1) O documento discute conceitos de vazão, fluxo de massa, energia cinética e quantidade de movimento através de superfícies. É apresentado o Teorema do Transporte de Reynolds, que relaciona a variação temporal de propriedades de fluidos em movimento.
2) O Teorema expressa que a taxa de variação de uma propriedade em um volume de controle é igual à taxa de acréscimo da propriedade devido ao fluxo através da superfície de controle, mais a taxa de variação dentro do volume de controle.
2. 1)Conceito de Vazão
Seja S uma superfície estacionária qualquer no espaço. Sobre S temos
um elemento de área infinitesimal dS caracterizado por um versor
normal n
e em cujo centróide temos o vetor da velocidade
.
3. Ao longo de um intervalo t
um volume de fluido
passa através do
elemento superficial dS. O volume
é igual à área de sua base
multiplicada por sua altura. Assim:
dS
H
A altura H é igual à projeção na direção normal ao elemento de área dS
do produto entre o vetor da velocidade e o intervalo de tempo t
. Assim:
t
n
H
.
Logo, o volume
é dado por:
dS
t
n
.
4. O volume de fluido por unidade de tempo que instantaneamente
atravessa o elemento superficial dS é dado por:
dS
n
t
dQ
.
Chamamos dQ de vazão volumétrica, fluxo de volume ou simplesmente
vazão. dQ é a vazão volumétrica através de dS. A vazão volumétrica
total através da superfície S será:
S
dS
n
Q
.
Dimensionalmente, 1
3
T
L
Q e sua unidade SI é m3
/s.
5. A velocidade média V sobre uma superfície S é dada pela divisão entre a
vazão Q e a área superficial S. Assim:
S
dS
n
S
S
Q
V
.
1
Assim como temos uma vazão volumétrica que representa a quantidade
de volume de fluido por unidade de tempo que atravessa
instantaneamente a superfície S, podemos falar em vazão em massa
quando queremos saber a quantidade de massa de fluido por unidade de
tempo que atravessa instantaneamente a superfície S. O volume
tem
uma massa dada por
m , onde é a massa específica.
6. Assim, a vazão em massa através de dS é dada por:
dS
n
t
m
m
d
.
E a vazão em massa ou fluxo de massa através da superfície S é dada
por:
S
dS
n
m
.
Dimensionalmente, 1
T
M
m
e sua unidade SI é kg/s.
7. Assim como temos um fluxo de massa através de uma superfície,
podemos ter também fluxos de Energia Cinética e Quantidade de
movimento.
O fluxo de Energia Cinética C através da superfície S é dado por:
S
dS
n
C
.
2
2
Em termos dimensionais, 3
2
T
ML
C e sua unidade SI é J/s ou W.
8. O fluxo de Quantidade de Movimento
é dado por:
S
dS
n
.
Em termos dimensionais, 2
MLT
e sua unidade SI é N.
9. Generalizando, o fluxo de uma grandeza física N qualquer, inerente a
uma certa quantidade de massa de fluido (propriedade extensiva, ou
seja, depende da extensão da massa da amostra) pode ser representado
por:
dS
n
S
N
.
Onde é a grandeza N por unidade de massa do fluido (propriedade
intensiva, ou seja, não depende da massa da amostra).
10. N N
massa m 1 m
Energia
Cinética 2
2
m
2
2
C
Quantidade de
Movimento
m
S
dS
n
m
.
S
dS
n
C
.
2
2
S
dS
n
.
11. Exemplo: Em condutos industriais de seção circular, o perfil de
velocidades é dado por:
7
/
1
max 1
R
r
V
r
Onde Vmax é a velocidade na linha de centro, r é uma coordenada radial e
R é o raio do conduto. Obtenha uma expressão para a velocidade média
V.
12. Solução: Se tomarmos um elemento de coroa de círculo de espessura
infinitesimal dr e área dr
r
dS
2
, poderemos considerar a velocidade
constante sobre o elemento. Assim, sobre esse elemento de área:
dr
r
r
dS
r
dQ
2
)
(
13. A vazão Q será:
R
S
dr
r
r
dS
r
Q
0
2
)
(
E a velocidade média será:
R
S
dr
r
r
R
dS
r
S
V
0
2
2
)
(
1
1
15.
1
0
7
/
1
2
max 1
2
Rd
R
R
V
V
Isso resulta:
1
0
7
/
1
max 1
2
d
V
V
Fazendo
7
/
8
7
/
1
1
8
7
1
d
d :
16.
1
0
7
/
8
1
0
7
/
8
max
1
0
7
/
8
max
1
8
7
1
8
7
2
1
8
7
2
d
d
d
V
d
d
d
V
V
Isso resulta:
1
0
7
/
8
max 1
8
7
2
d
V
V
Integrando:
17.
1
0
7
/
15
max 1
15
7
8
7
2
V
V
Isso resulta:
120
49
0
2 max
V
V
Logo:
max
60
49
V
V
18. 2) Teorema do Transporte de Reynolds
Seja uma grandeza extensiva N(t) qualquer relacionada com uma certa
quantidade de massa m de um volume de fluido móvel e deformável
)
(t
. Podemos dizer que N é dado por:
)
(
)
(
t
d
t
N
Suponha agora que, no instante t, o volume de fluido )
(t
ocupa uma
posição no espaço coincidente com um volume arbitrário )
(t
C
,
também móvel e deformável. O contorno de )
(t
C
é chamado de
Superfície de controle )
(t
SC .
