Equações integrais_6fenomenosdetras.pptx

Equações Básicas na Forma
Integral para Volume de Controle
Prof.Dr. José da Paixão Lopes dos Santos
Universidade Federal de Sergipe-UFS
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia-CCET
Departamento de Engenharia Química-DEQ

Introdução
 Em termodinâmica quase sempre se trabalha com um sistema
fechado.
 Sistema fechado: uma quantidade de matéria de identidade
fixa.
Sistema Sistema
Instante t0 Instante t0 + Dt

Introdução
 Em dinâmica dos fluidos, é mais comum trabalhar com um
volume de controle, ou seja, permite o fluxo de massa através
de suas fronteiras.
 Por que a formulação de volume de controle em vez de
sistema?
1. É difícil identificar e seguir a mesma massa de fluido
durante todo processo.
2. O que interesse é o efeito do movimento da massa
sobre dispositivos e estruturas.

Leis Básicas para um Sistema
 Conservação de massa: Exige que a massa, M, de um sistema
seja constante. Em termos de taxa, tem-se:
0
dM
dt

Em que a massa do sistema, M, é:
sis
M dm d


  
 
 Segunda Lei de Newton: Estabelece que a soma de todas as
forças externas agindo sobre o sistema é igual a taxa de
variação temporal do momento linear.

dP
F
dt


r
r
Em que:
sis
P Vdm V d


  
 
r r r
 Quantidade de Momento Angular: Estabelece a taxa de variação
temporal do momento angular do sistema é igual a soma de
todos os torques que agem sob o sistema.
dL
dt
 

r
r

Em que:
sist
L r Vdm r V d


    
 
r r r
r r
 Primeira lei da termodinâmica: A expressão para a conservação
de energia do sistema em termos de taxa é:
E q w
 
& & &
Em que a energia total do sistema é expresso como:
sist
E edm e d


  
 

Em que:
2
2
v
e u gz
  
 As equações anteriores apresentam a taxa de variação
temporal de uma propriedade extensiva do sistema, Bsist.
sist
sist
B bdm b d


  
 
Em que:

, então b=1;
B=P, então b=V;
B=L, então b = r V;
B =E, então b = e.
B M


r r
r r
r

Descrição para volume de controle a partir da
descrição de sistema.
 Considere uma porção arbitrária de um fluido escoando, no
instante t0, a forma atual do sistema é assumida como a forma
do volume de controle. Após um intervalo de tempo
infinitesimal, dt, o sistema se move para uma nova posição.
VC
sist
I II III
0
t t

0
t t dt
 

 Subtraindo a primeira expressão da segunda, tem-se:
0 0
, ,
sist t VC t
B B

 
0 0
,
sist t dt VC I III t dt
B B B B
 
  
 A propriedade B do sistema nos intantes t0 e t0+dt é:
0 0 0 0 0 0
, , , , , ,
sist t dt sist t VC t dt VC t I t dt III t dt
B B B B B B
   
    
 Dividindo por dt e fazendo dt0, tem-se:
0 0 0 0 0
0
, , , , ,
0 0 0
,
0
lim lim lim
lim
sist t dt sist t VC t dt VC t I t dt
sist
dt dt dt
III t dt
dt
B B B B B
dB
dt dt dt dt
B
dt
  
  


 
  


 Da expressão acima, tem-se:
0 0
0 0
, ,
0
, ,
0
lim
lim
sist t dt sist t
sist
dt
VC t dt VC t
VC
dt
B B
dB
dt dt
B B
dB
dt dt








Em que:
VC VC
B b d

 

Então:
 
VC
VC
dB
b d
dt t


 
 

Resultando em:
  0 0
, ,
0 0
lim lim
I t dt III t dt
sist
VC dt dt
B B
dB
b d
dt t dt dt

 
 

   
 
(1) (2) (3)
(*)

