Este documento fornece uma introdução aos números complexos, definindo-os como números da forma a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Também explica como representar números complexos graficamente e como realizar operações básicas com eles, tanto na forma algébrica quanto na forma trigonométrica.

1. Números Complexos

2. Ao final dessa aula você
saberá:
 O que é um número complexo e sua
representação algébrica
 O que é um número imaginário puro e
igualdade dos complexos
 O que é conjugado
 As potências de i
 A representação trigonométrica de um número
complexo
 As operações matemática na forma algébrica e
na forma trigonométrica

3. O que é umO que é um númeronúmero
complexocomplexo??
É todo númeroÉ todo número zz escrito na formaescrito na forma a + bia + bi,,
sendosendo “a”“a” a partea parte realreal ee “bi”“bi” a partea parte
imagináriaimaginária. Também é chamado de número. Também é chamado de número
imaginário.imaginário.
Exemplos:Exemplos:
 z = 3 + 5iz = 3 + 5i
 z = 7iz = 7i
 z = ½ + 4iz = ½ + 4i
Formalmente,
escrevemos a parte
real assim: Re(z) =
a.
E a parte imaginária
assim: Im(z) = b

4. O que é o “O que é o “ii”?”?
É aÉ a unidade imagináriaunidade imaginária, sendo, sendo ii22
= - 1= - 1..
Dessa forma podemosDessa forma podemos calcularcalcular o valor dao valor da
raiz de números negativosraiz de números negativos comcom índice paríndice par..
Exemplo:Exemplo:
ii 636)36)(1(36 2
==−=−

5. O que é um númeroO que é um número
imaginário puroimaginário puro??
É um número complexo z = a + bi, cujaÉ um número complexo z = a + bi, cuja
parte real é igual a zeroparte real é igual a zero, ou seja, a = 0., ou seja, a = 0.
Exemplos:Exemplos:
 z = 3iz = 3i
 z = iz = i
 z = -10iz = -10i
Repare que um número
real é um número
complexo, com a parte
imaginária igual a zero.
Exemplo: 2+0i = 2

6. Logo, temos que o conjuntos dos
Números Reais é um subconjunto
dos Números Complexos.
N
Z
Q
R
I
C

7. Como sabemos se doisComo sabemos se dois
númerosnúmeros complexoscomplexos sãosão
iguaisiguais??
Sendo dois números complexos:Sendo dois números complexos:
zz11 = a + bi e z= a + bi e z22 = c + di,= c + di, se a = c e b = d, entãose a = c e b = d, então
zz11 = z= z22. Ou seja, dois complexos são iguais. Ou seja, dois complexos são iguais
se as partes reais e imaginárias são iguais.se as partes reais e imaginárias são iguais.
Exemplo:Exemplo:
Calcular o valor de x e y na equação:Calcular o valor de x e y na equação:
3x + 7yi = 12 – 21i3x + 7yi = 12 – 21i
3x = 123x = 12  x = 4x = 4
7y = -217y = -21  y = -3y = -3

8. Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
Determine m e n reais de modo queDetermine m e n reais de modo que
m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i

9. SoluçãoSolução
m + (n-1)i = 3im + (n-1)i = 3i
m = 0m = 0 e n – 1 = 3e n – 1 = 3  n = 4n = 4

10. Como representamos o
conjugado de um número
complexo?
Sendo o número complexo z = a + bi, seu
conjugado é representado por:
Exemplos:
 z = 5 + 3i 
 z = - 8i 
iz 35−=
iz 8=
biaz −=

11. Como calculamos as
potências de i?
Usando as regras de potência já conhecidas.
 i0
= 1
 i1
= i
 i2
= - 1
 i3
= i2
. i = (- 1) . i = - i
 i4
= i2
. i2
= (- 1) . (- 1) = 1
 i5
= i3
. i2
= (- i) . (- 1) = i
Note que a partir do
expoente 4, os
resultados começam
a repetir.