19. Entre os pontos da superfície do volume )
(t
e da superfície )
(t
SC do
volume de controle )
(t
C
existe uma diferença de velocidade, ou seja, o
volume )
(t
tem uma velocidade relativa r
em relação ao volume
)
(t
C
.
20. Devido a essa velocidade relativa entre os dois volumes, em t
t
eles
não serão mais coincidentes.
Suponha agora que queremos estudar a variação temporal da grandeza N
da massa móvel de fluido. Assim:
t
t
N
t
t
N
dt
dN
t
)
(
)
(
lim
0
Isso pode ser escrito como:
t
d
d
dt
dN t
t
t
t
)
(
)
(
0
lim
21. Isso resulta:
t
d
d
dt
dN t
t
)
(
0
3
2
lim
Vamos agora somar e subtrair na expressão acima o termo
t
d
1
:
t
d
t
d
t
d
d
dt
dN t
t
1
2
3
1 )
(
0
lim
22. Lembrando que )
(
3
1 t
t
C
e :
)
(
)
( t
C
t
t
d
t
d
t
d
d
dt
dN t
C
t
t
C
t
1
2
)
(
)
(
0
lim
O primeiro termo representa a variação temporal da grandeza C
N não
mais da massa móvel de fluido, mas do volume de controle C
:
)
(
)
(
)
(
0
lim
t
C
t
C
t
t
C
t
d
t
t
d
d
23. O segundo termo representa a quantidade da grandeza N que deixou o
volume de controle através da superfície S2 por unidade de tempo.
Portanto, é o fluxo da grandeza N para fora do volume de controle
através de S2:
dS
n
t
d
S
r
t
2
0
.
lim
2
2
24. O terceiro termo representa a quantidade da grandeza N que entrou no
volume de controle através da superfície S1 por unidade de tempo.
Portanto, é o fluxo da grandeza N para dentro do volume de controle
através de S1:
dS
n
t
d
S
r
t
1
0
.
lim
1
1
O sinal negativo se deve ao fato de que o sentido da velocidade relativa
sobre a superfície S1 aponta para dentro do volume, enquanto 1
n
aponta
para fora, portanto o produto escalar será negativo.
25. Como a soma das superfícies S1 e S2 é a própria superfície de controle
do fluido:
dS
n
d
t
dt
dN
t
SC
r
t
C
)
(
)
(
.
Se o volume de controle for estacionário a velocidade relativa entre
fluido e volume de controle será a própria velocidade absoluta,
resultando:
dS
n
d
t
dt
dN
SC
C
.
26. 3)Equação da Continuidade ou Conservação da Massa
Se aplicarmos o Teorema do Transporte de Reynolds para uma massa
móvel e fixa de fluido em movimento ( o que chamamos de sistema) de
modo que N=m e 1
, teremos, por definição:
0
dt
dm
0
.
dS
n
d
t SC
C
27. Esta última equação é a chamada Equação da Continuidade ou Equação
da Conservação da Massa.
Essa equação admite uma série de simplificações:
28. a)Regime Permanente: em cada volume elementar
d a massa
específica permanece constante ao longo do tempo. Isso significa que:
0
C
d
t
A equação da continuidade se resume a:
0
.
dS
n
SC
29. Como temos uma superfície lateral impermeável, só teremos fluxos de
massa através das superfícies S1 e S2:
0
.
.
2
1
dS
n
dS
n
S
S
Na superfície S2 o produto escalar
.
n é positivo e na superfície S1 é
negativo. Assim:
0
1
2
m
m
Se a massa específica for uniforme nas superfícies S1 e S2, podemos
escrever Q
m
e teremos:
1
1
2
2 Q
Q
30. b)Escoamento Incompressível
Nesse caso a massa específica é constante no tempo e uniforme no
espaço, e a equação da continuidade resulta:
0
.
dS
n
SC
Para o volume de controle ilustrado na última figura:
0
.
.
2
1
dS
n
dS
n
S
S
32. Exercício: Na seção (1), temos um perfil de velocidades do tipo:
7
/
1
max 1
R
r
V
r
Onde Vmax = 0,122 m/s. O conduto é circular, com D1=0,5m e D2=0,1m.
Calcule a velocidade média na seção (2) considerando escoamento
incompressível.
33. Solução:
Para um escoamento incompressível da continuidade temos que:
2
2
1
1
2
1 S
V
S
V
Q
Q
De exercício anterior,
max
1
60
49
V
V m/s
100
,
0
122
,
0
60
49
1
V
34. Da equação da continuidade:
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
4
4
D
D
V
V
D
V
D
V
Assim:
2
2
1
,
0
5
,
0
100
,
0
V m/s
5
,
2
2
V
35. Exercício: Um foguete queima kg/s de combustível. Se mo é a massa
inicial de combustível do foguete, S é a área do bocal de saída dos gases,
é a densidade dos gases no bocal e V é a velocidade relativa de saída
dos gases em relação ao foguete, obtenha uma expressão para V.
36. Solução: da continuidade, 0
.
)
(
)
(
dS
n
d
t t
SC
r
t
C
.
A primeira integral representa a massa do C
.Assim:
0
.
)
(
dS
n
t
m
t
SC
r
C
Mas a massa do volume de controle é dada por:
t
m
m o
C
