidos são diferentes.
Objectivos de aprendizagem do Programa de Matemática
De acordo com o Programa de Matemática para o Ensino Básico (ME, 2007)
ao longo do 1.º e do 2.º ciclo, os alunos desenvolvem o seu pensamento algébrico, isto
é, desenvolvem ideias algébricas sem que o foco esteja no uso da linguagem algébrica
formal. Assim, no 1.º ciclo começam por investigar sequências numéricas e padrões
geométricos e explorar diversos tipos de relações. No 2.º ciclo aprofundam este trabalho

6
com a exploração de regularidades, a determinação dos termos através da lei de forma-
ção da sequência e a determinação da lei de formação da sequência através da análise da
relação existente entre os seus termos.
Relativamente à proporcionalidade directa, o trabalho feito no 1.º ciclo com
regularidades, estruturas multiplicativas e números racionais, permite, no 2.º ciclo, um
estudo aprofundado da noção de proporcionalidade, explorando situações que envolvam
esta noção. Este trabalho dos alunos é essencial para que atinjam os objectivos gerais de
aprendizagem previstos para a Álgebra do 2.º ciclo:
 Ser capazes de explorar, investigar regularidades;
 Compreender a noção de proporcionalidade directa e usar o raciocínio
proporcional;
 Ser capazes de resolver problemas, raciocinar e comunicar recorrendo a
representações simbólicas.
Por outro lado, todo o trabalho realizado deve também visar o desenvolvimento
das capacidades transversais:
 Resolver problemas em contextos matemáticos e não matemáticos, adap-
tando, concebendo e pondo em prática estratégias variadas e discutindo
as soluções encontradas e os processos utilizados;
 Raciocinar matematicamente, formulando e testando conjecturas e gene-
ralizações, e desenvolvendo e avaliando argumentos matemáticos relati-
vos a resultados, processos e ideias matemáticos;
 Comunicar oralmente e por escrito, recorrendo à linguagem natural e à
linguagem matemática, interpretando, expressando e discutindo resulta-
dos, processos e ideias matemáticos.
Sugestões didácticas
Stanley, McGowan e Hull (2003) argumentam que a abordagem tradicional de
ensino para o desenvolvimento do raciocínio proporcional, em que os alunos “resolvem
problemas de proporções” está ultrapassada e deve ser substituída por outra, em que os
alunos trabalham em tarefas que os ajudam a descobrir as ideias essenciais da propor-
cionalidade. Assim, torna-se necessária uma outra abordagem ao ensino deste conceito
que ultrapasse a limitação do trabalho a partir de proporções, marcado pelo formalismo
do uso de representações e regras cujo significado não se chega a compreender. É

7
necessário, também, ultrapassar o treino de procedimentos e a verbalização de regras
sem qualquer significado (Greer, 1997).
Para isso, uma abordagem algébrica da proporcionalidade pode dar continuidade
ao trabalho iniciado nos primeiros anos de escolaridade, mobilizando tópicos matemáti-
cos em que a proporcionalidade directa está presente, explorando a natureza multiplica-
tiva da relação proporcional e ampliando as experiências dos alunos nos diferentes tipos
de problemas que envolvem esta relação. Isto é, o ensino do tópico proporcionalidade
directa pode ser desenvolvido com recurso ao trabalho com regularidades e relações,
pois este representa um caminho para desenvolver as capacidades que envolvem o
raciocínio proporcional, em particular o sentido de co-variação e de invariância, ao
mesmo tempo que contribui para o desenvolvimento da capacidade de generalização.
Cabe ao professor escolher as tarefas matemáticas a propor aos seus alunos, ten-
do em conta que a capacidade de raciocinar proporcionalmente influencia a aprendiza-
gem de outros conceitos matemáticos estudados no ensino básico (por exemplo, escala,
fracção, percentagem e medida) e a aprendizagem de temas matemáticos do ensino
secundário (por exemplo, trigonometria), sendo ainda fundamental na aprendizagem de
disciplinas como Física, Química e Geografia. Assim, o professor deve seleccionar tare-
fas que permitam aos alunos analisar, através da exploração de regularidades numéricas,
situações que envolvem proporcionalidade directa e outras situações em que tal relação
não existe. Este trabalho não deve ser menosprezado pois existe uma forte tendência
para os alunos utilizarem estratégias proporcionais em problemas onde não existe uma
relação de proporcionalidade directa.
As tarefas aqui apresentadas têm por base o pressuposto que a experiência
matemática dos alunos deve contemplar situações que, pela sua natureza, possam dar
sentido à aprendizagem de conceitos, a partir de vivências do quotidiano ou envolvendo
a utilização de materiais manipuláveis, levando-os assim a identificar e compreender as
relações de proporcionalidade directa. O quadro seguinte sugere as tarefas que podem
ser mais apropriadas para cada ano de escolaridade, os temas e tópicos do programa
com que mais directamente se relacionam e os objectivos específicos que permitem
atingir. Os professores devem, naturalmente, adaptar as tarefas aqui propostas às carac-
terísticas da sua turma, acrescentando ou retirando questões, alterando o enunciado
sempre que considerem pertinente.

8
Ano de
escolaridade
Tarefa
Temas/tópicos do pro-
grama
Objectivos específicos
1.º / 2.º Colares
 Números e operações
- Regularidades
(sequências)
- Números racionais
não negativos
- Continuar uma sequência segundo uma lei
de formação.
- Compreender e utilizar os operadores
dobro, triplo, quádruplo e metade e quarta
parte.
3.º / 4.º
Os quadrados
(1.ª e 2.ª parte)
 Geometria e Medida
- Perímetro, área e
volume
 Números e operações
- Regularidades
(sequências)
- Calcular o perímetro e a área de polígonos.
- Investigar regularidades em sequências.
- Compreender a relações de co-variância e
de invariância entre o comprimento do
lado e o perímetro do quadrado.
5.º/ 6.º
A magia da
tabela
 Números e Operações
 Álgebra
- Proporcionalidade
directa
- Investigar regularidades multiplicativas em
tabelas.
- Resolver problemas utilizando a tabela.
As pilhas
 Álgebra
- Proporcionalidade
directa
- Utilizar as regularidades multiplicativas
(co-variância e invariância) para identificar
uma relação de proporcionalidade directa.
- Analisar o aspecto gráfico da relação de
proporcionalidade directa.
Existe propor-
cionalidade
directa?
- Distinguir situações em que não existe
proporcionalidade de situações em que
existe.
- Analisar os dados em diferentes represen-
tações.
Aluguer de
bicicletas
- Distinguir situações em que não existe
proporcionalidade directa de situações em
que existe.
- Analisar os dados em tabelas.
Escalas
- Utilizar as relações de co-variação e de
invariância na resolução de problemas
sobre escalas em contexto realista.

Nestas tarefas são dadas indicações sobre as relações multiplicativas que devem
constituir um foco de trabalho na aula nos primeiros anos de escolaridade, permitindo
que os alunos, gradualmente, reconheçam regularidades e as utilizem com compreensão
e eficiência, nomeadamente resolvendo problemas envolvendo relações de proporciona-
lidade. De facto, o desenvolvimento do raciocínio proporcional nos alunos depende em
grande parte do seu conhecimento sobre relações multiplicativas, associado à sua com-
preensão das situações descritas nos problemas propostos e à sua capacidade de mobili-
zar o conhecimento intuitivo na aprendizagem da Matemática.

