Geometrianociclodealfabetizacao

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Geometrianociclodealfabetizacao

  1. 1. ISSN 1982 - 0283 GEOMETRIA NO CICLO DE ALFABETIZAÇÃO Ano XXIV - Boletim 7 - SETEMBRO 2014
  2. 2. Geometria no ciclo de alfabetização SUMÁRIO Apresentação........................................................................................................................... 3 Rosa Helena Mendonça Introdução............................................................................................................................... 4 Nelson Antonio Pirola Texto 1: Objetivos do ensino de Geometria no processo de alfabetização .............................. 9 Mônica Mandarino Texto 2: Práticas de ensino de Geometria: algumas experiências com o desenvolvimento da movimentação e da localização de pessoas/objetos no mundo físico ...................................16 Nelson Antonio Pirola Texto 3: Figuras planas e espaciais: como trabalhar com elas nos anos iniciais do Ensino Fundamental? .......................................................................................................................23 Odalea Aparecida Viana
  3. 3. 3 Geometria no ciclo de alfabetização Apresentação A publicação Salto para o Futuro comple- menta as edições televisivas do programa de mesmo nome da TV Escola (MEC). Este aspecto não significa, no entanto, uma sim- ples dependência entre as duas versões. Ao contrário, os leitores e os telespectadores – professores e gestores da Educação Bási- ca, em sua maioria, além de estudantes de cursos de formação de professores, de Fa- culdades de Pedagogia e de diferentes licen- ciaturas – poderão perceber que existe uma interlocução entre textos e programas, pre- servadas as especificidades dessas formas distintas de apresentar e debater temáticas variadas no campo da educação. Na página eletrônica do programa, encontrarão ainda outras funcionalidades que compõem uma rede de conhecimentos e significados que se efetiva nos diversos usos desses recursos nas escolas e nas instituições de formação. Os textos que integram cada edição temática, além de constituírem material de pesquisa e estudo para professores, servem também de base para a produção dos programas. A edição 7 de 2014 traz o tema Geometria no ciclo de alfabetização, e conta com a consultoria de Nelson Antonio Pirola, Pro- fessor Adjunto do Departamento de Edu- cação da UNESP (Bauru) e Consultor desta Edição Temática. Os textos que integram essa publicação são: 1. Objetivos do ensino de Geometria no pro- cesso de alfabetização 2. Práticas de ensino de Geometria: algumas experiências com o desenvolvimento da mo- vimentação e da localização de pessoas/obje- tos no mundo físico 3. Figuras planas e espaciais: como traba- lhar com elas nos anos iniciais do Ensino Fundamental? Boa leitura! Rosa Helena Mendonça1 1 Supervisora Pedagógica do programa Salto para o Futuro (TV Escola/MEC).
  4. 4. 4 O Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa (PNAIC) faz parte de uma ação do Governo Federal, com adesão de estados e municípios, em prol da formação continuada de professores alfabetizadores nas áreas de Língua Portuguesa e Matemá- tica. O PNAIC foi lançado em novembro de 2012 e as ações preveem cursos oferecidos por universidades, cujo material pedagógi- co é disponibilizado pelo Ministério da Edu- cação. Além disso, é previsto um sistema de avaliação para o acompanhamento da aprendizagem dos alunos. O objetivo maior do Pacto é que todas as crianças brasileiras estejam alfabetizadas em Língua Portugue- sa e em Matemática até o terceiro ano do Ensino Fundamental. Em 2013, teve início o PNAIC de Língua Portuguesa e a previsão é que o de Matemática se inicie em 2014. Para subsidiar as ações do PNAIC, fo- ram elaborados os Elementos Conceituais e Metodológicos para Definição dos Direitos e Objetivos de Aprendizagem e Desenvolvi- mento do Ciclo de Alfabetização das crian- ças brasileiras.2 Na área da Matemática, esse docu- mento traz, de maneira geral, o entendimen- to sobre o que é alfabetização matemática: A alfabetização matemática é o pro- cesso de organização dos saberes que a criança traz de suas vivências anterio- res ao ingresso no Ciclo de Alfabetiza- ção, de forma a levá-la a construir um corpo de conhecimentos matemáticos articulados, que potencializem sua atu- ação na vida cidadã. Esse é um longo processo que deverá, posteriormente, permitir ao sujeito utilizar as ideias ma- temáticas para compreender o mundo no qual vive e instrumentalizá-lo para resolver as situações desafiadoras que encontrará em sua vida na sociedade. (BRASIL, 2012, P. 60). Introdução Ensino e aprendizagem da Geometria no contexto da alfabetização matemática Nelson Antonio Pirola1 1 Professor Adjunto do Departamento de Educação da UNESP/Bauru e Consultor desta Edição Temática. Email: npirola@uol.com.br 2 Disponível em http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&task=doc_ download&gid=12827&Itemid=.
  5. 5. 5 A alfabetização não se limita somente ao campo dos números, mas também se es- tende aos campos da Geometria, das grande- zas e medidas e do tratamento da informação. Um dos eixos estruturantes a ser trabalhado no PNAIC é o de Espaço e For- ma/Geometria. No ciclo de alfabetização, as crianças deverão: 1- Construir noções de localização e movi- mentação no espaço físico para a orienta- ção espacial em diferentes situações do co- tidiano. Por meio de brincadeiras, registros orais e escritos, construção de maquetes, trabalho com mapas e croquis, entre ou- tras atividades, as habilidades de orientação espacial podem ser desenvolvidas. Noções como direita, esquerda, para cima, para bai- xo, ao lado de, bem como as noções topológi- cas como dentro, fora e fronteira podem ser trabalhadas em conexão com outras discipli- nas, como a Educação Física e a Geografia. 2- Reconhecer formas bidimensionais e tridimensionais. O trabalho com as figuras geométricas planas e espaciais possibilita às crianças o desenvolvimento da percepção geométrica que, segundo Sternberg (2000), se refere a um conjunto de processos psico- lógicos pelos quais as pessoas reconhecem, organizam, sintetizam e dão significado às sensações e estímulos recebidos pelos ór- gãos dos sentidos. Essa percepção geométri- ca pode ser desenvolvida por meio de várias ações, como as de: a) montar e desmontar embalagens para observar a planificação; b) contornar as faces do sólido geométrico em um papel, com uma caneta, para observar as figuras planas que formam aquele sólido; c) compor e decompor figuras planas e es- paciais utilizando sucatas e quebra-cabeças ; d) ampliar e reduzir figuras em um papel quadriculado; d) explorar simetrias em dife- rentes contextos; e) desenhar vistas de obje- tos tendo como referência diferentes pers- pectivas, entre muitas outras. No ciclo de alfabetização, é de fun- damental importância que o professor alfa- betizador saiba ouvir os relatos das crianças, suas hipóteses, seus argumentos e o que estão pensando sobre uma determinada si- tuação. A experimentação nas aulas de Ge- ometria é um recurso que pode levar os alu- nos à construção de conceitos e princípios (relações entre conceitos) e à resolução de problemas. Materiais simples, como emba- lagens, sucatas e etc., podem se transformar em recursos interessantes para a aprendiza- gem da Geometria. A visita a sites de mu- seus, como o Museu de Arte de São Paulo – MASP –( http://masp.art.br/masp2010/) pode despertar a curiosidade sobre a vida e a obra de determinados artistas, bem como sobre os recursos geométricos utilizados na com- posição de suas pinturas. Há escolas que desenvolvem proje- tos interessantes, como o projeto “recrian- do obras de arte” que consiste em estudar um artista, sua vida e obra. Depois, os alu-
