Mat equacoes do 1 grau 003

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Mat equacoes do 1 grau 003

  1. 1. Equações do 1º grau (Parte 3) Profa. Dra. Denise Ortigosa StolfSumário PáginaEquações do 1º grau com uma incógnita.................................................................................... 1Resolvendo uma equação do 1º grau com uma incógnita .......................................................... 2Usando equações na resolução de problemas ............................................................................ 6Referências bibliográficas .......................................................................................................... 9
  2. 2. 1EQUAÇÕES DO 1º GRAUEquações do 1º grau com uma incógnitaToda equação que, reduzida à sua forma mais simples, assume a forma ax = b ,onde x representa a incógnita e a e b são números racionais, com a ≠ 0, édenominada equação do 1º grau com uma incógnita.Os números a e b são denominados coeficientes da equação.Exemplos:a) x = 6 equação do 1º grau na incógnita xb) 3 x = 12 equação do 1º grau na incógnita xc) − 2 y = 10 equação do 1º grau na incógnita yd) 3t = −5 equação do 1º grau na incógnita tEntretanto existem outras equações do 1º grau com uma incógnita que não sãoescritas na forma ax = b .Exemplos:a) 2 x + 5 = x − 4 equação do 1º grau na incógnita x 2b) y + y=5 equação do 1º grau na incógnita y 3c) 3( x − 1) = 6 equação do 1º grau na incógnita x z z −1d) + =1 equação do 1º grau na incógnita z 2 3Essas equações podem ser reduzidas à forma mais simples de uma equação do 1ºgrau com uma incógnita através de transformações. Essas transformações sãobaseadas na aplicação dos princípios de equivalência das igualdades.
  3. 3. 2Resolvendo uma equação do 1º grau com uma incógnita xConsideremos a equação + 3 = 2( x − 1) cuja incógnita é representada pela letra 2x, sendo x um número racional desconhecido (U = ).Essa equação estabelece, numa linguagem matemática, que, para um certo xnúmero racional x, as expressões + 3 e 2( x − 1) representam o mesmo 2número.Como descobrir esse x?Lembre-se: Resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita, dentro de um conjunto universo, significa determinar a solução ou raiz dessa equação, caso exista.Observe os exemplos a seguir para ver como proceder para resolver equações do1º grau com uma incógnita:Exemplos:a) Resolver a equação 5 x + 1 = 36 , sendo U = .Aplicando o princípio aditivo, vamos adicionar (−1) aos dois membros daequação, isolando o termo que contém a incógnita x no 1º membro:5 x + 1 = 36 / /5 x + 1 − 1 = 36 − 15 x = 35Aplicando o princípio multiplicativo, vamos multiplicar os dois membros da 1equação por , descobrindo assim o valor do número x. 55 x = 35 1 15 x ⋅ = 35 ⋅ 5 5x=7Como 7 ∈ , temos S = {7}
  4. 4. 3Podemos resolver a mesma equação utilizando o método prático:5 x + 1 = 365 x = 36 − 1 → aplicamos o princípio aditivo5 x = 35 35x= → aplicamos o princípio multiplicativo 5x=7Como 7 ∈ , temos S = {7}OBS: No método prático, cada vez que um termo troca de membro, troca aoperação. Muito cuidado para não confundir: não devemos trocar o sinal donúmero e sim a sua operação. Por exemplo:− 2 y = 10 10y= −2y = −5S = {−5}b) Resolver a equação 7 x = 4 x + 5 , sendo U = .Utilizando o método prático:7x = 4x + 57x − 4x = 53x = 5 5x= 3 5Como ∈ , temos: 3 5 S=  3
  5. 5. 4c) Resolver a equação 9 x − 7 = 5 x + 13 , sendo U = .Utilizando o método prático:9 x − 7 = 5 x + 139 x − 5 x = 13 + 74 x = 20 20x= 4x=5Como 5 ∈ , temos:S = {5}d) Resolver a equação 2 ⋅ (2 x − 1) − 6 ⋅ (1 − 2 x) = 2 ⋅ (4 x − 5) , sendo U = .Utilizando o método prático:2 ⋅ (2 x − 1) − 6 ⋅ (1 − 2 x) = 2 ⋅ (4 x − 5)4 x − 2 − 6 + 12 x = 8 x − 104 x + 12 x − 8 x = −10 + 2 + 616 x − 8 x = −10 + 88 x = −2 −2x= 8 1x=− 4 1Como − ∈ , temos: 4  1S = −   4