9
O professor deve explorar o mais possível o que os alunos já sabem e capitalizar
as suas estratégias informais para a resolução de problemas de forma a facilitar o desen-
volvimento do raciocínio proporcional utilizando diferentes representações. A partir das
discussões gerais das tarefas feitas na sala de aula devem ser introduzidos termos e for-
mas de representação cada vez mais formais e estruturadas, sempre que possível com o
contributo dos alunos. Para explorar as suas estratégias e a sua capacidade de aplicar
conhecimentos anteriores, o trabalho feito na sala de aula deve ser exploratório e inves-
tigativo. No entanto, sempre que se considere necessário, nomeadamente para consoli-
dação de conhecimentos, o trabalho também pode passar pela resolução de exercícios.
As tarefas aqui apresentadas pressupõem a sua realização em dois momentos
distintos: o trabalho autónomo dos alunos (em grupo, a pares, ou individualmente) e a
discussão geral na turma. Tendo em conta que este segundo momento é fundamental,
para que a discussão possa ser rica e não apressada, é necessário que o trabalho autóno-
mo seja limitado no tempo. O momento de discussão geral permite a cada aluno reflectir
sobre o próprio trabalho e confrontá-lo com trabalhos diferentes que surjam na turma.
De forma a aprofundar e consolidar os conhecimentos dos alunos, deve ser valorizada a
capacidade de argumentação e a participação crítica. Todos devem ter oportunidade de
participar mas devem ser evitadas repetições de ideias e estratégias já apresentadas ante-
riormente. O aluno deve perceber que se valoriza não só a resposta correcta mas tam-
bém a diversidade de estratégias e a forma de comunicação e representação utilizadas.
Se as discussões decorrerem num clima de trabalho agradável e com regularidade, os
alunos rapidamente percebem que têm oportunidade de expor as suas estratégias e
representações, bem como as suas dificuldades. Percebem, também, que o facto de não
terem concluído a tarefa no primeiro momento da aula, não impede a sua participação
no segundo momento. Há vantagens que, quando possível, a discussão seja feita na
mesma aula do trabalho autónomo, para que a sua resolução esteja presente na memória
dos alunos. Além disso, deve ter-se presente que o trabalho em cada tarefa se deve
encerrar com uma breve síntese final, em que são retomadas as ideias e representações
fundamentais, ajudando a clarificar e validar as ideias e a salientar para os alunos os
aspectos importantes que importa reter.

10
Referências
Hart, K. (1984). Ratio: Children’s strategies and errors. Windsor, England: NFER Nel-
son.
Lamon, S. (1994). Ratio and proportion: Cognitive foundations in unitizing and norm-
ing. In G. Harel & J. Confrey (Eds.). The development of multiplicative reason-
ing in the learning of mathematics. Albany NY: SUNY Press.
Lesh, R., Post, T., & Behr, M. (1988). Proportional reasoning. In J. Hiebert & M. Behr
(Eds.), Number concepts and operations in the middle grades (pp. 93-118). Res-
ton, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
ME (2007). Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa: ME-DGIDC. [Acedi-
do em 21/06/2009 de http://sitio.dgidc.min-edu.pt/matematica/Documents/ Pro-
gramaMatematica.pdf]
Post, T, Behr, M., & Lesh, R. (1988). Proportionality and the development of prealgebra
understandings. In A. F. Coxford & A. P. Shulte (Eds.), Algebraic concepts in
the curriculum K-12 (pp. 78-90). Reston, VA: National Council of Teachers of
Mathematics.
Silvestre, A, & Ponte, J. (2009). Ser ou não ser uma relação proporcional: Uma expe-
riência de ensino com alunos do 6.º ano. In Actas do XX Seminário de Investiga-
ção em Educação Matemática (CDROM). Viana do Castelo: Associação de Pro-
fessores de Matemática.
Stanley, D., McGowan, D., & Hull, S. H. (2003). Pitfalls of over-reliance on cross mul-
tiplication as a method to find missing values. Texas Mathematics Teacher, 11,
9-11.

11
1.º/2.º anos
Os colares
A Maria está a fazer colares para oferecer às suas amigas. Só tem contas de duas cores –
brancas e azuis. Começou a construir um colar colocando duas contas azuis e uma conta
branca.
De seguida, construiu outro colar como o representado na figura:
1. Desenha o 3.º colar:
2. Completa:
Para fazer o 4.º colar, a Maria usou _______________ contas azuis
e _______________ contas brancas.
3. Desenha o 4.º colar.
4. Completa a tabela:
Número de contas azuis Número de contas brancas
2 1
5. Quantas contas vai ter o 5.º colar? Explica como pensaste.

12
Os colares (1.º/2.º anos) – Notas para o professor
Aspectos gerais. A tarefa “Os colares” envolve uma sequência pictórica de cola-
res com contas brancas e azuis. O primeiro colar é constituído por três contas, duas
azuis e uma branca, dispostas segundo a sequência de cores azul, azul, branco. O segun-
do colar tem seis contas, quatro azuis e duas brancas, dispostas de acordo com a
sequência azul, azul, branco, azul, azul, branco. Esta tarefa tem por base a ideia que o
trabalho com sequências e regularidades pode ser realizado por alunos desde o 1.º ano
de escolaridade, com o recurso a material manipulável e estimulando a sua comunicação
sobre o modo como pensam.
A sequência dos colares:
O objectivo global desta tarefa é envolver os alunos no trabalho com sequências
(colares compostos de contas de várias cores), procurando que estes:
1) Identifiquem e comuniquem (completar frases; preencher tabelas) as
regularidades que encontram;
2) Evidenciem as diferentes variáveis (número do colar; número de con-
tas azuis; número de contas brancas; número total de contas) e as suas
relações; e
3) Compreendam que as relações de co-variação e invariância que
caracterizam a proporcionalidade directa se mantêm independente-
mente do modo como se continua a sequência.
Para realizar esta tarefa os alunos devem ser capazes de realizar contagens sim-
ples.

13
Questão 1. Nesta questão os alunos têm de decidir como continuar a sequência
de colares:
1. Desenha o 3.º colar.
A observação das figuras dos dois primeiros colares pode levar os alunos a con-
tinuar a sequência de duas formas:
(i) Acrescentando, um conjunto de três contas, duas contas azuis e uma branca:
Nesta situação, tanto o número total de contas como o número de contas azuis e
o número de contas brancas cresce segundo uma progressão aritmética – uma sequência
em que a diferença entre dois termos consecutivos é constante. Embora a designação
“progressão aritmética” não seja ensinada aos alunos no ensino básico, o professor deve
ajudá-los a compreender esta regularidade:
Sequência do número de contas brancas: 1, 2, 3, 4… (diferença constante = 1)
Sequência do número de contas azuis: 2, 4, 6, 8… (diferença constante = 2)
Sequência do número total de contas: 3, 6, 9, 12… (diferença constante = 3)
(ii) Duplicando o número de contas do 2.º colar e atendendo à sequência das
cores:
Neste caso, tanto o número total de contas como o número de contas azuis e o
número de contas brancas crescem segundo uma progressão geométrica. Recordemos
que se chama progressão geométrica a qualquer sequência em que o quociente entre
dois termos consecutivos é constante:
Sequência do número de contas brancas: 1, 2, 4, 8… (quociente constante = 2)
Sequência do número de contas azuis: 2, 4, 8, 16… (quociente constante = 2)
Sequência do número total de contas: 3, 6, 12, 24… (quociente constante = 2)

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16
(ii) Duplicando o número de contas do 3.º colar e atendendo à sequência das
cores:
Se o questionamento do professor não tiver levado os alunos a esclarecer total-
mente as suas dúvidas sobre a questão 1, é provável que continuem a surgir diversos
erros. No exemplo seguinte, o aluno não desenha o 4.º colar mas sim um colar com 4
contas:
No caso seguinte regista-se a dificuldade em distinguir numerais cardinais e
ordinais pelo que o aluno desenha quatro colares com diferentes quantidades de contas:
Questão 4. Com o preenchimento da tabela os alunos podem explorar as relações
de co-variação das contas azuis e brancas e ainda as relações de invariância entre variá-
veis:
4. Completa a tabela:
Número de contas azuis Número de contas brancas
2 1

17
A maioria dos alunos preenche a tabela, tendo por base as regularidades aditivas
das peças azuis e brancas. No entanto, alguns alunos podem identificar as relações mul-
tiplicativas de dobro, triplo, quádruplo e quíntuplo dentro das variáveis e ainda as rela-
ções dobro ou metade entre variáveis.
(i) Acrescentando, um conjunto de três contas, duas contas azuis e uma branca:
Durante a discussão em grande grupo e para além de explorar as relações aditi-
vas dentro de cada variável o professor deve solicitar aos alunos que investiguem outras
regularidades. Por exemplo:
 Co-variação das variáveis
 Invariância entre variáveis