  6. 6. 6 nos, em um trabalho interdisciplinar en- volvendo Arte e Geometria, recriam a obra de acordo com o seu olhar. Trabalhos fan- tásticos são produzidos!!! O PROGRAMA Para tratar do tema gerador “Ensi- no e aprendizagem de Geometria no con- texto da alfabetização matemática” foi elaborado um programa que se divide em três blocos que não são disjuntos, mas complementares, e que fornecem escopo para o entendimento sobre a amplitude do trabalho com a Geometria nessa etapa da escolaridade que envolve os três primeiros anos do Ensino Fundamental. O primeiro bloco intitula-se “Objeti- vos do ensino de Geometria na alfabetiza- ção”. A ideia é mostrar os diferentes con- textos em que podemos explorar conceitos e propriedades geométricas, como a nature- za, arquitetura e obras de arte. Pretende-se mostrar a importância da Geometria para diferentes profissões, como a de engenhei- ro, biólogo, matemático, etc. A entrevista com especialistas na área da Educação Matemática visa elucidar o porquê, o como e o quando trabalhar com a Geometria no ciclo de alfabetização. Ao apresentar escola(s) em que o ensino de Geometria se processa de forma diferen- ciada, temos como objetivo mostrar que é possível, utilizando diferentes tipos de re- cursos didáticos, motivar a aprendizagem das crianças, levando-as a construir concei- tos de forma significativa e interdisciplinar. O segundo bloco, denominado “Lo- calização e Movimentação” pretende abor- dar um dos eixos do ensino da Geometria no ciclo de alfabetização, que é a localiza- ção e a movimentação de pessoas e objetos no mundo físico. Situações cotidianas, como inter- pretar uma placa de trânsito, entender a informação do GPS para se localizar, ou solicitar uma informação de outra pessoa para se chegar a um determinado local, são exemplos de como é importante o de- senvolvimento de habilidades geométricas, como a lateralidade, para a movimentação e a localização. A entrevista com especialistas na área da Educação Matemática procura discutir como trabalhar os conceitos de localização e movimentação com crianças de 6 a 8 anos. As conexões com a Educação Física e com a Geografia são exemplos de como es- sas disciplinas podem interagir com o ensi- no de Geometria. O terceiro bloco, denominado “For- mas’, procura explorar as diferentes formas geométricas, como as obras de arte, as pin- turas e as esculturas; as construções, como
  7. 7. 7 igrejas, prédios, monumentos; e as mani- festações artísticas produzidas por diferen- tes culturas, como cestarias e bordados, que utilizam vários elementos geométricos, como formas, simetrias, regularidades, pa- drões, curvas, perspectivas, profundidade, entre outras. No contexto da sala de aula, o pro- fessor pode utilizar esses recursos para ensi- nar as características (atributos) das figuras e suas principais propriedades. A simetria é um importante conceito geométrico que está presente em várias obras de arte. Por exemplo, no quadro de Alfredo Volpi, pode- mos estudar as formas geométricas (ban- deirinhas), as regularidades e as simetrias. Além disso, é um importante instrumento para que os alunos façam conexões da Ge- ometria com as Artes e conheçam as princi- pais obras de importantes artistas. Para subsidiar as reflexões sobre o ensino e a aprendizagem da Geometria no ciclo de alfabetização, foram elaborados três textos que dão embasamentos teóricos e metodológicos para a compreensão dos três blocos do Programa. TEXTO 1 O texto intitulado Objetivos do en- sino de Geometria no processo de alfabe- tização, de Mônica Mandarino, parte de uma questão instigante: “Por que ensinar Geometria nos anos iniciais do Ensino Fun- damental?” A autora faz uma discussão que envolve aspectos históricos e conexões da Geometria com diferentes manifestações artísticas e culturais. Destaca os dois eixos do ensino da Geometria no ciclo de alfabe- tização, que são: a visualização e o pensa- mento geométrico, bem como a localiza- ção e a orientação. É destacada a importância dos re- gistros orais e escritos das experiências vi- vidas pelas crianças quando trabalham de forma coletiva ou individualmente. O texto em tela é importante para o entendimento da importância que o conhe- cimento geométrico tem para a resolução de diversas situações que são geometriza- das, como as que envolvem a orientação espacial e a percepção geométrica. TEXTO 2 O texto de Nelson Antonio Pirola, in- titulado Práticas de ensino de Geometria: algumas experiências com o desenvolvi- mento da movimentação e da localização de pessoas/objetos no mundo físico, faz uma discussão mais aprofundada sobre um dos eixos do ensino da Geometria no ciclo de alfabetização, que diz respeito à orientação espacial, discussão essa iniciada no Texto 1, que enfoca os objetivos do ensino da Geo- metria. Nesse texto, o autor destaca a im-
  8. 8. 8 portância da exploração de diversos espaços para o desenvolvimento dessa habilidade. O Centro de Treinamento de Trânsito, o pátio da escola e a sala de aula são alguns dos am- bientes em que o trabalho com a movimen- tação e a localização pode ser desenvolvido de forma lúdica, constituindo-se em um ele- mento motivador para a aprendizagem. O texto traz depoimentos de uma especialista em Educação Física que mos- tra algumas interações possíveis da Edu- cação Física com a Geometria. Além disso, traz também o depoimento de uma profes- sora alfabetizadora que interage o trabalho com figuras geométricas espaciais com o de movimentação e localização, por meio da construção de uma maquete. Ainda des- taca o GPS como elemento importante, utilizado muito nos dias de hoje, para loca- lização e movimentação. TEXTO 3 Outro eixo do ensino da Geometria no ciclo de alfabetização é destacado no texto de Odalea Aparecida Viana, que aborda as Fi- guras planas e espaciais: como trabalhar com elas nos anos iniciais do Ensino Fundamental? A autora destaca a teoria de Van Hie- le discutindo e ilustrando os cinco níveis do desenvolvimento do pensamento geomé- trico proposto por esse autor. A seguir, são apresentadas algumas atividades com o ob- jetivo de levar os alunos do primeiro ciclo do Ensino Fundamental à construção de alguns conceitos geométricos. Algumas dessas ati- vidades podem ser desenvolvidas desde o ci- clo de alfabetização. São apresentadas atividades que en- volvem: a) identificação de semelhanças en- tre figuras planas, b) composição e decom- posição de figuras; c) antecipação de escolha de faces para formar poliedros; e d) desen- volvimento do vocabulário geométrico. Espera-se que o programa, subsidiado pelos textos, possa contribuir com o debate acerca da importância do ensino articulado da Geometria no ciclo de alfabetização com outros áreas do conhecimento e com práti- cas de ensino motivadoras da aprendizagem. REFERÊNCIAS BRASIL. Ministério da Educação. Di- reitos de Aprendizagem. 2013. Dispo- nível em < http://portal.mec.gov.br/ index.php?option=com_docman&task=doc_ download&gid=12827&Itemid=> Acesso em 17/02/2014. STERNBERG, R. Psicologia cognitiva. Trad. Maria Regina Borges Osório. Porto Alegre: ArtMed, 2000, 494 p.
