trigonometria

1. Índice
I. Introdução.................................................................................................................................. 2
II. Objectivo .................................................................................................................................... 3
Geral:.............................................................................................................................................. 3
Especifica:....................................................................................................................................... 3
Metodologia................................................................................................................................... 3
III. Funções Trigonométricas....................................................................................................... 4
Função seno e co-seno................................................................................................................... 4
Gráfico das funções seno e co-seno............................................................................................... 5
A função Tangente ......................................................................................................................... 6
Gráfico de funcao tagente.............................................................................................................. 6
Resumo: Funções Trigonométricas(seno,co-seno e tagente)........................................................ 7
Equações Trigonométricas........................................................................................................... 10
10
Caso:Equação do Tipo sen x = sen a ou sen x = sen y .............................................................. 10
20
Caso: Equação do Tipo cos x = cos a ou cos x= cos y ............................................................... 10
30
Caso:Equação do Tipo tg x = tg a ou tag x = tag y..................................................................... 11
Inequções trigonométrica............................................................................................................ 12
1º caso: Inequações do tipo sen x <sem a ou sen x ≤ sen a......................................................... 12
2º caso: Inequações do tipo cos x > y ou cos x < y,cosx < cosa ou cosx ≤ cosa............................ 13
3º caso: Inequações do tipo tg x > y ou tg x< y tg x <tg a ou tg x ≤ tg a....................................... 14
IV. Conclusão ............................................................................................................................. 16
V. Bibliografia ............................................................................................................................... 17

2. I. Introdução
O trabalho trata de funções trigonométricas e suas equações e mais adiante contem as suas
inequações.
Este trabalho tem como objectivo apresentar um estudo sobre as funções trigonométricas,
destacando definição das funções seno, co-seno e tangente;
Abordamos os conhecimentos básicos necessários para o ensino de funções equações e
inequações trigonometria.
Desenvolvemos sistematicamente o estudo das funções trigonométricas, além de
propormos uma abordagem metodológica para o ensino funções seno, co-seno e tangente,
apoiados nas demonstrações dessas fórmulas, usando equações e inequações
trigonométrica.

3. II. Objectivo
Geral:
Conhecer as funҫões trigonométrica suas equaҫões e inequaҫões;
Saber a aplicaҫão das equaҫões inequaҫões trigonométrica.
Especifica:
Explicar a essência das funções trigonométrica e suas equações e inequações
Resolver alguns exercícios sobre inequações trigonométrica
Definir e exemplificar as funções, equações e inequações trigonométrica
Metodologia
Para elaboraҫão do presente trabalho usou-se a metologia literária consultando nas certas
referências bibliograficas e não so,também consulta de certas bibliografias na internet.

4. III. Funções Trigonométricas
Função seno e co-seno:
As funções cos: R R e sen: R R, chamadas de função co-seno e de função seno
respectivamente, são definidas para cada t R, a partir da função de Euler, ou seja,
E (t) = (cos (t);sen (t)); onde cos (t) = x e sen (t) = y:
Quando t = 0 temos E (0) = (1;0), logo, cos (0) = 1 e sen (0) = 0 e quando t =
cos( ) = 0 e sen( ) = 1 e assim por diante.
Na função de Euler é periódica, com período , E(t +2k ) = E(t), para todo t R e k Z.
Assim as funções seno e co-seno são periódicas de período 2 , isto é, se conhecemos o
comportamento destas funções no intervalo [0;2 ], conhecemos o seu comportamento em
todos os intervalos seguintes (ou anteriores) de comprimento 2 .
Por exemplo, o gráfico da função y =sen (t) no intervalo [0;2 ]é exactamente o mesmo em
qualquer intervalo da forma [2k ;2(k+1) ]. Podemos então restringir o estudo destas
funções ao intervalo [0;2 ] que corresponde ao estudo das coordenadas de um ponto que
dá exactamente uma volta no círculo trigonométrico.
As funções seno e co-seno, como coordenadas de um ponto do círculo unitário, têm valores
que dependem do quadrante em que se encontram. Apresentaremos a seguir um estudo dos
valores da função seno em que a extremidade P do arco AP está no segundo, terceiro ou
quarto quadrante.
 A função seno está assumindo valores no segundo quadrante, < t < :
Traçamos por P uma recta r paralela ao eixo das abscisas que intersecta novamente C
em P' (Figura1). A medida do arco AP é igual a t, a medida do arco PA' = -t e amedida do
arcoAP' é igual a medida do arco PA'. Portanto, sen (t) = sen ( -t).
Características da função seno É uma função f : R → R que associa a cada número real x o
seu seno, então f(x) = sen x. O sinal da função f(x) = sen x é positivo no 1º e 2º quadrantes,
e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe:
Fig.1. Comprimento do arco AP=t 1

