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1) Se ܽ௡ =
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Simplificando a expressão de ܽ௡, temos:
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7) Construa a matriz Aଷ×ଷ sendo ܽ௜௝ =
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Quem bebeu mais chopp no fim de semana e
quantos chopps Cláudio ...
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EXERCÍCIOS - FATORIAL DE UM NÚMERO NATURAL E MATRIZES.

  1. 1. 1 1) Se ܽ௡ = ௡!൫௡మିଵ൯ ሺ௡ାଵ)! , então ܽଵଽ଼ସ é igual a. Simplificando a expressão de ܽ௡, temos: ܽ௡ = ݊! ሺ݊ଶ − 1) ሺ݊ + 1)! = ݊! ሺ݊ + 1) ∙ ሺ݊ − 1) ሺ݊ + 1)! = = ሺ݊ + 1) ∙ ݊! ሺ݊ − 1) ሺ݊ + 1)! = ሺ݊ + 1)! ሺ݊ − 1) ሺ݊ + 1)! = ݊ − 1 Logo, ܽ௡ = ݊ − 1. Então: ܽଵଽ଼ସ = 1984 − 1 = 1983 Resposta: 1983. 2) Resolva a equação ሺ௡ାଵ)! ௡! = 7. ሺ݊ + 1)! ݊! = 7 ∴ ሺ݊ + 1) ∙ ݊! ݊! = 7 ∴ ݊ + 1 = 7 ݊ = 7 − 1 ∴ ݊ = 6 Resposta: S = ሼ6ሽ. 3) Resolva a equação ሺ݊ − 6)! = 720. ሺ݊ − 6)! = 720 ∴ ሺ݊ − 6)! = 6! ݊ − 6 = 6 ∴ ݊ = 6 + 6 ݊ = 12 Resposta: S = ሼ12ሽ. 4) Resolva a equação ௠!ାሺ௠ିଵ)! ሺ௠ାଵ)!ି௠! = ଺ ଶହ . ݉! + ሺ݉ − 1)! ሺ݉ + 1)! − ݉! = 6 25 ݉ ∙ ሺ݉ − 1)! + ሺ݉ − 1)! ሺ݉ + 1) ∙ ݉ ∙ ሺ݉ − 1)! − ݉ ∙ ሺ݉ − 1)! = 6 25 ሺ݉ − 1)! ∙ ሺ݉ + 1) ሺ݉ − 1)! ∙ ሾሺ݉ + 1) ∙ ݉ − ݉ሿ = 6 25 ሺ݉ + 1) ሺ݉ + 1) ∙ ݉ − ݉ = 6 25 ∴ ݉ + 1 ݉ଶ + ݉ − ݉ = 6 25 ݉ + 1 ݉ଶ = 6 25 ∴ 6݉ଶ = 25݉ + 25 6݉ଶ − 25݉ − 25 = 0; ܽ = 6, ܾ = −25, ܿ = −25 ∆ = ܾଶ − 4ܽܿ ∴ ∆ = ሺ−25)ଶ − 4 ∙ 6 ∙ ሺ−25) ∆ = 625 + 600 ∴ ∆ = 1225; √∆ = 35 ݉ = −ܾ ± √∆ 2ܽ ∴ ݉ = −ሺ−25) ± 35 2 ∙ 6 ݉ଵ = 25 + 35 12 ∴ ݉ଵ = 60 12 ∴ ݉ଵ = 5 ݉ଶ = 25 − 35 12 ∴ ݉ଶ = − 10 12 ∴ ݉ଶ = − 5 6 Resposta: S = ሼ5ሽ. 5) Resolva a equação ሺ࢞ + 1)! = ࢞! + 6࢞. ሺ࢞ + 1)! = ࢞! + 6࢞ ሺ࢞ + 1) ∙ ࢞! = ࢞! + 6࢞ ∴ ሺ࢞ + 1) ∙ ࢞! − ࢞! = 6࢞ ࢞! ∙ ሾሺ࢞ + 1) − 1ሿ = 6࢞ ∴ ࢞! ∙ ࢞ = 6࢞ ࢞! ∙ ࢞ − 6࢞ = 0 ∴ ࢞ ∙ ሺ࢞! − 6) = 0 ࢞ = 0 ou ࢞! − 6 = 0 ∴ ࢞! = 6 ࢞! = 3! ∴ ࢞ = 3 Resposta: S = ሼ0, 3ሽ. 6) Construa a matriz Aଶ×ଶ sendo ܽ௜௝ = 3݅ − ݆௜ . A = ቂ ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଶଵ ܽଶଶ ቃ ܽଵଵ = 3 ∙ 1 − 1ଵ = 3 − 1 = 2 ܽଵଶ = 3 ∙ 1 − 2ଵ = 3 − 2 = 1 ܽଶଵ = 3 ∙ 2 − 1ଶ = 6 − 1 = 5 ܽଶଶ = 3 ∙ 2 − 2ଶ = 6 − 4 = 2 Resposta: A = ቂ 2 1 5 2 ቃ.