  9. 9. 9 Ao pensar nos objetivos do ensino de Geometria, em especial na fase de alfabe- tização, surge uma questão mais geral: Por que ensinar Geometria nos anos iniciais do Ensino Fundamental? Primeiramente, a Geometria está constantemente presente em nosso dia a dia. Tal afirmação traz implícita uma visão de Geometria diferente daquela que valori- za apenas a apresentação formal de regras, classificações e nomenclaturas. Para nós, a Geometria se faz presente desde os pri- meiros meses de vida de uma criança, no aprendizado dos movimentos e no reconhe- cimento do espaço em seu redor. Com o de- senvolvimento motor e cognitivo posterior, as crianças começam a desenvolver compe- tências geométricas cada vez mais comple- xas, por exemplo, para: realizar e descrever deslocamentos; reconhecer e descrever uma localização; caracterizar e classificar objetos do mundo físico. Assim, um dos objetivos do ensino de Geometria é a sistematização des- ses conhecimentos. Em segundo lugar, nossa reflexão precisa levar em conta a importância histó- rica da Geometria desde as primeiras fases do desenvolvimento do saber matemático. As grandes civilizações antigas – chinesa, hindu, mesopotâmica, egípcia –, a partir da necessidade prática para resolver problemas cotidianos, desenvolveram conhecimentos geométricos, muitas vezes bastante elabora- dos e formais. Sabiam construir figuras pla- nas e espaciais, conheciam relações entre as grandezas geométricas, calculavam com- primentos, áreas e volumes, conhecimentos que atendiam a necessidades socioeconômi- cas e culturais de cada época e lugar. Dentre elas, a civilização grega dos séculos 7 a.C. a 3 a.C. é a mais reconhecida, por ter sido responsável pela organização da Geometria como ciência lógica e dedutiva. texto 1 Objetivos do ensino de Geometria no processo de alfabetização Mônica Cerbella Freire Mandarino1 1 Docente do Programa de Mestrado em Educação da Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro (UNIRIO) e professora colaboradora do Programa de Mestrado em Ensino de Matemática da UFRJ. mmandarino@globo.com
  10. 10. 10 Nessa concepção, é preciso consi- derar que, ao iniciar o processo de alfabe- tização, as crianças trazem consigo noções geométricas informais, construídas em sua vivência cotidiana. Como enfatiza Fonseca et al. (2001), os estu- dantes já exploram o espaço e detêm al- gum conhecimento sobre o mesmo. Co- nhecimentos cons- truídos por meio de suas brincadeiras e da própria constru- ção de brinquedos, de passeios realizados e também quando auxiliam seus fami- liares em alguma atividade. As experiências prévias precisam servir como elementos de referência para o professor organizar ativi- dades que contribuam para, aos poucos, dar significação aos conceitos matemáticos. É importante salientar que partir dos conhecimentos que as crianças pos- suem não significa restringir-se a eles, pois é papel da escola ampliar esse universo de conhecimentos e dar con- dições a elas de estabelecerem víncu- los entre o que conhecem e os novos conteúdos que vão construir, possibili- tando uma aprendizagem significativa (BRASIL, 1997, p.45). As coisas que as crianças observam, bem como as referências (estar distante de, estar próximo de, por exemplo) e as relações (como tem a mesma forma que, é maior do que) que conseguem estabelecer, devem ser objetos de reflexão associados às atividades matemá- ticas escolares. Segundo os PCNs dos anos ini- ciais do Ensino Fun- damental, os obje- tivos do ensino de Geometria no primei- ro ciclo são dois: • Estabelecer pontos de referência para situar-se, posicionar-se e deslocar-se no espaço, bem como para identi- ficar relações de posição entre objetos no es- paço; interpretar e fornecer instruções, usan- do terminologia adequada. • Perceber semelhanças e diferenças entre objetos no espaço, identificando formas tridi- mensionais ou bidimensionais, em situações que envolvam descrições orais, construções e representações. (BRASIL, 1997, p.47) Na docência, quando refletimos so- bre “para quê ensino algo” é preciso ir além da dimensão utilitária como a resolução de problemas da vida cotidiana. Como afirmam Fonseca et al (2001), o estudo da Geometria “ (...) As experiências prévias precisam servir como elementos de referência para o professor organizar atividades que contribuam para, aos poucos, dar significação aos conceitos matemáticos.”
  11. 11. 11 é importante também como meio de facili- tar as percepções espaciais dos estudantes, contribuindo para uma melhor apreciação das construções e dos trabalhos artísticos, tanto dos seres humanos quanto da nature- za. A Geometria está presente em diversas manifestações culturais e artísticas: arte- sanatos, tecelagens, tapeçarias, esculturas, construções e objetos do cotidiano. Na arte dos indígenas brasileiros, por exemplo, a Ge- ometria se manifesta de forma marcante. Fonte: http://meninasemarte.wordpress.com/tag/arte-indigena/ As ilustrações acima mostram o uso de padrões geométricos. Tais padrões, tanto os criados pelas pessoas quanto os da natu- reza, se caracterizam pelo uso de simetrias, do paralelismo e de polígonos regulares, en- tre outros elementos geométricos. Uma das riquezas de nossa cultura são os artistas po- pulares e podemos tirar proveito disso para explorar e sistematizar conceitos geométri- cos de forma prazerosa. O desenho, a arqui- tetura e a escultura também fornecem óti- mos elementos para o ensino de Geometria. É importante chamar a atenção das crianças para características geométricas presentes em obras de arte e em construções, como as que destacamos a seguir. Obra de Mondrian Fonte: http://cealdecote.wordpress.com/2007/12/ Projeto de Oscar Niemayer MAC (Museu de Arte Contemporânea), Niterói, RJ.
