Secao6 s1 Incropera

1. 6S.1
Dedução das Equações da Transferência Convectiva
No Capítulo 2, analisamos uma substância estacionária na qual calor é transferido
por condução e desenvolvemos meios para determinar a distribuição de temperaturas
no interior da substância. Fizemos isto aplicando a conservação de energia em um
volume de controle diferencial (Figura 2.11) e deduzindo uma equação diferencial
que foi chamada de equação do calor. Para uma geometria e condições de contorno
especificadas, pode-se resolver a equação para determinar a distribuição de tempe-
raturas correspondente.
Se a substância não estiver estacionária, as condições tornam-se mais complexas.
Por exemplo, se a conservação de energia for aplicada a um volume de controle dife-
rencial em um fluido em movimento, os efeitos do movimento do fluido (advecção)
sobre a transferência de energia através das superfícies do volume de controle devem
ser necessariamente considerados, em conjunto com os efeitos da condução.A equação
diferencial resultante, que fornece a base para a previsão da distribuição de tempera-
turas, agora requer o conhecimento do campo de velocidades. Esse campo deve, por
sua vez, ser determinado pela solução de equações diferenciais adicionais deduzidas
com a aplicação da conservação de massa e da segunda lei de Newton do movimento
em um volume de controle diferencial.
Nesse material suplementar, analisamos condições que envolvam o escoamento de
um fluido viscoso no qual há transferência de calor e transferência de massa simul-
tâneas. Nosso objetivo é deduzir equações diferenciais que possam ser usadas para
prever os campos de velocidades, de temperaturas e de concentrações de espécies no
interior do fluido. Fazemos isto aplicando a segunda lei do movimento de Newton e
as conservações de massa, de energia e de espécies em um volume de controle dife-
rencial. Para simplificar essa dedução, restringimos nossa atenção ao escoamento bidi-
mensional em regime estacionário nas direções x e y de um sistema de coordenadas
cartesianas. Conseqüentemente, uma profundidade unitária pode ser atribuída para a
direção z, desta forma fornecendo um volume de controle diferencial com extensão
(dx  dy  1).
6S.1.1 Conservação de Massa
Uma lei de conservação que é pertinente ao escoamento de um fluido viscoso dita
que a matéria não pode ser criada ou destruída. Enunciada no contexto do volume
de controle diferencial da Figura 6S.1, essa lei exige que, para o escoamento em
regime estacionário, a taxa líquida de entrada de massa no volume de controle (en-
trada  saída) deve ser igual a zero. Massa entra e sai do volume de controle exclu-
sivamente devido ao movimento global do fluido. O transporte devido a esse tipo
de movimento é freqüentemente designado por advecção. Se um vértice do volume
de controle está localizado em (x, y), a taxa à qual a massa entra no volume de con-
trole através da superfície perpendicular a x pode ser representada por (u)dy, onde
 é a densidade mássica total (  A  B) e u é o componente, na direção x, da
velocidade mássica média. O volume de controle possui profundidade unitária na
direção z. Como  e u podem variar com x, a taxa à qual a massa deixa o volume de
controle na superfície em x  dx pode ser representada por uma expansão em série
de Taylor com a forma
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2. CD-20 Capítulo 6S.1
se usarmos um resultado simular para a direção y, a exigência de conservação de
massa torna-se
Cancelando termos e dividindo por dx dy, obtemos
A Equação 6S.1, a equação da continuidade, é uma expressão geral para a exigência
da conservação de massa em termos globais, devendo ser satisfeita em todos os pontos
no interior do fluido.A equação se aplica a um fluido composto por uma única espécie,
assim como em misturas nas quais podem estar ocorrendo a difusão de espécies e
reações químicas. Se o fluido for incompressível, a densidade  é uma constante e a
equação da continuidade se reduz a
6S.1.2 Segunda Lei do Movimento de Newton
A segunda lei fundamental que é pertinente ao escoamento de um fluido viscoso é
a segunda lei do movimento de Newton. Para um volume de controle diferencial no
fluido, essa exigência estabelece que a soma de todas as forças que atuam sobre o
volume de controle deve ser igual à taxa líquida à qual o momento deixa o volume
de controle (saída  entrada).