12. Exemplo:
(PUC-MG) O número complexo (1 + i)10
é
igual a:
a) 32 b) -32 c) 32i d) -32i e) 32(1+i)
[(1 + i)2
]5
= [1 + 2i + i2
]5
= [1 + 2i - 1]5
=
[2i]5
= 32.i5
= 32i  letra C

13. Tente fazer sozinho!
(Vunesp) Se a, b, c são números inteiros
positivos tais que c = (a + bi)2
– 14i, em
que i2
= -1, o valor de c é:
a) 48 b) 36 c) 24 d) 14 e) 7

14. Solução
c = (a + bi)2
– 14i
c = a2
+ 2abi + b2
i2
– 14i = a2
+ 2abi – b2
– 14i
c + 0i = (a2
– b2
) + (2ab – 14)i
2ab – 14 = 0  ab = 7
Logo, a = 7 e b = 1 ou a = 1 e b = 7
Como c é positivo, temos que:
c = 72
– 12
= 49 – 1 = 48
Resposta: letra A.

15. ComoComo somamossomamos ouou
subtraímossubtraímos númerosnúmeros
complexoscomplexos??
BastaBasta somarsomar (ou subtrair)as(ou subtrair)as partes reaispartes reais ee asas
partes imagináriaspartes imaginárias..
Exemplos:Exemplos:
 (3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i(3 + 4i) + (-13 + 7i) = -10 + 11 i
 (7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i(7 – 25i) – (- 5 – 5i) = 12 – 15i

16. Como multiplicamos
números complexos?
Basta aplicar a propriedade distributiva.
Exemplo:
(5 + 2i) (2 + 3i) = 10 + 15i + 4i – 6 = 4 + 19i

17. Como dividimos
números complexos?
Basta multiplicar o numerador e o denominador
pelo conjugado do denominador.
Exemplo:
( )( )
( )( )
i
i
ii
ii
ii
i
i
29
19
29
4
29
194
425
615410
2525
2532
25
32
+=
+
=
=
+
−++
=
+−
++
=
−
+

18. Tente fazer sozinho!
(Cefet-MG) O valor da expressão quando
x = i (unidade imaginária) é :
a) (i + 1) b) – (i – 1) c)
d) e)
1
1
3
2
−
−
x
x
( )
2
1+i
( )
2
1−i ( )
2
1−− i

19. Solução
( )
( )
( ) i
ii
ii
i
iiii
i
x
x
−=
−
=
+
−
=
−+
−
+
=
−−
−
=
−−
−−
=
−
−
=
−
−
1
2
12
11
22
11
12
1
2
1
2
1
11
1
1
1
1
3
2
3
2
Logo, a resposta é B, pois
– (i - 1) = -i +1 = 1-i

20. Como representamos um
número complexo no
gráfico?
Basta representar a parte real no eixo x
e a parte imaginária no eixo y.
Exemplos: z1 = - 1 + 2i e z2 = 3i
P2
x
y
P1
3
2
1
-1

21. O que é o módulo de
um número complexo?
É a distância entre a origem e o ponto que
corresponde a esse número.
Sendo z = a + bi, temos:
ρ
x
y
b
a
P (a,b)
ρ=z

22. Como calculamos o
módulo de um número
complexo?
Usando a fórmula .
Exemplo:
22
baz +== ρ
( ) 243131
31
22
==+=+=
+=
z
iz

23. Tente fazer sozinho!
(UFRRJ) Sendo a = 2 + 4i e b = 1 – 3i, o valor
de é:
a) b) c)
d) e)
b
a
3 2 5
22 21+

24. Solução
( )
2
10
20
10
20
91
164
31
42
22
22
===
+
+
=
−+
+
==
b
a
b
a
Resposta: letra B.

25. O que é argumento de um
número complexo?
É o ângulo que o módulo do número
faz com o eixo x.
ρ
x
y
b
a
P (a,b)
θ
ρ
θ
ρ
θ
a
b
sen
=
=
cos

26. Tente fazer sozinho!
(URRN) Se z = , então o argumento de z é:
a) – 135º b) – 45º c) 45º d) 90º e) 135º
( )
i
i
−
+
1
1
2

27. Solução
( )
( )
( )
i
ii
ii
ii
i
i
i
i
i
i
z
+−=
−
=
+
−
=
+−
+
=
−
=
−
−+
=
−
+
=
1
2
22
11
22
1)1(
12
1
2
1
121
1
1
2
ρ
θ
ρ
θ
a
e
b
sen == cos
( ) 21111 22
=+=+−=ρ

28. ( )
( )
( )
( ) 2
2
2
2
2
1
cos
2
2
2
2
2
1
−
=
−
=
==
θ
θsen
sen
cos
45º135º
Logo, o argumento é 135º.
Resposta: letra E.

