Exercícios resolvidos de lançamento oblíquo

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Exercícios resolvidos de lançamento oblíquo

  1. 1. Exercícios Resolvidos de lançamento Oblíquo. 01-(Ufmg-MG) Clarissa chuta, em seqüência, três bolas - P, Q e R -, cujas trajetórias estão representadas nesta figura: Sejam t(P), t(Q) e t(R) os tempos gastos, respectivamente, pelas bolas P, Q e R, desde o momento do chute até o instante em que atingem o solo. Considerando-se essas informações, é CORRETO afirmar que a) t(Q) > t(P) = t(R) b) t(R) > t(Q) = t(P) c) t(Q) > t(R) > t(P) d) t(R) > t(Q) > t(P) e) d) t(R) = t(Q) = t(P) 02-(Ufsm-RS) Um índio dispara uma flecha obliquamente. Sendo a resistência do ar desprezível, a flecha descreve uma parábola num referencial fixo ao solo. Considerando o movimento da flecha depois que ela abandona o arco, afirma-se: I. A flecha tem aceleração mínima, em módulo, no ponto mais alto da trajetória. II. A flecha tem aceleração sempre na mesma direção e no mesmo sentido. III. A flecha atinge a velocidade máxima, em módulo, no ponto mais alto da trajetória. Está(ão) correta(s) a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas II. d) apenas III. e) I, II e III. 03-(CEFET-CE) Duas pedras são lançadas do mesmo ponto no solo no mesmo sentido. A primeira tem velocidade inicial de módulo 20 m/s e forma um ângulo de 60° com a horizontal, enquanto, para a outra pedra, este ângulo é de 30°. O módulo da velocidade inicial da segunda pedra, de modo que ambas tenham o mesmo alcance, é:
  2. 2. DESPREZE A RESISTÊNCIA DO AR. a) 10 m/s b) 10√3 m/s c) 15 m/s d) 20 m/s e) 20√3 m/s 04-(CEFET-CE) Um caminhão se desloca em movimento retilíneo e horizontal, com velocidade constante de 20m/s. Sobre sua carroceria, está um canhão, postado para tiros verticais, conforme indica a figura. A origem do sistema de coordenadas coincide com a boca do canhão e, no instante t=0, ele dispara um projétil, com velocidade de 80m/s. Despreze a resistência do ar e considere g=10m/s2. Determine o deslocamento horizontal do projétil, até ele retornar à altura de lançamento, em relação: a) ao caminhão; b) ao solo. 05-(Ufms-MS) Em um lançamento oblíquo (trajetória mostrada na figura a seguir) em um local onde a aceleração constante da gravidade é g, sejam respectivamente, H, X e β a altura máxima, o alcance horizontal e o ângulo de lançamento do projétil, medido em relação ao eixo horizontal x. Desprezando-se a resistência do ar, é correto afirmar que (01) o tempo para que se alcance X é igual ao tempo de subida do projétil. (02) o tempo para que se alcance X é igual ao dobro do tempo de descida do projétil. (04) se tg(β) = 4, então H = X. (08) a energia cinética do projétil é máxima quando é atingida a altura máxima. (16) a energia mecânica do projétil aumenta no trecho de descida. 06-(CEFET-CE) Um aluno do CEFET em uma partida de futebol lança uma bola para cima, numa direção que forma um ângulo
  3. 3. de 60° com a horizontal. Sabendo que a velocidade na altura máxima é 20 m/s, podemos afirmar que a velocidade de lançamento da bola, em m/s, será: a) 10 b) 17 c) 20 d) 30 e) 40 07-(PUCCAMP-SP) Observando a parábola do dardo arremessado por um atleta, um matemático resolveu obter uma expressão que lhe permitisse calcular a altura y, em metros, do dardo em relação ao solo, decorridos t segundos do instante de seu lançamento (t = 0). Se o dardo chegou à altura máxima de 20 m e atingiu o solo 4 segundos após o seu lançamento, então, desprezada a altura do atleta, considerando g=10m/s2, a expressão que o matemático encontrou foi a) y = - 5t2 + 20t b) y = - 5t2 + 10t c) y = - 5t2 + t d) y = -10t2 + 50 e) y = -10t2 + 10 08-(Ufpe-PE) Um projétil é lançado obliquamente no ar, com velocidade inicial vo = 20 m/s, a partir do solo. No ponto mais alto de sua trajetória, verifica-se que ele tem velocidade igual à metade de sua velocidade inicial. Qual a altura máxima, em metros, atingida pelo projétil? (Despreze a resistência do ar e considere g=10m/s2). 09-(FUVEST-SP) Durante um jogo de futebol, um chute forte, a partir do chão, lança a bola contra uma parede próxima. Com auxílio de uma câmera digital, foi possível reconstituir a trajetória da bola, desde o ponto em que ela atingiu sua altura máxima (ponto A) até o ponto em que bateu na parede (ponto B). As posições de A e B estão representadas na figura. Após o choque, que é elástico, a bola retorna ao chão e o jogo prossegue.