5. A função co-seno está assumindo valores no terceiro quadrante, p < t < .
Tomando como r a recta que liga os pontos O a P. A medida do arco AP é igual a t, a
medida do arcoA'P = t - e a medida do arcoAP'é igual a medida do arco A'P, portanto
sen (t) = -sen (t - ).
O mesmo processo, chamado de redução do seno ao primeiro quadrante, é aplicado ao
Cosseno,resumindo, os valores absolutos das funções trigonométricas estão determinados
pelos valores destas funções no primeiro quadrante.
Gráfico das funções seno e co-seno
A representação gráfica de uma função real, que geralmente é chamado de gráfico da
função2
, é o lugar geométrico de todos os pontos de coordenadas (x; f (x)) no Plano R2
(ou
simplesmente no plano). O gráfico de uma função fornece, de uma forma bastante
eficiente, uma ideia global do comportamento dessa função em todo o seu domínio.
O gráfico da função seno é o conjunto de todos os pontos (t;sen (t)) do plano com t R
Da mesma forma, o gráfico da função co-seno é o conjunto dos pontos do plano de
coordenadas (t; cos (t)), com t R. Nos gráficos das funções seno e co-seno, podemos
observar que a curva gerada no intervalo (0;2 ) se repete indefinidamente, tanto para o
lado positivo do eixo das abcissas, como para o lado negativo, ilustrando o comportamento
periódico das funções. Podemos observar, também, que o gráfico da função co-seno pode
ser obtido do gráfico da função seno através de uma translação na abcissa de ,
Caracterizando as relações de simetria existente entre essas funções, a seguir.
Gráfico da função de sen (t) 1
Gráfico da função cos (t) 1
_________________________
2
Dada uma função f : A R→R tal que y = f (x), o gráfico da função f, denotado por G (f), é o conjunto

6. dos pares ordenados (x;y) R2; x A, tais que y = f (x), ou seja, G (f) = {f (x ;y); x a e y R | y = f (x)}
A função Tangente
A função tangente é definida como o quociente entre as funções seno e co-seno, a saber
tg (t) = ; cujo domínio é restrito aos números reais para os quais o denominador é
diferente de zero, ou seja, para todos os t R tais que a função cos(t) não se anula. Assim a
função tangente tem como domínio o conjunto dos números reais que não são múltiplos
ímpares de , jáquecos(t) = 0 se, e somente se, t = (2k+1) = k + onde k Z. Portanto, o
domínio da função tangente é o conjunto formado pela reunião dos intervalos abertos
(k ;k + ),Para todo k Z.
A função tangente, assim como o seno e o co-seno, é uma função periódica, de período
,uma vez que, tg(t + ) =sen(t +) = = tg(t); para todo t {R= , k
Z.
O gráfico da função tangente é o conjunto de todos os pontos (t; tg (t)), t R= ; K
Z do plano.
Em cada um dos intervalos, onde está definida, por exemplo (- , ), a função tangente é
crescente e há uma correspondência biunívoca entre as coordenadas t e tg (t) em cada um
desses intervalos abertos (k ; k + ), k Z, de comprimento .
Gráfico de funcao tagente
Gráfico da função f (t) = tg(t), 0 ≤ t ≥ 1

