O ensino de funções variacionais na educação básica

UM ESTUDO DE CASO DO CONHECIMENTO
DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA DA
EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE O
COMPORTAMENTO VARIACIONAL DAS
FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA
Andréa Thees
Orientador: Prof. Drº Wanderley Rezende
NITERÓI
2009

COMO ESTÁ O ENSINO DE FUNÇÕES
NA EDUCAÇÃO BÁSICA?
Alguns sintomas...
 Pesquisas sobre o ensino de Cálculo revelam um primeiro
sintoma
 Botelho e Sá apontam o segundo sintoma ao realizarem um
mapeamento de livros didáticos

COMO ESTÁ O ENSINO DE FUNÇÕES
NA EDUCAÇÃO BÁSICA?
Por outro lado...
 (Caraça) Resgatando o conceito de função através de
interdependência e fluência
“O conceito de função se estabelece como uma ferramenta da matemática
que ajuda o homem a entender os processos de fluência e de
interdependência que são intrínsecos às coisas e aos seres do nosso
Universo” (Caraça, (1942)
 Recomendações dos PCN’s: o imprescindível estudo da variabilidade
“Cabe, portanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira
certa flexibilidade para lidar com o conceito de função em situações
diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações
problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a
buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para
construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática.”
(Brasil, 1997)

A PERGUNTA
Como os professores de matemática da educação básica
utilizam propriedades e habilidades relacionadas ao
comportamento variacional das funções afim e quadrática
na resolução de problemas?

A MONOGRAFIA
 Capítulo 1 – O Problema
 Capítulo 2 - Um breve estudo da evolução histórica do
conceito de função

CONSIDERAÇÕES HISTÓRICAS
Função afim
 Nicolau de Oresme (1323-1382)
Algumas representações gráficas
de Oresme para o movimento e, ao
lado, uma representação gráfica
para o Teorema de Merton.
O estudo e o interesse pelos tipos de movimento acarretaram o processo
de matematização das funções afim e quadrática realizada pelos filósofos
escolásticos e Galileu.

CONSIDERAÇÕES HISTÓRICAS
Função quadrática
 Galileu Galilei (1564-1642)
O estudo e o interesse pelos tipos de movimento acarretaram o processo
de matematização das funções afim e quadrática realizada pelos filósofos
escolásticos e Galileu.
“(...) o espaço
percorrido pelo
corpo é diretamente
proporcional ao
quadrado do tempo
usado para
percorrer este
espaço.”
© Istituto e Museo di Storia della Scienza

MAS AFINAL, O QUE SABIA GALILEU?
Galileu empreendeu sua explicação acerca dos fenômenos
do movimento, utilizando os saberes acumulados em seu
tempo. Esses conhecimentos, que são anteriores ao Cálculo,
também estão presentes no conteúdo programático da
educação básica.

A MONOGRAFIA
 Capítulo 2 – Um breve estudo da evolução histórica do
 Capítulo 3 – A caracterização das funções afim e quadrática

A CARACTERIZAÇÃO DAS FUNÇÕES AFIM
E QUADRÁTICA
Função afim
Função quadrática
 Rezende, (2008) Galileu e as Novas Tecnologias no Estudo das Funções
Reais no Ensino Básico. IVº Colóquio sobre História e Tecnologia no
Ensino da Matemática. Rio de Janeiro.
 Lima, E.L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. & Morgado, A. C., A
Matemática do Ensino Médio. Coleção do Professor de Matemática.
volume 1. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 2001.

A MONOGRAFIA
 Capítulo 4 – A Pesquisa

A PESQUISA
Grupos pesquisados
Grupo A 31º Encontro do Projeto Fundão – UFRJ
Grupo B 5º Encontro Sul Fluminense de Ed. Matemática (5º ESFEM) – USS
Grupo C Turma de Especialização Matemática para Prof. Ens. Fund. e Médio
da Universidade Federal Fluminense – UFF
Grupo D 1ª Jornada de Matemática (1ª JORMAT) – FFP/UERJ
 Metodologia: pesquisa de campo – o estudo de caso
 Sujeitos da pesquisa

INSTRUMENTOS DA PESQUISA
Questionário informativo

Atividades propostas

Formulário de avaliação

80%
dos participantes
que atuam
como
professores dão aulas
no Ensino Médio
RESULTADOS DA PESQUISA
Questionário informativo

Classificação das atividades propostas

Respostas Qtde.
Corretas 83
Incorretas 113
Em branco (EB) 51
Não finalizadas (NF) 8
Resoluções incongruentes (RI) 9
Total geral 264
Todos os Grupos x Todas as Questões x Categoria de Resposta ResumidaTodos os Grupos x Todas as Questões x Categoria de Resposta Resumida
Análise das resoluções das atividades propostas
 Resoluções incorretas, em branco, não finalizadas ou
incongruentes: 181 – 68%

