1. O documento apresenta um resumo sobre cálculo integral, abordando conceitos como primitiva, integral indefinida, integral definida, integração por substituição, integração por partes, integração de funções racionais e integrais trigonométricas. 2. São apresentados exercícios sobre cada um desses tópicos, com a resolução de diversas integrais. 3. O resumo é dividido em oito seções, cobrindo os principais métodos de integração.

1. Ficha No
8 - Semanas 11 e 12
CÁLCULO INTEGRAL
Cursos: Todos Nível: I
Disciplina: Análise Matemática I Semestre: 2o
/2020
Docentes: Carga Horária: 6h/Semana
I. Primitiva e Integral Indefinida
1. Encontre uma primitiva F, da função f(x) = x
2
3 + x, que satisfaça F(1) = 1.
2. Determine a função f tal que
Z
f(x)dx = x2
+
1
2
cos 2x + C.
3. Encontre uma primitiva da função f(x) =
1
x2
+ 1 que se anule no ponto x = 2.
4. Sabendo que a função f(x) satisfaz a igualdade
Z
f(x)dx = sin x − x cos x −
1
2
x2
+ C, ache f π
4
.
5. Encontre uma função f tal que f0
(x) + sin x = 0 e f(0) = 2.
6. Calcule as seguintes integrais
(a)
Z
x− 3
4 dx
(b)
Z
3
√
xdx
(c)
Z
(x3
+ 6x + 1)dx
(d)
Z
x(1 + 2x4
)dx
(e)
Z
(1 − t)(2 + t2
)dt
(f)
Z
x2
+ 1 +
1
x2 + 1
dx
(g)
Z
2 −
√
x
2
dx
(h)
Z
sin x
1 − sin2
x
dx
(i)
Z
sin 2x
sin x
dx
(j)
Z
x2
dx
√
x
(k)
Z
arctan x
1 + x2
dx
(l)
Z
dx
x + 5
(m)
Z
dx
5x − 9
II. Integrais Definidas
7. Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da função
(a) g(x) =
Z x
0
√
1 + 2tdt
(b) g(x) =
Z x
1
ln tdt
(c) g(y) =
Z y
2
t2
sin tdt
(d) g(u) =
Z u
3
dx
x + x2
8. Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não
existe.
(a)
Z 3
−1
x5
dx
(b)
Z 5
−2
6dx
(c)
Z 4
0
(1 + 3y − y2
)dy
(d)
Z 1
0
x
4
5 dx
(e)
Z 8
1
3
√
xdx
(f)
Z 2
1
3
t4
dt
(g)
Z 3
−2
x−5
dx
(h)
Z 5
−5
2
x3
dx
(i)
Z 2π
π
cos θdθ
(j)
Z 2
0
x(2 + x5
)dx
(k)
Z √3
2
1
2
6
√
1 − t2
dt
(l)
Z 1
0
4
t2 + 1
dt
III. Integração por Mudança de Variável
9. Calcule a integral fazendo a substituição dada
(a)
Z
cos 3xdx, u = 3x
(b)
Z
x(4 + x2
)10
dx, u = 4 + x2
(c)
Z
x2
p
x3 + 1dx, u = x3
+ 1
(d)
Z
sin
√
x
√
x
dx, u =
√
x
(e)
Z
4
(1 + 2x)3
dx, u = 1 + 2x
(f)
Z
esin θ
cos θdθ, u = sin θ
Análise Matemática I 1 Ficha No
8: Cálculo Integral