7. Resumo: Funções Trigonométricas(seno,co-seno e tagente)
Função seno:
Características da função seno É uma função f : R → R que associa a cada número real x o
seu seno, então f(x) = sen x. O sinal da função f(x) = sen x é positivo no 1º e 2º quadrantes,
e é negativo quando x pertence ao 3º e 4º quadrantes. Observe:
Paridade:
A função f: R→R dada por F(x)= Sen(x) é dita ímpar, ou seja, F(-x)= -Sen(x)
Crescimento/ decrescimento: A função cresce no 1º e 4º quadrante, decresce no 2º e 3º
quadrante
Gráfico de seno
Gráfico da função f (t) = sen(t), 0≤t ≥2 1

8. Função co-seno
Características da função co-senoÉ uma função f : R → R que associa a cada número
real x o seu co-seno, então f(x) = cosx. O sinal da função f(x) = cosx é positivo no 1º e 4º
quadrantes, e é negativo quando x pertence ao 2º e 3º quadrantes. Observe:
Paridade: A função Co-seno, é uma função par, ou seja, F(x)= Cos(-x)
Crescimento/decrescimento: A função Co-seno cresce no 3º e 4º quadrantes, e decresce
no 1º e 2º quadrante.
Gráfico de co-seno
Gráfico da função f (t) = cos(t), 0≤t ≥ 1

9. Função tangente
Características da função tangente É uma função f : R → R que associa a cada número
real x a sua tangente, então f(x) = tgx. Sinais da função tangente:
 Valores positivos nos quadrantes ímpares.
 Valores negativos nos quadrantes pares Crescente em cada valor
Gráfico de tangente
Gráfico da função f (t) = tg(t), 0 ≤t ≥ 2

10. Equações Trigonométricas
Equações trigonométricas são aquelas que envolvem as funções trigonométricas em seus
membros.
1) sen x = sen a 2) cos x = cos a 3) tg x = tgβ
Exemplos: sen (x) = cos (2x) = -cos(x) tg (x) =
Como as equações trigonométricas possuem uma gama muito grande de variedades, vamos
fazer o estudo dos principais tipos.
As equações acima são denominadas equações fundamentais, pois saber resolvê-las é
importante para resolver qualquer outra equação fundamental.
Salvo indicação em contrário, usaremos x como incógnita.
𝐬𝐞𝐧 (𝐱) + 𝐜𝐨𝐬² (𝐱) = 1 𝐜𝐨𝐭𝐠 (𝐱) = = 𝐭𝐠 (𝐱) = 𝐬𝐞𝐜 (𝐱) =
𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 (𝐱) =
10
Caso:Equação do Tipo sen x = sen a ou sen x = sen y
Analisando o círculo trigonométrico temos que ou x e a têm a mesma imagem no círculo
trigonométrico, isto é, x = a + 2kπ, k Z.
ou x e a têm imagens simétricas em relação ao eixo OY, isto é, x =(π−a)+2kπ , k Z .
Resumindo: sen (x) = a -1< a < 1
{ ou sen (x) = sen (y) x = y + 2kπ sen (x) = sen (π - y) x = (π - y) + 2kπ
20
Caso: Equação do Tipo cos x = cos a ou cos x= cos y
Analisando o círculo trigonométrico (ver figura 2), temos que:
x e a têm a mesma imagem no círculo trigonométrico, isto é, x =a+2kπ , k Z .
x e a têm imagens simétricas em relação ao eixo OX, isto é, x =−a+2kπ ,