18
(ii) Duplicando o número de contas do colar anterior e atendendo à sequência
das cores:
Devem ser exploradas as relações na tabela que representa a progressão aritméti-
ca e também as relações da tabela que representa a progressão geométrica para mostrar
que, embora os valores numéricos envolvidos nas duas sequências sejam diferentes,
ambas são relações proporcionais. A exploração da tabela pode mostrar aos alunos com
maior dificuldade durante a discussão de sala de aula, o diferente comportamento das
duas sequências.
O trabalho, algo moroso, que envolve a exploração de regularidades e, neste
caso, a semelhança de regularidades em duas sequências diferentes é fundamental para
desenvolver nos alunos a capacidade de generalização. Paralelamente, esta exploração
revela as regularidades de cunho multiplicativo que envolve as relações de proporciona-
lidade directa tendo em conta que do seu conhecimento depende a resolução com cor-
recção de inúmeros problemas do dia-a-dia, bem como o desenvolvimento do raciocínio
proporcional dos alunos.
Questão 5. A facilidade ou dificuldade dos alunos em responder a esta questão
depende do modo como exploraram a tabela e da sua capacidade de generalização.

de co
Mas
plo d
vido
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to, d
deve
de, tr
de di
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utiliz
ordem
5. Quant
A maiori
ontas azuis
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alunos, com
e questão, p
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ltiplicativa e
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em o 5.º col
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Não se deve
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r o número d
19
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e em perceb
zar uma estr
º ou 2.º an
rias ou dese
o raciocínio
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va. O profes
produzam r
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alida-
preen-
difícil
ero de

20
3.º e 4.º anos
Os quadrados (1.ª parte)
Observa a sequência:
1. Desenha a 4.ª figura da sequência e explica como pensaste:
2. Completa a tabela, tendo em conta que o lado do 1.º quadrado corresponde à unidade
de medida de comprimento:
Medida do lado do quadrado Perímetro do quadrado
3. Qual é o perímetro de um quadrado cujo lado são 20 unidades? Explica como pen-
saste.
4. Escreve uma frase que relacione a medida do lado de um quadrado qualquer com o
seu perímetro.
5. Determina a medida do lado de um quadrado que tem de perímetro 40. Explica como
pensaste.

21
3.º/4.º ano
Os quadrados (2.ª parte)
1. Completa a tabela, tendo em conta que a área do 1.º quadrado corresponde à unida-
de de medida de área:
Medida do lado do quadrado Área do quadrado
2. Escreve uma frase que relacione a medida do lado de um quadrado qualquer com a
sua área.
3. Qual é a área de um quadrado cujo lado são 9 unidades de medida? Explica como
pensaste.
4. Determina a medida do lado de um quadrado que tem de área 121. Explica como
pensaste.

22
Os quadrados (3.º e 4.º anos, 1.ª e 2ª parte) – Notas para o professor
O trabalho com sequências pictóricas envolve a exploração de regularidades e o
estabelecimento de generalizações, constituindo um contexto para explorar relações de
proporcionalidade directa. A tarefa “Os quadrados” envolve uma sequência pictórica em
que cada figura (quadrado) é constituída por um ou mais quadrados pequenos. A tarefa
tem duas partes, a primeira envolvendo a noção de perímetro e a segunda a noção de
área. Deste modo, ao estabelecer conexões com outros tópicos matemáticos, a tarefa
procura contribuir para uma gestão flexível do currículo.
O objectivo global da tarefa é evidenciar a relação proporcional que existe entre
o comprimento do lado do quadrado e o seu perímetro através do reconhecimento de
regularidades entre valores numéricos (co-variação do comprimento do lado e o períme-
tro; invariância da razão entre perímetro e o comprimento do lado que, neste caso, cor-
responde ao número de lados da figura). Paralelamente, pretende que os alunos com-
preendam que a relação entre o comprimento do lado do quadrado e a sua área não é de
proporcionalidade directa. As regularidades podem ser exploradas deixando os alunos
fazer generalizações envolvendo variáveis sem se usar o termo “proporcionalidade
directa”, por se tratar de alunos do 3º ou 4.º ano de escolaridade.
1.ª Parte
Pretende-se que os alunos: (i) explorem o perímetro das figuras, em particular, a
relação entre o comprimento do lado e o perímetro do quadrado; (ii) descrevam em lin-
guagem natural e simbolicamente uma regra ou função que permite determinar o perí-
metro de qualquer quadrado; e (iii) utilizem essa regra ou função para determinar o
comprimento do lado ou o perímetro de um outro quadrado qualquer.

23
Para realizar esta tarefa, os alunos devem ter alguma experiência de trabalho
com sequências e na descrição das suas regras de formação (em linguagem natural).
Devem ainda, conhecer as noções de perímetro e de área, podendo fazer-se uma peque-
na revisão dessas noções durante a introdução da tarefa. Após o trabalho autónomo dos
alunos, em pares ou em pequenos grupos, deve ser realizada uma discussão em grande
grupo, com foco nas relações numéricas, partindo das explorações dos alunos.
Questão 1. A primeira questão pede aos alunos que continuem a sequência de
crescimento e expliquem como pensaram:
1. Desenha a 4.ª figura da sequência e explica como pensaste.
Através da observação das figuras da sequência, espera-se que os alunos reco-
nheçam que todas as figuras são quadrados constituídos por quadrados mais pequenos
iguais ao quadrado da primeira figura. Espera-se também que os alunos reconheçam que
cada figura é obtida pelo acréscimo de uma unidade de medida de comprimento a cada
um dos lados da figura anterior. Os alunos podem seguir diferentes processos de cons-
trução, como o exemplo da figura seguinte:
Não sendo previsível que os alunos revelem dificuldade na construção da 4.ª
figura, é importante que o professor peça aos alunos para explicarem como pensaram. É
necessário assegurar rigor nos registos escritos dos alunos, fazendo a sua correcção de
modo a que estes traduzam efectivamente o modo como cada aluno pensou, uma vez
que, como se pode verificar no exemplo seguinte, os registos dos alunos são frequente-
mente incompletos, e precisam do feedback do professor.

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orige
ponív
de um
parec
horiz
medi
profe
O profes
ltam de falt
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Questão
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Me
A maior
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Registo
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24
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o lado do 1
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ade em pree
recolhendo
os que poss
tarefas. Com
ma parte da
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o corres-
ado
bela. Contu
e as suas es
e que
ia, na
o dis-
scimo
, mas
las na
olve a
udo, o
straté-

25
gias, de modo a enriquecer a discussão em grande grupo. Esta deve começar pela conta-
gem mais elementar (muitos alunos ainda fazem contagens unidade a unidade), passan-
do pelas estratégias aditivas até às estratégias multiplicativas, evidenciando o refina-
mento das estratégias. De salientar que, por vezes, os alunos utilizam folhas de rascunho
onde registam as suas estratégias e colocam apenas os valores numéricos na tabela. Por
outro lado, a identificação da regra geral de formação depende da capacidade do aluno
em encontrar relações entre os valores numéricos.
Estratégia de contagem elementar: unidade a unidade
Estratégia aditiva
Estratégia multiplicativa
Se os alunos utilizarem a estratégia de contagem unidade a unidade, sem identi-
ficar regularidades, podem sentir a necessidade de desenhar o 5.º quadrado da sequência
para concluir o preenchimento da tabela.
Observar e compreender a natureza das estratégias dos alunos é fundamental
para conhecer o seu desenvolvimento matemático. Nesta situação, em particular por se

26
tratar de uma relação de proporcionalidade directa, o professor deve explorar com os
alunos as relações multiplicativas dentro e entre variáveis.
Relação proporcional: co-variação das variáveis
Relação proporcional: co-variação das variáveis
Relação proporcional: invariância entre variáveis