  12. 12. 12 Nossa proposta de abordagem da Geometria Neste texto buscamos destacar a im- portância de uma abordagem que integre conhecimentos prévios, desenvolvidos na e pela interação social com o mundo físico, com conhecimentos mais formais, da ma- temática historicamente construída. Nela são muito bem vindos os inúmeros jogos ou atividades com materiais concretos que po- dem ser experimentados na escola. Os jogos que envolvem movimento e localização das crianças, a montagem de modelos concre- tos de figuras geométricas com canudos de refrigerantes, com garrafas pet ou com su- cata, e muitas outras atividades desse tipo podem enriquecer o ensino. Destacamos especialmente as atividades de desenho. Desde os rabiscos espontâneos, até os desenhos com o auxílio de instrumen- tos simples e adequados à faixa etária, existe um vasto repertório de atividades escolares que auxiliam a criança a representar os obje- tos ao seu redor e a compreender as proprie- dades geométricas das figuras desenhadas ou reproduzidas em imagens gráficas. Também são fundamentais as con- versas e debates. Qualquer nomenclatura se desenvolve e ganha significado apenas se tivermos necessidade de usá-la. As crianças pequenas, muitas vezes, usam termos liga- dos à localização de forma equivocada ou não conseguem descrever com clareza um caminho a percorrer, por exemplo. É conver- sando com os alunos que podemos desco- brir como usam termos e pontos de referên- cia e ajudá-los a aperfeiçoarem estes usos e a ampliarem o vocabulário. Cabe destacar que atividades de localização e movimenta- ção não fazem muito sentido se reproduzi- das em papel, no livro ou em folhas de exer- cício. Estar perto, longe, em cima, em baixo, atrás, na frente, entre, etc., só faz sentido concretamente, a partir de um referencial estabelecido com clareza. Visualização e pensamento geo- métrico Sabemos que as percepções prove- nientes dos movimentos e dos sentidos, em especial do tato e da visão, cumprem uma função fundamental na constituição de nos- so pensamento geométrico. A visão nos ajuda a captar e interpre- tar as informações provenientes do mundo que nos cerca, bem como a constituir ima- gens mentais baseadas nessas informações. Por exemplo, ao olharmos uma bola de futebol, criamos a imagem mental de um objeto com propriedades apropriadas para realizar movimentos muito variados e que a torna propícia àquele esporte. É na escola que podemos ajudar os alunos a fazerem a imagem mental do objeto geométrico asso- ciado à bola – uma superfície esférica – que
  13. 13. 13 é uma abstração, definido como a região do espaço na qual todos os pontos são equi- distantes de um mesmo ponto, o centro da esfera. Num sentido que se pode dizer inverso, a visualização é outra capacidade geométrica importante. Estas capacidades estão sempre pre- sentes em atividades de representação grá- fica de objetos tridimensionais por meio de desenhos. Reproduzir um objeto tridimen- sional por meio de desenho é uma ativida- de bastante complexa, já que o desenho é bidimensional e é preciso fazer escolhas do que representar e do que abandonar de in- formação, tentando garantir que o desenho “leve seu leitor” ao objeto representado. O uso de capacidades como as descritas aqui evidenciam que a Geometria favorece o de- senvolvimento de um pensamento crítico e autônomo nos alunos (PAVANELLO, 1993). Como diz Freudenthal (1973) [...] as formas no espaço são um guia insubstituível para a pesquisa e a descoberta (p. 407). Para nós, no estudo da Geometria, é preciso investir na compreensão das repre- sentações de figuras espaciais por meio de desenhos em uma folha de papel. Estas re- presentações, que Parzysz (1988) chama de diagramas, incluem não apenas as represen- tações de figuras geométricas simples, mas também a representação esquemática de objetos concretos. Uma das dificuldades em Geometria é que nem sempre a compreen- são da criança de um diagrama coincide com a desejada pelo professor. Pesquisas apon- tam para o fato de que as diferenças entre a interpretação desses objetos se constitui em um dos principais obstáculos no estudo da Geometria (PARZYSZ, 1988; ARSAC, 1989; LABORDE & CAPPONI, 1994). Localização e orientação Os movimentos da criança, a explo- ração do espaço e as interações propiciadas pelas diversas formas de linguagem caracte- rizam a fase inicial, espontânea, da aquisição das competências geométricas. Essas primei- ras aquisições permitem à criança localizar objetos, observar os seus deslocamentos e situar-se no seu entorno físico. A noção de referencial é básica em todas as atividades que envolvem localização e movimento. Reconhecer se um objeto ou uma pessoa está longe ou perto, em cima ou embaixo, à direita ou à esquerda, requer que se estabeleça sempre outro objeto ou pessoa como referência: longe ou perto da casa de Maria; em cima ou embaixo da mesa; à direi- ta ou à esquerda de Pedro. Como ocorre com muitas noções básicas, o referencial é tão enraizado nas atividades que envolvem a lo- calização e o movimento, que ele acaba por ficar implícito em nossas falas. Nesses casos, sempre cabe ao interlocutor, dependendo do contexto, tornar claro qual o referencial to- mado numa determinada situação.
  14. 14. 14 Apesar de, na linguagem cotidiana, ser comum a ausência de explicitação do referencial, o professor deve ser muito cau- teloso nesse aspecto, já que a omissão do referencial, em atividades propostas em li- vros didáticos, por exemplo, pode torná-las enigmáticas ou mesmo inexequíveis. Atividades de representações gráfi- cas como croquis, plantas baixas, mapas e construção de maquetes, também são im- portantes no ensino escolar, pois levam a criança a adquirir competências mais elabo- radas de localização de objetos e de observa- ção de deslocamentos. A maioria dos livros didáticos traz propostas para que a criança trace percur- so em mapas ou em malhas quadriculadas. No entanto, muitas vezes, o “mapa” apre- sentado contém erros de representação da realidade que podem ser aceitáveis se pro- duzidos pelas crianças, mas que não deve- riam estar presentes nos livros. Um proble- ma frequente é confundir quem está sendo tomado como referência: o personagem na ilustração ou o leitor do livro. Atividades envolvendo malhas quadri- culadas e o plano cartesiano para localização de pontos ou de regiões são muito importan- tes. Desde os primeiros anos de escolaridade é possível brincar com quadriculados simples para que a criança localize algo a partir da descrição do professor de sua localização e vice-versa. A descrição oral de percursos, como o trajeto entre a sala de aula e outro ponto da escola, são fundamentais para de- senvolver competências de localização. O professor pode, depois de ir com sua turma de um ponto a outro da própria escola, pro- por atividade de elaboração de um texto co- letivo que registre o percurso, com pontos de referência, como se fosse o registro para que outras pessoas pudessem percorrer o mesmo trajeto. Atividades deste tipo devem ser pro- postas com ampliação do trajeto, individuali- zação dos deslocamentos e uso das rotas des- critas por uns e por outros alunos de modo a verificarem sua eficácia. Finalizamos este texto enfatizando dois aspectos primordiais em nossa propos- ta: o desenho e o registro oral ou escrito em linguagem materna das experiências viven- ciadas no coletivo ou individualmente.
  15. 15. 15 REFERÊNCIAS ARSAC, G. La Construction du Concept de Figure chez les Élèves de 12 Ans. In Proceedings of the thirteenth conference of the International Group for Psychology of Mathematics Education, pp. 85-92, Paris, PME, 1989. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curricula- res Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997. 142p. ______. Secretaria de Educação Básica. Espaço e Forma. Ledur, Berenice Schwan et al. Brasília: MEC. Secretaria de Educação Básica. Universidade do Vale do Rio dos Sinos. 2006. 23p. (Cole- ção: PRÓ-LETRAMENTO. Fascículo 03). CARVALHO, J.B.P.F. (org.). Matemática: Ensino Fundamental. Brasília: Ministério da Educação, Secretaria de Educação Básica, 2010. 248 p. (Coleção Explorando o Ensino; v. 17). Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=16903&Item id=1139. Acessado em 07/10/2013. FONSECA, M. C. et al. O ensino de Geometria na escola fundamental: três questões para a for- mação de professor dos ciclos iniciais. Belo Horizonte: Autêntica, 2001. FREUDENTHAL, Hans. Mathemathics as an educational task. Dordrecht: Reidel, 1973. LABORDE, C. & CAPPONI, B. Cabri-géomètre Constituant d’un Milieu pour l’Apprentissage de la Notion de Figure Géométrique. Recherches en Didactique des Mathématiques vol.14, n°1.2, 1994, p.165-210. PARZYSZ, B. Knowing vs Seeing, Problems for the Plane Representation of Space Geometry Fi- gures. Educational Studies in Mathematics, n°19.1, 1988, pp 79-92. PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino de Geometria no Brasil: causas e conseqüências. Zetetiké, n1, 1993. P. 7-17.