11. k Z .
Resumindo: cos (x) = a -1 < a < 1
{ ou cos (x) = cos (y) x = y + 2kπ cos (x) = cos (2π - y) x = y + 2kπ
30
Caso:Equação do Tipo tg x = tg a ou tag x = tag y
Analisando o círculo trigonométrico (ver figura 3), temos que:
x e a têm a mesma imagem no círculo trigonométrico, isto é, x = a+ 2kπ , k Z .
x e a têm imagens simétricas em relação a origem, isto é, x = π + a+2kπ , k Z , isto é, x =
a + (2k + 1)π, k Z .
Resumindo: x = a + kπ, k Z .tan (x) = b b IR tan (x) = tan (y) x = y + kπ
Uma inequação trigonométrica envolve uma desigualdade entre termos relacionados por
meio de funções trigonométricas. As incógnitas deste tipo de inequação são arcos de
circunferência, e, resolver a inequação significa encontrar o conjunto de arcos de
circunferência que satisfaz a desigualdade.
As Inequações Trigonométricas são inequações nas quais a incógnita aparece nos ângulos
(ou arcos) das funções trigonométricas.

12. Exemplos:
São exemplos de equações trigonométricas:
Sen x > 1; 2cosx < √3; 1 + tg (2x) ≤ 0
NÃO são exemplos de equações trigonométricas:
3x + semπ ≥ 12.cos45º < x/3x2+ tgπ /3> 0
O exemplo das equações trigonométricas, para resolvermos inequações trigonométricas,
deve simplificar as expressões até que obtenhamos uma das três inequações básicas, sendo
que teremos agora, seis casos: Sen x >sen a; cosx <cosa ;tgx ≥ tga
As maiorias das inequações trigonométricas reduzem-se a inequações do tipo
sen x > y sen x < y
cos x > y cos x < y
tag x > y tag x < y
Inequções trigonométrica
As inequações acima são denominadas equações fundamentais, pois saber resolvê-las é
importante para resolver qualquer outra equação fundamental.
1º caso: Inequações do tipo sen x <sem a ou sen x ≤ sen a
Para resolver as inequações trigonométricas é importantes termos em mente a
circunferência trigonométrica. Se queremos Sen x > y, estamos interessados nos valores do
eixo vertical (o eixo dos senos), que são maiores do que y . Se, traçarmos uma recta
horizontal r que passa pelo ponto que assinala a altura y no eixo dos senos, estaremos
interessados nos arcos de circunferência com início na origem (ponto A na figura abaixo),
e final nos pontos da circunferência trigonométrica que estão no semi-plano que fica acima
da retar , conforme ilustrado na figura abaixo.
Se queremos sen x < y, estamos interessados nos valores do eixo vertical (o eixo dos
senos), que são menores do que y . Basta tomarmos os arcos de circunferência com início
na origem (ponto A na figura abaixo), e final nos pontos da circunferência trigonométrica
que estão no semi-plano que fica abaixo da recta r, conforme ilustrado na figura abaixo

13. Exemplo: Resolva a inequação sem x < ½ no intervalo [0, 2π]
Solução: Observe que: sen x < ½ sen 0 ≤ sen x < sen π/6 ou sen 5π/6 < sen x ≤ sen2π
S = {x R / 0 ≤ x < π/6 ou 5π/6 < x ≤ 2π}
Se não tivéssemos estipulado o intervalo [0, 2π] e a inequação fosse sem x ≤ ½ , teríamos:
S = {x R / 2kπ ≤ x ≤ π/6+ 2kπ ou 5π/6+ 2kπ ≤ x ≤ 2π + 2kπ}
2º caso: Inequações do tipo cos x > y ou cos x < y,cosx < cosa ou cosx ≤ cosa
Se queremos cos x > y, estamos interessados nos valores do eixo horizontal (o eixo dos co-
senos), que são maiores do que y . Se, traçarmos uma recta vertical r que passa pelo ponto
que assinala o ponto y no eixo dos co-senos, estaremos interessados nos arcos de
circunferência com início na origem (ponto A na figura abaixo), e final nos pontos da
circunferência trigonométrica que estão no semi-plano que fica à direita da recta r ,
conforme ilustrado na figura abaixo.
Se queremos cos x <y, estamos interessados nos valores do eixo horizontal (o eixo dos co-
senos), que são menores do que y. Basta tomarmos os arcos de circunferência com início
na origem (ponto A na figura abaixo), e final nos pontos da circunferência trigonométrica
que estão no semi-plano que fica à esquerda da recta r, conforme ilustrado na figura
abaixo.

