resolução de um problema de geometria

1. CIRCULOS DO CHICO NERY
Na figura, ABC é um triângulo retângulo em C,
com CB = a e CA = b.
CD é uma ceviana simultaneamente
tangente ao incírculos , de mesmo raio r, dos
triângulos CBD e CDA .
Prove que baCD ..2 2

DEMONSTRAÇÃO [ GEOMETRIA SINTETICA]
Sejam CD = d e BA = c.
Sejam O1 e O2 , centros dos incírculos de raio r , dos triângulos CBD e CDA respectivamente.
Dai, O1 e O2 distam r da hipotenusa BC e, portanto, a reta O1O2 é paralela `a reta BC.
Sejam E e F respectivamente pés das bissetrizes interna dos ∆CBD e ∆CDA relativas ao vértice C.
Claramente, O1  CE e O2  CF . Ainda mais, denotando CD por d, tem-se do teorema da bissetriz
interna , aplicado a estes triângulos:
Já, denotando por :
P : ponto de intersecção da reta O1O2 c om a ceviana CD.
S : ponto de tangencia do incÍrculo de centro O1 com a ceviana CD.
T : ponto de tangencia do incÍrculo de centro O2 com a ceviana CD.
Mas, das propriedades de tangência, entre circulo e reta, O1 S = O2T = r e  O1 S P =  O2 T P = 900
.
Dai, O1 S  O2T , o que implica,  S O1P =  TO2P [ alternos e internos] .
Nestas condições, claramente, ∆ S O1P   ∆ TO2P [ ALA ] e, como consequência , O1P = O2 P, isto é,
P é ponto médio do segmento O1O2. Logo , CP é mediana do ∆ CO1O2 . Mas, como O1O2  BC,
∆ CO1O2  ∆ CEF , consequentemente, CD é mediana do ∆ CEF e, portanto, ED = DF , isto é, D é ponto
médio do segmento EF.