Dois tipos de força podem atuar sobre o fluido: forças de corpo, que são proporcio-
nais ao volume, e forças de superfície, que são proporcionais à área. Campos gravita-
cional, centrífugos, magnéticos e/ou elétricos podem contribuir para a força de corpo
total, e designamos por X e Y os componentes nas direções x e y, respectivamente,
dessa força por unidade de volume de fluido. As forças de superfície F são devidas
à pressão estática do fluido, assim como às tensões viscosas. Em qualquer ponto no
interior do fluido, a tensão viscosa (uma força por unidade de área) pode ser decom-
posta em dois componentes perpendiculares, os quais incluem uma tensão normal ii
e uma tensão de cisalhamento ij (Figura 6S.2).
Uma notação com índice subscrito duplo é usada para especificar os componentes
da tensão. O primeiro índice indica a orientação da superfície, fornecendo a direção
da sua normal (o sentido da normal é para fora do volume de controle). O segundo
índice representa a direção do componente da força. Assim, para a superfície x da
FIGURA 6S.1 Volume de controle diferencial (dx  dy  1) para a conservação de massa em um
escoamento bidimensional de um fluido viscoso.
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3. Dedução das Equações da Transferência Convectiva CD-21
Figura 6S.2, a tensão normal xx corresponde a um componente de força normal à
superfície e a tensão de cisalhamento xy corresponde a uma força que atua ao longo
da superfície na direção y. Todos os componentes da tensão mostrados são positivos,
visto que a normal à superfície e o componente da força se encontram no mesmo
sentido. Ou seja, ambos se encontram no sentido positivo ou no sentido negativo da
coordenada. Por essa convenção as tensões viscosas normais são tensões de tração.
Em contrapartida, a pressão estática que se origina de uma força externa que atua
sobre o fluido no volume de controle representa, conseqüentemente, uma tensão de
compressão.
Algumas características da tensão viscosa merecem ser observadas. A força
associada é entre elementos adjacentes do fluido, sendo uma conseqüência natural
do movimento do fluido e de sua viscosidade. Presume-se, portanto, que as forças
de superfície mostradas na Figura 6S.2 atuam sobre o fluido no interior do volume
de controle e são atribuídas à sua interação com o fluido adjacente. Essas tensões
devem desaparecer se a velocidade do fluido, ou o gradiente da velocidade, for
reduzido a zero. Nesse sentido, as tensões viscosas normais (xx e yy) não podem
ser confundidas com a pressão estática, que não se reduz a zero na ausência de
velocidade.
Cada uma dessas tensões pode variar continuamente em cada uma das direções
coordenadas. Usando uma expansão em série de Taylor para as tensões, podemos
representar a força de superfície líquida para cada uma das duas direções por
Para usar a segunda lei de Newton, também devemos avaliar os fluxos de momento
no fluido para o volume de controle. Se focalizarmos nossa atenção na direção x, os
fluxos relevantes são mostrados na Figura 6S.3. Uma contribuição para o fluxo de
momento total na direção x é dada pelo escoamento de massa em cada uma das duas
direções. Por exemplo, o fluxo de massa através da superfície x (no plano y-z) é (u),
e o fluxo de momento na direção x correspondente é (u)u. Analogamente, o fluxo
de momento na direção x devido ao escoamento de massa através da superfície y (no
plano x-z) é (v)u. Esses fluxos podem variar em cada uma das direções coordenadas
e a taxa líquida à qual o momento na direção x sai do volume de controle é
FIGURA 6S.2 Tensões normais e cisalhantes viscosas em um volume de controle diferencial
(dx  dy  1) em um escoamento bidimensional de um fluido viscoso.
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4. CD-22 Capítulo 6S.1
Igualando a taxa de variação do componente do momento do fluido na direção x à
soma das forças que atuam na mesma direção x, obtemos
Pode-se colocar essa expressão em uma forma mais conveniente efetuando-se as
derivadas no lado esquerdo da equação e substituindo-se a equação da continuidade,
Equação 6S.1, o que fornece
Uma expressão similar pode ser obtida para a direção y, tendo a forma
Não podemos perder de vista os fenômenos físicos representados pelas Equações
6S.6 e 6S.7. As duas parcelas no lado esquerdo de cada equação representam a taxa
líquida de saída de momento do volume de controle.As parcelas no lado direito levam
em consideração as forças líquidas viscosas e de pressão, assim como as forças de
corpo. Essas equações devem ser satisfeitas em cada ponto do fluido e, em conjunto
com a Equação 6S.1, podem ser resolvidas para fornecer o campo de velocidades.