14. Exemplo: Resolva a inequação cos x< ½
Solução: Observe que: cos x < ½ e cos π/3< cos x < cos 5π/3 na 1ª volta.
S = {x R / π/3+2kπ < x < 5π/3+ 2kπ }
3º caso: Inequações do tipo tg x > y ou tg x< y tg x <tg a ou tg x ≤ tg a,
Se queremos tag x > y , estamos interessados nos valores do eixo das tangentes que ficam
acima da ordenada y no eixo das tangentes. Se, traçarmos uma recta r que passa pela
origem e pelo ponto que assinala a altura y no eixo das tangentes, estaremos interessados
nos arcos de circunferência com início na origem (ponto A na figura abaixo), e final nos
pontos da circunferência trigonométrica que estão internos a “região interna” delimitada
pela recta r e o eixo vertical, conforme ilustrado na figura abaixo.
Se queremos tg x < y , estamos interessados nos valores do eixo das tangentes que ficam
abaixo da ordenada y no eixo das tangentes. Se, traçarmos uma recta r que passa pela
origem e pelo ponto que assinala a altura y no eixo das tangentes, estaremos interessados
nos arcos de circunferência com início na origem (ponto A na figura abaixo), e final nos
pontos da circunferência trigonométrica que estão internos a “região externa” delimitada
pela recta r e o eixo vertical, conforme ilustrado na figura abaixo.

15. Exemplo: Resolva a inequação tg x< 1
tg x <tg a ou tg x ≤ tg a
Solução: Observe que: tg x < 1 tg0 ≤ tgx < tg π/4 ou tg π/2 ≤ tg x< tg5 π/4 ou tg 3π/2 ≤ tg
x ≤ tg2π;
S = {x R / π/2+ kπ < x < 5 π/4 + kπ }

16. IV. Conclusão
Ao estudar a história da matemática observamos que muitos dos conhecimentos que, na
época de sua descoberta, pareciam ter aplicação bem definidas, tornam-se com o passar do
tempo muito mais úteis do que o foram inicialmente.
A trigonometria, quando do seu surgimento era utilizada para resolver problemas oriundos
da astronomia, relacionados com distâncias inacessíveis, utilizando as relações
trigonométricas do triângulo rectângulo. Mais tarde, a partir do renascimento, a
trigonometria passou a ser usada na Cartografia e na Topografia.
Nos tempos actuais a trigonometria e funções trigonométricas são essenciais para a
resolução de muitos problemas de matemática e de física que envolvem fenómenos
periódicos, como electricidade, termodinâmica, óptica, etc.
Apresentamos também uma sequência didáctica com actividades que contemplam o estudo
das funções trigonométricas e suas equações e inequações, os quais estão organizadas de
forma a favorecer a aprendizagem significativa.
Esperamos que este trabalho seja mais um recurso didáctico disponível e acessível aos
estudantes do ensino superior e que contribua para o ensino e aprendizagem da
trigonometria, das funções, das equações e das inquações trigonométrica

17. V. Referência Bibliografia
BEZERRA, M.J. & JOTA, J.C. Bezerra. Matemática. 4a
. Ed. São Paulo: Scipione, 1996.
GARBELINI, Ramalho.Apostila de Matemática. Curso Pré-Universitário da
Universidade Federal de Juiz de Fora. Juiz de Fora, 2005.
MOREIRA, Filipe. Apostila de trigonometria. Instituto Tecnológico da Aeronáutica. São
Paulo 2005
YOUSSEF, A.N., FERNANDES, V.P. & SOARES, E. Matemática: ensino médio. 1a
. Ed.
São Paulo: Scipione, 2005.
CARMO, Manfredo Perdigão do, et al. Trigonometria e Números Complexos, 3a
.
Edição, Coleção do Professor em Matemática. SBM, 2005.
DANTE,Luiz Roberto,Coleção Matemática, contexto e aplicações, Volume 1, São Paulo:
Editora Àtica, 2011.