material de aula

1. O que ´e e para que serve a l´ogica matem´atica?
Introdu¸c˜ao ao pensamento matem´atico
Prof. Dr. Carlos Campani
Prof. Dr. Carlos Campani O que ´e e para que serve a l´ogica matem´atica? Introdu¸c˜ao ao pensamento matem´atico1 / 17

2. De onde se originou a l´ogica matem´atica?
Ra´ızes da l´ogica: Arist´oteles (384a.C.- 322a.C.)
L´ogica matem´atica: George Boole (1815-1864) - uma vers˜ao
simplificada da l´ogica matem´atica moderna
L´ogica moderna: Gottlob Frege (s´ec. XIX)
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3. O que ´e a l´ogica?
L´ogica ´e o estudo da raz˜ao ou
L´ogica ´e o estudo da validade ou legitimidade dos argumentos
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4. Argumento
Argumento ´e uma sequˆencia de enunciados que fornece uma evidˆencia
para sua conclus˜ao
Exemplo:
Todos os homens s˜ao mortais;
S´ocrates ´e homem;
Logo, S´ocrates ´e mortal.
Os dois primeiros enunciados s˜ao as premissas
´Ultimo enunciado ´e a conclus˜ao
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5. L´ogica matem´atica
A l´ogica matem´atica aplica-se na verifica¸c˜ao da verdade dos
enunciados matem´aticos
Por exemplo, para verificar a validade do seguinte enunciado sobre
conjuntos:
Se A ⊆ B e B ⊆ C ent˜ao A ⊆ C
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6. Prova
Nenhum enunciado matem´atico pode ser aceito sem uma prova
formal de sua validade
Todo enunciado matem´atico ou propriedade em qualquer campo de
estudo da matem´atica, que conste em qualquer livro de matem´atica,
foi previamente provado por algum matem´atico
Prova ´e uma sequˆencia l´ogica de passos que visa provar que um
enunciado matem´atico ´e verdadeiro ou leg´ıtimo
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7. Prova
Chamamos de premissas de uma prova aquilo que ´e sabido ser
verdadeiro no enunciado matem´atico que se est´a a provar
Chamamos de hip´otese de uma prova aquilo que ´e assumido como
verdadeiro a priori, para ser feita a prova, e ´e descartado ao final
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8. Prova
Uma prova sempre ´e um mecanismo finito, mesmo que aplicado a um
conjunto infinito de elementos
Provar que 1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n+1)
2 :
n = 1 ⇒ 1 =
1(1 + 1)
2
n = 2 ⇒ 1 + 2 = 3 =
2(2 + 1)
2
n = 3 ⇒ 1 + 2 + 3 = 6 =
3(3 + 1)
2
N˜ao podemos provar para todos os n ∈ N!
H´a a necessidade de um mecanismo finito capaz de contornar este
problema (indu¸c˜ao finita)
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9. Teorema e teoria
Um enunciado que possui uma prova que ateste sua validade ou
verdade ´e chamado de teorema
O conjunto de todos os teoremas em um campo da matem´atica ´e
chamado de teoria (mesmo que este conjunto seja infinito)
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10. Existem duas l´ogicas!
L´ogica proposicional: l´ogica que trabalha apenas com proposi¸c˜oes
L´ogica de predicados: l´ogica que estende a l´ogica proposicional pela
adi¸c˜ao de predicados e quantificadores
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11. C´alculo Proposicional e C´alculo de Predicados
Para provar argumentos em l´ogica ´e necess´ario definir:
1 uma linguagem para a l´ogica matem´atica
2 um m´etodo dedutivo composto de regras de inferˆencia
3 O conjunto de linguagem e m´etodo dedutivo ´e chamado de c´alculo
Observa¸c˜ao: este “c´alculo” nada tem a ver com o C´alculo Diferencial e
Integral
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12. Paradoxos
Muitos argumentos podem conduzir a contradi¸c˜oes
Sua existˆencia em um contexto matem´atico conduz a absurdos
Chamamos este tipo de argumento de paradoxo
Os paradoxos emergiram da tentativa de axiomatizar a matem´atica
Esfor¸cos foram feitos para eliminar todos os paradoxos da teoria
matem´atica
Devemos ter cuidado ao definir coisas em matem´atica para n˜ao cair
em paradoxos
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13. Paradoxo dos Cretenses
“Todos os cretenses s˜ao mentirosos” (citado na Ep´ıstola de Paulo a
Tito, Tito 1:12)
Autoria de Epimˆenides, que era cretense
Ent˜ao,
Se supomos que o enunciado ´e verdadeiro, Epimˆenides ´e um
mentiroso e o enunciado ´e falso
Se supomos que o enunciado ´e falso, Epimˆenides n˜ao ´e mentiroso e o
enunciado ´e verdadeiro
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14. Paradoxo de Russell (1902)
Problema com a teoria ingˆenua dos conjuntos de Cantor
“Seja X o conjunto de todos os conjuntos que n˜ao pertencem a si
pr´oprios”
Se X ∈ X ent˜ao X ∈ X
Se X ∈ X ent˜ao X ∈ X
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15. Axiomatiza¸c˜ao da matem´atica
M´etodo de racioc´ınio para deduzir conhecimento
Um sistema axiom´atico ´e formado por:
Axiomas: “conhecimento fundamental” ou “verdades tomadas a priori”
(sem prova)
Regras de inferˆencia: capazes de deduzir verdades a partir de outras
verdades j´a provadas
Um conjunto de teoremas que s˜ao as verdades que podem ser provadas
usando-se o sistema
Um sistema deste tipo ´e como um “mecanismo” ou “motor” capaz de
gerar teoremas de uma dada teoria
Uma axiomatiza¸c˜ao total de um determinado ramo da matem´atica ´e
chamado de formaliza¸c˜ao
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16. Axiomatiza¸c˜ao da matem´atica
Estamos muito acostumados a trabalhar com sistemas axiom´aticos,
mesmo que n˜ao tenhamos percebido isso
Um exemplo ´e a geometria euclidiana plana, que ´e um sistema
axiom´atico
Um exemplo de axioma desta teoria ´e “pode-se tra¸car uma (´unica)
reta ligando quaisquer dois pontos”
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17. Podemos axiomatizar toda a matem´atica?
Sim e n˜ao
Grande parte da matem´atica pode ser axiomatizada, como ´e o caso
da geometria plana ou da teoria dos conjuntos
Algumas teorias n˜ao podem ser axiomatizadas (in´ıcio do s´ec. XX,
Alonzo Church, Alan Turing, Kurt G¨odel)
Mesmo uma teoria dos n´umeros inteiros n˜ao pode ser completamente
axiomatizada
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