  4. 4. a) Estime o intervalo de tempo t1, em segundos, que a bola levou para ir do ponto A ao ponto B. b) Estime o intervalo de tempo t2, em segundos, durante o qual a bola permaneceu no ar, do instante do chute até atingir o chão após o choque. c) Represente, em sistema de eixos, em função do tempo, as velocidades horizontal Vx e vertical Vy da bola em sua trajetória, do instante do chute inicial até o instante em que atinge o chão, identificando por Vx e Vy, respectivamente, cada uma das curvas. NOTE E ADOTE: Vy é positivo quando a bola sobe Vx é positivo quando a bola se move para a direita 10-(PUCCAMP-SP) Um atleta arremessa um dardo sob um ângulo de 45° com a horizontal e, após um intervalo de tempo t, o dardo bate no solo 16 m à frente do ponto de lançamento. Desprezando a resistência do ar e a altura do atleta, o intervalo de tempo t, em segundos, é um valor mais próximo de: Dados: g = 10 m/s2 e sen 45° = cos 45° = 0,7 a) 3,2 b) 1,8 c) 1,2 d) 0,8 e) 0,4 11- Ufjf-MG) Durante uma partida de futebol, um jogador, percebendo que o goleiro do time adversário está longe do gol, resolve tentar um chute de longa distância (vide figura). O jogador se encontra a 40 m do goleiro. O vetor velocidade inicial da bola tem módulo Vo = 26 m/s e faz um ângulo de 25° com a horizontal, como mostra a figura a seguir.
  5. 5. Desprezando a resistência do ar, considerando a bola pontual e usando cos 25° = 0,91, sen 25° = 0,42 e g=10m/s2: a) Faça o diagrama de forças sobre a bola num ponto qualquer da trajetória durante o seu vôo, após ter sido chutada. Identifique a(s) força(s). b) Saltando com os braços esticados, o goleiro pode atingir a altura de 3,0 m. Ele consegue tocar a bola quando ela passa sobre ele? Justifique. c) Se a bola passar pelo goleiro, ela atravessará a linha de gol a uma altura de 1,5 m do chão. A que distância o jogador se encontrava da linha de gol, quando chutou a bola? (Nota: a linha de gol está atrás do goleiro.) 12-(CEFET-CE) Uma roda de raio R rola uniformemente, sem escorregar, ao longo de uma superfície horizontal. Do ponto A da roda se desprende uma gota de barro, como mostra a figura a seguir. Com que velocidade v deve se deslocar a roda, se a gota, depois de lançada ao espaço, volta a cair sobre o mesmo ponto da roda após efetuar uma volta? Considere desprezível a resistência do ar. 13-(UNICAMP-SP) Uma bola de tênis rebatida numa das extremidades da quadra descreve a trajetória representada na figura a seguir, atingindo o chão na outra extremidade da quadra. O comprimento da quadra é de 24 m. a) Calcule o tempo de vôo da bola, antes de atingir o chão. Desconsidere a resistência do ar nesse caso. b) Qual é a velocidade horizontal da bola no caso acima? c) Quando a bola é rebatida com efeito, aparece uma força, FE, vertical, de cima para baixo e igual a 3 vezes o peso da bola. Qual será a velocidade horizontal da bola, rebatida com efeito para uma trajetória idêntica à da figura? 14-(UNICAMP-SP) O famoso salto duplo twistcarpado de Daiane dos Santos foi analisado durante um dia de treinamento no Centro Olímpico em Curitiba, através de sensores e filmagens que