Antes que uma solução para as equações anteriores possa ser obtida, é necessário
relacionar as tensões viscosas às outras variáveis do escoamento. Essas tensões
estão associadas à deformação do fluido e são funções de sua viscosidade e dos
gradientes de velocidade. Na Figura 6S.4 fica evidente que uma tensão normal
deve produzir uma deformação linear no fluido, enquanto uma tensão de cisalha-
mento produz uma deformação angular. Além disso, a magnitude de uma tensão
é proporcional à taxa à qual a deformação ocorre. A taxa de deformação está, por
sua vez, relacionada à viscosidade do fluido e aos gradientes de velocidade exis-
tentes no escoamento. Para um fluido newtoniano,1
as tensões são proporcionais
1
Um fluido newtoniano é aquele no qual a tensão cisalhante é proporcional de forma linear à taxa de defor-
mação angular. Todos os fluidos de interesse no texto são newtonianos.
FIGURA 6S.3 Fluxos de momento para um volume de controle diferencial (dx  dy  1) em um
escoamento bidimensional de um fluido viscoso.
FIGURA 6S.4 Deformações de um elemento de fluido devidas a tensões viscosas. (a) Deformação
linear devida à tensão normal. (b) Deformação angular devida a tensões de cisalhamento.
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5. Dedução das Equações da Transferência Convectiva CD-23
aos gradientes de velocidade e a constante de proporcionalidade é a viscosidade do
fluido. Entretanto, devido à sua complexidade, o desenvolvimento dessas relações
específicas é deixado para a literatura [1] e nos limitamos à sua apresentação. Em
particular, foi demonstrado que
Substituindo-se as Equações 6S.8 a 6S.10 pelas Equações 6S.6 e 6S.7, as equações
para os componentes do momento nas direções x e y tornam-se
As Equações 6S.1, 6S.11 e 6S.12 fornecem uma representação completa das condições
em um escoamento viscoso bidimensional e o campo de velocidades correspondente
pode ser determinado pela resolução dessas equações. Uma vez conhecido o campo
de velocidades, a obtenção da tensão de cisalhamento na parede s torna-se uma tarefa
simples, através do emprego da Equação 6.2.
As Equações 6S.11 e 6S.12 podem ser simplificadas para um fluido incompres-
sível com viscosidade constante. Se rearranjarmos o lado direito de cada expressão
e substituirmos a Equação 6S.2, as equações do momento nas direções x e y tornam-
se
6S.1.3 Conservação de Energia
Para aplicar a exigência de conservação da energia (Equação 1.11c) em um volume
de controle diferencial em um fluido viscoso com transferência de calor (Figura
6S.5), é necessário, em primeiro lugar, delinear os processos físicos relevantes. Se
os efeitos da energia potencial forem tratados como trabalho efetuado pelas forças
de corpo, a energia por unidade de massa do fluido inclui a energia interna térmica
e a energia cinética V2
/2, onde V2
 u2
 v2
. Assim, as energias térmica e ciné-
tica são transportadas por advecção pelo movimento global do fluido através das
superfícies de controle. Para a direção x, a taxa líquida à qual essa energia entra no
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6. CD-24 Capítulo 6S.1
volume de controle é
Energia também é transferida através da superfície de controle por processos molecu-
lares. Podem existir duas contribuições: aquela devida à condução e à transferência de
energia em função da difusão das espéciesA e B. Entretanto, somente em escoamentos
quimicamente reativos é que a difusão mássica das espécies influencia fortemente as
condições térmicas. Por isso, esse efeito é desprezado no presente desenvolvimento.
Para o processo de condução, a transferência líquida de energia para o interior do
volume de controle é
Energia também pode ser transferida para e a partir do fluido no interior do volume
de controle por interações de trabalho, envolvendo forças de corpo e de superfície. A
taxa líquida à qual trabalho é efetuado sobre o fluido pelas forças na direção x pode
ser representada por
A primeira parcela no lado direito da Equação 6S.17 representa o trabalho efetuado
pela força de corpo e as parcelas restantes levam em consideração o trabalho líquido
efetuado pelas forças de pressão e viscosas.
Usando as Equações 6S.15 a 6S.17, assim como as equações análogas para a direção
y, a exigência de conservação da energia (Equação 1.11c) pode ser escrita como
FIGURA 6S.5 Volume de controle
diferencial (dx  dy  1) para a
conservação de energia em um
escoamento bidimensional de um
fluido viscoso com transferência
de calor.
