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Cálculo da energia de atrito.
Atrito de parede de fluidos Newtonianos
e não-Newtonianos.
Fator de atrito de Darcy e de Fanning.
Gráfico de Moody.
Gráfico de Dodge-Metzner.
Fenômeno de Transporte I
1
Quais são os termos do balanço
de energia mecânica?
2
(P1/ρ + v1
2/2α + Z1) + Weixo
We = (P2-P1)/ρ + (v2
2-v1
2)/2α + (Z2 – Z1) + Ef
= (P2/ρ + v2
2/2α + Z2) + Ef
O trabalho mecânico gera uma mudança na Energia de
pressão, na Energia cinética e na Energia potencial do
fluido e libera calor devido ao atrito com o meio.
Energia que entra com o fluido + Energia mecânica
= Energia que sai com o fluido + Calor
onde: Zi = hi * g
3
Energia gasta no atrito no escoamento de um
fluido em um tubo horizontal
(Êp1 + Êh1 + Êk1) + We = (Êp2 + Êh2 + Êk2) + Êf
Ponto 1 Ponto 2
Como: Assim:
Balanço de Energia Mecânica Êm1 + We = Êm2 + Êf
Expandindo os termos de Êm:
Êh1= Êh2
We = 0
h1 = h2
Êf = ∆P/ρ
Êf = f(L, vz ,ε, µ, ρ, D)
Êk1 = Êk2
v1 = v2
Êf = Êp2 -Êp1 = (p2–p1)/ρ
Energia de atrito:
Perda de
pressão
ρ = constante 4
1.CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO
1.1. Fluidos Newtonianos
1.1.1. Regime Laminar
Fazemos um balanço de forças em um elemento de
volume de raio r dentro do tubo onde o fluido escoa
na direção horizontal z:
Em primeiro lugar vamos fazer a análise do escoamento de
um fluido newtoniano viscoso em uma tubulação horizontal
de seção constante.
L
R
rRegime laminar
Fluido incompressível
Não há efeitos terminais
Considerações:
5
Para que haja escoamento é necessário aplicar uma força ao
fluido. Geralmente eleva-se a pressão do fluido no ponto inicial
da tubulação usando uma bomba.
Figura 1.1. Balanço de forças no equilíbrio em um tubo
P P-∆P
6
Figura 1.1.b. Análise de forças na tubulação
L
Comprimento
Direção do
escoamento R
Desenvolvimento gradual do perfil de velocidades
do regime laminar e escoamento do fluido.
Pressão
aplicada
7
Figura 1.1.c.
Movimento e resistência no elemento de volume
P P-∆P
L
R
r
vz(r)
vmax
σr z
σp
8
Pressão * Área transversal = Tensão * Área longitudinal
∆P*An = ∆ *At
Onde:
P = pressão em um ponto z ao longo da tubulação
P-dP = pressão em um ponto z + dz ao longo da tubulação
r = um ponto entre o centro e a parede, ao longo do raio
 = tensão de cisalhamento
dz = elemento de distância ao longo do comprimento do tubo
[P  (P  dP)]  r2 =  2 r dz (1.1)
L
R
r
Em estado estacionário:
Força normal= Força de cisalhamento
9
É interessante expressar a perda de carga linear (dP/dz)
em função da tensão de cisalhamento:
2dP
dz r


2dP dz
r


r 2dP dz
r
2
dP
dz
 
Rearranjando, para expressar
a tensão de cisalhamento
(1.4)
(1.2)
(1.3)
(1.5)
[P  (P  dP)]  r2 =  2 r dz (1.1)
10
A tensão de cisalhamento máxima se dá na parede (p )
quando r=R e pode ser expressa como:
D
4
P
P
L



R
2
P
dP
dz
 
Considerando o comprimento L :
onde: R= raio do tubo
(1.6)
(1.7)
Onde:
∆P= diferença de pressão no comprimento de tubulação L
D = diâmetro da tubulação
L
D
∆P
σp
Vz(r)
11
L
R
r
z
dv
dr
 
 
  
 
Substituindo (1.6) em (1.5) tem-se:
De acordo com a equação (1.8),
a tensão de cisalhamento varia linearmente
ao longo do raio do tubo, variando desde
zero em r = 0 até um valor máximo na
posição r = R.
Como os fluidos newtonianos obedecem à lei de Newton:
µ = viscosidade newtoniana
dvz / dr = variação de velocidades ao longo do raio do tubo
(1.8)
(1.9)
r
2
dP
dz
 
2
2
P P
rr
R R
 

 
  
 
R
2
P
dP
dz
 
12
• No interior de uma tubulação a medida que o raio aumenta, a
velocidade diminui, e por isso dvz/dr é negativo.
P z
r dv
R dr

 
 
   
 
P
z
dv rdr
R


 
Rearranjando os termos de (1.10):
(1.10)
(1.11)
• A transferência de impulso é feita da região de maior
concentração de movimento para a de menor concentração.
• No centro do tubo, dvz/dr=0, a tensão de cisalhamento é nula,
13
( )
0
zv r r
P
z
R
dv rdr
R


  
Integrando a relação (1.11) entre um ponto r e a parede R:
Para a integração deve-se observar que trata-se de um
integral indefinida; vz(r) e r não são pontos conhecidos.
Surge, assim, uma constante arbitrária que chamaremos
de C1.
1
2
2
)( C
R
r
rv
p
z





14
As condições de contorno deste caso são:
(a) r = R  vz = 0
(b) r = r  vz = vz (r)
C1 é obtido da aplicação da condição de contorno
(a) para a qual são conhecidos os valores de vz e
de r.
Então:


2
1
R
C P

15
1
2
2
0 C
R
Rp





Da substituição de C1 na resultante da integral indefinida,
obtém-se a equação do perfil parabólico de velocidade para
um fluido newtoniano em escoamento laminar.
2 2
( ) ( )
2
P
z
v r R r
R


  (1.12)




22
)(
2
R
R
r
rv PP
z



Rearranjando os termos da equação acima temos:
16
Por outro lado, a velocidade média pode ser calculada pela
definição:
d
A
vA v A 
d d
d
A A
A
v A v A
v
A
A
 
 

Ou ainda:
Onde:
dA = elemento diferencial de área = 2r dr
(1.13)
17
Integrando (1.13) do centro do tubo (r=0) até a parede (r = R):
0
0
( )2
2
R
z
R
v r rdr
v
rdr





2 2
0
0
1
2 ( )
2
2
R
P
R
v r R r dr
R
rdr




 
  