  16. 16. 16 Este texto tem como principal ob- jetivo apresentar algumas experiências de práticas de ensino de Geometria no ciclo de alfabetização (três primeiros anos do Ensino Fundamental) no que diz respeito ao desen- volvimento de habilidades relacionadas à movimentação e localização2 . Algumas pesquisas, como as de Piro- la (1995), mostram que, embora os currículos oficiais preconizem o ensino de Geometria em todas as etapas da Educação Básica, o que se percebe, na sala de aula, é a predominância de práticas de ensino de conteúdos de Geo- metria alicerçadas em memorização de no- mes de figuras e propriedades geométricas, sem conexões com outras áreas da Matemá- tica e outros campos do saber. Como salienta uma professora do 3º ano do Ensino Funda- mental, quando questionada sobre como era o ensino de Geometria na época em que ainda era aluna da Educação Básica, a Geometria, tradicionalmente, sempre era deixada para o final do ano letivo: Geralmente o professor ensinava Geometria no fim do ano, era um dos últimos conteúdos. O tempo para tra- balhar esse conteúdo era mínimo; os professores não davam muita impor- tância, era somente um conteúdo a mais. Os recursos utilizados para ex- plicação desse conteúdo eram: cader- no, lousa, giz e réplicas de sólidos que podíamos manusear, mas sem muita contextualização, era somente para reconhecimento da figura. Dessa forma, o ensino de Geometria quase sempre esteve pautado na visualização de formas e no reconhecimento de proprie- dades geométricas. O desenvolvimento de outras habilidades geométricas, tais como aquelas relacionadas à movimentação e lo- calização, de orientação espacial e de per- cepção geométrica, parecem sempre ter sido pouco exploradas no ensino de Geometria. texto 2 Práticas de ensino de Geometria: algumas ex- periências com o desenvolvimento da movi- mentação e localização de pessoas/objetos no mundo físico Nelson Antonio Pirola1 1 Professor Adjunto do Departamento de Educação da UNESP/Bauru e Consultor desta Edição Temática. Email: npirola@uol.com.br 2 Neste texto a movimentação e a localização se referem sempre às pessoas e objetos no espaço físico.
  17. 17. 17 O ensino de Geometria pode ser mais atrativo se o professor incorporar em suas práticas de ensino atividades lúdicas e desafiadoras. Entre outras abordagens, o professor alfabetizador poderá utilizar di- ferentes espaços para explorar conceitos e propriedades geométricas relacionadas à movimentação e à localização. A visita a um Centro de Treinamento de Trânsito, que desenvolve projetos na área de Educação para o Trânsito, poderá forne- cer elementos para se trabalhar a movimen- tação de pessoas e veículos, utilizando como recursos as placas de trânsito e o semáforo, por exemplo. Nesse caso, as crianças po- derão compreender quando devem parar, quando podem atravessar a rua, qual a faixa de ciclista e também conhecer o significado das placas espalhadas pela cidade. A quadra de esportes e o pátio da es- cola são ambientes em que o professor alfa- betizador poderá desenvolver atividades de Educação Física com interações com a Geo- metria. Os jogos esportivos, como o vôlei e o futebol, e as brincadeiras, como o “pega-pe- ga”, são elementos importantes e motiva- dores para se trabalhar, entre tantas outras coisas, com a movimentação e a localização das pessoas. A seguir, destacamos um depoimento de uma especialista que mostra algumas inte- rações entre a Geometria e Educação Física. A relação interdisciplinar na Educa- ção Física, na infância e no ciclo de alfabe- tização, na escola, é muito positiva, pois, ao tratar com o movimento dos corpos, se desenvolvem noções que envolvem experi- ências lógico-matemáticas e as estruturas cognitivas que pouco a pouco se modificam conforme haja aprendizagens significati- vas, ou seja, interessantes e apropriadas para cada aluno, de acordo com sua cultura e fase de desenvolvimento. Trabalhar com deslocamentos no es- paço, tal como na Geometria (andar, correr, saltar, equilibrar, etc.), se deslo- car de frente, de costas, de lado, numa brincadeira de “pega–pega”, por exem- plo, dá à criança possibilidades de ex- perimentar seu corpo e os outros cor- pos, entendendo o que está em cima, embaixo, ao seu lado, e de que lado. Es- tas são noções que se relacionam com o mundo natural e com a Geometria, uma vez que essa parte da Matemática também se preocupa, desde a Educa- ção Infantil, com o desenvolvimento da lateralidade e do reconhecimento da importância de se estabelecerem pon- tos de referência para localizar uma pessoa ou objeto no espaço. Profª Drª Luciene Ferreira da Silva3 3 Departamento de Educação – UNESP -Bauru
  18. 18. 18 Dessa forma, realizando atividades lú- dicas, construindo brinquedos e trabalhando em grupos, é possível desenvolver habilida- des geométricas, explorando a lateralidade, a orientação espacial e a percepção geométrica, componentes impor- tantes do pensamento geométrico. As habilidades de movimentação de um objeto também po- dem ser exploradas por meio da brincadeira do “passa-passa” (PIRO- LA, 2006). Essa brinca- deira consiste em dis- por os alunos em fila e entregar ao primeiro um objeto (uma bola, por exemplo). Vários comandos podem ser dados: Por exemplo, o professor pode solicitar a um aluno que passe o objeto por cima de sua cabeça para quem está atrás dele. A seguir, esse aluno deverá se colocar como o último da fila. Outros espaços podem ser explora- dos pelo professor no processo de ensino da Geometria. Por exemplo, em uma visita a um zoológico, ou museu, os mapas e as sinalizações com setas podem ser explora- das para localizar um determinado animal ou uma obra de arte. A sala de aula também se constitui em um rico espaço des- tinado à exploração de atividades de ensino de Geometria. A professora Alessan- dra Vitali trabalha com uma turma do 3º Ano do Ensino Fundamental da EMEB Prefeito Prof. José Mendesano, da ci- dade de Registro, São Paulo. Ela relata uma experiência interessan- te em relação ao traba- lho com a Geometria. Utilizando embalagens variadas trazidas pelos alunos, a turma montou um mercadinho. Ini- cialmente foi feita uma classificação dos pro- dutos: produtos de limpeza, alimentação etc. Posteriormente, as embalagens foram classi- ficadas em corpos redondos e poliédricos. Desde o 1º bimestre exploro a Geometria com meus alunos, oralmente e com ativi- dades pertinentes. Utilizo a interdiscipli- naridade sempre que possível para explo- rar, tanto oralmente quanto no registro, sobre o tema. Os alunos gostam bastante “ (...) realizando atividades lúdicas, construindo brinquedos e trabalhando em grupos, é possível desenvolver habilidades geométricas, explorando a lateralidade, a orientação espacial e a percepção geométrica, componentes importantes do pensamento geométrico.”