27
Relação proporcional: invariância entre variáveis
Quando os alunos investigam as relações entre números põem em evidência
regularidades numéricas que facilitam o enunciar de uma regra geral de formação (gene-
ralização).
Questão 3. Nesta questão pede-se o perímetro de uma figura distante:
3. Qual é o perímetro de um quadrado cujo lado são 20 unidades? Explica
como pensaste.
Se os alunos estiverem familiarizados com o uso da tabela e utilizarem as rela-
ções numéricas que reconhecem nesta situação, é possível que respondam utilizando as
relações entre e dentro das variáveis. Caso contrário, o professor deve evidenciar tais
relações, ajudando os alunos a encontrar o factor de mudança (estratégia funcional,
entre variáveis) e o factor escalar (estratégia escalar, dentro das variáveis):
Nestes anos de escolaridade, os alunos tendem a optar por uma estratégia aditiva
ou multiplicativa em vez de usar uma estratégia pictórica.

pens
contr
e con
va, d
No e
à rela
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resol
ção d
Tal como
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Os aluno
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dada no enu
Estratégia a
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unciado:
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28
ão sucessiva
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como
ssário
lado,
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metro.
ponde
utili-
de de
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a me
do qu
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Neste ca
edida do lad
Questão
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4. Escre
qualqu
Espera-s
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atégia multip
Erro
aso, o aluno
do através de
4. Nesta q
m o seu per
ve uma fras
uer com o s
se que, par
és da tabela
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Respo
Resposta c
frequente: u
assume o v
e uma estrat
questão pede
ímetro.
se que relac
seu perímetr
a responde
a, embora p
sta correcta b
correcta base
29
utilização inc
valor 20 com
tégia pictór
e-se aos alu
ione a medi
ro.
er, os aluno
possam ter s
baseada num
eada numa e
correcta dos d
mo a medid
ica.
unos para r
ida do lado
os utilizem
seguido um
ma estratégia
stratégia mu
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da do perím
elacionar a
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a relação
ma estratégia
aditiva
ltiplicativa
metro e deter
medida do
drado
entre variá
a aditiva ou
rmina
o lado
áveis,
u uma

anter
5.
pode
entre
explo
te, po
porci
cussã
do la
Questão
riores, os alu
Determina
como pen
Neste ca
em dividir o
e variáveis –
orada pelo p
Outra est
ois o aluno
ionalidade d
Esta estr
ão em gran
ado e períme
5. Na últim
unos utilize
a a medida
nsaste.
aso, para e
o valor do p
– que caso
professor. E
tratégia mu
o considera
directa:
ratégia deve
nde grupo, m
etro:
ma questão
em novamen
do lado de u
encontrar o
perímetro p
não seja ap
Eis um exem
ultiplicativa
a relação d
e ser explora
mostrando q
30
pretende-se
nte a relação
um quadrad
comprime
por 4 (núme
presentado
mplo de uma
pode ser ut
de co-variaç
ada através
que existe u
e que, à sem
o entre vari
do que tem d
ento do lad
ero de lados
como estra
a estratégia
tilizada com
ção que cara
do recurso
uma co-var
melhança da
áveis explo
de perímetr
do do quad
s) – utilizan
atégia pelos
multiplicati
mo mostra a
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a uma tabe
riação das v
as duas que
rada na tabe
ro 40. Expli
drado, os a
ndo uma re
alunos dev
iva:
resposta se
relações de
la, durante
variáveis m
estões
ela.
ca
alunos
elação
ve ser
eguin-
e pro-
a dis-
medida

exem
facili
trar o
de re
dos d
rou i
2.ª P
ção e
natur
quer
lado
É prováv
mplo seguin
itada por o v
Na respo
o número qu
À semelh
esolução de
dados do pr
ncorrectam
E
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Pretende
entre o com
ral e simbol
quadrado;
ou a área d
vel que os
nte mostra o
valor numé
osta seguint
ue multiplic
hança da qu
problemas,
roblema. Co
mente o valor
Erro frequent
e-se que os
mprimento d
licamente, u
e (iii) utiliz
e um outro
alunos apre
o uso de um
rico ser um
te o aluno u
cado por 4 d
uestão 3, um
, por parte d
omo se pod
r 40 como s
te: interpreta
alunos: (i) e
do lado e a
uma regra o
zem essa re
quadrado q
31
esentem ou
ma estratégi
m número pe
usa uma est
dá 40:
m erro que p
dos alunos,
de verificar
sendo a med
ação incorrec
explorem a
área do qu
ou função q
egra ou funç
qualquer.
utras estraté
ia aditiva, e
equeno e mú
tratégia mu
pode surgir
que se refle
na resposta
dida do lado
cta dos dados
área das fi
uadrado; (ii)
que permite
ção para de
égias menos
envolvendo
últiplo de 10
ultiplicativa
deve-se à f
ecte na utili
a seguinte, o
o do quadra
s do problem
guras, em p
) descrevam
e determinar
terminar o
s sofisticad
tentativa e
0:
tentando en
frágil capac
ização incor
o aluno con
do:
ma.
particular, a
m, em lingu
r a área de
comprimen
as. O
erro,
ncon-
cidade
rrecta
nside-
a rela-
uagem
qual-
nto do

32
Questão 1. Na primeira questão, é pedido o preenchimento de uma tabela para
relacionar o comprimento do lado de um quadrado com a sua área:
1. Completa a tabela, tendo em conta que a área do 1.º quadrado corres-
ponde à unidade de medida de área:
Medida do lado do quadrado Área do quadrado
Como na sequência pictórica apresentada no início da tarefa só existem 3 qua-
drados desenhados, o aluno deve arranjar uma estratégia para determinar a área dos
quadrados com 4 e 5 unidades de medida de comprimento.
Considerando que a primeira parte da tarefa foi corrigida antes de os alunos rea-
lizarem esta parte da tarefa, não devem repetir-se erros de interpretação ou de utilização
parcial dos dados.
Mais uma vez, o professor deve acompanhar o modo como os alunos determina-
ram a área dos quadrados e se investigaram regularidades na sequência tendo em consi-
deração as sugestões apresentadas para a primeira parte da tarefa.
Por exemplo, os alunos podem perceber que a área dos quadrados é igual ao
produto do número de coluna pelo número de linhas:

33
Os alunos que revelem dificuldades em utilizar estruturas multiplicativas podem
utilizar uma estratégia aditiva. O professor pode então mostrar a complexidade do cál-
culo quando se utiliza esta estratégia em quadrados grandes (por exemplo, 173 linhas).
Por outro lado, durante a discussão em grande grupo e caso nenhum aluno o faça
por comparação com a relação entre o comprimento do lado do quadrado e o perímetro,
deve o professor evidenciar que não existe uma relação de co-variação entre as variáveis
nem uma relação de invariância entre as variáveis (não se tratando portanto de uma
relação de proporcionalidade directa)1
.
A literatura sobre o desenvolvimento do raciocínio proporcional refere que os
alunos têm tendência para assumir que todas as relações são proporcionais utilizando,
de forma errónea, estratégias multiplicativas proporcionais em situações em que estas
não são aplicáveis. É também importante que os alunos reconheçam a importância de
explorar regularidades e de compreender o seu significado no contexto da tarefa.
Questão 2. A segunda questão pretende que os alunos comuniquem em lingua-
gem natural a(s) regularidade(s) que encontraram aquando do preenchimento da tabela
apresentada na primeira questão:
2. Escreve uma frase que relacione a medida do lado de um quadrado
qualquer com a sua área.