2. 10. Calcule a integral indefinida usando a substituição mais adequada
(a)
Z
2x(x2
+ 3)4
dx
(b)
Z
x2
(x3
+ 5)2
dx
(c)
Z
1 + 4x
√
1 + x + 2x2
dx
(d)
Z
x
(x2 + 1)2
dx
(e)
Z
dx
5 − 3x
(f)
Z
3
(2y + 1)5
dy
(g)
Z
√
4 − tdt
(h)
Z
y3
p
2y4 − 1dy
(i)
Z
sin(πt)dt
(j)
Z
sec(2θ) tan(2θ)dθ
(k)
Z
(ln x)2
x
dx
(l)
Z
√
x sin
1 + x
3
2
dx
(m)
Z
cos θ sin6
θdθ
(n)
Z
ex
√
1 + exdx
(o)
Z
ecos t
sin tdt
(p)
Z
dx
x ln x
(q)
Z
cot xdx
(r)
Z
3
p
x3 + 1x5
dx
(s)
Z
x
4
√
x + 2
dx
IV. Integração por Partes
11. Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e dv indicadas:
(a)
Z
x ln xdx, u = ln x, dv = xdx (b)
Z
θ sec2
θdθ, u = θ, dv = sec2
θdθ
12. Calcule as seguintes integrais usando a integração por partes:
(a)
Z
x cos 5xdx
(b)
Z
xe−x
dx
(c)
Z
ln(2x + 1)dx
(d)
Z
t3
et
dt
(e)
Z
(ln x)2
dx
(f)
Z
p5
ln pdp
(g)
Z
arctan xdx
(h)
Z
3x
cos dx
(i)
Z
eαx
sin βxdx
(j)
Z
eαx
cos βxdx
(k)
Z
sin(ln x)dx
(l)
Z
ln xdx
(m)
Z p
x2 − a2dx
(n)
Z p
x2 + a2dx
(o)
Z p
x2 + 2x + 5dx
V. Integração de Funções Racionais Por Fracções Parciais
13. Usando o método dos coeficientes indeterminados, calcule
(a)
Z
x
x − 6
dx
(b)
Z
r2
r + 4
dr
(c)
Z
x − 9
(x + 5)(x − 2)
dx
(d)
Z
dt
(t + 4)(t − 1)
dt
(e)
Z
dx
(x + 5)2(x − 1)
(f)
Z
x2
+ 2x − 1
x3 − x
dx
(g)
Z
x2
(x − 3)(x + 2)2
dx
(h)
Z
x2
− x + 6
x3 + 3x
dx
(i)
Z
x3
− 2x2
+ x + 1
x4 + 5x2 + 4
dx
(j)
Z
x4
x4 + 5x2 + 4
dx
(k)
Z
5x2
+ 6x + 9
(x − 3)2(x + 1)2
(l)
Z
dx
(1 + x2)2
VI. Integração de Expressões Irracionais
14. Ache as integrais seguintes:
(a)
Z
dx
1 +
√
x
(b)
Z √
x − 1
3
√
x + 1
dx
(c)
Z
x
r
x − 1
x + 1
dx
(d)
Z
3
r
x + 1
x − 1
dx
(e)
Z
1 −
√
x + 1
1 +
√
x + 1
dx
(f)
Z √
x + 1 −
√
x − 1
√
x + 1 +
√
x − 1
dx
VII. Integrais Trigonométricas
15. Calcule as integrais
Análise Matemática I 2 Ficha No
8: Cálculo Integral

3. (a)
Z
sin3
x cos2
xdx
(b)
Z
sin6
x cos3
xdx
(c)
Z 3π
4
0
sin5
x cos3
xdx
(d)
Z π
2
0
cos5
xdx
(e)
Z
cos5
x sin4
xdx
(f)
Z
sin3
(mx)dx
(g)
Z
sin 5x sin 2xdx
(h)
Z
dx
3 + 5 cos x
(i)
Z
dx
sin x + cos x
(j)
Z
cos x
1 + cos x
dx
(k)
Z
sin x
1 − cos x
dx
(l)
Z
dx
4 sin x + 3 cos x + 5
(m)
Z
dx
cos x + 2 sin x + 3
(n)
Z
dx
(2 − sin x)(3 − sin x)
VIII. Substituição Trigonométrica
16. Ache a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e rotule o triângulo
rectângulo associado:
(a)
Z
1
x2
√
x2 − 9
dx, x = 3 sec θ (b)
Z
x3
p
9 − x2dx, x = 3 sin θ (c)
Z
x3
x2 + 9
dx, x = 3 tan θ
17. Mediante a substituição trigonométrica, calcule as seguintes integrais:
(a)
Z
1
x2
√
25 − x2
dx
(b)
Z √
x2 − a2
x4
dx
(c)
Z
dx
√
x2 + 16
(d)
Z p
1 − 4x2dx
(e)
Z p
x2 + 2x + 5dx
(f)
Z
x3
dx
√
4 − x2
(g)
Z
dx
(x2 + 1)
√
1 − x2
(h)
Z
dx
x
√
x2 + x − 9
(i)
Z
dx
p
x2 + px + q
Análise Matemática I 3 Ficha No
8: Cálculo Integral