29. Como escrevemos a forma
trigonométrica de um número
complexo?
( )θθρ seniz += cos
iz 232 +=Exemplo:
( )
º30
2
1
4
2
2
3
4
32
cos
416412232 2222
=⇒







===
===
==+=+=+=
θ
ρ
θ
ρ
θ
ρ
b
sen
a
ba
Logo, z = 4(cos 30º + i sen 30º)

30. Tente fazer sozinho!
(Cefet-PR) A forma algébrica do complexo
ize
izd
izc
izb
iza
éisenz
2
3
2
33
)
2
3
2
33
)
2
3
2
33
)
2
33
2
3
)
2
33
2
3
)
:
6
7
6
7
cos3
−=
+−=
−−=
−=
−−=






+=
ππ

31. Solução
( )
2
1
º30º210
2
3
º30cosº210cos
º210
6
7
,3cos
6
7
6
7
cos3
−=−=
−=−=
===⇒+=






+=
sensen
isenz
isenz
π
θρθθρ
ππ

32. 2
33
32
3
cos
−=
=−
=
a
a
a
ρ
θ
2
3
32
1
−=
=−
=
b
b
b
sen
ρ
θ
i
2
3
2
33
−−Logo, a forma algébrica é
Resposta: letra C.

33. Como multiplicamos
complexos na forma
trigonométrica?






+=





+=
22
cos3
33
cos2 21
ππππ
isenzeisenz
( ) ( )[ ]21212121 cos... θθθθρρ +++= isenzz
Exemplo:






+=












++





+=
6
5
6
5
cos6.
2323
cos3.2.
21
21
ππ
ππππ
isenzz
isenzz

34. Como dividimos
complexos na forma
trigonométrica?






+=





+=
33
cos3
22
cos6 21
ππππ
isenzeisenz
( ) ( )[ ]2121
2
1
2
1
cos θθθθ
ρ
ρ
−+−= isen
z
z
Exemplo:






+=












−+





−=
66
cos2
3232
cos
3
6
2
1
2
1
ππ
ππππ
isen
z
z
isen
z
z

35. Como calculamos uma
potência complexos na
forma trigonométrica?






+=
33
cos2
ππ
isenz
( ) ( )[ ]θθρ nisennz nn
+= cos.
Exemplo:






+=












+





=
3
2
3
2
cos4
3
.2
3
.2cos2
2
22
ππ
ππ
isenz
isenz

36. Tente fazer sozinho!
(UPF-RS) Quanto ao número complexo ,
a alternativa incorreta é:
a) Escrito na forma algébrica é z = 6i
b) O módulo de z é 6.
c) O argumento de z é rad.
d) Escrito na forma trigonométrica tem-se:
e) z2
é um número real.
i
i
z
−
+
=
1
66
2
π
( )ππ seniz += cos6

37. Solução
a) Escrito na forma algébrica é z = 6i
b) O módulo de z é 6.
( )( )
( )( )
i
iii
ii
ii
i
i
z 6
2
12
11
6666
11
166
1
66
==
+
−++
=
+−
++
=
−
+
=
6660 222
==+=z

38. c) O argumento de z é rad.
2
π
2
º90
1
6
6
0
6
0
cos
π
θ
ρ
θ
ρ
θ
==⇒







===
===
b
sen
a
i
i
z
−
+
=
1
66

39. d) Escrito na forma trigonométrica
tem-se:
e) z2
é um número real.
Resposta: letra D.
( )ππ seniz += cos6
( ) ( )º90º90cos6cos isenisenz +=+= θθρ
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
[ ] 360.136
º180º180cos36
º90.2º90.2cos6
cos
2
2
22
−=+−=
=+=
=+=
=+=
iz
isenz
isenz
nisennz nn
θθρ