 


Substituindo vz(r), equação (1.12), na expressão acima temos:
(1.14)
(1.15)
18
2 3
0 0
0
1
2
R R
P
R
v rR dr r dr
R
rdr
 


  
   
   
 

4 4
2
2
2 4 2
P
R R
v
R R
 
 
  
   
  
4
2
1
4
P
R
v
R R


  
   
  
4 8
P P
R D
v
 
 
 
(1.16)
(1.18)
(1.17)
(1.19)
Chegamos a expressão da velocidade média:
19
Substituindo (1.7) em (1.19) para incluir o termo ∆P:
.
4 .8
PD D
v
L 


2
.32P v L
D

 


Rearranjando (1.20) e dividindo tudo por  :
(1.20)
(1.21)
D
4
P
P
L



4 8
P P
R D
v
 
 
 
(1.7)
(1.19)
20
2 2
2
.32
. .
2 2
P v v L v
D

 


Re
vD


Multiplicando ambos os lados por
Lembrando que o número de Reynolds (Re) para fluidos
Newtonianos em tubulações cilíndricas é definido como:
(1.22)
Rearranjando para separar o termo 1/Re da expressão (1.22):
2
32 2
.
2
P vL v
vD vD

 

 (1.23)
2
2
v tem-se que:
21
Finalmente, chegamos a expressão geral para cálculo da
energia gasta no atrito para fluidos newtonianos em
regime laminar:
Geralmente usa-se o termo Êf para expressar a
energia perdida por atrito por unidade de massa (J/kg)
(1.24)---- = -------------
∆P 32 L v2
ρ Re D
---- = fF ---- -----
∆P L 2v2
ρ D
fF = -----16
Re
Então:
(1.25)fF= fator de atrito de Fanning
Êf = fF ---- -----L 2v2
D 22
A expressão define o fator de atrito de Fanning (fF) como:
A literatura cita o fator de atrito de Darcy (fD):
Os dois podem ser usados. Porém, na bibliografia recente
tem-se empregado principalmente fF e, por isso, quando se
menciona ao fator de atrito refere-se geralmente à fF.
16
fF = Re
(1.25)
(1.26)
23
64
fD = Re
1. CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO
1.1. Fluidos Newtonianos
1.1.2. Região de transição
O fator de atrito na região de transição, ou seja,
quando 2100< Re< 4000, não pode ser predito,
com o qual deve-se usar a solução gráfica.
No caso de fluidos Newtonianos,emprega-se o Diagrama
de Moody (Figura 1.2). Neste gráfico deve-se destacar
que o fator de atrito é função da rugosidade relativa ( / D).
Segue-se a tradução dos materiais de tubos que estão
escritos em inglês:
fF = f(---- , )ε
D
Re
24
Em inglês Em português
Smooth pipes Tubos lisos
Drawn tubing Tubos estirados
Commercial steel Aço comercial
Wrought iron Ferro forjado
Asphalted cast iron Ferro fundido asfaltado
Galvanized iron Ferro galvanizado
Cast iron Ferro fundido
Wood stove Aduela de madeira
Concrete Concreto
Riveted Steel Aço rebitado
25
Materiais de construção do Diagrama de Moody
Figura 1.2. Diagrama de Moody
f = 16/Re
26
1. CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO
1.1. Fluidos Newtonianos
1.1.3. Regime turbulento
 10
1
4, 0 log Re 0, 4F
F
f
f
 
a) Equação de Blasius que só é válida para tubos lisos
(2.103 < Re < 105):
fF = 1,28. Re -0,25 (1.27a)
fD = 0,32. Re -0,25 (1.27b)
b) Correlação de von Karman válida para tubos lisos:
(1.28)
Quando o regime de escoamento é turbulento, ou seja,
Re> 4000, existem várias maneiras de se obter fF. Existem
algumas equações para tubos lisos e rugosos e solução
gráfica.
27
28
c) Equação de Churchill válida para tubos rugosos:
No site do professor Ortega, encontra-se um applet em JAVA
útil para o cálculo de bomba centrífuga para água no qual
aplicou-se a equação de Churchill.
http://www.unicamp.br/fea/ortega/info/cursojava/CalcBomba.htm
c) Solução gráfica por meio do Diagrama de
Moody, visto no item anterior.
Os dados necessários são:
• As propriedades do fluido:
densidade e viscosidade à temperatura de
trabalho;
• Velocidade média do fluido:
obtém-se conhecendo (volume/tempo/área);
• Diâmetro interno da tubulação;
• A rugosidade relativa da tubulação (/D);
no caso do processamento de alimentos e de
instalações sanitárias, usa-se tubo liso, ou seja,
rugosidade igual a zero ( ε =0 ).
29
1.2. Fluidos não-newtonianos
1.2.1. Fluidos lei da potência
1.2.1.1. Regime laminar
Para obter expressões para cálculo do fator de
atrito foram usadas as mesmas considerações da
dedução do item 1.1.
Sabendo que a tensão de cisalhamento para
esses fluidos é definida como:
.
n
z
dv
k
dr

 
   
 
1.29
30
A variação da velocidade do fluido ao longo do raio se
expressa como a velocidade média de um fluido lei da
potência em um tubo pode ser escrita como:
 
 
1/
( 1) / ( 1) /
( )
2 1
n
n n n n
z
P n
v r R r
Lk n
 
   
    
  
 
1/
( 1) /
2 3 1
n
n n
P n
v R
Lk n

    
     
    
Por outro lado, a velocidade média de um fluido lei
da potência em um tubo pode ser escrita como:
1.31
1.30
31
Neste caso, a perda de carga por unidade de comprimento
pode ser expressa como:
 
1/
(3 1) /
2 3 1
n
n n
P n
V R
Lk n


    
     
    

1
4 2 6
nn
n
P v k n
L D n

  
  
 
1 2
4 2 6 16
2 Re
n
F n
LP
v k n D
f
D n v

     
      
     
(1.33)
A equação (1.33), quando inserida na expressão do fator
de atrito, proporciona uma expressão do tipo:
(1.34)
Ou ainda:
(1.32)
32
Onde o número de Reynolds da lei da potência é definido
como:
2
1
4
Re
8 3 1
nn n
LP n
D v n
k n



   
    
  
(1.35)
A equação (1.34) é apropriada para o escoamento de fluidos
lei da potência em regime laminar, que ocorre quando a
seguinte desigualdade é satisfeita:
 2
2100(4 2)(5 3)
Re Re
3(1 3 )
LP LP crítico
n n
n
 