 Observa-se que no instante t0+dt, há um fluxo de massa
através de uma área diferencial.
dl Vdt
dA ndA


r r
r r

 O fluxo de B que escoa através de dA o instante t0+dt é:
dB b d

 
Em que:
.
d dl dA
 
r r
Então:
 
.
dB b V n dAdt


r r
 O fluxo de B que escoa através da area total no instante
t0+dt é:
 
.
III
SC
B b V n dAdt

 
r r

 O termo 3 da equação (*), fica:
 
0
,
0
lim .
III
III t dt
dt
SC
B
b V n dA
dt



 
r r
 Fazendo o mesmo procedimeno para o termo 2
 
0
,
0
lim .
I
I t dt
dt
SC
B
b V n dA
dt



 
r r
(**)
(***)

 Combinando as Eqs. (**) e (***) com a Eq (*), chega-se em:
     
. .
I III
sist
VC
SC SC
dB
b d b V n dA b V n dA
dt t
  

   
   
r r
r r
 Combinando as duas últimas integrais, tem-se:
   
.
sist
VC
SC
dB
b d b V n dA
dt t
 

  
  
r r
Teorema de Transporte de Reynolds

sist
dB
dt
É a taxa de variação de uma propriedade extensiva,
B, dentro do sistema
 
VC
b d
t



  É a taxa de variação de uma propriedade extensiva,
B, dentro do volume de controle.
 
.
SC
b V n dA


r r
É a taxa líquida da propriedade extensiva, B,
através da superfície de controle.

Conservação de Massa
 Um dos princípios mais fundamentais da natureza é o
princípio de conservação de massa. A massa, assim como a
energia, deve ser conservada durante o processo.
0
sist
dM
dt

Em que é a massa do sistema.
sist
M
 A grandeza extensiva é a massa M. Assim, tem-se:
1
B M
b


   
.
sist
VC
SC
dM
d V n dA
dt t
 

  
  
r r

 Do princípio de conservação da massa, tem-se que:
0
sist
dM
dt

Resultando,
   
. 0
VC
SC
d V n dA
t
 

  
  
r r
Esta equação é chamada de equação da continuidade na forma
integral.

 Formas particulares da Equação da continuidade
Regime Permanente
   
. 0
VC
SC
d V n dA
t
 

  
  
r r
0
 
. 0
SC
V n dA
 

r r
Num regime permanente, o fluxo de massa que sai é igual ao
fluxo de massa que entra no volume de controle.

 
. n
SC SC
m V n dA V dA VA
  
  
 
r r
&
Em que
n
SC
V dA
V
A


Velocidade média
V
Regime Permanente e incompressível
 
. 0
SC
V n dA 

r r
A vazão volumétrica que sai é igual a vazão volumética que
entra no volume de controle.

 
.
SC
V n dA VA
  

r r
&
ou
m

 
&
&
 Uma maqueira de jardim conectada a um bocal é usada para
encher um balde de 10 galões. O diâmetro interno da
magueira é de 2 cm, e ele se reduz a 0,8 cm na saída do bocal.
São necessários 50 s para encher o balde com água,
determine. a ) As vazões em volume e massa de água através
da mangueira e b) a velocidade média da água na saída do
bocal. 1
2

1 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
m m
V A V A
V A V A
 


  
& &
&

 Um tanque cilindro de água com 4 pés de altura e 3 pés de
diâmetro cuja parte superior está aberta para a atmosfera e
inicialmente está cheio com água. Agora a tampa de descarga
próxima à parte inferior do tanque é retirada, e sai um jato de
água cujo diâmetro é de 0,5 pol. A velocidade média do jato é
dada por , em h é a altura da água no tanque medida
a partir do centro do orifício e g é a aceleração da gravidade.
Determine o tempo necessário para que o nível da água no
tanque caia para 2 pés a partir da sua parte inferior.
2
V gh