  6. 6. permitiram reproduzir a trajetória do centro de gravidade de Daiane na direção vertical (em metros), assim como o tempo de duração do salto. De acordo com o gráfico, determine: a) A altura máxima atingida pelo centro de gravidade de Daiane. b) A velocidade média horizontal do salto, sabendo-se que a distância percorrida nessa direção é de 1,3m. c) A velocidade vertical de saída do solo. 15-(PUC-SP) Futebol é, sem dúvida, o esporte mais popular de nosso país. Campos de futebol são improvisados nas ruas, nas praças, nas praias. Já os campos de futebol profissional são projetados e construídos seguindo regras e dimensões bem definidas O comprimento do campo pode variar de um mínimo de 90m até um máximo de 120m, enquanto a medida da largura pode variar entre 45m e 90m. De qualquer maneira, independentemente das dimensões do campo, a distância entre as traves verticais de um mesmo gol é de 7,3m, e a grande área do campo, dentro da qual ficam o goleiro e as traves, tem as medidas assim definidas: "A grande área, ou área penal, está situada em ambas as extremidades do campo e será demarcada da seguinte maneira: serão traçadas duas linhas perpendiculares à linha de meta, a 16,5m de cada trave do gol. Essas linhas se adentrarão por 16,5m no campo e se unirão a uma linha paralela à linha de meta. Em cada grande área será marcado um ponto penal, a 11,0m de distância a partir do ponto médio da linha entre as traves, eqüidistantes às mesmas, Por fora de cada grande área será traçado um semicírculo com raio de 9,2m a partir de cada ponto penal." (fig. 1) Para alcançar o gol, os jogadores lançam mão de várias técnicas e fundamentos. Dentre esses fundamentos, um dos mais difíceis de serem executados pelos jogadores, e que está diretamente ligado às medidas do campo, é o 'lançamento'. Nestas jogadas, em que se destacaram Gerson e Pelé, dentre outros, um jogador chuta a bola que, a partir daí, sobe, descreve uma parábola sob a ação da gravidade e vai alcançar outro jogador, uns tantos metros à frente.
  7. 7. Instruções: Nas respostas lembre-se de deixar os processos de resolução claramente expostos. Não basta escrever apenas o resultado final. É necessário registrar os cálculos e/ou raciocínio utilizado. Sempre que necessário, utilize: g = 10m/s2, sen 20° = 0,35 e cos 20° = 0,95 Nas questões seguintes, eventualmente, você precisará de dados numéricos contidos no texto. Procure-os com atenção. Para as questões seguintes, considere a fig. 2 , na qual um jogador chuta a boa com velocidade de módulo 72 km/h e em um ângulo de 20° em relação à horizontal. A distância inicial entre a bola e a barreira é de 9,5m e entre a bola e a linha do gol, 19m. A trave superior do gol encontra-se a 2,4m do solo. Considere desprezível o trabalho de forças dissipativas sobre a bola. a) Determine qual é a máxima altura que a barreira pode ter para que a bola a ultrapasse. b) Determine a distância entre a trave superior e a bola, no instante em que ela entra no gol. c) A trajetória da bola chutada pelo jogador da figura pode ser descrita pela equação y = 7/19x - (5/361)x2, na qual 'y' é a medida, em metros, da altura em que a bola se encontra, e 'x' é a medida da distância horizontal percorrida pela bola, em metros, durante seu movimento. Desenhe o gráfico cartesiano representativo do movimento da bola durante o lançamento, assinalando a altura máxima e o ponto em que a bola retornaria ao solo, caso não batesse na rede.(fig. 2) 16-(UNESP-SP) Um garoto, voltando da escola, encontrou seus amigos jogando uma partida de futebol no campinho ao lado de sua casa e resolveu participar da brincadeira. Para não perder tempo, atirou sua mochila por cima do muro, para o quintal de sua casa: postou-se a uma distância de 3,6 m do muro e, pegando a mochila pelas alças, lançou-a a partir de uma altura de 0,4 m.