1
Na verdade não temos aqui uma função linear (do tipo y=mx, em que m0), mas sim a função quadráti-
ca y=x2
.

escri
como
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deter
quad
área
utiliz
even
De um m
ita à medid
o se pode ve
Questão
tificada na
rminar a áre
3. Qual
Explic
Os aluno
drado e justi
Questão
é 121 unida
zam uma es
ntualmente p
modo geral,
da que o pr
erificar na r
3. Para res
questão 1,
ea de um qu
é a área de
ca como pe
os tendem a
ificar este pr
4. Nesta qu
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, os alunos
rofessor vai
resposta seg
sponder a e
traduzida e
uadrado cuja
um quadra
nsaste.
a utilizar a
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a. Como est
emelhante à
um valor de
34
revelam te
i valorizand
guinte:
esta questão
em linguag
a medida do
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regularidad
o atendendo
dido o comp
te alunos sã
à usada na
e referência
endência pa
do a clarez
o, o aluno d
gem natural
o comprime
o são 9 unid
de numérica
o à generali
primento do
ão do 1.º cic
questão an
a. É o que ve
ra melhorar
a e rigor d
deve utiliza
l escrita na
nto do lado
dades de me
a para deter
zação dessa
o lado de um
clo e não con
nterior, por
emos na res
r a comunic
das resposta
ar a regular
questão 2,
o é 9.
edida?
rminar a ár
a regularida
m quadrado
nhecem rad
tentativa e
sposta segui
cação
as, tal
ridade
, para
ea do
ade:
o cuja
dicais,
erro,
inte:

tro e
e inte
do qu
regul
parte
ção d
prim
área.
difer
comu
blem
por i
Caso os
área podem
E
Na respo
erpreta inco
uadrado):
O trabalh
laridades nu
es, os aluno
de mais do q
mento do lad
Por outro l
rente nature
uns nas acç
mas escolare
sso, têm de
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m surgir resp
Erro frequen
osta seguint
orrectament
Erro freque
ho com seq
uméricas e
s podem co
que uma rel
do e perímet
lado, esta ta
eza, nem to
ções do nos
es. Antes de
compreend
ntinuem com
postas incor
nte: não dist
te o aluno p
e os dados d
ente: não dist
quências per
fazer gener
ompreender
lação entre
tro e na seg
arefa permit
odas sendo
sso quotidia
e efectuar c
der a relação
35
m dificuldad
rrectas com
tingue as no
arece não d
do problem
tingue as noç
rmite desen
ralizações.
que a mesm
variáveis –
gunda parte
te evidencia
o de propor
ano e, por is
cálculos e co
o entre variá
des em disti
mo as seguint
oções de per
distinguir as
ma (consider
ções de perím
nvolver nos
Com esta t
ma sequênc
– na primeir
a relação en
ar que as rel
rcionalidade
sso, frequen
omeçar a re
áveis.
inguir as no
tes:
rímetro e áre
s noções de
ra 121 como
metro e área
alunos o há
tarefa, subd
cia pode env
a parte a re
ntre compri
lações entre
e directa, a
ntes nos co
esolver que
oções de pe
ea
perímetro e
o medida do
ábito de exp
dividida em
volver a exp
lação entre
imento do l
e variáveis s
apesar de s
ontextos dos
estões, os al
eríme-
e área
o lado
plorar
m duas
plora-
com-
lado e
são de
serem
s pro-
lunos,

36
5.º/6.º anos
A magia da tabela
1. Observa a tabela abaixo. Investiga as regularidades existentes e explica as tuas des-
cobertas.
2. Vamos verificar se a tabela é mesmo mágica. Para isso vamos usá-la na resolução de
diversos problemas. Em todos eles, usa a tabela para responder e explica como pen-
saste.
2.1. O mealheiro do Tiago está vazio e ele começou hoje a colocar 3€, diariamente.
Quanto dinheiro terá o mealheiro no sétimo dia?
2.2. Todos os dias, o Tiago coloca 3€ no seu mealheiro e o Miguel coloca 5€ no
seu mealheiro. Quando o Tiago tiver 21 €, quanto terá o Miguel no seu mea-
lheiro?
2.3. A Joana usou exactamente 15 latas de tinta para pintar 18 cadeiras. Quantas
cadeiras se podem pintar com 20 latas de tinta?
2.4. Dois bilhetes de autocarro de Lisboa para Santarém custam 16€. Quanto cus-
tam 7 bilhetes?
2.5. Quinze alunos pintaram 35m2
da parede do ginásio da escola. Sabendo que
cada aluno pinta a mesma área, quantos metros quadrados de parede serão pin-
tados no mesmo tempo por uma turma de 27 alunos?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

37
A magia da tabela (5.º/6.º anos) – Notas para o Professor
Ao longo da escolaridade, os alunos devem desenvolver hábitos de pensamento
associados ao trabalho flexível com números e à exploração e identificação de regulari-
dades. “A magia da tabela1
” é uma tarefa que pretende continuar a desenvolver hábitos
de pensamento relativos ao trabalho com números e operações, bem como levar os alu-
nos a utilizar os seus conhecimentos deste tópico na resolução de problemas do dia-a-
dia envolvendo relações de proporcionalidade directa. Pretende-se, ainda, que os alunos
compreendam os conceitos de razão e proporção, interpretando experiências reais e as
suas representações simbólicas. Pode acontecer que os alunos reconheçam que a tabela
apresentada é a da multiplicação, uma vez que esta é estudada no 1.º ciclo, embora mui-
to provavelmente num formato diferente.
O trabalho em sala de aula pode ser desenvolvido em pares ou em grupos, per-
mitindo aos alunos trocar ideias e esclarecer dúvidas entre si. Caso os alunos revelem
alguma resistência em utilizar a tabela na resolução das questões 2.1, 2.2 e 2.4, dada a
sua simplicidade, preferindo utilizar estratégias aditivas ou multiplicativas, o professor
deve incentivar o uso da tabela para validar as respostas.
Questão 1. Com a primeira questão pretende-se que os alunos investiguem regu-
laridades numa tabela numérica 10x10.
1. Observa a tabela abaixo. Investiga as regularidades existentes e explica
as tuas descobertas.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

da en
obtid
to, é
núme
vária
refer
cussã
tas. I
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38
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número im
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tria (diagon
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mplo, na lin
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investigação
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te à sua esqu
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tra a respos
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as suas desc
oblemas apr
epeti-
reita é
entan-
os dos
tificar
r, que
itos).
a dis-
cober-
resen-

39
O professor deve ajudar os alunos a identificar outras regularidades caso estas
não surjam naturalmente em respostas como esta: “Os números da coluna 6 são o triplo
dos números da coluna 2. E os da coluna 2 são a terça parte dos da coluna 6”.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
O professor pode também sugerir a análise de regularidades em partes mais
pequenas da tabela.

Co-variação dentro das colunas
Invariância entre colunas
Identidade fundamental das proporções
1x4 = 2x2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

são f
multi
ment
ções
multi
valor
za um
Muitos d
facilmente r
iplicativas.
to é importa
Questão
2.1. O me
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Após ide
numéricas
Var
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iplicativa:
É prováv
r numérico
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resolvidos q
Assim, tod
ante.
2. A questã
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ão 2.1. apre
Tiago está v
o dinheiro te
as variávei
e responder
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aduzido na
alunos regis
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ativa:
40
o colocados
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esenta uma s
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contece no e
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dedicado a
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Dada a i
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2.2. Todo
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os os dias, o
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41
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as variáveis
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21 €, quan
unos podem
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multiplicativa
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m responder
ficado a lara
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lunos,
e ser
as e a
natu-
rapi-
anja)

42
Uma possível resposta é a seguinte que representa uma estratégia multiplicativa
associada à tabela:
Os alunos também podem optar por utilizar as linhas associadas às variáveis
dinheiro como se pode ver na resposta seguinte que traduz outra estratégia associada à
tabela:
O problema seguinte difere dos anteriores por envolver números ligeiramente
maiores e apresentar uma relação não unitária (a razão de 15:18):
2.3. A Joana usou exactamente 15 latas de tinta para pintar 18 cadeiras.
Quantas cadeiras pode pintar com 20 latas de tinta?
Os alunos têm de identificar, na tabela, um terno que envolva os valores numéri-
cos do problema:
Variáveis (latas de tinta, identificado a rosa; cadeiras, identificado a azul)
À medida que os alunos vão reconhecendo as regularidades indicam, na sua res-
posta escrita, o modo como encontraram a resposta ao problema. Eis um exemplo de
uma estratégia multiplicativa:

prop
24”.
sivam
va, m
numé
e ele
segui
uma
proce
entre
O profes
orções, asso
Nas resp
mente a tabe
2.4. Dois
Quant
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estratégia
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ir que os alu
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multiplica
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estão 2.4 os
de escrever
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ocando etiq
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ativa, utiliz
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43
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A questã
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2.5.Q
S
d
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Nas resp
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Alguns a
isposição ho
a exploraç
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ão 2.5. tamb
m linguagem
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Sabendo qu
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m natural en
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44
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o, o profess
ticular, a ef
entes e uma
s são aprese
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estratégias
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(tabela):
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das quantid
entadas na f
da escola.
metros qua-
uma turma
multiplica
problema.
o entre vari
nalisar
e cada
dades
forma
ativas,
iáveis

45
O trabalho com foco na investigação e exploração de relações multiplicativas é
fundamental para que o aluno compreenda as relações proporcionais, desenvolva
flexibilidade na utilização dos seus conhecimentos (tabuada, múltiplos, divisores, razão
unitária), estabeleça conexões entre esses conhecimentos e os utilize na resolução de
situações problemáticas.