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7. Dedução das Equações da Transferência Convectiva CD-25
onde q é a taxa à qual energia térmica é gerada por unidade de volume. Essa expressão
fornece uma forma geral da exigência de conservação da energia para o escoamento
de um fluido viscoso com transferência de calor.
Como a Equação 6S.18 representa a conservação das energias cinética e interna
térmica, ela é raramente usada na resolução de problemas de transferência de calor.
Em seu lugar, uma forma mais conveniente, que é conhecida por equação da energia
térmica, é obtida pela multiplicação das Equações 6S.6 e 6S.7 por u e v, respectiva-
mente, e pela subtração dos resultados da Equação 6S.18. Após uma considerável
manipulação algébrica, tem-se que [2]
onde a parcela p(u/x  v/y) representa uma conversão reversível entre trabalho
mecânico e energia térmica, e , a dissipação viscosa, é definida como
A primeira parcela no lado direito da Equação 6S.20 tem sua origem nas tensões
de cisalhamento viscosas e as parcelas restantes aparecem em função das tensões
normais viscosas. Em conjunto, as parcelas levam em consideração a taxa à qual
trabalho mecânico é irreversivelmente convertido em energia térmica devido aos
efeitos viscosos no fluido.
Se o fluido for incompressível, as Equações 6S.19 e 6S.20 podem ser simplificadas
pela substituição da Equação 6S.2.Além disto, com de  cvdT e cv  cp para um fluido
incompressível, a equação da energia térmica pode então ser escrita na forma
A equação da energia térmica pode também ser escrita em termos da entalpia do
fluido i, em vez de em termos da sua energia interna e. Introduzindo a definição de
entalpia,
e utilizando a Equação 6S.1 para substituir a terceira parcela no lado direito da Equação
6S.19 por derivadas espaciais de p e (p/), podemos escrever a equação da energia
na forma [2]
Se o fluido puder ser aproximado como um gás perfeito, di  cpdT, a Equação 6S.24
torna-se
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8. CD-26 Capítulo 6S.1
6S.1.4 Conservação de Espécies
Se o fluido viscoso é constituído por uma mistura binária na qual há gradientes de
concentração das espécies (Figura 6.9), ocorrerá transporte relativo das espécies e a
conservação da espécie tem que ser satisfeita em cada ponto no fluido.A forma perti-
nente da equação da conservação pode ser obtida pela identificação dos processos
que afetam o transporte e a geração da espécie A em um volume de controle dife-
rencial no fluido.
Considere o volume de controle da Figura 6S.6. A espécie A pode ser transportada
por advecção (com a velocidade média da mistura) e por difusão (relativa ao movi-
mento médio da mistura) em cada uma das direções coordenadas. A concentração
também pode ser afetada por reações químicas e designamos a taxa à qual a massa da
espécie A é gerada por unidade de volume devido a tais reações por nA .
A taxa líquida à qual a espécie A entra no volume de controle devido à advecção
na direção x é
Analogamente, multiplicando ambos os lados da lei de Fick (Equação 6.6) pela massa
molar A(kg/kmol) da espécie A para determinar o fluxo difusivo, a taxa líquida à
qual a espécie A entra no volume de controle devido à difusão na direção x é
Expressões análogas às Equações 6S.26 e 6S.27 podem ser formuladas para a direção y.
Com referência à Figura 6S.6, a exigência de conservação da espécie A é
Substituindo as Equações 6S.26 e 6S.27, assim como as formas análogas para a direção
y, tem-se que
FIGURA 6S.6 Volume de controle diferencial (dx  dy  1) para a conservação de uma espécie
em um escoamento bidimensional de um fluido viscoso com transferência de massa.
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9. Dedução das Equações da Transferência Convectiva CD-27
Uma forma mais útil dessa equação pode ser obtida pela expansão das parcelas
no lado esquerdo e pela utilização da equação da continuidade global para um fluido
incompressível. A Equação 6S.29 então se reduz a
ou, na forma molar,
EXEMPLO 6S.1
Uma das poucas situações que permitem a obtenção de soluções exatas para as equa-
ções de transferência convectiva envolve o que é chamado de escoamento paralelo.