  19. 19. 19 da comparação das formas geométricas com os objetos que fazem parte do dia-a- -dia, seja na escola, no trajeto ou em casa. A maioria compreendeu bem a diferen- ciação de figuras geométricas dos sólidos geométricos, os quais explorei em sala com objetos do mercadinho, comparando formas, tamanhos e espessuras. (...) Neste bimestre recortamos e colamos os sólidos geométricos do livro didático. Foi uma ativi- dade que os alunos adoraram. Após debate e explicação das planificações para formar os sólidos, fiz uma exploração inicial so- bre as arestas, os lados e os vértices, com os sólidos mais utilizados e conhecidos. As crianças fizeram comparações e compreen- deram que a Geometria está presente em todos os lugares. Também realizamos uma maquete sim- bólica, com os objetos do mercadinho. Fi- zemos uma disputa entre meninas e meni- nos: montar uma rua com casas, prédios, carros e outros objetos pertinentes, para posteriormente explorarmos as figuras ge- ométricas através dos sólidos. Claro que houve empate! Todos demonstraram aten- ção e envolvimento, se divertiram e apren- deram um pouco mais sobre a Geometria, deixando claro que vale a pena utilizar o concreto aliado ao registro escrito, pro- porcionando ao ensino uma melhor assi- milação dos conhecimentos pelos alunos. O trabalho com embalagens de di- ferentes formatos é bastante interessante, pois, por meio delas, é possível realizar clas- sificações de sólidos geométricos e planifi- cações. De acordo com o relato da professo- ra Alessandra, também é possível fazer uma maquete com ruas e prédios. A partir dessa maquete, várias atividades de movimenta- ção e localização poderão ser realizadas. Por exemplo: na maquete construída da cidade, pode-se identificar qual o melhor caminho para se deslocar da praça à padaria. Aqui po- derão ser utilizados relatos orais com o uso de noções de lateralidade. As habilidades de localização e movi- mentação podem, ainda, ser desenvolvidas utilizando o papel quadriculado, croquis e mapas em um trabalho com interações com a Geografia. A descrição de trajetos, a identi- ficação de locais em mapas e a identificação do que está ao sul, ao norte, a leste a oeste são alguns elementos interessantes utili- zados para articular o ensino da Geografia com o de Geometria. Atividades dessa natureza enfatizam, entre outras coisas, a importância do reco- nhecimento de pontos de referências para a localização e a movimentação no espaço. Vários recursos já foram desenvolvi- dos para auxiliar as pessoas a se localizarem e a se movimentarem. Um desses recursos é o GPS (Sistema de Posicionamento Global), que dá as informações necessárias para se che- gar a um determinado destino. Entretanto, o conhecimento das noções de lateralidade é imprescindível para realizar um determina-
  20. 20. 20 do trajeto com sucesso, uma vez que o GPS utiliza comandos como: virar à direita, virar à esquerda, fazer uma curva suave à direita, manter-se à esquerda e assim por diante. Antes da criação e utilização do GPS em larga escala, outros recursos eram uti- lizados para realizar a movimentação e lo- calização. Entre esses recursos destacamos as indicações orais e os mapas. Uma pessoa que chegava a uma cidade em que nunca foi e desejava localizar uma determinada rua, geralmente parava o carro e perguntava a alguém onde ficava essa rua. Com as infor- mações obtidas, como “anda três quadras e vire à esquerda, passando o supermerca- do vire à direita” era possível chegar a um determinado local. A consulta a um mapa também possibilitava chegar ao destino de- sejado. Quando não se dispõe do GPS, esses recursos ainda são utilizados. Com o GPS, as informações são obti- das em tempo real, o que possibilita ao mo- torista economia de tempo e maior precisão nas informações. O GPS facilita a movimentação e a localização. Outro recurso muito utilizado para dar a posição de uma pessoa é o celular, pois muitos modelos já têm o GPS integrado. Vá- rias pessoas utilizam as redes sociais para postarem a sua localização em um dado mo- mento (fazer check-in). No ciclo de alfabetização, os regis- tros oral e escrito dos alunos possibilitam constituir um dos instrumentos para ava- liar o desenvolvimento das habilidades re- lacionadas à localização e movimentação. O professor alfabetizador poderá utilizar a roda de conversa, realizada no pátio da es- cola, para pedir aos alunos que destaquem alguns pontos de referência presentes em seu trajeto casa-escola. Podem destacar pra- ça, igreja, edifício, etc. A seguir, os alunos poderão registrar esses pontos de referência em um desenho. Uma variação dessa ativi- dade é solicitar aos alunos que desenhem o trajeto que fazem para se deslocar da sala de aula ao refeitório. A seguir destacamos a produção de um aluno de seis anos com o desenho do trajeto de sua casa à escola. Ao explicar o trajeto, o aluno disse que sua tia saía de sua casa (B) e ia buscá-lo em casa (A). A seguir, a tia retornava no sentido de B para ir até C, que é a escola. A professora dessa turma ficou intrigada, querendo saber por que a tia não ia direto de A para C. Conversou com a tia e mostrou o tra- jeto feito pelo aluno e questionou por
  21. 21. 21 que, uma vez em A, não seguia direto para C, não sendo necessário voltar. A tia explicou que seu sobrinho tinha feito o itinerário correto, uma vez que para ir de A a C direto era inviável, pois as ruas apresentavam muitos buracos, dificultando bastante o deslocamento. Extraído de Pirola (2006). P. 199-200 Feita a atividade, as produções dos alunos podem ser expostas e cada um deles pôde explicar o seu desenho e os pontos de referências destacados. De forma geral, existem muitas ati- vidades interessantes a serem desenvolvidas com os alunos para desenvolver a habilidade de movimentação e localização. O professor alfabetizador não pode ficar restrito somen- te ao ambiente da sala de aula. Precisa se movimentar com seus alunos, explorando outros espaços e realizando conexões com outros campos do saber, como, por exemplo, a Educação Física e a Geografia. O trabalho interdisciplinar é importante no processo de construção do conhecimento, pois possibili- ta, entre outras coisas, utilizar um determi- nado conceito em diferentes contextos.
  22. 22. 22 REFERÊNCIAS PIRES, C. M. C; CURI, E. CAMPOS, T.M.M. Espaço e forma: a construção de noções geométricas pelas crianças. São Paulo: PROEM. 2000. PIROLA, N. A. Um estudo sobre a formação dos conceitos de triângulo e paralelogramo em alunos de 1º grau. 1995. Dissertação (Mestrado em Educação) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual de Campinas, Campinas. ______ . Espaço e forma na educação infantil. In: Coletânea de Textos do CECEMCA. 1ed, 2006, v. 1, p.192-240.
  23. 23. 23 A Geometria escolar estuda o espaço e as formas. Neste texto, iremos nos dedicar às formas que podem ser representadas como figuras geométricas. Sabemos que a Geometria plana estu- da as figuras planas (ou bidimensionais), como quadrados, retângulos, triângulos, polígonos, etc.; e que a Geometria espacial estuda as figuras espaciais (ou tridimensionais), como cubos, paralelepípedos, pirâmides, cilindros, etc. Os objetos produzidos pelo homem têm formas tridimensionais, apesar de, em alguns casos, nos referirmos apenas à forma de uma de suas partes. Por exemplo, quando olhamos a porta, a janela, o quadro branco ou a própria parede, associamos essas formas a retângulos. Entendemos que explorar as proprie- dades das figuras geométricas, bem como compor e decompor formas, pode ser um bom caminho para as crianças aprenderem concei- tos e desenvolverem seu raciocínio em Geo- metria. No entanto, inicialmente vamos con- testar algumas ideias que, ao serem admitidas de uma maneira simplista, acabam impedindo que nossas crianças aprendam conceitos geo- métricos. O Quadro 1 mostra algumas afirma- ções que são frequentes nas falas dos professo- res (VIANA et al., 2013) e a nossa percepção em relação às mesmas. AFIRMAÇÕES NOSSA PERCEPÇÃO 1ª) AO OBSERVAR AS FORMAS DOS OBJETOS, AS CRIANÇAS APRENDEM GEOMETRIA. CONCORDAMOS ( ) NÃO CONCORDAMOS (X) 2ª) AO MANIPULAR OBJETOS CONCRETOS, AS CRIANÇAS APRENDEM GEOMETRIA. CONCORDAMOS ( ) NÃO CONCORDAMOS (X) 3ª) QUANDO ASSOCIAM O NOME ÀS FIGURAS GEOMÉTRI- CAS, AS CRIANÇAS APRENDEM GEOMETRIA. CONCORDAMOS ( ) NÃO CONCORDAMOS (X) 4ª) AO DESMONTAR E MONTAR CAIXINHAS DE EMBALAGENS, AS CRIANÇAS APRENDEM GEOMETRIA ESPACIAL. CONCORDAMOS ( ) NÃO CONCORDAMOS (X) 5ª) AO CONTAR FACES, VÉRTICES E ARESTAS, AS CRIANÇAS APREN- DEM GEOMETRIA ESPACIAL. CONCORDAMOS ( ) NÃO CONCORDAMOS (X) Quadro 1. Afirmações comuns nas falas dos professores Evidentemente, a alternativa assina- lada “não concordamos” é uma provocação para que possamos tecer algumas reflexões sobre o ensino e aprendizagem da Geome- texto 3 Figuras planas e espaciais: como trabalhar com elas nos anos iniciais do Ensino Fundamental? Odalea Aparecida Viana1 1 Professora da Faculdade de Ciências Integradas do Pontal, da Universidade Federal de Uberlândia. odaleaviana@gmail.com