 

(1.36)
Dados experimentais indicam que a equação (1.34)
superestima o fator de atrito para muitos fluidos lei da potência.
Isso pode ser devido ao escorregamento na parede ou
mudanças nas propriedades reológicas em emulsões e
suspensões. 33
  (1 ( / 2 ))
100,75 1,2
1 4 0, 4
log Re
n
LP F
F
f
n nf
   
      
   
(1.37)
1.2. Fluidos não-newtonianos
1.2.1. Fluidos lei da potência
1.2.1.2. Regime turbulento
O fator de atrito nessa região, para fluidos lei da potência,
pode ser predito pela Equação de Dodge-Metzner. Essa
equação só é válida para tubos lisos.
34
Figura 1.3. Diagrama de Dodge-Metzner 35
1.2. Fluidos não-newtonianos
1.2.2. Fluidos plásticos de Bingham
1.2.2.1. Regime laminar
2 2
0
2
2
( ) 1 1
4
z
pl
RPR r r
v r
L R R R
    
       
   
(1.38)
para R0 r  R.
O raio crítico (R0), que define o contorno externo do
pistão, pode ser calculado a partir da tensão de
cisalhamento inicial ( ): 0
0
2
R
L
P



(1.39)
O perfil de velocidades de um fluido plástico de Bingham
pode ser escrito como:
36
É interessante levar em consideração que o fluido não
sofrerá tensão de cisalhamento na região empistonada
central, ou seja, quando  < 0 . Então, a função tensão de
cisalhamento será integrada entre a tensão de cisalhamento
inicial (0) e a tensão de cisalhamento na parede (p ).
0
.pl
     
4 4
8 1
1 4 / 3 / 3
pl
VP
L R c c


   
         

(1.40)
pode ser calculada a partir da vazão volumétrica de uma
maneira similar àquela usada para fluidos pseudoplásticos:
A perda de carga por unidade de comprimento de fluidos
plásticos de Bingham, cujo modelo reológico é:
37
Onde c é uma função implícita do fator de atrito e quanto
maior for esse valor, mais difícil será iniciar o escoamento:
0 0 0
2
4 2
p F
L
c
D P f v
  
 
  

(1.41)
Escrito em termos de velocidade média, a equação (1.40)
torna-se:
2 4
8 1
1 4 / 3 / 3
pl
vP
L D c c
   
    
   
(1.42)
Portanto, o cálculo do fator de atrito fica:
F 2 4 2 4
32 161 1
.
1 4 / 3 / 3 2 1 4 / 3 / 3
pl pl
v D
f
D c c v Dv c c
 
 
       
        
          
(1.43) 38
O fator de atrito poderia ser escrito também em termos
do número de Reynolds de Bingham (ReB) e o número
de Hedstrom (He):
   
4
2 83
1
Re 16 6 Re 3 Re
F
B B F B
f He He
f
  
(1.44)
Onde
2
0
2
pl
D
He
 


e
Re
pl
Dv 


(1.45)
(1.46)
39
As equações (1.43) e (1.44) poderiam ser usadas para
estimar fF em estado estacionário no regime
laminar, que ocorre quando se satisfaz a desigualdade:
 44 1
Re 1 Re
8 3 3
B c c B crítico
c
He
c c
c
 
    
 
(1.47)
onde cc é o valor crítico de c definido como:
 
3
168001
c
c
c He
c


(1.48)
cc varia de 0 a 1 e o valor crítico do número de
Reynolds de Bingham aumenta com o número de
Hedstrom. 40
1.2. Fluidos não-newtonianos
1.2.2. Fluidos plásticos de Bingham
1.2.2.2. Regime turbulento
  10 10
1
4, 53 log (1 ) 4, 53 log Re 2, 3B F
F
c f
f
    (1.49)
O fator de atrito para escoamento em regime
turbulento de um fluido plástico de Bingham
pode ser considerado um caso especial de um
fluido Herschel-Bulkley e pode-se usar a
seguinte relação:
41
  10
1
4, 53 log Re 2, 3B F
F
f
f
  (1.50)
Com o aumento dos valores de tensão de
cisalhamento inicial, o fator de atrito aumenta
significativamente.
Neste caso, quando a perda de carga é muito alta,
c poderia ser muito pequeno, nesse caso a
equação (1.49) se simplifica, ela ficaria da seguinte
forma:
42
1.2. Fluidos não-newtonianos
1.2.3. Fluidos Herschel-Bulkley
1.2.3.1. Regime laminar
 
1 1/
1 1/
0 01/
2 Pr
( )
(1 1 / ) 2
n
n
z pn
L
v r
P n k L
  

  
     
     
(1.51)
A velocidade de um fluido Herschel-Bulkley em
função do raio pode ser descrita como:
A velocidade do pistão se obtém substituindo
r= R0 na equação (1.51).
43
0
.
n
k    
a) Solução numérica
Há duas maneiras de se calcular o fator de
atrito para fluidos do tipo Herschel-Bulkley,
cujo moedelo reológico é:
O fator de atrito de Fanning para escoamento
laminar de fluidos Herschel-Bulkley
pode ser calculado a partir das seguintes
relações:
44
16
Re
F
LP
f 

(1.52)
Onde:
   
 
 
 
   
2 2
1 1 2 1
1 3 1
1 3 1 2 1
n
n n c c c c
n c
n n n

  
      
    
(1.53)
c pode ser expresso como uma função implícita de ReLP
e uma forma modificada do número de Hedstrom (HeM):
2
2
Re 2
1 3
n
n
LP M
n
He
n c

   
    
   
(1.54)
45
Onde:
2
1
4
Re
8 3 1
nn n
LP n
D v n
k n



   
    
  
(1.35)
(1.55)
e
2
2
0
n
n
M
D
He
k k


 
  