Nesse caso, o movimento do fluido ocorre somente em uma direção. Considere o caso
especial de escoamento paralelo envolvendo uma placa estacionária e outra em movi-
mento, ambas com extensão infinita e separadas por uma distância L. O espaço entre
as placas é preenchido por um fluido incompressível. Essa situação é conhecida por
escoamento de Couette e ocorre, por exemplo, na lubrificação de um mancal.
1. Qual é a forma apropriada da equação da continuidade (Equação D.1)?
2. Partindo da equação do momento (Equação D.2), determine a distribuição de velo-
cidades entre as placas.
3. Partindo da equação da energia (Equação D.4), determine a distribuição de tempe-
raturas entre as placas.
4. Considere condições nas quais o fluido que preenche o espaço entre as placas é
óleo de motor com a distância entre elas de L  3 mm. A velocidade da placa em
movimento é U  10 m/s e as temperaturas nas placas estacionária e em movi-
mento são T0  10°C e TL  30°C, respectivamente. Calcule o fluxo térmico para
cada placa e determine a temperatura máxima no óleo.
SOLUÇÃO
Dados: Escoamento de Couette com transferência de calor.
Achar:
1. Forma da equação da continuidade.
2. Distribuição de velocidades.
3. Distribuição de temperaturas.
4. Fluxos térmicos nas superfícies e temperatura máxima no óleo para as condições
especificadas.
Esquema:
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10. CD-28 Capítulo 6S.1
Considerações:
1. Condições de regime estacionário.
2. Escoamento bidimensional (sem variações na direção z).
3. Fluido incompressível com propriedades constantes.
4. Inexistência de forças de corpo.
5. Sem geração interna de energia.
Propriedades: Tabela A.8, óleo de motor(20°C):   888,2 kg/m3
, k 
0,145 W/(m  K);   900  106
m2
/s,     0,799 N  s/m2
.
Análise:
1. Para um fluido incompressível ( constante) e escoamento paralelo (v  0), a
Equação D.1 se reduz a
A implicação importante desse resultado é que, embora dependente de y, o compo-
nente u da velocidade na direção x é independente de x. Então, pode-se dizer que
o campo de velocidades encontra-se completamente desenvolvido.
2. Para condições bidimensionais, em regime estacionário, com v  0, (u/x)  0
e X  0, a Equação D.2 se reduz a
Entretanto, no escoamento de Couette, o movimento do fluido não é mantido
por um gradiente de pressão, p/x, mas sim por uma força externa que promove
o movimento da placa superior em relação à placa inferior. Dessa forma,
(p/x)  0. Assim, a equação do momento na direção x se reduz a
A distribuição de velocidades desejada pode ser obtida pela resolução dessa
equação. Integrando duas vezes, obtemos
onde C1 e C2 são as constantes de integração. Aplicando as condições de
contorno
temos que C2  0 e C1  U/L. A distribuição de velocidades é então
3. A equação da energia (Equação D.4) pode ser simplificada para as condições
especificadas. Em particular, com v  0, (u/x)  0 e q  0, tem-se que
No entanto, como as placas superior e inferior se encontram a temperaturas
uniformes, o campo de temperaturas também deve estar completamente desen-
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11. Dedução das Equações da Transferência Convectiva CD-29
volvido, caso em que (T/x)  0. A forma apropriada da equação da energia é
então
A distribuição de temperaturas desejada pode ser obtida pela solução dessa
equação. Reordenando e substituindo a expressão para a distribuição de veloci-
dades, temos
Integrando duas vezes, obtemos
As constantes de integração podem ser obtidas a partir das condições de
contorno
caso em que
4. Conhecendo a distribuição de temperaturas, os fluxos térmicos nas superfícies
podem ser obtidos por meio da lei de Fourier. Assim,
Nas superfícies inferior e superior, respectivamente, tem-se que
Portanto, para os valores numéricos especificados,
A localização do ponto em que a temperatura no óleo é máxima pode ser deter-
minada pela exigência de que
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12. CD-30 Capítulo 6S.1
Explicitando y, tem-se que
ou, para as condições especificadas,
Substituindo o valor de ymáx na expressão para T(y),
Comentários:
1. Dado o efeito significativo da dissipação viscosa nas condições especificadas,
a temperatura máxima ocorre no óleo e há transferência de calor do óleo para
a placa quente, assim como para a placa fria. A distribuição de temperaturas é
uma função da velocidade da placa em movimento e o efeito dessa velocidade é
mostrado esquematicamente a seguir.
