Congruência de triângulos
≅
𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′
𝐵′
𝐶′
⟹ 𝑎 = 𝑎′
𝑏 = 𝑏′
𝑒 𝐴 = 𝐴′
𝑐 = 𝑐′
𝐵 = 𝐵′
ℎ = ℎ′ 𝐶 = 𝐶′
A
B C
A’
B’ C’
h h’
a a’...
1º caso: LAL (lado-ângulo-lado)
≅
Critério:
𝑏 = 𝑏´ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′
𝑐 = 𝑐´
A = 𝐴′(α = β)
c
A
C
B’
b α
A’
C’
B
b’ c’
β
2º caso: ALA (ângulo-lado-ângulo)
Critério:
𝑎 = 𝑎′
𝐶 = 𝐶′ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′
𝐵 = 𝐵′
B
α
A
C a
β
A’
C’ B’
a’
βα
3º caso: 𝐿𝐴𝐴 𝑜 (lado-ângulo-ângulo oposto)
Critério:
𝑎 = 𝑎′
𝐵 = 𝐵′ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′
𝐴 = 𝐴′
B
A
C a
β
A’
C’ B’
a’
β
γ γ′
4º caso: 𝐿𝐿𝐿 (lado-lado-lado)
Critério:
𝑎 = 𝑎′
b = 𝑏′ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′
c = 𝑐′
B
C
A
b
C’
A’ B’
c’
a
c
b’ a’
Semelhança de triângulos
Dois triângulos são ditos semelhantes quando:
1º) É possível coloca-los na mesma posição, fazendo...
De acordo com a imagem que temos na apostila, temos 𝛥𝐷𝐸𝐶
sobreposto ao 𝛥𝐴𝐵𝐶.
Assim,
𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐶 ⟺
𝐴 = 𝐷
𝐵 = 𝐸
𝐶 = 𝐶
𝑒
𝐴𝐵
𝐷...
Ou também podemos separar os dois triângulos, conforme a representação na folha:
𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹 ⟺
𝐴 = 𝐷
𝐵 = 𝐸
𝐶 = 𝐹
𝑒
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=...
1º caso: 𝐴𝐴 (ângulo-ângulo)
Dois ângulos ordenadamente congruentes.
𝐵 = 𝐸
𝐶 = 𝐹
⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹
A
CB
D
E F
2º caso: LAL (lado-ângulo-lado)
*lados proporcionais*
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐴𝐶
𝐷𝐹
𝐴 = 𝐷
⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹
A
B C
D
E F
3º caso: LLL (lado-lado-lado)
*lados proporcionais*
𝐴𝐵
𝐷𝐸
=
𝐴𝐶
𝐷𝐹
=
𝐵𝐶
𝐸𝐹
⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹
A
B C
D
E F
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Congruência e Semelhança de Triângulos

  1. 1. Congruência de triângulos ≅ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ ⟹ 𝑎 = 𝑎′ 𝑏 = 𝑏′ 𝑒 𝐴 = 𝐴′ 𝑐 = 𝑐′ 𝐵 = 𝐵′ ℎ = ℎ′ 𝐶 = 𝐶′ A B C A’ B’ C’ h h’ a a’ b c b’ c’
  2. 2. 1º caso: LAL (lado-ângulo-lado) ≅ Critério: 𝑏 = 𝑏´ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝑐 = 𝑐´ A = 𝐴′(α = β) c A C B’ b α A’ C’ B b’ c’ β
  3. 3. 2º caso: ALA (ângulo-lado-ângulo) Critério: 𝑎 = 𝑎′ 𝐶 = 𝐶′ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝐵 = 𝐵′ B α A C a β A’ C’ B’ a’ βα
  4. 4. 3º caso: 𝐿𝐴𝐴 𝑜 (lado-ângulo-ângulo oposto) Critério: 𝑎 = 𝑎′ 𝐵 = 𝐵′ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ 𝐴 = 𝐴′ B A C a β A’ C’ B’ a’ β γ γ′
  5. 5. 4º caso: 𝐿𝐿𝐿 (lado-lado-lado) Critério: 𝑎 = 𝑎′ b = 𝑏′ ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≅ 𝛥𝐴′ 𝐵′ 𝐶′ c = 𝑐′ B C A b C’ A’ B’ c’ a c b’ a’
  6. 6. Semelhança de triângulos Dois triângulos são ditos semelhantes quando: 1º) É possível coloca-los na mesma posição, fazendo com que seus três lados sejam paralelos dois a dois. *Feito isto, teremos uma relação de proporção entre os lados destes triângulos. 2º) É necessário que os seus ângulos internos sejam congruentes (tenham mesma medida).
  7. 7. De acordo com a imagem que temos na apostila, temos 𝛥𝐷𝐸𝐶 sobreposto ao 𝛥𝐴𝐵𝐶. Assim, 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐶 ⟺ 𝐴 = 𝐷 𝐵 = 𝐸 𝐶 = 𝐶 𝑒 𝐴𝐵 𝐷𝐸 = 𝐵𝐶 𝐸𝐶 = 𝐴𝐶 𝐷𝐶 = 𝑘 C A B D E
  8. 8. Ou também podemos separar os dois triângulos, conforme a representação na folha: 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹 ⟺ 𝐴 = 𝐷 𝐵 = 𝐸 𝐶 = 𝐹 𝑒 𝐴𝐵 𝐷𝐸 = 𝐵𝐶 𝐸𝐹 = 𝐶𝐴 𝐹𝐷 = 𝑘 𝑘 é a razão de semelhança. Observe que a razão entre os lados é determinada pela posição de acordo com os ângulos. A B C D E F
  9. 9. 1º caso: 𝐴𝐴 (ângulo-ângulo) Dois ângulos ordenadamente congruentes. 𝐵 = 𝐸 𝐶 = 𝐹 ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹 A CB D E F
  10. 10. 2º caso: LAL (lado-ângulo-lado) *lados proporcionais* 𝐴𝐵 𝐷𝐸 = 𝐴𝐶 𝐷𝐹 𝐴 = 𝐷 ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹 A B C D E F
  11. 11. 3º caso: LLL (lado-lado-lado) *lados proporcionais* 𝐴𝐵 𝐷𝐸 = 𝐴𝐶 𝐷𝐹 = 𝐵𝐶 𝐸𝐹 ⟹ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ≈ 𝛥𝐷𝐸𝐹 A B C D E F

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