áreas e volumes

1. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
2022
Bruna Amin Gonçalves
bruna.goncalves@anhanguera.com

2. As integrais imediatas
1) 𝑘𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 + 𝑐
2) 𝑥𝑛𝑑𝑥 =
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑐 com 𝑛 ≠ −1
3)
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝑐
4) 𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
+ 𝑐
5) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐
6) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐
7) sec2
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔𝑥 + 𝑐
8) sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑐
9) 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝒙 𝑐𝑜𝑡𝑔𝒙 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑐
10) (𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥)2
𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 + 𝑐
11) ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑐

3. 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
𝑛
co s( 𝑛𝑥) + 𝑐
𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝑥) 𝑑𝑥 =
1
𝑛
sen(𝑛𝑥) + 𝑐
𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑛
𝑒𝑛𝑥
+ 𝐶
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

4. Áreas entre as Curvas

5. Exemplo (2): Encontre a área da região delimitada pelas
curvas 𝑦 = −𝑥2
− 4 e 𝑦 = 5𝑥.

6. Problemas de valores iniciais imediatos
No geral, temos duas tarefas a realizar.
1º passo: integrar a função f(x) obtendo F(x) + C.
2º passo: utilizar a informação extra fornecida pelo
enunciado, na forma F(a) + C = b, para obter C.

7. Exemplo (2): Qual é a função f cuja derivada de
primeira ordem é dada por f’(x) = 2x + 3 e f(1) =
5?

8. Exemplo (3): A velocidade instantânea de um corpo é dada
pela variação da posição com relação ao tempo. Ou seja, a
derivada da posição com o tempo. Digamos que a função
que descreve essa velocidade em função do tempo de um
objeto é 𝑣(𝑡 ) = 3𝑡2
− 2𝑡 + 1 e que posição
inicial do corpo é 5 m (ou seja 𝑆(0)) . Considerando as
informações acima, no instante 3 s, qual a posição exata do
objeto?

9. Exemplo (4): Em uma refinaria, uma máquina parou de funcionar,
gerando uma taxa de variação do prejuízo (em milhares de reais)
em função do tempo (em horas) em que a máquina fica parada
dada por:
P'(t) = 2t + 20
Sabendo que com a máquina funcionando não há prejuízo (P(0) =
0), calcule o prejuízo da empresa caso a máquina fique parada
por 4 horas.

10. Exemplo (5): Qual é a função f cuja derivada é dada por
𝑓′ 𝑥 = 2 cos 2𝑥 + 2𝑥 e 𝑓 𝜋 = 0?

11. Exemplo (6): Em uma corrida de automóveis, a largada é
feita em movimento. Após 3 segundos, um carro
encontra-se a 10 m da linha de largada (s(3) = 10) e
após 2 segundos, a velocidade é de 10 m/s (s'(2) = 10).
Sabendo que a aceleração do automóvel é dada por s"(t)
= 2t m/s2, determine a posição do carro após 6
segundos.

12. Situação Problema (1)
Cilindros pneumáticos são muito utilizados como amortecedores, sendo
assim, sua construção necessita de precisão. Você é o projetista de uma
empresa que constrói cilindros pneumáticos e deseja construir uma base
para um cilindro, obtida girando-se a região entre as curvas 𝑦 = 𝑥 + 1 e
y = 1, para x entre 0 e 9 e a unidade do volume é 𝑐𝑚3. Como calcular o
volume desse cilindro?

15. Exemplo (7): Calcule o volume de um sólido de rotação, obtido girando-se a
região limitada entre o gráfico da função f dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥 e as retas
y=0 e x=1, em torno do eixo x.

16. Exemplo (8): Calcule o volume de uma taça, cujo recipiente é obtido através da
rotação da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3
em torno do eixo y com limite superior dado pela
reta y=8.
𝑦 = 𝑥3
↔ 𝑥 = 3
𝑦

17. 𝑉 =
𝑎
𝑏
𝐴 𝑦 𝑑𝑦
𝐴 𝑦 = 𝜋𝑟2
𝑟=3
𝑦
𝐴 𝑦 = 𝜋(3
𝑦)2
= 𝜋𝑦
2
3
𝑉 =
0
8
𝜋𝑦
2
3𝑑𝑦

18. 𝑉 = 0
8
𝜋𝑦
2
3𝑑𝑦 = 𝜋
𝑦
2
3+1
2
3
+1
8
0
= 𝜋
𝑦
5
3
5
3
8
0
= 𝜋
3
5
𝑦
5
3
8
0
= 𝜋
3
5
(8
5
3 − 0
5
3)
= 𝜋
3
5
(32 − 0)=
96
5
𝜋 u.v

19. Exemplo (9): Calcule o volume de um sólido de rotação, obtido girando-se a região
limitada entre o gráfico da função f dada por 𝑦 = 𝑥2
e 𝑦 = 𝑥, em torno do eixo x.

21. Situação Problema (1)
Cilindros pneumáticos são muito utilizados como amortecedores, sendo
assim, sua construção necessita de precisão. Você é o projetista de uma
empresa que constrói cilindros pneumáticos e deseja construir uma base
para um cilindro, obtida girando-se a região entre as curvas 𝑦 = 𝑥 + 1 e
y = 1, para x entre 0 e 9 e a unidade do volume é 𝑐𝑚3. Como calcular o
volume desse cilindro?