1. A
1.
1.
1.
A tabela rep
1. És capa
proporc
gens? A
2. Comple
3. Será po
embala
Número de
embalagen
5
10
15
20
presenta a re
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cionalidade
Apresenta d
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ossível deter
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e
s
Nú
de
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na relação
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úmero
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20
40
60
80
46
As pilhas
e o número
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entre o núm
ções diferent
o os dados d
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esposta.
s
de embalag
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mero de pilh
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a o teu racio
na tabela.
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5.º/6.º
mero de pilh
minar se ex
mero de emb
ocínio.
as que há em
º anos
has.
xiste
ala-
m 25

47
As pilhas (5.º/6.º anos) – Notas do Professor
Muitos problemas apresentados aos alunos envolvem contextos realistas e rela-
ções de proporcionalidade directa. Contudo, e apesar de muitos alunos conseguirem
desenvolver raciocínios proporcionais baseados no seu conhecimento intuitivo, nem
sempre revelam compreender o conceito de proporcionalidade directa. Considerando
que, para a faixa etária dos alunos do 2.º ciclo, descrever um exemplo evidenciando as
regularidades de co-variação dentro das variáveis e a invariância entre variáveis consti-
tui uma explicação aceitável, esta tarefa é um exemplo do que o aluno deve compreen-
der sobre uma relação de proporcionalidade directa. Com esta tarefa pretende-se, por
um lado, que os alunos aprofundem o seu conhecimento sobre as relações de proporcio-
nalidade directa, continuando o desenvolvimento de hábitos de pensamento na procura
de regularidades e do seu significado. Por outro lado, pretende-se que, gradualmente,
aprendam a utilizar, flexivelmente, diferentes representações (tabela, gráfico).
Questão 1. Os alunos cuja experiência matemática não inclua tarefas de explora-
ção podem revelar alguma dificuldade em compreender a primeira questão, pois é pedi-
do que averigúem se existe proporcionalidade directa na relação entre o número de
pilhas e o número de embalagens.
1.1. És capaz de utilizar a informação existente na tabela para determinar se exis-
te proporcionalidade na relação entre o número de pilhas e o número de
embalagens? Apresenta duas resoluções diferentes e explica o teu raciocínio.
Para responder a esta questão, espera-se que os alunos investiguem as relações
de invariância entre variáveis, também conhecida por relação funcional, como mostram
as seguintes respostas, com representações menos ou mais elaboradas. No exemplo
abaixo, o aluno utiliza uma estratégia funcional sem ter mostrado como determinou a
constante:

aluno
const
duas
lagen
difer
de pi
quoc
lagem
igual
Uma estr
o tenha util
tante”, para
constantes
Os aluno
ns, indicand
rente confor
ilhas e o nú
ciente entre
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No exem
ldade entre
ratégia mai
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rme a estrut
úmero de em
o número d
pilha.
mplo seguin
razões sem
s elaborada
ão unitária
r a relação
ionalidade 4
m o quocient
ordo com a
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mbalagens, o
de pilhas e o
te outro alu
recorrer à c
48
a é a do exem
(4 pilhas:1
de proporc
4 e 0,25:
te entre o n
a estrutura d
da. Assim, a
obtêm-se 4
o número d
uno resolve
constante de
mplo seguin
embalagem
cionalidade
número de p
da tabela. O
ao efectuar
pilhas por e
e embalage
o mesmo p
e proporcio
nte em que
m) que desig
. Este alun
pilhas e o n
O significad
o quociente
embalagem
ens, obtém-s
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nalidade:
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gna por “nú
no identifico
número de e
do da consta
e entre o nú
, se se efect
se 0,25 da e
tabelecendo
que o
úmero
ou as
emba-
ante é
úmero
tuar o
emba-
o uma

tamb
fesso
ção m
ciona
tabel
toma
Outro tip
bém conheci
Alguns a
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Tendo em
multiplicativ
ais.
Na quest
la num gráf
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po de estraté
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tão 1.2. pre
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são sobre a m
égias envolv
tratégias esc
em utilizar
ão, no senti
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tégias aditiv
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tos. Uma di
marcação d
49
ve as relaçõ
calares, com
também es
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to de propor
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ões de co-va
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s dois eixos
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nte exemplo
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s.
tro das variá
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vas.
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Alguns
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A questã
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rcionalidade
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ssível determ
alagens? Jus
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tal como m
familiariza
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pós a resolu
de se conseg
e directa. D
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minar, atrav
stifica a tua
preendem e
mostra a res
ados com es
áfico está au
m estratégias
50
rcarem os p
re a curiosid
ução da tare
guir, através
Deve solicita
o exemplos.
matemática
vés do gráfic
resposta.
e que utiliza
sposta à que
ste tipo de t
usente:
s multiplicat
pontos, des
dade da dis
efa, o profes
s da análise
ar aos aluno
a do aluno.
co, o númer
am exclusiv
estão 1.2. C
tarefa, algun
tivas sem re
senham intu
posição dos
ssor deve q
do gráfico,
os que argum
ro de pilhas
vamente o g
Contudo, dad
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eferência ao
uitivamente
s pontos. N
questionar o
, verificar a
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que há em
gráfico marc
do que os a
a aplicar es
o gráfico:
e uma
a dis-
s alu-
exis-
xplici-
cam o
alunos
straté-

51
Esta tarefa pode ser aplicada antes da leccionação formal da unidade de propor-
cionalidade directa, usualmente feita no 6.º ano, de modo a explorar estes conceitos de
forma informal. A tarefa tem ainda a potencialidade de os alunos utilizarem duas repre-
sentações com os mesmos dados. E o professor, durante a discussão em grupo alargado,
pode questionar os alunos sobre como podem ser traduzidas num gráfico as regularida-
des numéricas que envolvem relações proporcionais.

52
5º/6.º ano
Existe proporcionalidade directa?
1. Indica se cada frase é verdadeira ou falsa e explica o raciocínio que utilizaste, em
cada caso, para responderes:
1.1.Se uma rapariga chega à escola em 10 minutos, duas raparigas levam 20 minutos.
1.2. Se uma caixa de cereais custa 2,80€ duas caixas custam 5,60€.
1.3. Se um rapaz faz um modelo de carro em 2 horas, pode fazer 3 modelos iguais
em 6 horas.
1.4. Se o Hugo pinta o muro em 2 dias, o Hugo, o Tomás e um terceiro colega pin-
tam o mesmo muro em 6 dias.
2. Existe uma relação de proporcionalidade entre o número de pessoas e a quantidade
de água consumida durante a refeição? Apresenta o teu raciocínio.
Número de
pessoas
Quantidade de água
consumida à refeição (litros)
3 5
4 6
5 7
6 8
7 9

53
Comprimento de
um insecto (cm)
Nº de semanas
3. Existe uma relação de proporcionalidade entre as grandezas A e B? Apresenta o teu
raciocínio.
Grandeza A 3 4 5 6 7
Grandeza B 2,25 3 3,75 4,5 5,25
4. Existe uma relação de proporcionalidade entre o número de semanas e o compri-
mento de um insecto nas primeiras 6 semanas de vida?