Para velocidades inferiores a U1, a temperatura máxima corresponde à da placa
quente. Para U  0 não há dissipação viscosa e a distribuição de temperaturas é
linear.
2. Lembre que as propriedades físicas foram avaliadas a T  (TL  T0)/2  20°C,
que não é um bom valor para a temperatura média no óleo. Para cálculos mais
precisos, as propriedades devem ser obtidas em um valor mais apropriado para
a temperatura média (por exemplo, T  55°C) e os cálculos devem ser repe-
tidos.
Referências
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13. Dedução das Equações da Transferência Convectiva CD-31
Problemas
Equações de Conservação e Soluções
mente. Se Pr  Ec  1, os efeitos da dissipação viscosa
podem ser desprezados. Considere um escoamento de
Couette no qual uma placa se move a 10 m/s e uma
diferença de temperaturas de 25°C é mantida entre as
placas. Estimando as propriedades a 27°C, determine
o valor de Pr  Ec para o ar, a água e o óleo de motor.
Qual o valor de Pr  Ec para o ar se a placa mover-se à
velocidade do som?
6S.6 Considere um escoamento de Couette no qual a placa
em movimento é mantida a uma temperatura uniforme
e a placa estacionária encontra-se termicamente isolada.
Determine a temperatura da placa isolada, apresentando
o seu resultado em função das propriedades do fluido,
da temperatura e da velocidade da placa em movimento.
Obtenha uma expressão para o fluxo térmico na placa
em movimento.
6S.7 Considere um escoamento de Couette com transferência
de calor no qual a placa inferior (pm), que se encontra
perfeitamente isolada, move-se a uma velocidade de U
 5 m/s.A placa superior (pe) está estacionária e é feita
de um material que possui condutividade térmica kpe 
1,5 W/(m  K) e espessura Lpe  3 mm. Sua superfície
externa é mantida a uma temperatura Tpe  40°C. As
placas são separadas por uma distância Lo  5 mm e o
espaço entre elas é preenchido por um óleo de motor
com viscosidade   0,799 N  s/m2
e condutividade
térmica ko  0,145 W/(m  K).
(a) Em coordenadas T(y)y, esboce a distribuição de
temperaturas na película de óleo e na placa em
movimento.
(b) Obtenha uma expressão para a temperatura na
superfície inferior da película de óleo, T(0)  To,
em função da velocidade da placa U, dos parâme-
tros da placa estacionária (Tpe, kpe, Lpe) e dos parâ-
metros do óleo (, ko, Lo). Calcule essa temperatura
para as condições especificadas.
6S.8 Um eixo com um diâmetro de 100 mm gira a uma
velocidade de 9000 rpm no interior de um mancal
que possui 70 mm de comprimento. Um espaçamento
uniforme de 1 mm, com lubrificante, separa o eixo do
mancal. As propriedades do lubrificante são   0,03
N  s/m2
e k  0,15 W/(m  K), enquanto o material
6S.1 Considere o volume de controle mostrado na figura para
o caso especial de condições de regime estacionário
com v  0, T  T(y) e   constante.
(a) Prove que u  u(y) se v  0 em todos os pontos.
(b) Deduza a equação para o componente x do momento
e simplifique-a tanto quanto for possível.
(c) Deduza a equação da energia e simplifique-a tanto
quanto for possível.
6S.2 Seja o mancal de um eixo que opera com uma pequena
carga e utiliza óleo, com propriedades constantes e
iguais a   102
kg/(s  m) e k  0,15 W/(m 
K). Se as temperaturas no eixo e no mancal forem
mantidas em 40°C, qual é a temperatura máxima no
óleo quando o eixo estiver girando a uma velocidade
de 10 m/s?
6S.3 Considere o mancal de um eixo que opera com uma
pequena carga e usa óleo, cujas propriedades são cons-
tantes e equivalem a   800 kg/m3
,   105
m2
/s e
k  0,13 W/(m  K). O diâmetro do eixo é de 75 mm;
o espaçamento entre o eixo e o mancal é de 0,25 mm;
e o mancal opera a 3600 rpm.
(a) Determine a distribuição de temperaturas na pelí-
cula de óleo, supondo que não há transferência de
calor para o eixo e que a superfície do mancal é
mantida a 75°C.
(b) Qual é a taxa de transferência de calor saindo do
mancal e qual a potência requerida para girar o
eixo?