 
Para encontrar fF para fluidos Herschel-Bulkley, c
é determinado através de uma iteração da
equação (1.54) usando a equação (1.53) e o fator
de atrito poderia ser calculado a partir da equação
(1.52).
46
b) Solução gráfica
Existem soluções gráficas que facilitam os
problemas computacionais.
Essas figuras(Figuras 1.6-1.15) indicam o valor
do número de Reynolds crítico a diferentes HeM
para um valor particular de n.
O número de Reynolds crítico é baseado em
princípios teóricos e tem pouca verificação
experimental.
47
Figura 1.6. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,1. 48
Figura 1.7. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,2. 49
Figura 1.8. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,3.
50
Figura 1.9. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,4. 51
Figura 1.10. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,5. 52
Figura 1.11. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,6. 53
Figura 1.12. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,7. 54
Figura 1.13. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,8. 55
Figura 1.14. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,9. 56
Figura 1.15. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 1,0. 57
1.2. Fluidos não-newtonianos
1.2.3. Fluidos Herschel-Bulkley
1.2.3.2. Regime turbulento
Utilizam-se as soluções gráficas vistas no
item anterior.
58
59
As equações são úteis para:
desenvolvimento de modelos computacionais
para aplicações diversas cuja solução gráfica
não esteja pronta!
Recordando outras soluções gráficas:
- Fluido Newtoniano, Diagrama de Moody
- Pseudoplásticos, Gráfico de Dodge-
Metzner
60
Como calcular o fator de atrito para cada caso?
RESUMO DA AULA:
1. Fluidos Newtonianos
1.1. Regime laminar
fF = -----
16
Re
Êf = fF ---- -----
L 2v2
D
1.2. Região de transição
fF = f(---- , )ε
D
Re
Diagrama de Moody
61
1. Fluidos Newtonianos
1.3. Regime turbulento
3 modos de se obter fF
a) Equação de Blasius
válida para tubos lisos
(2.103 < Re < 105):
fF = 1,28. Re -0,25
fD = 0,32. Re -0,25
b) Correlação de von Karman
válida para tubos lisos:
 10
1
4, 0 log Re 0, 4F
F
f
f
 
c) Diagrama de Moody
62
2. Fluidos Não-newtonianos
2.1. Fluidos Lei da Potência
2.1.1. Regime laminar
2
1
4
Re
8 3 1
nn n
LP n
D v n
k n



   
    
  
 2
2100(4 2)(5 3)
Re Re
3(1 3 )
LP LP crítico
n n
n
 
 

Fluido Lei da potência em regime laminar satifaz
a desigualdade:
1 2
4 2 6 16
2 Re
n
F n
LP
v k n D
f
D n v

     
      
     
63
2.1.2. Regime turbulento
2.1. Fluidos não-newtoniano Lei da Potência
Equação de Dodge-Metzner
  (1 ( / 2))
100,75 1,2
1 4 0, 4
log Re
n
LP F
F
f
n nf
   
      
   
Diagrama de Dodge-Metzner
válida para tubos lisos
64
2. Fluidos Não-newtonianos
2.2. Plástico de Bingham
2.2.1. Regime laminar
F 2 4 2 4
32 161 1
.
1 4 / 3 / 3 2 1 4 / 3 / 3
pl pl
v D
f
D c c v Dv c c
 
 
       
        
          
Ou, o fator de atrito poderia ser escrito também em termos do número de
Reynolds de Bingham (ReB) e o número de Hedstrom (He):
   
4
2 83
1
Re 16 6 Re 3 Re
F
B B F B
f He He
f
  
2
0
2
pl
D
He
 


Fluido Plástico de Bingham em regime laminar satifaz a desigualdade:
 44 1
Re 1 Re
8 3 3
B c c B crítico
c
He
c c
c
 
    
   
3
168001
c
c
c He
c


65
2.2. Plástico de Bingham
2.2.2. Regime turbulento
  10 10
1
4, 53 log (1 ) 4, 53 log Re 2, 3B F
F
c f
f
   
  10
1
4, 53 log Re 2, 3B F
F
f
f
 
Quando a perda de carga é muito alta, c (τ0/τp)
pode ser muito pequeno e nesse caso a equação
acima se simplifica:
66
2. Fluidos Não-newtonianos
2.3. Fluido Herschel-Bulkley
2.3.1. Regime laminar:
2 modos
a) Solução Numérica: cálculos iterativos
16
Re
F
LP
f 

   
 
 
 
   
2 2
1 1 2 1
1 3 1
1 3 1 2 1
n
n n c c c c
n c
n n n

  
      
    
2
2
Re 2
1 3
n
n
LP M
n
He
n c

   
    
   
b) Solução Gráfica: figuras Re crítico,
diferentes HeM e n específico
HeM é Hedstrom modificado
2
2
0
n
n
M
D
He
k k


 
  
 
Figura 1.10. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,5. 67
Exemplo de gráfico
2.3.2. Regime turbulento: solução gráfica
68
REGIME LAMINAR
Fanning Ou Darcy Onde:
TRANSIENTE 2100< Re< 4000 Diagrama de Moody
REGIME TURBULENTO
a) Equação de Blasius que só é válida para tubos lisos
(2.103
< Re < 105
):
fF = 0.079. Re -0,25
fD = 0,32. Re -0,25
b) Correlação de von Karman válida para
tubos lisos:
c) Diagrama de Moody
FLUIDO NÃO NEWTONIANO
LEI DA POTÊNCIA
REGIME LAMINAR
Onde: Laminar se a condição abaixo for atendida
REGIME TURBULENTO
Ou Diagrama de DODGE METZNER
REGIME LAMINAR onde c:
Ou
onde:
Verificar se é laminar com:
Onde:
REGIME TURBULENTO Quando perda de carga muito alta e C ser
muito pequeno então:
REGIME LAMINAR Onde:
Para encontrarc e ψ, fazer a interação entre
essas 2 últimas equações:
Onde:
Ou uso do gráfico fF para fluido
Herschel-Bulkley onde o valor do
número de Reynolds crítico a
diferentes HeM para um valor
particular de n.
REGIME TURBULENTO uso do gráfico fF para fluido Herschel-Bulkley
onde o valor do número de Reynolds crítico a
diferentes HeM para um valor particular de n.
FLUIDO NÃO NEWTONIANO
FLUIDOS HERSCHEL BULKLEY
FLUIDOS NEWTONIANOS
FLUIDO NÃO NEWTONIANO
PLÁSTICOS DE BINGHAM
Re
vD


2
1
4
Re
8 3 1
nn n
LP n
D v n
k n



   
    
  
 2
2100(4 2)(5 3)
Re Re
3(1 3 )
LP LP crítico
n n
n
 
 

  (1 ( / 2 ))
100,75 1,2
1 4 0, 4
log Re
n
LP F
F
f
n nf
   
      
   
1 2
4 2 6 16
2 Re
n
F n
LP
v k n D
f
D n v

     
      
     
  10 10
1
4, 53 log (1 ) 4, 53 log Re 2, 3B F
F
c f
f
      10
1
4, 53 log Re 2, 3B F
F
f
f
 
16
Re
F
LP
f 

   
 
 
 