  24. 24. 24 tria. O objetivo deste texto é apresentar uma concepção acerca da formação de conceitos geométricos elementares e o papel das figu- ras nesse processo. Conceitos Sob a perspectiva piagetiana, pode- mos compreender a formação de conceitos – tema de especial interesse neste trabalho – por meio do entendimento das operações que um indivíduo pode realizar ao longo do seu desenvolvimento e na construção do es- paço perceptivo e representativo (PIAGET & INHELDER, 1993). Um conceito é uma gene- ralização a partir de dados relacionados e que possibilita responder a algo ou pensar em estímulos ou percepções específicos de uma determinada maneira. Quando a crian- ça formou os conceitos de retângulo2 e de trapézio3 , por exemplo, ela pôde generalizar as figuras abaixo como sendo representan- tes desses conceitos e pôde perceber as tá- buas do portão com a forma de dois retân- gulos e quatro trapézios (Imagem 1). Imagem 1. Trapézios à esquerda e esquema de um portão formado por retângulos e trapézios. A aprendizagem da Geometria se dá pelo desenvolvimento do chamado “pensa- mento geométrico”, conforme denominado por Van Hiele – um autor que se preocupou em estudar como os conceitos geométricos podem ser formados pelos alunos (VAN HIE- LE, 1986). O modelo, que pode ser visto em Crowley (1994), consiste em cinco níveis de compreensão: reconhecimento, análise, de- dução informal, dedução formal e rigor e su- gere que os alunos progridam através dessa sequência hierárquica enquanto aprendem Geometria. Esses níveis do raciocínio geo- métrico foram descritos por Van Hiele (1986) e são resumidos a seguir: Nível 1 – Reconhecimento: Neste estágio inicial, também chama- do de nível básico ou de visualização, o alu- no percebe os conceitos geométricos como entidades totais; não vê componentes ou atributos. A aparência física é determinante para reconhecer figuras e não suas partes ou propriedades. O aluno consegue aprender um vocabulário geométrico, identificar formas es- pecíficas e reproduzir um desenho com papel quadriculado. Por exemplo, pode reconhecer um dado, chamá-lo de cubo, mas não é capaz de reconhecer as seis faces quadradas. Este ní- vel mais elementar de raciocínio é decorrente da forma como normalmente a Geometria pa- 2 Retângulos são quadriláteros (polígonos de quatro lados) que possuem quatro ângulos retos. 3 Trapézios são quadriláteros que têm um par de lados paralelos, e retângulos são quadriláteros que têm quatro ângulos retos.
  25. 25. 25 rece ser ensinada nos anos iniciais do Ensino Fundamental, ou seja, baseada em ativida- des que têm por objetivo o reconhecimento nos dois sentidos: nome <-> figura. Em muitas ocasiões, as descrições das figuras estão baseadas em sua seme- lhança com outros objetos (não necessa- riamente geométricos) que conhecem. São usadas frases como: “... se parecem com...”, “ ...a forma de...” etc. Nível 2 – Análise: Neste nível, o aluno reconhece as partes de uma figura, começa a analisar as suas propriedades e utiliza algumas de- las para resolver certos problemas. Não é capaz de explicar relações entre as mes- mas, não vê inter-relações entre as figuras e não entende definições. Pode perceber que os lados opostos e, possivelmente, que as diagonais de um retângulo são con- gruentes, mas não notará como os retân- gulos se relacionam com os quadrados. Acrescente-se que, neste nível, o aluno dá mais importância à existência de algumas propriedades diferenciadoras nas figuras que à existência de propriedades co- muns. Como exemplo, dadas as figuras a se- guir (Imagem 2), provavelmente as crianças vão apontar diferenças: B é “maior” que A, os “cantinhos” (ângulos) de A são “abertos” e os de B são “retinhos”, mas demorarão para dizer que as duas figuras são polígonos e têm o mesmo número de lados. No segun- do caso, talvez se refiram às alturas (o cubo D é mais “alto” que o paralelepípedo C), às faces iguais de D e diferentes de C, e só mais tarde indicarão que ambas as figuras são po- liedros com seis faces. Imagem 2. A e B são polígonos de seis lados (hexágonos); C e D são poliedros de seis faces (hexaedros). No nível 2, por meio de atividades exploratórias, as crianças poderão reconhe- cer e nomear os grupos de figuras a seguir (Imagem 3), já que agora elas conseguem analisar as propriedades. Imagem 3. Grupo A: retângulos; Grupo B: triângulos e Grupo C: trapézios. Da mesma maneira, no nível 2, as crianças podem analisar semelhanças (o que é mais difícil do que analisar diferenças) e podem separar as figuras em poliedros4 e não poliedros (Imagem 4). Imagem 4. Poliedros (à esquerda) e não poliedros (à direita). 4 Os poliedros são figuras tridimensionais (ou espaciais) que são formadas por faces (superfícies planas), vértices e arestas. Os não poliedros são, em geral, chamados de corpos redondos (na figura estão um cone, dois cilindros, uma esfera e um tronco de cone).
  26. 26. 26 Nível 3 – Ordenação: O aluno, neste nível, ordena logica- mente figuras e entende inter-relações de propriedades tanto das figuras quanto entre elas. É capaz de formar classes de figuras, e a inclusão de classes é entendida. Pode enten- der por que todo quadrado é retângulo, mas pode não ser capaz de explicar por que as dia- gonais de um retângulo são congruentes. Nível 4 – Dedução: O aluno compreende o significado da dedução e é capaz de construir demonstra- ções de teoremas. Em geral, esse nível não é alcançado no Ensino Fundamental. Nível 5 – Rigor: O aluno, nesse nível, é capaz de tra- balhar com outras Geometrias que não a euclidiana. Estudantes de nível superior podem atingir esse nível. Algumas pesquisas indicam que os alunos dos anos finais do Ensino Fundamen- tal e até do Ensino Médio estão em um ní- vel de formação conceitual bem abaixo do esperado. Assim, são muitos os que não re- conhecem as figuras constantes na Imagem 5, pois não analisam suas características, ou melhor, não analisam as propriedades das figuras. Evidentemente, não conseguem in- cluir classes de figuras, entendendendo, por exemplo, que quadrados são paralelogra- mos5 . A Imagem 5 mostra classes de figuras para quadriláteros prismas6 . O entendimen- to das relações de inclusão ilustradas pelas imagens requer o Nível 3 de desenvolvimen- to do raciocínio geométrico, de acordo com Van Hiele (1986): Imagem 5 – Inclusão de classes para os polígonos que são quadriláteros (à esquerda) e para os poliedros que são prismas (à direita). Consideramos que aprender Geome- tria, mesmo nos anos iniciais do Ensino Fun- damental, não se resume a reconhecer e no- mear figuras, mas sim a desenvolver formas de pensamento geométrico. Para desenvol- ver os níveis de conceitos, são necessárias operações mentais que vão muito além da manipulação de manipular objetos. De acordo com Piaget e Inhelder (1993), todo pensamento surge das ações, mas estas não se resumem a ações físicas com objetos; é preciso que as crianças coor- denem essas ações no plano do pensamen- to. Assim, não basta montar quadrados com 5 Paralelogramos são quadriláteros que possuem dois pares de lados paralelos. 6 Prismas são poliedros que têm duas faces paralelas e congruentes e as outras faces (laterais) paralelogramos (geralmente retângulos).