   
. 0
VC
SC
d V n dA
t
 

  
  
r r
   
. 0
VC
SC
d V n dA
t
 

  
  
r r
 
. 0
VC
SC
d
V n dA
dt
 

 

r r
2
4
VC
D
h

 
2
4
VC
d D dh
dt dt




 
2
. 2 .
4
SC
d
V n dA gh

 


r r
2 2
2 . 0
4 4
D dh d
gh
dt
 
 
(0) 4
h 

Análise de Momento nos Sistemas
de Escoamento: Leis de Newton
1º Lei de Newton: Um corpo em repouso permanece em
repouso e um corpo em movimento permanece em movimento à
mesma velocidade, em uma trajetória retilínea, quando a força
líquida que atua sobre ele é nula.
2º Lei de Newton: A aceleração de um corpo é proporcional à
força resultante que atua sobre ele e é inversamente
proporcional a sua massa.
3º Lei de Newton: Quando um corpo exerce uma força em um
segundo corpo, o segundo corpo exerce uma força igual e
oposta sobre o primeiro corpo.

 Para um corpo rígido de massa, m, a segunda lei de Newton
é expressa como:
 
d mV
dV
F ma m
dt dt
  
r
r
r r (1)
Em que é a força resultante que atua sobre o corpo e é
a aceleração do corpo sob influência de .
F
r
a
r
F
r
 O produto da massa pela velocidade de um corpo é chamado
de momento linear ou quantidade de movimento.
m
V
r
m
mV
r

 A segunda lei de Newton pode ser enunciada como a taxa de
variação temporal do momento de um corpo é igual a força
resultante que atua sobre o corpo.
 O equivalente da segunda lei de Newton para corpos rígidos
em rotação é:
Ia
 
r r
Em que é o torque resultante que atua sobre o corpo, I
é o momento de inércia e é aceleração angular.

r
a
r

 Em termos da taxa de variação angular do momento angular,
 
d I
d dH
Ia I
dt dt dt


    
r
r
r
r r
Em que, é a velocidade angular.

r
 A equação do momento angular pode ser enunciado como:
A taxa de variação do momento angular de um corpo é igual ao
torque resultante que atua sobre ele.

 O momento angular total de um corpo em rotação permanece
constante quando o torque resultante que atua sobre ele é zero
e, portanto, o momento angular do sistema é conservado.

Forças que Atuam sobre um Volume de Controle
 As forças que atuam sobre um volume de controle consistem
em:
 Forças de campo;
 Forças de Superfície.
 As forças de campo agem em toda parte do volume de
controle.
 As forças superficiais agem sobre as superfícies de controle
(forças de pressão e viscosas e as forças de reação nos pontos
de contato.

Forças que Atuam sobre um Volume de Controle
 Força total agindo no volume de controle:
sup
campo erficie
F F F
 
 
r r r

Equação do Momento
 O teorema de transporte de Reynolds pode ser expresso para
o momento como:
 
   
.
sist
VC
SC
d mV
V d V V n dA
dt t
 

  
  
r
r r r r
 Mas, sabe-se que:
 sist
d mV
F
dt


r
r
(12)
(13)
 Substituindo a Eq (13) na Eq. (12), tem-se:
   
.
r
VC
SC
F V d V V n dA
t
 

  

  
r r r r r
Em que é a velocidade do fluido com relação a superfície de
controle.
r SC
V V V
 
r r r
(14)

A soma de todas as forças
externas agindo no fluido
no VC.
=
A taxa de variação
temporal do momento
linear do conteúdo de VC
+
A taxa de escoamento do
momento para fora da SC
por escoamento de massa.
 Observação:
 Na maioria dos sistemas de escoamento, as forças
consistem em pesos, forças de pressão e forças de reação.

 Casos Especiais:
 Regime permanente
 
.
r
SC
F V V n dA


 
r r r r
  0
VC
V d
t


 
 
r
(15)
A Eq. (14) é exata, mas nem sempre é conveniente para
resolver problemas práticos de engenharia por causa das
integrais. Assim, pode-se reescrever a equação na forma
algébrica e não na forma integral.
 
