1. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES
Terceira Prova de Álgebra Linear – 2011/2
Aluno:____________________________________________________________________
Data: 29/11/2011
Questão 1 (2,0 pontos)
Sejam P1 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 1 e B1 = {6 + 3 x , 10 + 2 x } e
B2 = {2, 3 + 2 x } bases de P1 . Encontre as matrizes de transição de B2 para B1 e de B1 para B2 .
Questão 2 (3,0 pontos)
Sejam B1 = {( 0 , 1 ),( 2 , 1 )} e B2 = {(1, 1, 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1, − 1 )} bases de ℜ 2 e ℜ3 , respectivamente, e
T : ℜ2 → ℜ3 a transformação linear cuja matriz em relação às bases B1 e B2 é
 −1 0 
[T ]B , B = 
2 1  0 2.
 2 0
 
a) Determine a matriz canônica de T.
b) Determine [ T ] B, B1 , sendo B a base canônica de ℜ 3 .
c) Determine uma base B3 de ℜ 3 tal que
1 0
[ T ] B 3 , B1 =  0 1  .
 
0 0
 
Questão 3 (3,0 pontos)
Para cada um dos operadores lineares de ℜ 3 abaixo, verifique se existe uma base B de ℜ3 tal que a matriz
[ T ] B seja diagonal. Caso exista tal base B, encontre-a, determine [ T ] B e determine uma matriz invertível P
tal que P −1 [ T ] P seja diagonal, sendo [T ] a matriz canônica de T.
a) T ( x , y , z ) = ( 4 x + z , 2 x + 3 y + 2 z , x + 4 z ) .
b) T ( x , y , z ) = ( 2 x + y , y − z , 2 y + 4 z ) .
Questão 4 (2,0 pontos)
Sejam T o operador linear de ℜ3 que leva cada vetor em seu simétrico em relação ao plano 2 x − y + z = 0 e
[ T ] a matriz canônica de T. Resolva os itens abaixo sem determinar T ( x , y , z ) .
a) Existe uma base B de ℜ3 tal que [ T ] B seja diagonal? Caso afirmativo, determine tal base B e [ T ] B .
b) Existe uma matriz ortogonal P tal que PT [ T ] P seja diagonal? Caso afirmativo, determine as matrizes P e
PT [ T ] P .