  27. 27. 27 quatro varetinhas do mesmo comprimento; é preciso que, ao receber varetas de compri- mentos variados, a criança imagine quantas e de quais tamanhos ela precisaria para re- presentar as formas de um piso e de uma ban- deira – e tentar expli- car por que fez assim, por exemplo. Essas an- tecipações das ações tornam-se verdadeiros desafios para o aluno e são conflitos cogni- tivos que, de acordo com Piaget, ajudam no desenvolvimento intelectual dos alunos. Assim, com base na teoria piage- tiana, consideramos que oportunizar a manipulação de material concreto pode contribuir para a formação de conceitos desde que as crianças possam agir no pla- no do pensamento. Figuras desenhadas nas folhas dos livros ou em cartazes não permitem, por exemplo, antecipação de deslocamentos e de giros, nem de verifi- cação dos resultados desses movimentos. Alguns exemplos de movimentos de figu- ras são descritos a seguir, lembrando que o professor pode construir, junto com os alunos, a maior parte dessas figuras. São também sugeridas outras atividades para a Geometria plana e espacial. Algumas atividades para construir conceitos Exemplo 1: Trabalhar com figuras planas recortadas (que per- mitam movimentar, girar, sobrepor) a) Identificar congruên- cias7 em triângulos: Há pares de figuras iguais (congruentes)? b) Identificar semelhanças nas figuras: Há pa- res de figuras em que, ao que parece, uma é a ampliação ou redução da outra? “Há pares de polígonos que parecem ser semelhantes?” c) Variação da atividade anterior: as mesmas figuras poderão compor um jogo de cartas, com os mesmos questionamentos anteriores. “(...) com base na teoria piagetiana, consideramos que oportunizar a manipulação de material concreto pode contribuir para a formação de conceitos desde que as crianças possam agir no plano do pensamento.” 7 Dois triângulos são congruentes quando têm lados e ângulos correspondentes de mesma medida. Uma das maneiras de verificar a congruência é sobrepor as figuras. 8 Dois polígonos são semelhantes quando os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos correspondentes têm a mesma medida. Evidentemente, nos anos iniciais, exploram-se apenas as ideias de redução e de ampliação.
  28. 28. 28 Exemplo 2: Criar, compor e decompor fi- guras planas a) Criar formas poligonais A ideia é que a criança crie contor- nos como os ilustrados, com auxílio de ré- gua e sem medidas, apenas para caracteri- zar polígonos. Não importa que as figuras não fiquem simétricas, o importante é ca- racterizar os lados retos. b) Decompor e recompor o polígono criado (dodecágono). Que figuras foram obtidas? A “estrela poligonal” é um polígono de 12 lados. Ela deu origem a 6 polígonos, sendo 2 triângulos (triângulos equiláteros) e 4 quadriláteros (sendo um quadrado e três trapézios). Entre esses 6 polígonos, há po- lígonos congruentes? c) Compor figuras (quebra-cabeça) com: (i) contornos definidos, (ii) contornos não defi- nidos, (iii) modelo com peças do mesmo ta- manho, (iv) modelo com peças maiores que o modelo etc. d) Criar uma forma poligonal, recortá-la em cartolina e usá-la para compor faixas (con- gruência e translação/simetria). Abaixo, o “cachorro poligonal” é polígono de 10 lados! Exemplo 3: Antecipando construções a) Antecipar a escolha das faces para formar os poliedros (prismas, paralelepípedos, pi- râmides). Observe os polígonos à esquerda (eles serão as faces): quantas faces você vai precisar para montar cada poliedro à direita? Serão todas triangulares? Haverá quadrados? b) Antecipar a escolha das arestas para for- mar os poliedros (prismas, paralelepípedos, pirâmides). Quantas varetas (arestas) você precisará para formar o paralelepípedo? Te- rão a mesma medida? Exemplo 4: Desenvolvendo vocabulário a) Jogo “Adivinha quem sou”: sou um polígo- no, tenho quatro lados, tenho quatro ângu- los, os lados são congruentes, os ângulos são todos retos. b) Jogo da memória de pares ou trios.
  29. 29. 29 Considerações finais Conforme as teorias mostram, é ne- cessário que a criança estabeleça relações o tempo todo: É igual? É diferente? É parecido? O que tem de igual? É o ângulo? É a medida do lado? É a quantidade de lados? O enfrentamento de desafios, na for- ma de antecipações, também é importan- te. Na Geometria plana, por exemplo: Esta quantidade de lados vai ser possível para for- mar esse polígono? As medidas desses lados formam aquele hexágono? Por quê? Se jun- tar aqueles dois ângulos formará o ângulo reto do quadrado? Na Geometria espacial: quantas arestas e de que medidas você vai precisar? Essas são as melhores faces para aquele poliedro? E se pegar essas, forma aquele outro poliedro que é pirâmide? E por que não pegar aquelas? Se juntar essas faces retangulares formará o paralelepípedo? Além disso, apostamos em ativida- des que incentivem a criança a criar, a in- ventar, e a explorar as propriedades da fi- gura criada. Na Geometria plana: Esse seu “peixe poligonal” é um polígono de quan- tos lados? Lados iguais? Quantos ângulos? Tem ângulos retos? Na Geometria espa- cial: Esse poliedro que você criou, quantas faces tem? As faces são iguais? São dife- rentes? Esse poliedro tem faces que são iguais às daquela pirâmide? Conforme podemos notar, o voca- bulário deve ser aprendido pela criança nas próprias atividades. Esperamos ter explicado as nossas percepções contidas no Quadro 1: na nossa concepção, não se aprende Geometria ob- servando formas de objetos e manipulando materiais concretos, mas devemos dar ênfa- se à criatividade e à exploração das proprie- dades, de modo a contribuir para a forma- ção de conceitos e para o desenvolvimento dos níveis de pensamento em Geometria.
  30. 30. 30 REFERÊNCIAS CROWLEY, M. L. O modelo Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico. In: LIND- QUIST. M. M; SHULTE A. A. (org.) Aprendendo e ensinando Geometria. Tradução de Hygino H. Domingos. São Paulo: Atual, 1994. PIAGET, J.; INHELDER B. A representação do espaço na criança. Tradução de Albuquerque, B. M. Porto Alegre: Artes Médicas, 1993. VAN HIELE, P. M. Structure and Insight – A Theory of Mathematics Education, Orlando: Acade- mic Press, 1986. VIANA, O. A.; SILVA, R. M. M.; SILVA, B. A. R. Relações entre atitudes e concepções de professo- res acerca da Geometria. Encontro Nacional de Educação Matemática, 11, PUCPR, 2013. Anais… Curitiba, 2013.
  31. 31. 31 Presidência da República Ministério da Educação Secretaria de Educação Básica TV ESCOLA/ SALTO PARA O FUTURO Coordenação Pedagógica Ana Maria Miguel Acompanhamento pedagógico Grazielle Bragança Copidesque e Revisão Milena Campos Eich Diagramação e Editoração Bruno Nin Virgilio Veiga Consultor especialmente convidado Nelson Antonio Pirola E-mail: salto@mec.gov.br Home page: www.tvescola.org.br/salto Rua da Relação, 18, 4º andar – Centro. CEP: 20231-110 – Rio de Janeiro (RJ) Setembro 2014

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