  2. 2. 2 7) Construa a matriz Aଷ×ଷ sendo ܽ௜௝ = ቐ ‫݊݁ݏ‬ ቀ ௜గ ଷ ቁ , se ݅ = ݆ cos ቀ ௝గ ଺ ቁ , se ݅ ≠ ݆ . A = ൥ ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ ൩ ܽଵଵ = ‫݊݁ݏ‬ ൬ 1ߨ 3 ൰ = √3 2 ܽଵଶ = cos ൬ 2ߨ 6 ൰ = cos ቀ ߨ 3 ቁ = 1 2 ܽଵଷ = cos ൬ 3ߨ 6 ൰ = cos ቀ ߨ 2 ቁ = 0 ܽଶଵ = cos ൬ 1ߨ 6 ൰ = √3 2 ܽଶଶ = ‫݊݁ݏ‬ ൬ 2ߨ 3 ൰ = √3 2 ܽଶଷ = cos ൬ 3ߨ 6 ൰ = cos ቀ ߨ 2 ቁ = 0 ܽଷଵ = cos ൬ 1ߨ 6 ൰ = √3 2 ܽଷଶ = cos ൬ 2ߨ 6 ൰ = cos ቀ ߨ 3 ቁ = 1 2 ܽଷଷ = ‫݊݁ݏ‬ ൬ 3ߨ 3 ൰ = ‫݊݁ݏ‬ ሺߨ) = 0 Resposta: A = ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬√3 2 ൗ 1 2ൗ 0 √3 2 ൗ √3 2 ൗ 0 √3 2 ൗ 1 2ൗ 0‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ 8) Construa a matriz Aଶ×ଷ sendo ܽ௜௝ = ൝ −2, se ݅ = ݆ 1, se ݅ > ݆ 3, se ݅ < ݆ . A = ቂ ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷ ܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ቃ ܽଵଵ = −2; ܽଵଶ = 3; ܽଵଷ = 3 ܽଶଵ = 1; ܽଶଶ = −2; ܽଶଷ = 3 Resposta: ቂ −2 3 3 1 −2 3 ቃ. 9) Há cinco senadores designados para uma Comissão Parlamentar de Inquérito. Eles devem escolher entre si um presidente para a Comissão, sendo que cada senador pode votar em até 3 nomes. Realizada a votação onde cada um deles recebeu um número de 1 a 5, os votados foram tabulados na matriz A = ܽ௜௝, abaixo indicada. Na matriz A, cada elemento ܽ௜௝ é igual a 1 ሺum), se ݅ votou em ݆; e igual a zero, se ݅ não votou em ݆. A = ‫ۏ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ۍ‬ 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0‫ے‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ۑ‬ ‫ې‬ Responda, justificando, qual o candidato mais votado e quantos candidatos votaram em si mesmos? A soma dos elementos de cada coluna representará o total de votos que cada candidato recebeu, ou seja, a coluna 1 afirma que o candidato 1 recebeu 0 + 1 + 0 + 1 + 1 = 3 votos e, assim por diante. Assim, teremos: Candidato 1 = 0 + 1 + 0 + 1 + 1 = 3 votos. Candidato 2 = 1 + 1 + 0 + 1 + 0 = 3 votos. Candidato 3 = 1 + 1 + 1 + 0 + 1 = 4 votos. Candidato 4 = 0 + 0 + 1 + 1 + 0 = 2 votos. Candidato 5 = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 1 voto. Os candidatos que votaram em si mesmos estão representados pelos elementos iguais a 1 ሺum) na diagonal principal. Resposta: O candidato mais votado foi o candidato 3 e os candidatos que votaram em si mesmos foram os candidatos 2, 3 e 4. 10) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chopps, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopps cada um consumiu e como a despesa foi dividida: SSSS refere-se às despesas de sábado e DDDD às de domingo. Cada elemento ܽ௜௝, nos dá o número de chopps que ݅ pagou para ݆, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 ሺܽ௜௝, representa o elemento da linha ݅, coluna ݆ de cada matriz). Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopps que ele próprio bebeu, 1 chopp de Bernardo e 4 de Cláudio ሺprimeira linha da matriz SSSS).
  3. 3. 3 ‫܁‬ = ൥ 4 1 4 0 2 0 3 1 5 ൩ e ۲ = ൥ 5 5 3 0 3 0 2 1 3 ൩ Quem bebeu mais chopp no fim de semana e quantos chopps Cláudio ficou devendo para Antônio? A matriz que representa o fim de semana será: ‫܁‬ + ۲ = ൥ 9 6 7 0 5 0 5 2 8 ൩ A soma dos elementos de cada coluna representa o total de chopps que cada um bebeu durante o fim de semana, ou seja, Antônio bebu 9 + 0 + 5 = 14 chopps e, assim por diante. Assim, teremos: Antônio = 9 + 0 + 5 = 14 chopps. Bernardo = 6 + 5 + 2 = 13 chopps. Cláudio = 7 + 0 + 8 = 15 chopps. O elemento ܽଵଷ = 7 afirma que Antônio pagou 7 chopps para Cláudio e o elemento ܽଷଵ = 5 afirma que Cláudio pagou 5 chopps para Antônio. Resposta: Cláudio bebeu mais chopps e Cláudio ficou devendo 2 chopps para Antônio.

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