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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES

                                      Terceira Prova de Álgebra Linear – 2011/2

Aluno:____________________________________________________________________
Data: 29/11/2011


Questão 1 (2,0 pontos)
Sejam P1 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 1 e B1 = {6 + 3 x , 10 + 2 x } e
B2 = {2, 3 + 2 x } bases de P1 . Encontre as matrizes de transição de B2 para B1 e de B1 para B2 .


Questão 2 (3,0 pontos)
Sejam B1 = {( 0 , 1 ),( 2 , 1 )} e B2 = {(1, 1, 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1, − 1 )} bases de ℜ 2 e ℜ3 , respectivamente, e
T : ℜ2 → ℜ3 a transformação linear cuja matriz em relação às bases B1 e B2 é

                                                                                −1 0 
                                                                 [T ]B , B = 
                                                                       2   1    0 2.
                                                                                2 0
                                                                                     

a) Determine a matriz canônica de T.
b) Determine [ T ] B, B1 , sendo B a base canônica de ℜ 3 .

c) Determine uma base B3 de ℜ 3 tal que

                                                                                   1 0
                                                                  [ T ] B 3 , B1 =  0 1  .
                                                                                        
                                                                                   0 0
                                                                                        


Questão 3 (3,0 pontos)
Para cada um dos operadores lineares de ℜ 3 abaixo, verifique se existe uma base B de ℜ3 tal que a matriz
 [ T ] B seja diagonal. Caso exista tal base B, encontre-a, determine [ T ] B e determine uma matriz invertível P
tal que P −1 [ T ] P seja diagonal, sendo               [T ]     a matriz canônica de T.

a) T ( x , y , z ) = ( 4 x + z , 2 x + 3 y + 2 z , x + 4 z ) .
b) T ( x , y , z ) = ( 2 x + y , y − z , 2 y + 4 z ) .


Questão 4 (2,0 pontos)
Sejam T o operador linear de ℜ3 que leva cada vetor em seu simétrico em relação ao plano 2 x − y + z = 0 e
 [ T ] a matriz canônica de T. Resolva os itens abaixo sem determinar T ( x , y , z ) .
a) Existe uma base B de ℜ3 tal que [ T ] B seja diagonal? Caso afirmativo, determine tal base B e [ T ] B .
b) Existe uma matriz ortogonal P tal que PT [ T ] P seja diagonal? Caso afirmativo, determine as matrizes P e
   PT [ T ] P .

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Prova de Álgebra Linear com quatro questões sobre bases, transformações lineares e matrizes

  • 1. DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES Terceira Prova de Álgebra Linear – 2011/2 Aluno:____________________________________________________________________ Data: 29/11/2011 Questão 1 (2,0 pontos) Sejam P1 o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 1 e B1 = {6 + 3 x , 10 + 2 x } e B2 = {2, 3 + 2 x } bases de P1 . Encontre as matrizes de transição de B2 para B1 e de B1 para B2 . Questão 2 (3,0 pontos) Sejam B1 = {( 0 , 1 ),( 2 , 1 )} e B2 = {(1, 1, 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , 1, − 1 )} bases de ℜ 2 e ℜ3 , respectivamente, e T : ℜ2 → ℜ3 a transformação linear cuja matriz em relação às bases B1 e B2 é  −1 0  [T ]B , B =  2 1  0 2.  2 0   a) Determine a matriz canônica de T. b) Determine [ T ] B, B1 , sendo B a base canônica de ℜ 3 . c) Determine uma base B3 de ℜ 3 tal que 1 0 [ T ] B 3 , B1 =  0 1  .   0 0   Questão 3 (3,0 pontos) Para cada um dos operadores lineares de ℜ 3 abaixo, verifique se existe uma base B de ℜ3 tal que a matriz [ T ] B seja diagonal. Caso exista tal base B, encontre-a, determine [ T ] B e determine uma matriz invertível P tal que P −1 [ T ] P seja diagonal, sendo [T ] a matriz canônica de T. a) T ( x , y , z ) = ( 4 x + z , 2 x + 3 y + 2 z , x + 4 z ) . b) T ( x , y , z ) = ( 2 x + y , y − z , 2 y + 4 z ) . Questão 4 (2,0 pontos) Sejam T o operador linear de ℜ3 que leva cada vetor em seu simétrico em relação ao plano 2 x − y + z = 0 e [ T ] a matriz canônica de T. Resolva os itens abaixo sem determinar T ( x , y , z ) . a) Existe uma base B de ℜ3 tal que [ T ] B seja diagonal? Caso afirmativo, determine tal base B e [ T ] B . b) Existe uma matriz ortogonal P tal que PT [ T ] P seja diagonal? Caso afirmativo, determine as matrizes P e PT [ T ] P .