6S.4 Sejam duas grandes (infinitas) placas paralelas, 5 mm
afastadas. Uma placa encontra-se estacionária, enquanto
a outra se move a uma velocidade de 200 m/s.Ambas as
placas são mantidas a 27°C. Considere dois casos: no
primeiro, o espaço que separa as placas é preenchido
com água e, no segundo, com ar.
(a) Para cada um dos dois fluidos, qual é a força por
unidade de área da superfície necessária para
manter a condição indicada anteriormente? Qual é
a potência requerida correspondente?
(b) Qual é a dissipação viscosa associada a cada um
dos dois fluidos?
(c) Qual é a temperatura máxima em cada um dos dois
fluidos?
6S.5 Um julgamento a respeito da influência da dissipação
viscosa na transferência de calor por convecção forçada
pode ser efetuado através do cálculo da grandeza Pr 
Ec, em que os números de Prandtl, Pr  cp/k, e de
Eckert, Ec  U2
/cpT, são grupos adimensionais. A
velocidade característica e a diferença de temperaturas
do problema são designadas por U e T, respectiva-
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14. CD-32 Capítulo 6S.1
do mancal possui uma condutividade térmica de km 
45 W/(m  K).
(a) Determine a dissipação viscosa,  (W/m3
), no
lubrificante.
(b) Determine a taxa de transferência de calor (W)
saindo do lubrificante, supondo que nenhum calor
seja perdido através do eixo.
(c) Se a carcaça do mancal for resfriada com água, de
tal modo que a sua superfície externa seja mantida
a uma temperatura de 30°C, determine as tempe-
raturas na superfície interna do mancal e no eixo,
Tm e Te.
6S.9 Seja o escoamento de Couette com transferência de
calor descrito no Exemplo 6S.1.
(a) Reordene a distribuição de temperaturas para obter
a forma adimensional
em que   [T(y)  T0]/[TL  T0] e  
y/L. Os grupos adimensionais são o número de
Prandtl, Pr  cp/k, e o número de Eckert, Ec 
U2
/(cp(TL  T0)).
(b) Deduza uma expressão que estabeleça as condições
nas quais não haverá transferência de calor para a
placa superior.
(c) Deduza uma expressão para a taxa de transferência
de calor para a placa inferior nas condições iden-
tificadas na parte (b).
(d) Gere um gráfico de  versus  para 0    1
e valores de Pr  Ec  0, 1, 2, 4 e 10. Explique
as principais características das distribuições de
temperaturas.
6S.10 Considere o problema do escoamento laminar e incom-
pressível, em regime estacionário, entre duas placas
paralelas infinitas, estacionárias e mantidas a diferentes
temperaturas.
Conhecido por escoamento de Poiseuille com trans-
ferência de calor, nesse caso especial de escoamento
paralelo o componente da velocidade na direção x é
diferente de zero, enquanto os componentes nas dire-
ções y e x (v e w) são nulos.
(a) Qual é a forma da equação da continuidade para esse
caso? De que maneira o escoamento se encontra
completamente desenvolvido?
(b) Quais são as formas das equações do momento nas
direções x e y? Qual é a forma do perfil de veloci-
dades? Note que, ao contrário do escoamento de
Couette, o movimento do fluido entre as placas é
agora mantido por um gradiente de pressão não-
nulo. Como esse gradiente de pressão está relacio-
nado à velocidade máxima no fluido?
(c) Admitindo dissipação viscosa significativa e reco-
nhecendo que as condições térmicas devam estar
completamente desenvolvidas, qual é a forma apro-
priada para a equação da energia? Resolva essa
equação para a distribuição de temperaturas. Qual
é o fluxo térmico na superfície superior (y  L)?
Equação da Conservação de Espécies e
Solução
6S.11 Considere o Problema 6S.10, sendo o fluido uma
mistura binária com concentrações molares CA,1 e CA,2
diferentes nas superfícies superior e inferior, respecti-
vamente. Para a região entre as placas, qual é a forma
apropriada da equação da continuidade para a espécie
A? Obtenha expressões para a distribuição de concen-
trações dessa espécie e para o seu fluxo mássico na
superfície superior.
6S.12 Um esquema simples para a dessalinização envolve a
manutenção de uma fina película de água salgada sobre
a superfície da placa inferior de um canal formado por
duas grandes (infinitas) placas paralelas, ligeiramente
inclinadas e separadas por uma distância L.
