Aula sobre números complexos

1. NÚMEROS
COMPLEXOS
Aluno: Jorge Miranda Barros
Polo: 01

2. INTRODUÇÃO

7. NÚMEROS COMPLEXOS
OPERAÇÃO COM PARES ORDENADOS
Seja o conjunto de todos os pares ordenados
(a,b) em que a e b ∈ℝ ∈ℝ. Nesse conjunto, valem
as seguintes definições:
• Igualdade: (a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b = d
•Adição: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)
•Multiplicação: (a,b).(c,d)= (ac –bd, ad + bc).
Ex.: Multiplicar o par ordenado (0.1) por ele
mesmo. O par ordenado (0,1) chamado
“Unidade Imaginária” e o representamos por
i, em que i.1 = -1 ⇒ i2 = -1

8. REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA
DE NÚMEROS COMPLEXOS
Dado o número complexo z = (x,y), com
x∈ℝ e y∈ℝ
Z = (x,y) ⇒z = (x,0) + (0,y) como
(0,y)=(y.0 – 0.1,y.1 + 0.0) = (y,0).
(0,1),segue que: z =(x,0) + (y,0).(0,1)
sabendo que (x,0)= x,(y,0) =y e (0,1) = i
(unidade imaginária) podemos escrever:
z=(x,0) + (y,0).(0,1)⇒ z = x + yi ou (x,y) =
x + yi, com x∈ℝ e i2 = -1.

9. Portanto, todo número complexo
z = (x,y) pode ser escrito na
forma z = x + yi, a qual
denomina-se forma algébrica
de um número complexo. Ex.:
z1= (1,3) = 1 + 3i. onde 1= parte
real de z (ℝe(z) = 1) e 3 parte
imaginária de z (Im(z) = 3).

10. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM
NÚMERO COMPLEXO
É feita em um plano cartesiano
denominado de Argand-Gauss
O ponto P é a imagem do complexo z= x + yi. O afixo do ponto é o
complexo por ele representado
Re
Im Eixo Imaginário
y P(x,y)
x Eixo Real

11. OPERAÇÕES COM NÚMEROS
COMPLEXOS
Adição, subtração e multiplicação
- Para cada número complexo z1, existe um
número oposto z2 também complexo, tal que:
z1 + z2 = 0 + 0i
Considerando os números complexos z1 = a + bi e
z2 = c + di com a, b, c e d reais, temos:
• Adição: z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) ⇒ z1 + z2 =
(a + c) + (b + d)i
• Subtração: z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) ⇒ z1 – z2 =
(a – c) + (b – d)i
•Multiplicação: z1.z2 = ( a + bi).(c + di) ⇒ z1.z2 = ac
+ adi + bci + bdi2 como i2 = -1, temos:
z1.z2 = ac + adi bci – bg = (ac – bd) + (ad + bc)i

12. O CONJUGADO DE UM NÚMERO
COMPLEXO
- Dado um número complexo
z = a + bi, chamamos de conjugado
de z, cuja notação é , o número
complexo = a – bi. Ex.: z1 = 1 + i ⇒
= 1 – i; z2 = -3 – 5i ⇒ = -3 + 5i;
z3 = 3⇒ = 3; z4 = -i⇒= i

13. Propriedades do Conjugado:
-Dado z = a + bi, são válidas para as
seguintes propriedades
-a) z = z b) z = z ⇔z∈ℝ
c) z1 ± z2 = z1 ± z2 d) z1.z2 = z1.z2

14. DIVISÃO DE NÚMEROS
COMPLEXOS:
- O quociente entre dois números
complexos, com z2 ≠ 0 é dado por
z1/z2 =z1/z2 .z2/z2
Exemplo: Calcule os quocientes,
sabendo z1 = 1 + 2i e z2 = 2 + 5i
z1/z2 = z1/z2 .z2/z2 = (1 + 2i)/(2 + 5i).
(2-5i).(2-5i) = (2 - 5i + 4i + 10i²)/(2²
+5²) =(12 – i)/29 =12/19 – i/29 ⇒ z1/z2
= 12/29 - i .1/29

15. POTENCIAÇÃO DE i
Sabendo que i2 = -1, calcule in para 0≤ n ≤∈ℕ
i0= 1 i3 = i2.i1= (-1).i= -i i6= i4.i2= 1(-1) = -1
i1= i i4= i2.i2= (-1)(-1) = 1 i7= i4.i3= 1(-i) = -i
i2= -1 i5= i4.i1= 1.i= i i8= i4.i4 = 1.1 = 1
i9 = i8.i1= 1.i = i
i10 = i8.i2 = 1(-1) = -1 i11=
i8.i3 = 1(-i) = -i
Note que os valores de in se repetem de 4 em 4 ou
seja:
i0=i4=i8= 1 i1=i5=i9= i i2=i6=i10= -1 i3=i7=i11 = -i

16. MÓDULO DE UM NÚMERO
COMPLEXO
Podemos definir geometricamente
o módulo de um número complexo
z = x +iy, com x €R, como a
distância entre a origem O do
sistema de coordenadas
cartesianas e o ponto P(x, y).
Algebricamente, indicamos o
módulo do número complexo z
por /z/ e o definimos como
(OP)² = x² + y²→ OP = √ x² + y²

17. y P(x,y)
Calculando o módulo do número complexo
z = - 6 + 4i
/z/ = √ (-6)² + 4² = √ 52 = 2√13
Im
Re
x
/x/=√ x² + y²

18. REPRESENTAÇÃO
TRIGONOMÉTRICA DE UM
NÚMERO COMPLEXO
Na representação geométrica do
número complexo z = x + yi, com z ≠ 0
Podemos destacar o ângulo α formado
entre o segmento OP e o eixo real,
medido no sentido anti-horário. Esse
ângulo é denominado argumento de
z (ou argumento principal de z) e é
indicado por arg(z).

19. Re
Im
P(x,y)
x
y
/z/
α
O ângulo α é tal que 0≤ α ≤ 2 e satisfaz as
igualdades:
cosα =x//z/ → x = /z/cos α
sen α = y//z/ → y = /z/sen α
Substituindo esses valores na forma
Algébrica de um número complexo,
obtemos a forma trigonométrica (ou
forma polar) do número complexo,
z = x + yi → z= /z/cosα + /z/seα i →
z = /z/(cosα + isenα)

20. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• CONTEXTO E APLICAÇÕES – VOL. 2 - ED. ÁTICA –
AUTOR: Dante
• CIÊNCIA E APLICAÇÃO – VOL. 2 – ED. SARAIVA AUTOR:
Gelson Iezzi; Osvaldo Doce; David Degenszajn; Roberto Périgo;
Nilze de Almeida
•MATEMÁTICA PAIVA – VOL. 2 - ED. MODERNA -
AUTOR: Manoel Paiva
• SAERJINHO
• MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO – VOL. 2 – ED. SARAIVA
AUTOR: Kátia Stocco Smole – Maria Ignez Diniz