54
Existe proporcionalidade directa? (5º/6.º ano) – Notas para o professor
O desenvolvimento do raciocínio proporcional envolve a capacidade de distin-
guir situações em que existe proporcionalidade directa de outras situações onde tal rela-
ção não existe. As respostas dos alunos revelam que eles têm significativas dificuldades
neste ponto, registando-se uma forte tendência para usarem estratégias proporcionais em
situações que não envolvem proporcionalidade directa. O facto de os alunos reconhece-
rem em situações do quotidiano a relação de proporcionalidade directa não é suficiente
para compreenderem a relação multiplicativa que lhes é inerente. Por outro lado, o
reconhecimento das relações de co-variação e de invariância também não deve ser con-
siderado como condição para identificar uma relação de proporcionalidade directa, sen-
do fundamental uma análise da situação problemática em causa. Com esta tarefa preten-
de-se que os alunos analisem os dados numéricos e o contexto dos problemas apresen-
tados em diferentes representações e identifiquem as relações de proporcionalidade
directa. É uma tarefa bastante enriquecedora pois permite a mobilização do conheci-
mento intuitivo dos alunos que pode ser desenvolvida em 90 minutos, 45 minutos para o
trabalho autónomo dos alunos e 45 minutos para discussão colectiva na turma.
Questão 1. A questão 1.1. apresenta uma situação problemática em que não exis-
te uma relação de proporcionalidade directa pois as variáveis – número de amigos e
tempo – não dependem uma da outra. Contudo, se o contexto não for considerado pelos
alunos, isto é, se considerarem apenas o registo numérico podem afirmar, erradamente,
que existe proporcionalidade directa.
1. Indica se cada frase é verdadeira ou falsa e explica o raciocínio que utilizas-
te, em cada caso, para responderes:
1.1.Se uma rapariga chega à escola em 10 minutos, duas raparigas levam 20
minutos.
As respostas mostram que alguns alunos mobilizam o seu conhecimento intuiti-
vo para responder correctamente à questão, enquanto outros alunos revelam uma forte
tendência para considerar a existência de proporcionalidade directa:

Res
prop
uma
justif
gias
porci
sposta incorr
A questã
orcional ao
1. Indica
utiliza
1.2. S
Embora
tendência
ficar a respo
Perante
multiplicati
A questã
ionalidade d
1. Indica
utiliza
1.3. S
mo
recta que con
ão 1.2. apre
número de
a se cada f
aste, em cad
e uma caixa
os alunos
para utiliza
osta, como s
esta situaçã
ivas.
ão 1.3. tamb
directa entre
a se cada f
aste, em cad
e um rapaz
odelos igua
nsidera, erra
cionalidade
esenta um c
embalagen
frase é verd
da caso, par
a de cereais
reconheçam
ar uma estr
se pode ver
ão, o profes
bém envolv
e o tempo g
frase é verd
da caso, par
z faz um m
ais em 6 hor
55
adamente, a
e directa ent
contexto sim
ns de cereais
dadeira ou f
ra responder
custa 2,80€
m a relação
ratégia aditi
rificar na res
ssor deve fo
ve um conte
gasto para co
dadeira ou f
ra responder
modelo de c
ras.
a existência
tre variáveis
mples em q
s.
falsa e exp
res:
€ duas caixa
o de propo
iva (estraté
sposta segui
ocar os alun
exto simple
onstruir um
falsa e exp
res:
carro em 2
de uma rela
s
que o preço
plica o racio
as custam 5
rcionalidad
égia não pro
inte:
nos na utiliz
es com uma
m modelo e o
plica o racio
2 horas, pod
ação de prop
o é directam
ocínio que
,60€.
de directa, e
oporcional)
zação de es
a relação de
o tempo.
ocínio que
de fazer 3
por-
mente
existe
) para
straté-
e pro-

56
O professor deve estimular os alunos a utilizar, de forma flexível, diferentes
estratégias e representações. Nos dois exemplos seguintes os alunos utilizam a mesma
representação (tabela) e estratégias multiplicativas diferentes.
Neste caso o aluno usa uma estratégia escalar de factor 3:
O exemplo seguinte mostra uma estratégia funcional (factor 2):
Quando os alunos já aprenderam a noção de constante de proporcionalidade esta
deve ser mobilizada para as respostas:
A questão 1.4. envolve uma situação em que as variáveis apresentam uma rela-
ção de proporcionalidade inversa:
1. Indica se cada frase é verdadeira ou falsa e explica o raciocínio que utili-
zaste, em cada caso, para responderes:
1.4 Se o Hugo pinta o muro em 2 dias, o Hugo, o Tomás e um terceiro
colega pintam o mesmo muro em 6 dias.
Os alunos respondem correctamente quando mobilizam o seu conhecimento
intuitivo, não sendo previsível que reconheçam a relação de proporcionalidade directa.

57
Alguns alunos tendem a considerar esta relação como sendo de proporcionalida-
de directa, como se pode verificar na resposta seguinte e respondem incorrectamente:
Resposta incorrecta
Durante o trabalho em grupo e no período destinado à discussão colectiva na
sala de aula, sempre que se detectar a dificuldade de compreensão da situação, o profes-
sor deve estimular o confronto das ideias dos alunos de modo a que as falsas concep-
ções sejam abandonadas.
Questão 2. Esta questão é diferente das anteriores porque envolve um maior
volume de dados e também pela uma representação diferente.
2. Existe uma relação de proporcionalidade entre o número de pessoas e a
quantidade de água consumida durante a refeição? Apresenta o teu
raciocínio.
Número de
pessoas
Quantidade de água
consumida à refeição (litros)
3 5
4 6
5 7
6 8
7 9

58
Pretende-se que os alunos apliquem o seu conhecimento sobre as regularidades
numéricas que envolvem as relações de proporcionalidade directa. Tendo em conta que
nos dados não se apresenta e relação unitária (razão unitária) entre a água consumida
por uma pessoa ou o número de pessoas que consomem um litro de água, é provável
que os alunos utilizem a estratégia que envolve a relação entre variáveis.
Como o aluno não encontra um quociente invariante, conclui correctamente que
não existe proporcionalidade directa.
Os alunos que já tenham aprendido a identidade fundamental das proporções
podem optar pela representação da razão (pessoas:água(l)).
Neste caso, o aluno coloca incorrectamente o sinal igual entre as razões mas
depois mostra que as razões não são iguais porque não se verifica a propriedade funda-
mental das proporções. Esta resposta mostra que os alunos apresentam representações
incongruentes que importa esclarecer.
Questão 3. As questões 2 e 3 diferem da 1 na medida em que os dados são apre-
sentados em tabelas. Na questão 3 a tabela é horizontal, ao contrário da tabela da ques-
tão 2, que é vertical, mas o objectivo é o mesmo, isto é, pretende-se que os alunos apli-
quem o seu conhecimento sobre as regularidades numéricas que envolvem as relações
de proporcionalidade directa. A questão 3 apresenta um contexto abstracto que pode
constituir alguma dificuldade para os alunos.

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60
No entanto, os alunos revelam uma forte tendência para, através da observação
do gráfico, responderem que existe uma relação de proporcionalidade directa porque o
tempo e o tamanho do insecto variam no mesmo sentido após a eclosão deste.
Exemplo de uma resposta incorrecta
É provável que alguns alunos, pouco à vontade na representação gráfica, conver-
tam os dados noutra representação. No entanto, isso não é facilitado pela tabela cons-
truída, precisamente para focar os alunos na observação do gráfico e não na conversão
dos dados entre representações.
Note-se, ainda, que alguns alunos desta faixa etária tendem a assumir como váli-
das apenas respostas onde apresentam registos numéricos e cálculos. No entanto, os que
revelam um conhecimento robusto sobre a relação de proporcionalidade directa podem
justificar a sua inexistência através da desigualdade entre as razões, por exemplo,
0/33/4.

61
5º/6.º ano
Aluguer de bicicletas
O Pedro e a Margarida foram passear ao Parque das Nações e decidiram alugar bicicle-
tas. O Pedro escolheu a empresa Ciclotour e a Margarida a YBike, cujas tabelas de pre-
ços são as seguintes:
1. Em alguma das empresas o preço a pagar é directamente proporcional ao tempo de
utilização da bicicleta? Explica o teu raciocínio.
2. Nalguma das empresas é possível prever o preço a pagar pelo aluguer da bicicleta,
durante 120 minutos? Justifica a tua resposta.
Ciclotour
Tempo (minutos) Preço (euros)
30 3
45 4,5
60 6
90 9
YBike
Tempo (minutos) Preço (euros)
20 1,5
40 4
60 6,5
90 10

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65
questão e que para responder não é necessário realizar qualquer cálculo. Por outro lado,
devem compreender que as respostas a várias questões associadas a uma determinada
situação problemática não devem ser vistas isoladamente umas das outras.