.
r
SC
m V n dA VA
 
 

r r
&

 Se é uniforme através das entradas ou sáidas, tem-se:
V
r
 
.
r
SC
V V n dA V VA mV
 
 

r r r r
r
&
 Aproximação uniforme: Entrada ou saída arredondadas, um
corte através de um jato de água livre no ar.
 Infelizmente, a velocidade através da maioria das entradas ou
saídas não é uniforme. Portanto, é necessário usar um fator de
correção ,b, chamado de fator de correção do fluxo de momento.
(16)

 Assim, a forma algébrica da Eq. (14) fica:
 
VC
s e
F V d mV mV
t
 b b

   

  

r r
r r
& & (17)
Em que:
2
1
C SC
V
dA
A V
b
 
  
 
 (18)
 Para escoamento turbulento: 1
b 
 Para escoamento laminar não deve ser desprezado.
b

 Para escoamento permanente,
s e
F mV mV
b b
 
  
r r
r
& &
 Para escoamento permanente com uma entrada e uma
saída.
 
2 2 1 1
F m V V
b b
 

r r r
&
2 – Saída.
1- Entrada.
 Escoamento sem Forças Externas.
0
F 

r

 
0
VC
s e
d
mV mV mV
dt
b b
  
 
r r
r
& &
  VC
VC VC
VC
dV
d
F mV m
dt dt
 
r
r
 Empuxo
VC
e s
F mV mV
b b
 
 
r r
r
& &

Um cotovelo redutor é usado para defletir de 30° o escoamento
de água a uma taxa de 14 kg/s em um tudo horizontal ao mesmo
tempo que o acelera. O cotovelo descarrega água na atmosfera. A
área de seção transversal do cotovelo é de 113 cm3 na entrada e
7 cm2 na saída. A diferença de elevação entre os centros da saída
e da entrada é de 30 cm. O peso do cotovelo e da água que há
nele são desconsideradas desprezíveis. Determine a força de
ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar.

Água é acelerada por um bocal a uma velocidade média de 20
m/s e atinge uma placa vertical fixa a taxa de 10 kg/s com
velocidade de 20 m/s. após o choque, a corrente de água se
espalha em todas as direções do plano da placa. Determine a
força necessária para evitar que a placa se movimento
horizontalmente devido a corrente de água.

Equação do Momento Angular
 Muitos problemas de Engenharia envolvem o momento linear
das correntes de escoamento e os efeitos rotacionais causados
por elas.
 Tais problemas são melhor analisados pela equação do
momento angular.
• Turbomáquinas Turbinas
Bombas
Centrífugas
Ventiladores

 O momento de um força em relação a um ponto O é o
produto vetorial,
r F
  
r
r r
Em que é o vetor momento de posição do ponto O até
qualquer ponto na reta de ação de
r
r
F
r
 O produto vetorial de dois vetores é um vetor cuja reta de
ação é normal ao plano que contém os vetores multiplicados e
cujo módulo é:
r r sen
  
 
r r r r
(1)
(2)

 Substituindo o vetor na Eq.(1) por , tem-se:
F
r  
d mV
dt
r
 
d mV
r
dt
  
r
r r (3)
 
d r mV dV dr
mr m V
dt dt dt

   
r
r r r r
r
0
Então,
 
d r mV
dt



r
r
r
Sendo,
H r mV
 
r r
r (4)

Em que é o momento angular em relação ao ponto O.
H
r
Assim, é o momento angular por unidade de massa e o
momento angular de uma massa infinitesimal, é:
r V

r
r
dm d

 
dH r Vdm
 
r r
r
 O momento angular de um sistema é determinado pela
integração como:
sist
sist
H r V d

  

r r
r
(5)
(6)

 A taxa de variação temporal do momento angular é:
sist
sist
dH d
r V d
dt dt

 
  