   
2 2
1 1 2 1
1 3 1
1 3 1 2 1
n
n n c c c c
n c
n n n

  
      
    
2
2
Re 2
1 3
n
n
LP M
n
He
n c

   
    
   
2
1
4
Re
8 3 1
nn n
LP n
D v n
k n



   
    
  
2
2
0
n
n
M
D
He
k k


 
  
 
0 0 0
2
4 2
p F
L
c
D P f v
  
 
  

F 2 4 2 4
32 161 1
.
1 4 / 3 / 3 2 1 4 / 3 / 3
pl pl
v D
f
D c c v Dv c c
 
 
       
        
          
   
4
2 83
1
Re 16 6 Re 3 Re
F
B B F B
f He He
f
  
2
0
2
pl
D
He
 

 Re
pl
Dv 


 44 1
Re 1 Re
8 3 3
B c c B crítico
c
He
c c
c
 
    
 
 
3
168001
c
c
c He
c


64
fD = -----
Re

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Cálculo da energia de atrito

  • 1. Cálculo da energia de atrito. Atrito de parede de fluidos Newtonianos e não-Newtonianos. Fator de atrito de Darcy e de Fanning. Gráfico de Moody. Gráfico de Dodge-Metzner. Fenômeno de Transporte I 1
  • 2. Quais são os termos do balanço de energia mecânica? 2
  • 3. (P1/ρ + v1 2/2α + Z1) + Weixo We = (P2-P1)/ρ + (v2 2-v1 2)/2α + (Z2 – Z1) + Ef = (P2/ρ + v2 2/2α + Z2) + Ef O trabalho mecânico gera uma mudança na Energia de pressão, na Energia cinética e na Energia potencial do fluido e libera calor devido ao atrito com o meio. Energia que entra com o fluido + Energia mecânica = Energia que sai com o fluido + Calor onde: Zi = hi * g 3
  • 4. Energia gasta no atrito no escoamento de um fluido em um tubo horizontal (Êp1 + Êh1 + Êk1) + We = (Êp2 + Êh2 + Êk2) + Êf Ponto 1 Ponto 2 Como: Assim: Balanço de Energia Mecânica Êm1 + We = Êm2 + Êf Expandindo os termos de Êm: Êh1= Êh2 We = 0 h1 = h2 Êf = ∆P/ρ Êf = f(L, vz ,ε, µ, ρ, D) Êk1 = Êk2 v1 = v2 Êf = Êp2 -Êp1 = (p2–p1)/ρ Energia de atrito: Perda de pressão ρ = constante 4
  • 5. 1.CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO 1.1. Fluidos Newtonianos 1.1.1. Regime Laminar Fazemos um balanço de forças em um elemento de volume de raio r dentro do tubo onde o fluido escoa na direção horizontal z: Em primeiro lugar vamos fazer a análise do escoamento de um fluido newtoniano viscoso em uma tubulação horizontal de seção constante. L R rRegime laminar Fluido incompressível Não há efeitos terminais Considerações: 5
  • 6. Para que haja escoamento é necessário aplicar uma força ao fluido. Geralmente eleva-se a pressão do fluido no ponto inicial da tubulação usando uma bomba. Figura 1.1. Balanço de forças no equilíbrio em um tubo P P-∆P 6
  • 7. Figura 1.1.b. Análise de forças na tubulação L Comprimento Direção do escoamento R Desenvolvimento gradual do perfil de velocidades do regime laminar e escoamento do fluido. Pressão aplicada 7
  • 8. Figura 1.1.c. Movimento e resistência no elemento de volume P P-∆P L R r vz(r) vmax σr z σp 8
  • 9. Pressão * Área transversal = Tensão * Área longitudinal ∆P*An = ∆ *At Onde: P = pressão em um ponto z ao longo da tubulação P-dP = pressão em um ponto z + dz ao longo da tubulação r = um ponto entre o centro e a parede, ao longo do raio  = tensão de cisalhamento dz = elemento de distância ao longo do comprimento do tubo [P  (P  dP)]  r2 =  2 r dz (1.1) L R r Em estado estacionário: Força normal= Força de cisalhamento 9
  • 10. É interessante expressar a perda de carga linear (dP/dz) em função da tensão de cisalhamento: 2dP dz r   2dP dz r   r 2dP dz r 2 dP dz   Rearranjando, para expressar a tensão de cisalhamento (1.4) (1.2) (1.3) (1.5) [P  (P  dP)]  r2 =  2 r dz (1.1) 10
  • 11. A tensão de cisalhamento máxima se dá na parede (p ) quando r=R e pode ser expressa como: D 4 P P L    R 2 P dP dz   Considerando o comprimento L : onde: R= raio do tubo (1.6) (1.7) Onde: ∆P= diferença de pressão no comprimento de tubulação L D = diâmetro da tubulação L D ∆P σp Vz(r) 11
  • 12. L R r z dv dr          Substituindo (1.6) em (1.5) tem-se: De acordo com a equação (1.8), a tensão de cisalhamento varia linearmente ao longo do raio do tubo, variando desde zero em r = 0 até um valor máximo na posição r = R. Como os fluidos newtonianos obedecem à lei de Newton: µ = viscosidade newtoniana dvz / dr = variação de velocidades ao longo do raio do tubo (1.8) (1.9) r 2 dP dz   2 2 P P rr R R           R 2 P dP dz   12
  • 13. • No interior de uma tubulação a medida que o raio aumenta, a velocidade diminui, e por isso dvz/dr é negativo. P z r dv R dr            P z dv rdr R     Rearranjando os termos de (1.10): (1.10) (1.11) • A transferência de impulso é feita da região de maior concentração de movimento para a de menor concentração. • No centro do tubo, dvz/dr=0, a tensão de cisalhamento é nula, 13
  • 14. ( ) 0 zv r r P z R dv rdr R      Integrando a relação (1.11) entre um ponto r e a parede R: Para a integração deve-se observar que trata-se de um integral indefinida; vz(r) e r não são pontos conhecidos. Surge, assim, uma constante arbitrária que chamaremos de C1. 1 2 2 )( C R r rv p z      14
  • 15. As condições de contorno deste caso são: (a) r = R  vz = 0 (b) r = r  vz = vz (r) C1 é obtido da aplicação da condição de contorno (a) para a qual são conhecidos os valores de vz e de r. Então:   2 1 R C P  15 1 2 2 0 C R Rp     
  • 16. Da substituição de C1 na resultante da integral indefinida, obtém-se a equação do perfil parabólico de velocidade para um fluido newtoniano em escoamento laminar. 2 2 ( ) ( ) 2 P z v r R r R     (1.12)     22 )( 2 R R r rv PP z    Rearranjando os termos da equação acima temos: 16
  • 17. Por outro lado, a velocidade média pode ser calculada pela definição: d A vA v A  d d d A A A v A v A v A A      Ou ainda: Onde: dA = elemento diferencial de área = 2r dr (1.13) 17