66
5º/6.º ano
Escalas 1
1. Observa o objecto que tens na mesa e, com o auxílio da régua, regista as suas medi-
das _____________
2. Observa o panfleto e procura a imagem do objecto que tens na mesa e, usando de
novo a régua, regista as suas medidas _______________.
3. Com as informações anteriores completa a tabela:
Medida do panfleto
Medida real
Escala
4. Determina a escala que foi utilizada no panfleto.

67
Escalas 1 (5º/6.º ano) – Notas para o Professor
Ao longo do 1.º ciclo, os alunos realizam várias tarefas em que realizam medi-
ções utilizando unidades de medida convencionais, resolvem problemas envolvendo
grandezas e medidas e envolvendo raciocínio proporcional. A presente tarefa, relativa a
escalas, pretende continuar este tipo de trabalho, desenvolvendo nos alunos a capacida-
de de utilizar proporções para modelar situações e fazer previsões e resolver problemas
envolvendo situações de proporcionalidade directa, através da determinação e utilização
da escala de um desenho. Na sua realização, espera-se que os alunos recorram ao seu
conhecimento sobre razões e proporções.
Com esta tarefa pretende-se que os alunos utilizem objectos reais e do seu dia-a-
dia de uma forma interessante do ponto de vista matemático. Através da observação e
da análise de um folheto de supermercado espera-se que mobilizem o seu saber de modo
a verificarem se as imagens dos panfletos se encontram à escala relativamente ao tama-
nho real dos objectos representados. Esta tarefa deve ser realizada pelos alunos em 45
minutos, seguida de 45 minutos para a discussão colectiva do trabalho e das conclusões
de cada grupo.
Antes da resolução da tarefa o professor deve discutir com os alunos o conceito
de escala (procurando identificar as definições dos alunos, construindo assim um con-
ceito mais claro e explícito). Recorde-se que, muitas vezes, os alunos abordam este tema
também em Estudo do Meio (no 1.º ciclo) e na disciplina de História e Geografia de
Portugal (2.º ciclo).
Para a realização da tarefa, o professor deve levar os objectos e os panfletos
apropriados. Os objectos podem ser diferentes de grupo para grupo ou podem ser iguais,
mas em qualquer dos casos convém colocar mais do que um objecto em cada grupo.
Assim, cada grupo deve ter em cima da mesa os respectivos objectos, o panfleto e o
guião da tarefa permitindo que os alunos comecem desde logo a trabalhar. Após algum
tempo de análise dos objectos pelos grupos, deve promover-se um debate colectivo rela-
tivamente às medidas que interessam para a realização da tarefa e ao modo de efectuar
as medições. É importante que se combine que se deve medir a altura e o comprimento
de cada objecto, registando os valores na respectiva folha de registo.
Deve chamar-se a atenção que os objectos a procurar nos panfletos devem ser
iguais aos que estão em cima da mesa e que é necessário efectuar as medições em cada
imagem seguindo as mesmas regras da medição dos objectos, registando os respectivos

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69
Questões 3 e 4. Com estas questões, os alunos organizam a informação recolhida
na tabela apresentada e calculam a escala da representação do produto indicado no pan-
fleto. Para tal, os alunos podem utilizar estratégias variadas, nomeadamente, recorrendo
a processos funcionais ou escalares. Usando processos funcionais, os alunos verificam a
relação multiplicativa existente entre o comprimento do produto no panfleto e a sua
altura e depois verificam se a relação é a mesma nos objectos reais. Usando processos
escalares, os alunos identificam a relação multiplicativa existente entre o comprimento
do produto no panfleto e o seu comprimento real e verificam se esta relação se mantém
para as alturas do produto no panfleto e na realidade.
Por vezes, e por se tratar da repetição do mesmo tipo de raciocínio, os alunos
podem recorrer a procedimentos como a propriedade fundamental das proporções ou a
regra de três simples. Em todos os casos, procuram o valor unitário, ou seja, procuram
verificar quanto de altura corresponde a 1cm de comprimento ou vice-versa. Por fim,
retiram as conclusões relativas a cada situação. Verifica-se que nem sempre os objectos
se encontram à escala quando desenhados no panfleto, devendo-se discutir com os alu-
nos por que razão tal pode acontecer.

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74
Escalas 2 (5º/6.º ano) – Notas para o Professor
Com esta tarefa pretende-se que os alunos observem um painel e verifiquem se
as imagens/fotografias que o representam se encontram à escala. É uma tarefa que per-
mite aos alunos aplicar os seus conhecimentos relativos à proporcionalidade directa
numa situação do seu dia-a-dia, relativa a um painel localizado na escola.
Para a realização desta tarefa pressupõe-se que os alunos tenham desenvolvido,
ao longo do 1.º ciclo, as capacidades de realizar medições recorrendo a unidades de
medida convencionais, de resolver problemas envolvendo grandezas e medidas e de
resolver problemas envolvendo raciocínio proporcional. Deve reservar-se, pelo menos,
30 minutos para os alunos realizarem a tarefa e 30 minutos para a apresentação dos
resultados e discussão colectiva.
As questões colocadas visam desenvolver nos alunos as capacidades de utilizar
proporções para modelar situações e fazer previsões, determinar e utilizar a escala de
um desenho, resolver problemas envolvendo escalas, usando razões e proporções, e
resolver e formular problemas envolvendo situações de proporcionalidade directa.
Questão 1. Para a realização desta questão, os alunos devem efectuar, antecipa-
damente as devidas medições no painel. Após a entrega do guião da tarefa, cada grupo
deve medir cada uma das imagens/fotografias dadas e verificar qual delas se encontra à
escala. Podem surgir dúvidas nos alunos relativas ao que se entende por limites do pai-
nel nas imagens/fotografias. Para o evitar, pode proceder-se antecipadamente a uma
análise das imagens de modo a esclarecer essa questão.
No momento de discussão, o professor deve proporcionar a cada grupo de alu-
nos oportunidade para explicar como efectuou as medições do painel e o porquê de exis-
tirem valores diferenciados. Assim, deve ter-se em atenção que, apesar dos cálculos
efectuados serem correctos, podem existir respostas erradas relativamente à selecção da
imagem, visto terem subjacentes medições incorrectas. Durante as apresentações dos
grupos o professor deve procurar que os alunos explicitem as suas escolhas, procurando
que desenvolvam a sua capacidade de argumentação.
Questão 2. Com esta questão os alunos podem organizar os dados relativos às
diferentes imagens e ao painel real de diferentes formas, nomeadamente, organizando
uma tabela ou fazendo os cálculos isoladamente para cada imagem. Com a informação

75
recolhida os alunos devem verificar a relação numérica entre os dados relativos a cada
imagem. Para isso, podem utilizar estratégias variadas, tais como processos funcionais
ou escalares. Com a utilização de processos funcionais, verificam a relação multiplicati-
va existente entre o painel em cada imagem e na realidade. Podem utilizar uma tabela
comum em que rapidamente verificam que a razão entre o comprimento e a altura do
painel é a mesma na imagem 1 e na realidade e, por isso, só esta imagem está desenhada
à escala.
Com a utilização de processos escalares, os alunos identificam a relação multi-
plicativa existente entre as dimensões de cada imagem e do painel e verificam se esta
relação se mantém para as alturas do painel nas imagens e na realidade:
Os alunos também podem apresentar estratégias como a propriedade fundamen-
tal das proporções:

76

Os alunos percebem qual a imagem que está à escala porque, ao efectuarem os
cálculos para cada uma das medidas, o resultado é o mesmo. No entanto, por vezes, têm
dificuldade em expressar o seu raciocínio, utilizando justificações pouco estruturadas e
precisas, como no caso seguinte:

77
No momento da discussão, é importante realçar que ampliar e reduzir implica
não deformar a imagem, ou seja, os alunos devem ser levados a perceber o cariz multi-
plicativo (e não aditivo) da relação proporcional.

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