 
 

r
r
r
Sabe-se que:
sist
dH
dt
 

r
r
Em que:
 
r F
  
 
r
r r
A taxa de variação do momento angular de uma sistema é igual
ao torque total que age sobre o sistema.
(7)
(8)

 A formulação geral da equação do momento angular para o
volume de controle é:
b r V
 
r
r
B r Vm
 
r
r
 
     
.
sist
VC
SC
dH
r V d r V V n dA
dt t
 

    
  
r
r r r
r r r
(9)
 Substituindo o lado esquerdo da Eq (9) pela Eq. (8), resulta
em:
 
     
.
VC
SC
r V d r V V n dA
t
  

    

  
r r r
r r r (10)

A soma de todos os torques
externos agindo no VC =
A taxa de variação temporal
do momento angular do
conteúdo do VC
+
A taxa de momento para fora
da SC por escoamento de
massa.

 Casos Especiais:
Escoamento em Regime Permanente
   
.
SC
r V V n dA
 
 
 
r r
r r r
Em que é constante ao longo da entrada ou sáida, valor médio
de é usado em toda área de seção transversal da entrada ou sáida.
r
r
r
r
(11)
 
 
VC
S e
r V d r mV r mV
t
 

      

  

r r r
r r r r
& & (12)

Se o escoamento for estacionário,
S e
r mV r mV
    
  
r r
r r r
& & (13)
O torque total que age sobre o volume de controle durante o
escoamento em regime permanente é igual a diferença entre as
taxas do momento angular de entrada e de saída.
Escoamento sem Torques Externos
0 VC
S e
dH
r mV r mV
dt
    
 
r r
r r
& & (14)

Na ausência de torques externos, a taxa de variação do momento
angular de um volume de controle é igual à diferença entre os
fluxos do momento angular de entrada e saída.
VC
e s
dH
I r mV r mV
dt

    
 
r r
r r r
& &

Princípio de Conservação da Energia
 Considere um sistema que troca calor e trabalho com a
vizinhança. De acordo com a primeira lei, tem-se:
Sistema
q
&
W
&
sist
dE
q W
dt
  &
&
 A primeira lei da termodinâmica aplicável a um volume de
controle pode ser obtida a partir do teorema de transporte de
Reynolds.
(1)

   
.
sist
VC
SC
dE
e d e V n dA
dt t
 

  
  
r r
(2)
 Da Eq.(1), tem-se que:
   
.
VC
SC
q W e d e V n dA
t
 

   
  
r r
&
&
Em que:
2
2
V
e gy u
  
(3)
(4)

Fluxo líquido de calor que
Entra no VC +
Taxa líquida de trabalho
realizada pelo fluido do VC
sobre a vizinhança
=
Fluxo líqido de energia total
que atravessa a superfície de
controle
Taxa de variação temporal
da enrgia total dentro do VC
+

 Há diferentes formas de realização de trabalho:
eixo escoamento cisalhamento
W W W W
  
& & & &
(5)
eixo
W
& Transmitido para vizinhança (ou da vizinhança para o VC)
por meio de um eixo que atravessa a superfície de controle.
escoamento
W
& Trabalho realizado pelas forças de pressão.
 
cisalhamento
W W

& & Trabalho realizado pelo fluido contras as tensões
cisalhantes (atrito viscoso).

W
& Trabalho realizado pelo fluido contras as tensões cisalhantes
(atrito viscoso).

Determinação da potência de escoamento:
 O trabalho é o produto escalar da força aplicada pelo
deslocamento.
.
W F dS
 
r
r
(6)
 A taxa de trabalho realizada é dada por:
. .
W dS
F F V
dt dt

 
r
r r r
(7)
Em que é a velocidade de escoamento do fluido.
V
r

 O trabalho realizado pelo volume de controle contra ação de
uma força é:
F
r
.
W F V
 
r r
&
Para , tem-se:
F nPdA

r r
 
.
W P V n dA
 
r r
&
(8)
(9)
 A potência de escoamento é a taxa de trabalho realizada pelas
forças normais considerando toda superfície de controle,
 