  • 18. Integrando (1.13) do centro do tubo (r=0) até a parede (r = R): 0 0 ( )2 2 R z R v r rdr v rdr      2 2 0 0 1 2 ( ) 2 2 R P R v r R r dr R rdr              Substituindo vz(r), equação (1.12), na expressão acima temos: (1.14) (1.15) 18
  • 19. 2 3 0 0 0 1 2 R R P R v rR dr r dr R rdr                   4 4 2 2 2 4 2 P R R v R R               4 2 1 4 P R v R R             4 8 P P R D v       (1.16) (1.18) (1.17) (1.19) Chegamos a expressão da velocidade média: 19
  • 20. Substituindo (1.7) em (1.19) para incluir o termo ∆P: . 4 .8 PD D v L    2 .32P v L D      Rearranjando (1.20) e dividindo tudo por  : (1.20) (1.21) D 4 P P L    4 8 P P R D v       (1.7) (1.19) 20
  • 21. 2 2 2 .32 . . 2 2 P v v L v D      Re vD   Multiplicando ambos os lados por Lembrando que o número de Reynolds (Re) para fluidos Newtonianos em tubulações cilíndricas é definido como: (1.22) Rearranjando para separar o termo 1/Re da expressão (1.22): 2 32 2 . 2 P vL v vD vD      (1.23) 2 2 v tem-se que: 21
  • 22. Finalmente, chegamos a expressão geral para cálculo da energia gasta no atrito para fluidos newtonianos em regime laminar: Geralmente usa-se o termo Êf para expressar a energia perdida por atrito por unidade de massa (J/kg) (1.24)---- = ------------- ∆P 32 L v2 ρ Re D ---- = fF ---- ----- ∆P L 2v2 ρ D fF = -----16 Re Então: (1.25)fF= fator de atrito de Fanning Êf = fF ---- -----L 2v2 D 22
  • 23. A expressão define o fator de atrito de Fanning (fF) como: A literatura cita o fator de atrito de Darcy (fD): Os dois podem ser usados. Porém, na bibliografia recente tem-se empregado principalmente fF e, por isso, quando se menciona ao fator de atrito refere-se geralmente à fF. 16 fF = Re (1.25) (1.26) 23 64 fD = Re
  • 24. 1. CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO 1.1. Fluidos Newtonianos 1.1.2. Região de transição O fator de atrito na região de transição, ou seja, quando 2100< Re< 4000, não pode ser predito, com o qual deve-se usar a solução gráfica. No caso de fluidos Newtonianos,emprega-se o Diagrama de Moody (Figura 1.2). Neste gráfico deve-se destacar que o fator de atrito é função da rugosidade relativa ( / D). Segue-se a tradução dos materiais de tubos que estão escritos em inglês: fF = f(---- , )ε D Re 24
  • 25. Em inglês Em português Smooth pipes Tubos lisos Drawn tubing Tubos estirados Commercial steel Aço comercial Wrought iron Ferro forjado Asphalted cast iron Ferro fundido asfaltado Galvanized iron Ferro galvanizado Cast iron Ferro fundido Wood stove Aduela de madeira Concrete Concreto Riveted Steel Aço rebitado 25 Materiais de construção do Diagrama de Moody
  • 26. Figura 1.2. Diagrama de Moody f = 16/Re 26
  • 27. 1. CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO 1.1. Fluidos Newtonianos 1.1.3. Regime turbulento  10 1 4, 0 log Re 0, 4F F f f   a) Equação de Blasius que só é válida para tubos lisos (2.103 < Re < 105): fF = 1,28. Re -0,25 (1.27a) fD = 0,32. Re -0,25 (1.27b) b) Correlação de von Karman válida para tubos lisos: (1.28) Quando o regime de escoamento é turbulento, ou seja, Re> 4000, existem várias maneiras de se obter fF. Existem algumas equações para tubos lisos e rugosos e solução gráfica. 27
  • 28. 28 c) Equação de Churchill válida para tubos rugosos: No site do professor Ortega, encontra-se um applet em JAVA útil para o cálculo de bomba centrífuga para água no qual aplicou-se a equação de Churchill. http://www.unicamp.br/fea/ortega/info/cursojava/CalcBomba.htm
  • 29. c) Solução gráfica por meio do Diagrama de Moody, visto no item anterior. Os dados necessários são: • As propriedades do fluido: densidade e viscosidade à temperatura de trabalho; • Velocidade média do fluido: obtém-se conhecendo (volume/tempo/área); • Diâmetro interno da tubulação; • A rugosidade relativa da tubulação (/D); no caso do processamento de alimentos e de instalações sanitárias, usa-se tubo liso, ou seja, rugosidade igual a zero ( ε =0 ). 29
  • 30. 1.2. Fluidos não-newtonianos 1.2.1. Fluidos lei da potência 1.2.1.1. Regime laminar Para obter expressões para cálculo do fator de atrito foram usadas as mesmas considerações da dedução do item 1.1. Sabendo que a tensão de cisalhamento para esses fluidos é definida como: . n z dv k dr          1.29 30
  • 31. A variação da velocidade do fluido ao longo do raio se expressa como a velocidade média de um fluido lei da potência em um tubo pode ser escrita como:     1/ ( 1) / ( 1) / ( ) 2 1 n n n n n z P n v r R r Lk n                 1/ ( 1) / 2 3 1 n n n P n v R Lk n                  Por outro lado, a velocidade média de um fluido lei da potência em um tubo pode ser escrita como: 1.31 1.30 31
  • 32. Neste caso, a perda de carga por unidade de comprimento pode ser expressa como:   1/ (3 1) / 2 3 1 n n n P n V R Lk n                    1 4 2 6 nn n P v k n L D n          1 2 4 2 6 16 2 Re n F n LP v k n D f D n v                     (1.33) A equação (1.33), quando inserida na expressão do fator de atrito, proporciona uma expressão do tipo: (1.34) Ou ainda: (1.32) 32