  8. 8. Para que a mochila passasse para o outro lado com segurança, foi necessário que o ponto mais alto da trajetória estivesse a 2,2 m do solo. Considere que a mochila tivesse tamanho desprezível comparado à altura do muro e que durante a trajetória não houve movimento de rotação ou perda de energia. Tomando g = 10 m/s2, calcule a) o tempo decorrido, desde o lançamento, para a mochila atingir a altura máxima. b) o ângulo de lançamento. Dados: 17-(UNIFESP-SP) Um projétil de massa m = 0,10 kg é lançado do solo com velocidade de 100 m/s, em um instante t = 0, em uma direção que forma 53° com a horizontal. Admita que a resistência do ar seja desprezível e adote g = 10 m/s2. a) Utilizando um referencial cartesiano com a origem localizada no ponto de lançamento, qual a abscissa x e a ordenada y da posição desse projétil no instante t = 12 s? Dados: sen 53° = 0,80; cos 53°= 0,60. b) Utilizando este pequeno trecho da trajetória do projétil: Desenhe no ponto O, onde está representada a velocidade do projétil, a força resultante que nele atua. Qual o módulo dessa força? 18- (Ufc-CE) Uma partícula pontual é lançada de um plano inclinado conforme esquematizado na figura a seguir. O plano tem um ângulo de inclinação θ em relação à horizontal, e a partícula é lançada, com velocidade de módulo v, numa direção que forma um ângulo de inclinação α em relação ao plano inclinado. Despreze qualquer efeito da resistência do ar. Considere que a aceleração da gravidade local é constante (módulo igual a g, direção vertical, sentido para baixo).
  9. 9. a) Considerando o eixo x na horizontal, o eixo y na vertical e a origem do sistema de coordenadas cartesianas no ponto de lançamento, determine as equações horárias das coordenadas da partícula, assumindo que o tempo é contado a partir do instante de lançamento. b) Determine a equação da trajetória da partícula no sistema de coordenadas definido no item (a). 19-(UNESP-SP) Em uma partida de futebol, a bola é chutada a partir do solo descrevendo uma trajetória parabólica cuja altura máxima e o alcance atingido são, respectivamente, h e s. Desprezando o efeito do atrito do ar, a rotação da bola e sabendo que o ângulo de lançamento foi de 45° em relação ao solo horizontal, calcule a razão s/h. Dado: sen 45° = cos 45° = √2/2. 20-(UNICAMP–SP) Até os experimentos de Galileu Galilei, pensava-se que, quando um projétil era arremessado, o seu movimento devia-se ao impetus, o qual mantinha o projétil em linha reta e com velocidade constante. Quando o impetus acabasse, o projétil cairia verticalmente até atingir o chão. Galileu demonstrou que a noção de impetus era equivocada. Consideremos que um canhão dispara projéteis com uma velocidade inicial de 100 m/s, fazendo um ângulo de 30º com a horizontal. Dois artilheiros calcularam a trajetória de um projétil: um deles, Simplício, utilizou a noção de impetus; o outro, Salviati, as idéias de Galileu. Os dois artilheiros concordavam apenas em uma coisa: o alcance do projétil.