Todos os Grupos x Questão 1 x Categoria de Respostas Classificadas
QUESTÃO 1
Respostas Qtde.
Corretas do tipo 1 (C1) 6
Subtotal Corretas 51
Incorretas do tipo 1 (I1) 3
Subtotal Incorretas 11
Em branco (EB) 2
Total geral 66
 Alto índice de resoluções corretas do tipo C1 e C2.
Relação entre Δs e Δt
Divisão do
tempo em
partes
proporcionais
23%
77%

QUESTÃO 2
Respostas Qtde.
Subtotal Corretas 1
Em branco (EB) 11
Total geral 66
 Apenas uma resolução correta
 Alto índice de resoluções incorretas do tipo I1.
Regra de três
simples entre Δs e Δt
98,5%

QUESTÃO 3
Respostas
Qtde
.
Subtotal Corretas 31
Em branco (EB) 9
Total geral 66
 A grande maioria das resoluções
corretas são do tipo C2.
 50% das resoluções
incorretas são do tipo I3.
Regra de três
simples entre
ΔC e ΔN
Regra de três
simples entre ºC e ºN
53%

QUESTÃO 4
Respostas
Qtde
.
Em branco (EB) 29
Total geral 66
 Nenhum participante
apresentou uma solução
correta para esta questão.
 Alto índice de resoluções
incorretas do tipo I2.
Regra de três
simples entre
Δn e Δt

Por Grupo x Questão 1 x Categoria de Resposta Classificada
• Total de resoluções corretas, nos quatro grupos pesquisados, está entre 70% e 80%.
• Maior ocorrência das resoluções corretas do tipo 4 (utilização da função afim) no grupo C (50%),
e as corretas do tipo 2 (divisão do tempo em partes proporcionais) no grupo D (59%).
• Resolução do tipo 3 (regra de três entre Δs e Δt), encontradas apenas no grupo A.

• Predominância da resolução incorreta do tipo 1 (regra de três simples entre Δs e Δt),
principalmente nos grupos A e D.
• Alto índice de resoluções deixadas em branco nos grupos B, C e D.

• Predominância das resoluções corretas do tipo 2 (regra de três entre ΔC e ΔN) entre os
participantes dos 4 grupos pesquisados.
• Entre os participantes dos grupos B, C e D, prevalece a resolução incorreta do tipo 3 (regra de
três entre ºN e ºC).

• Prevalece a resolução incorreta do tipo 2 (regra de três simples entre Δn e Δt) nos grupos A, B
e D e a resolução incorreta do tipo 3 (regra de três simples entre n e t) no grupo C.
• Alto índice de resoluções deixadas em branco, principalmente no grupo B.

 A idéia proposta (estudo da variabilidade das funções afim e quadrática) foi
compreendida por todos os participantes e o estudo proposto foi considerado
relevante para a formação do aluno da educação básica, pois:
 “Mostra a função de uma forma diferente, sem ser aquela situação estática, só
gráfico.”
 “A dificuldade dos alunos em funções sem dar sua lei de formação é enorme.”
 82% dos participantes do minicurso ministrado na 1ª JORMAT, implementariam
esta sequência didática para desenvolver o estudo da variação das funções e
concordam que o “aluno mediano” teria capacidade de assimilar o conteúdo
apresentado.
 Os 18% também concordam, mas parcialmente, e deram as seguintes
justificativas:
 “Apresentarei outras maneiras também.”
 “Depende daquilo que interpreto como aluno mediano. Depende da realidade em que
a sala de aula se apresenta (nas relações professor x aluno x escola).”

 Comentários de maior destaque sobre quais elementos foram
agregados à formação dos participantes após o minicurso:
“A questão da ordem da PA ter influência no grau da função.”
“Novos métodos para interpretação das funções.”
“Muitos conhecimentos que até então nunca tinha ouvido falar.”
“Agregou pois vi que, mesmo com problemas elementares, ainda errei a
questão por falta de atenção e conhecimento suficiente.”
“Acrescentou bastante, pois estou cursando licenciatura em Matemática e
acho completamente importante que os alunos compreendam o ensino
como uma coisa muito importante para suas vidas. Esse minicurso ajudou
para que todos nós possamos tentar passar o ensino de função de maneira
mais simples, mais fácil.”

Conclusões Parciais da Pesquisa
 Dificuldade em perceber o tipo de função que deve ser usado para modelar o
problema;
 Predominância do modelo linear na resolução das atividades;
 Transferência de propriedades do modelo matemático linear para o modelo de
função afim não-linear;
 Falta de conhecimento do comportamento variacional da função quadrática.

A MONOGRAFIA
 Capítulo 4 – A Pesquisa
 Capítulo 5 – Considerações Gerais

CONSIDERAÇÕES GERAIS
 Os professores não estão sendo preparados para ensinar funções
na educação básica;
 Conscientes disso, anseiam por uma formação continuada que
compense o que não está sendo ensinado na graduação;
 Existe o interesse por novos métodos de ensino que os ajudem a
ensinar o conceito de função de forma mais simples e concreta,
com menos definições e decorebas.
Esperamos ter contribuído para uma reflexão sobre a necessidade de
orientar o professor, na medida em que ele é o agente transformador,
é aquele que faz acontecer ou não na sala de aula.
CONTRIBUIÇÃO

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