  6. 6. 5 3x 2 5e) Resolver a equação − = x − , sendo U = . 4 3 2Utilizando o método prático:3x 2 5 − = x− 4 3 29 x − 8 12 x − 30 = 12 129 x − 8 = 12 x − 30 − 3 x = −22 ⋅ (−1)9 x − 12 x = −30 + 8 ou 3 x = 22− 3 x = −22 22 x= − 22 3x= −3 22x= 3 22Como ∈ , temos: 3  22 S=  3f) Resolver a equação 7 x + 6 = 7 x + 10 , sendo U = .Utilizando o método prático:7 x + 6 = 7 x + 107 x − 7 x = 10 − 60x = 4Como não existe nenhum número racional que multiplicado por zero dáresultado 4, dizemos que a equação é impossível e S = .
  7. 7. 6g) Resolver a equação 5 − 2 x = 5 − 2 x , sendo U = .Utilizando o método prático:5 − 2x = 5 − 2x− 2x + 2x = 5 − 50x = 0Como todo número racional verifica essa igualdade, dizemos que a equação éuma identidade e S = .Usando equações na resolução de problemasA resolução matemática de problemas é muito facilitada pela estrutura algébrica.Quando vamos resolver um problema, devemos:• Ler com atenção o problema e levantar dados.• Fazer a tradução do enunciado para a linguagem das equações, usando letras e símbolos.• Resolver a equação estabelecida.• Analisar o resultado obtido e dar a resposta conveniente.Vejamos alguns exemplos de problemas em cujas soluções serão usadasequações do 1º grau.Exemplos:a) Luiz e Roberto jogam na mesma equipe de basquete. No último jogo dessaequipe, os dois marcaram juntos 52 pontos. Luiz marcou 10 pontos a mais queRoberto. Quantos pontos cada um marcou nessa partida?Resolução: x = número total de pontos que Roberto marcou x + 10 = número total de pontos que Luiz marcou
  8. 8. 7Como os dois junto marcaram 52 pontos, vamos escrever a equação:x + ( x + 10) = 52x + x + 10 = 522 x = 52 − 102 x = 42 42x= 2x = 21Roberto marcou 21 pontosLuiz marcou 21 + 10 = 31 pontos.Resposta: Roberto marcou 21 pontos e Luiz marcou 31 pontos.b) Em uma página de jornal, 25% da área foi reservada às fotos, e sobraram420 cm2. Qual era a área total da página?Resolução:x = área total da página 25 1Convém lembrar que 25% = = 100 4 1 x = área da página destinada às fotos 4Escrevendo a equação que relaciona os dados, temos:
  9. 9. 81 x + 420 = x41 x − x = −4204x − 4 x − 1680 = 4 4x − 4 x = −1680− 3 x = −1680 ⋅ (−1)3 x = 1680 1680x= 3x = 560Resposta: A área total dessa página de jornal era 560 cm2.c) Numa 6ª série de uma escola, ocorre um fato curioso. Os 42 alunos da turmaou torcem pelo Grêmio ou pelo Internacional ou por ambos. Uma professoraperguntou:_ Quem torce pelo Internacional?36 alunos levantaram a mão.A seguir, a professora perguntou:_ Quem torce pelo Grêmio?28 alunos levantaram a mão.Nessa turma, quantos alunos torcem, ao mesmo tempo, pelo Grêmio e peloInternacional?Resolução:Para resolver este problema, podemos montar o seguinte diagrama:
  10. 10. 9x = número de alunos que torcem pelos dois times ao mesmo tempo36 – x = número de alunos que torcem pelo Internacional28 – x = número de alunos que torcem pelo GrêmioA soma desses números deverá dar o total de alunos da sala; assim, teremos aequação:(36 − x) + x + (28 − x) = 4236 − x + x + 28 − x = 42− x + 64 = 42− x = 42 − 64− x = −22 ⋅ (−1)x = 22Resposta: Nessa turma, há 22 alunos que torcem, ao mesmo tempo, pelos doisclubes.Referências bibliográficasANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando matemática. São Paulo: Brasil, 2002.BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2006.BRASIL ESCOLA. Disponível em: <http://www.brasilescola.com>. Acesso em: 30 de julho de 2008.
  11. 11. 10DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá: Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2005.GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São Paulo: Scipione, 2006.MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.

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