Um escoamento de ar em regime laminar, lento e incom-
pressível, existe entre as placas, de tal forma que o
componente da velocidade na direção x é diferente de
zero, enquanto os componentes y e z são nulos. Evapo-
ração ocorre a partir da película de líquido na super-
fície inferior, que é mantida a uma temperatura elevada
T0, enquanto há condensação na superfície superior,
mantida a uma temperatura reduzida TL. As concen-
trações molares correspondentes do vapor d’água nas
superfícies inferior e superior são designadas por CA,0 e
CA,L, respectivamente. A concentração do componente
(vapor d’água) e a temperatura podem ser consideradas
independentes das coordenadas x e z.
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15. Dedução das Equações da Transferência Convectiva CD-33
(a) Obtenha uma expressão para a distribuição das
concentrações molares do vapor d’água CA(y) no
ar. Qual é a vazão mássica de produção de água
pura por unidade de área superficial? Expresse os
seus resultados em termos de CA,0, CA,L e do coefi-
ciente de difusão do vapor d’água no ar DAB.
(b) Obtenha uma expressão para a taxa à qual calor deve
ser fornecido, por unidade de área, para manter a
superfície inferior a T0. Expresse o seu resultado
em termos de CA,0, CA,L, T0, TL, L, DAB, hfg (o calor
latente de vaporização da água) e da condutividade
térmica k.
6S.13 Considere as equações da conservação, Equações 6S.24
e 6S.31.
(a) Descreva o significado físico de cada parcela.
(b) Identifique as aproximações e as condições espe-
ciais necessárias para reduzir essas expressões
às equações da camada-limite (Equações 6.29 e
6.30). Comparando essas equações, identifique as
condições nas quais elas possuem a mesma forma.
Comente a respeito da existência de uma analogia
entre as transferência de calor e de massa.
6S.14 O filme descendente é amplamente usado no proces-
samento químico para a remoção de espécies gasosas.
Ele envolve o escoamento de um líquido ao longo de
uma superfície que deve apresentar uma inclinação com
algum ângulo   0.
O escoamento é mantido pela gravidade e a espécie
gasosaA, presente acima e fora do filme, é absorvida na
interface líquido-gás. O escoamento no filme é laminar,
completamente desenvolvido ao longo de toda a placa,
de tal modo que os componentes da velocidade nas dire-
ções y e z são nulos. A concentração mássica de A em
y  0 no líquido é uma constante A,0, independente de
x.
(a) Escreva a forma apropriada da equação do momento
na direção x no filme. Resolva essa equação para
determinar a distribuição dos componentes x da
velocidade no filme, u(y). Expresse o seu resultado
em termos de , g,  e das propriedades do líquido,
 e . Escreva uma expressão para a velocidade
máxima umáx.
(b) Obtenha uma forma apropriada da equação de
conservação da espécie A para as condições no
interior do filme. Se for ainda considerado que o
transporte da espécie A através da interface gás-
líquido não penetra profundamente no filme, a
posição y   pode, para todos os fins práticos,
ser encarada como y  . Essa condição implica,
com uma boa aproximação, u  umáx na região de
penetração. Sujeito a essas considerações, deter-
mine uma expressão para A(x, y) que se aplique
ao interior do filme. Sugestão: Esse problema é
análogo ao da condução em um meio semi-infinito
com uma súbita mudança na temperatura superfi-
cial.
(c) Se um coeficiente de transferência de massa por
convecção local for definido pela expressão
onde n xA,

é o fluxo de massa local na interface gás-
líquido, desenvolva uma correlação apropriada para
Shx como função de Rex e Sc.
(d) Desenvolva uma expressão para a taxa de absorção
do gás total, por unidade de largura, para um filme
com comprimento L (kg/(s  m)).
(e) Uma película de água com espessura de 1 mm escoa
na direção descendente sobre a superfície interna
de um tubo vertical que possui 2 m de compri-
mento e diâmetro interno de 50 mm. Uma corrente
de ar contendo amônia (NH3) atravessa o tubo, de
tal modo que a concentração mássica de NH3 na
interface gás-líquido (no lado do líquido) é de 25
kg/m3
. Há a formação de uma solução diluída de
amônia em água, na qual o coeficiente de difusão
é igual a 2  109
m2
/s. Qual é a taxa mássica de
remoção do NH3 por absorção?
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