  • 33. Onde o número de Reynolds da lei da potência é definido como: 2 1 4 Re 8 3 1 nn n LP n D v n k n                (1.35) A equação (1.34) é apropriada para o escoamento de fluidos lei da potência em regime laminar, que ocorre quando a seguinte desigualdade é satisfeita:  2 2100(4 2)(5 3) Re Re 3(1 3 ) LP LP crítico n n n      (1.36) Dados experimentais indicam que a equação (1.34) superestima o fator de atrito para muitos fluidos lei da potência. Isso pode ser devido ao escorregamento na parede ou mudanças nas propriedades reológicas em emulsões e suspensões. 33
  • 34.   (1 ( / 2 )) 100,75 1,2 1 4 0, 4 log Re n LP F F f n nf                (1.37) 1.2. Fluidos não-newtonianos 1.2.1. Fluidos lei da potência 1.2.1.2. Regime turbulento O fator de atrito nessa região, para fluidos lei da potência, pode ser predito pela Equação de Dodge-Metzner. Essa equação só é válida para tubos lisos. 34
  • 35. Figura 1.3. Diagrama de Dodge-Metzner 35
  • 36. 1.2. Fluidos não-newtonianos 1.2.2. Fluidos plásticos de Bingham 1.2.2.1. Regime laminar 2 2 0 2 2 ( ) 1 1 4 z pl RPR r r v r L R R R                  (1.38) para R0 r  R. O raio crítico (R0), que define o contorno externo do pistão, pode ser calculado a partir da tensão de cisalhamento inicial ( ): 0 0 2 R L P    (1.39) O perfil de velocidades de um fluido plástico de Bingham pode ser escrito como: 36
  • 37. É interessante levar em consideração que o fluido não sofrerá tensão de cisalhamento na região empistonada central, ou seja, quando  < 0 . Então, a função tensão de cisalhamento será integrada entre a tensão de cisalhamento inicial (0) e a tensão de cisalhamento na parede (p ). 0 .pl       4 4 8 1 1 4 / 3 / 3 pl VP L R c c                  (1.40) pode ser calculada a partir da vazão volumétrica de uma maneira similar àquela usada para fluidos pseudoplásticos: A perda de carga por unidade de comprimento de fluidos plásticos de Bingham, cujo modelo reológico é: 37
  • 38. Onde c é uma função implícita do fator de atrito e quanto maior for esse valor, mais difícil será iniciar o escoamento: 0 0 0 2 4 2 p F L c D P f v          (1.41) Escrito em termos de velocidade média, a equação (1.40) torna-se: 2 4 8 1 1 4 / 3 / 3 pl vP L D c c              (1.42) Portanto, o cálculo do fator de atrito fica: F 2 4 2 4 32 161 1 . 1 4 / 3 / 3 2 1 4 / 3 / 3 pl pl v D f D c c v Dv c c                                 (1.43) 38
  • 39. O fator de atrito poderia ser escrito também em termos do número de Reynolds de Bingham (ReB) e o número de Hedstrom (He):     4 2 83 1 Re 16 6 Re 3 Re F B B F B f He He f    (1.44) Onde 2 0 2 pl D He     e Re pl Dv    (1.45) (1.46) 39
  • 40. As equações (1.43) e (1.44) poderiam ser usadas para estimar fF em estado estacionário no regime laminar, que ocorre quando se satisfaz a desigualdade:  44 1 Re 1 Re 8 3 3 B c c B crítico c He c c c          (1.47) onde cc é o valor crítico de c definido como:   3 168001 c c c He c   (1.48) cc varia de 0 a 1 e o valor crítico do número de Reynolds de Bingham aumenta com o número de Hedstrom. 40
  • 41. 1.2. Fluidos não-newtonianos 1.2.2. Fluidos plásticos de Bingham 1.2.2.2. Regime turbulento   10 10 1 4, 53 log (1 ) 4, 53 log Re 2, 3B F F c f f     (1.49) O fator de atrito para escoamento em regime turbulento de um fluido plástico de Bingham pode ser considerado um caso especial de um fluido Herschel-Bulkley e pode-se usar a seguinte relação: 41
  • 42.   10 1 4, 53 log Re 2, 3B F F f f   (1.50) Com o aumento dos valores de tensão de cisalhamento inicial, o fator de atrito aumenta significativamente. Neste caso, quando a perda de carga é muito alta, c poderia ser muito pequeno, nesse caso a equação (1.49) se simplifica, ela ficaria da seguinte forma: 42
  • 43. 1.2. Fluidos não-newtonianos 1.2.3. Fluidos Herschel-Bulkley 1.2.3.1. Regime laminar   1 1/ 1 1/ 0 01/ 2 Pr ( ) (1 1 / ) 2 n n z pn L v r P n k L                    (1.51) A velocidade de um fluido Herschel-Bulkley em função do raio pode ser descrita como: A velocidade do pistão se obtém substituindo r= R0 na equação (1.51). 43
  • 44. 0 . n k     a) Solução numérica Há duas maneiras de se calcular o fator de atrito para fluidos do tipo Herschel-Bulkley, cujo moedelo reológico é: O fator de atrito de Fanning para escoamento laminar de fluidos Herschel-Bulkley pode ser calculado a partir das seguintes relações: 44
  • 45. 16 Re F LP f   (1.52) Onde:               2 2 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 2 1 n n n c c c c n c n n n                 (1.53) c pode ser expresso como uma função implícita de ReLP e uma forma modificada do número de Hedstrom (HeM): 2 2 Re 2 1 3 n n LP M n He n c               (1.54) 45
  • 46. Onde: 2 1 4 Re 8 3 1 nn n LP n D v n k n                (1.35) (1.55) e 2 2 0 n n M D He k k          Para encontrar fF para fluidos Herschel-Bulkley, c é determinado através de uma iteração da equação (1.54) usando a equação (1.53) e o fator de atrito poderia ser calculado a partir da equação (1.52). 46
  • 47. b) Solução gráfica Existem soluções gráficas que facilitam os problemas computacionais. Essas figuras(Figuras 1.6-1.15) indicam o valor do número de Reynolds crítico a diferentes HeM para um valor particular de n. O número de Reynolds crítico é baseado em princípios teóricos e tem pouca verificação experimental. 47
  • 48. Figura 1.6. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,1. 48
  • 49. Figura 1.7. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,2. 49
  • 50. Figura 1.8. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,3. 50
  • 51. Figura 1.9. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,4. 51