.
escoamento
SC
W P V n dA
 
r r
& (10)

 Assim, tem-se:
     
. .
eixo VC
SC SC
q W P V n dA e d e V n dA
t
 

    

  
r r
r r
&
& (11)
 Rearranjando a Eq.(11), obtém-se:
   
.
eixo VC
SC
P
q W e d e V n dA
t
 

 

    
 
  
 
r r
&
& (12)
Equação da Energia

 Para , tem-se:
P
e uniforme

 
 
 
 
VC
eixo
s e
E P P
q W e m e m
t  
    
     
   
    
 
&
& & &
1 2
P P
e u h
m m m
 
 
   
 
 
 
& & &
 
2 1
eixo
W h h m
 
& &

Equação de Bernoulli
2
1
2
V
r
1
V
r
1
Z
2
Z
1
P
2
P
V.C
S.C
Plano de referência
 Representa a conservação da energia mecânica ao longo de uma
linha de corrente ou de um tubo de corrente.

 Hipóteses:
• Escoamento incompressível;
• Regime permanente;
• Propriedades constantes nas seções transversais;
• Escoamento sem efeitos viscosos;
• Não há troca de calor;
• Não há trabalho de eixo.
 Para essas hipóteses, a equação da energia fica reduzida a:
 
. 0
SC
P
e V n dA


 
 
 
 

r r
Há uma entrada 1 e uma saída 2

2 2
1 2
1 2
2 2
V P V P
u gZ m u gZ m
 
   
      
   
   
& &
 Pela equação da continuidade 1 2
m m

& &
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
V P V P
u gZ u gZ
 
      
 Para escoamento isotérmico, e dividindo por g, tem-se:
1 2
u u

2 2
1 1 2 2
1 2
1 2
2 2
V P V P
Z Z H
g g g g
 
     

Em que,
2
2
V
g
-Carga da velocidade;
P
g

-Carga da pressão;
Z -Carga de elevação.
H -Energia total correspondente a energia mecânica.

 A equação de Bernoulli é uma relação aproximada entre
pressão, velocidade e elevação e é válida em regiões de
escoamento incompressível e em regime permanente, onde as
forças viscosas são desprezíveis:

Dedução:
 Descrever o movimento de uma partícula em termos de sua
distância S ao longo da linha de corrente juntamente com o raio
de curvatura ao longo da linha da corrente. A velocidade da
partícula é dada por:
dS
V
dt

 A aceleração, em um escoamento bidimensional, pode ser
decomposta em dois componentes:
• Aceleração na direção da linha de corrente (aS).
• Aceleração normal (an).

 Considere a velocidade V de uma partícula do fluido função de
S e t.
V
S
t
t
 Derivando V em relação a t, tem-se:
S
dV V dS V
a
dt S dt t
 
  
 
0
 Aplicando a segunda lei de Newton, na direção S, a partícula
se movimenta ao longo de uma linha de corrente, tem-se:

S S
F ma



 As forças que atuam em uma partícula de fluido ao longo de
uma linha de corrente.
 
dV
PdA P PdP dA Wsen mV
dS

   
Sabe-se que:
W dSdAg

 m dSdA
 
  
dZ
sen
dx
 
 A Eq.(1) fica:
(1)
dZ dV
dPdA gdSdA dSdAV
dS dS
 
   (2)

 Dividindo a Eq.(2) por dA,
dP gddZ VdV
 
   (3)
Com, e dividindo por
2
1
2
d V VdV
 

 
 

2
1
0
2
dP
gdZ d V

 
  
 
 
(4)
 Integrando a Eq(4), tem-se:
2
1
2
dP
V gZ C

  


 Para o escoamento incompressível, tem-se:
2
1
2
P
V gZ C

  
A equação de Bernoulli afirma que a soma das energias
cinética, potencial e de escoamento de uma partícula de fluido
é constante ao longo de uma linha de corrente.

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