  • 52. Figura 1.10. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,5. 52
  • 53. Figura 1.11. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,6. 53
  • 54. Figura 1.12. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,7. 54
  • 55. Figura 1.13. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,8. 55
  • 56. Figura 1.14. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,9. 56
  • 57. Figura 1.15. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 1,0. 57
  • 58. 1.2. Fluidos não-newtonianos 1.2.3. Fluidos Herschel-Bulkley 1.2.3.2. Regime turbulento Utilizam-se as soluções gráficas vistas no item anterior. 58
  • 59. 59 As equações são úteis para: desenvolvimento de modelos computacionais para aplicações diversas cuja solução gráfica não esteja pronta! Recordando outras soluções gráficas: - Fluido Newtoniano, Diagrama de Moody - Pseudoplásticos, Gráfico de Dodge- Metzner
  • 60. 60 Como calcular o fator de atrito para cada caso? RESUMO DA AULA: 1. Fluidos Newtonianos 1.1. Regime laminar fF = ----- 16 Re Êf = fF ---- ----- L 2v2 D 1.2. Região de transição fF = f(---- , )ε D Re Diagrama de Moody
  • 61. 61 1. Fluidos Newtonianos 1.3. Regime turbulento 3 modos de se obter fF a) Equação de Blasius válida para tubos lisos (2.103 < Re < 105): fF = 1,28. Re -0,25 fD = 0,32. Re -0,25 b) Correlação de von Karman válida para tubos lisos:  10 1 4, 0 log Re 0, 4F F f f   c) Diagrama de Moody
  • 62. 62 2. Fluidos Não-newtonianos 2.1. Fluidos Lei da Potência 2.1.1. Regime laminar 2 1 4 Re 8 3 1 nn n LP n D v n k n                 2 2100(4 2)(5 3) Re Re 3(1 3 ) LP LP crítico n n n      Fluido Lei da potência em regime laminar satifaz a desigualdade: 1 2 4 2 6 16 2 Re n F n LP v k n D f D n v                    
  • 63. 63 2.1.2. Regime turbulento 2.1. Fluidos não-newtoniano Lei da Potência Equação de Dodge-Metzner   (1 ( / 2)) 100,75 1,2 1 4 0, 4 log Re n LP F F f n nf                Diagrama de Dodge-Metzner válida para tubos lisos
  • 64. 64 2. Fluidos Não-newtonianos 2.2. Plástico de Bingham 2.2.1. Regime laminar F 2 4 2 4 32 161 1 . 1 4 / 3 / 3 2 1 4 / 3 / 3 pl pl v D f D c c v Dv c c                                 Ou, o fator de atrito poderia ser escrito também em termos do número de Reynolds de Bingham (ReB) e o número de Hedstrom (He):     4 2 83 1 Re 16 6 Re 3 Re F B B F B f He He f    2 0 2 pl D He     Fluido Plástico de Bingham em regime laminar satifaz a desigualdade:  44 1 Re 1 Re 8 3 3 B c c B crítico c He c c c            3 168001 c c c He c  
  • 65. 65 2.2. Plástico de Bingham 2.2.2. Regime turbulento   10 10 1 4, 53 log (1 ) 4, 53 log Re 2, 3B F F c f f       10 1 4, 53 log Re 2, 3B F F f f   Quando a perda de carga é muito alta, c (τ0/τp) pode ser muito pequeno e nesse caso a equação acima se simplifica:
  • 66. 66 2. Fluidos Não-newtonianos 2.3. Fluido Herschel-Bulkley 2.3.1. Regime laminar: 2 modos a) Solução Numérica: cálculos iterativos 16 Re F LP f                 2 2 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 2 1 n n n c c c c n c n n n                 2 2 Re 2 1 3 n n LP M n He n c               b) Solução Gráfica: figuras Re crítico, diferentes HeM e n específico HeM é Hedstrom modificado 2 2 0 n n M D He k k         
  • 67. Figura 1.10. fF para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,5. 67 Exemplo de gráfico 2.3.2. Regime turbulento: solução gráfica
  • 68. 68 REGIME LAMINAR Fanning Ou Darcy Onde: TRANSIENTE 2100< Re< 4000 Diagrama de Moody REGIME TURBULENTO a) Equação de Blasius que só é válida para tubos lisos (2.103 < Re < 105 ): fF = 0.079. Re -0,25 fD = 0,32. Re -0,25 b) Correlação de von Karman válida para tubos lisos: c) Diagrama de Moody FLUIDO NÃO NEWTONIANO LEI DA POTÊNCIA REGIME LAMINAR Onde: Laminar se a condição abaixo for atendida REGIME TURBULENTO Ou Diagrama de DODGE METZNER REGIME LAMINAR onde c: Ou onde: Verificar se é laminar com: Onde: REGIME TURBULENTO Quando perda de carga muito alta e C ser muito pequeno então: REGIME LAMINAR Onde: Para encontrarc e ψ, fazer a interação entre essas 2 últimas equações: Onde: Ou uso do gráfico fF para fluido Herschel-Bulkley onde o valor do número de Reynolds crítico a diferentes HeM para um valor particular de n. REGIME TURBULENTO uso do gráfico fF para fluido Herschel-Bulkley onde o valor do número de Reynolds crítico a diferentes HeM para um valor particular de n. FLUIDO NÃO NEWTONIANO FLUIDOS HERSCHEL BULKLEY FLUIDOS NEWTONIANOS FLUIDO NÃO NEWTONIANO PLÁSTICOS DE BINGHAM Re vD   2 1 4 Re 8 3 1 nn n LP n D v n k n                 2 2100(4 2)(5 3) Re Re 3(1 3 ) LP LP crítico n n n        (1 ( / 2 )) 100,75 1,2 1 4 0, 4 log Re n LP F F f n nf                1 2 4 2 6 16 2 Re n F n LP v k n D f D n v                       10 10 1 4, 53 log (1 ) 4, 53 log Re 2, 3B F F c f f       10 1 4, 53 log Re 2, 3B F F f f   16 Re F LP f                 2 2 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 2 1 n n n c c c c n c n n n                 2 2 Re 2 1 3 n n LP M n He n c               2 1 4 Re 8 3 1 nn n LP n D v n k n                2 2 0 n n M D He k k          0 0 0 2 4 2 p F L c D P f v          F 2 4 2 4 32 161 1 . 1 4 / 3 / 3 2 1 4 / 3 / 3 pl pl v D f D c c v Dv c c                                     4 2 83 1 Re 16 6 Re 3 Re F B B F B f He He f    2 0 2 pl D He     Re pl Dv     44 1 Re 1 Re 8 3 3 B c c B crítico c He c c c            3 168001 c c c He c   64 fD = ----- Re