  10. 10. Considere √3 =1,8 ; sen 30º = 0,5 ; cos 30º = 0,9. Despreze a resistência do ar. a) Qual é o alcance do projétil? b) Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, segundo os cálculos de Simplício? c) Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil, calculada por Salviati? 21-(PUC-PR) Um projétil de massa 100 g é lançado obliquamente a partir do solo, para o alto, numa direção que forma 60° com a horizontal com velocidade de 120 m/s, primeiro na Terra e posteriormente na Lua. Considerando a aceleração da gravidade da Terra o sêxtuplo da gravidade lunar, e desprezíveis todos os atritos nos dois experimentos, analise as proposições a seguir: I- A altura máxima atingida pelo projétil é maior na Lua que na Terra. II- A velocidade do projétil, no ponto mais alto da trajetória será a mesma na Lua e na Terra. III- O alcance horizontal máximo será maior na Lua. IV- A velocidade com que o projétil toca o solo é a mesma na Lua e na Terra. 22-(FUVEST-SP-2008) No "salto com vara", um atleta corre segurando uma vara e, com perícia e treino, consegue projetar seu corpo por cima de uma barra. Para uma estimativa da altura alcançada nesses saltos, é possível considerar que a vara sirva apenas para converter o movimento horizontal do atleta (corrida) em movimento vertical, sem perdas ou acréscimos de energia. Na análise de um desses saltos, foi obtida a seqüência de imagens reproduzida a seguir. Nesse caso, é possível estimar que a velocidade máxima atingida pelo atleta, antes do salto, foi de, aproximadamente, Desconsidere os efeitos do trabalho muscular após o início do salto. a) 4 m/s b) 6 m/s c) 7 m/s d) 8 m/s e) 9 m/s 23-(Ufsm-RS-2008) Num jogo de futebol, um jogador faz um lançamento oblíquo de longa distância para o campo adversário, e o atacante desloca-se abaixo da bola, em direção ao ponto previsto para o primeiro contato dela com o solo.
  11. 11. Desconsiderando o efeito do ar, analise as afirmativas: I - Um observador que está na arquibancada lateral vê a bola executar uma trajetória parabólica. II - O atacante desloca-se em movimento retilíneo uniformemente variado para um observador que está na arquibancada lateral. III - O atacante observa a bola em movimento retilíneo uniformemente variado. Está(ão) CORRETA(S) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas I e II. d) apenas I e III. e) apenas II e III. 24-(FUVEST-SP-2009) O salto que conferiu a medalha de ouro a uma atleta brasileira, na Olimpíada de 2008, está representado no esquema ao lado, reconstruído a partir de fotografias múltiplas. Nessa representação, está indicada, também, em linha tracejada, a trajetória do centro de massa da atleta (CM). Utilizando a escala estabelecida pelo comprimento do salto, de 7,04 m, é possível estimar que o centro de massa da atleta atingiu uma altura máxima de 1,25 m (acima de sua altura inicial), e que isso ocorreu a uma distância de 3,0 m, na horizontal, a partir do início do salto, como indicado na figura. Considerando essas informações, estime: a) O intervalo de tempo t1, em s, entre o instante do início do salto e o instante em que o centro de massa da atleta atingiu sua altura máxima. b) A velocidade horizontal média, VH, em m/s, da atleta durante o salto. c) O intervalo de tempo t2, em s, entre o instante em que a atleta atingiu sua altura máxima e o instante final do salto. NOTE E ADOTE: Desconsidere os efeitos da resistência do ar. 25-(ITA-SP-2009) Considere hipoteticamente duas bolas lançadas de um mesmo lugar ao mesmo tempo: a bola 1, com velocidade para cima de 30 m/s, e a bola 2, com velocidade de 50 m/s formando um
  12. 12. ângulo de 30° com a horizontal. Considerando g = 10 m/s£, assinale a distância entre as bolas no instante em que a primeira alcança sua máxima altura. a) d = √6250 m. b) d = √2717 m c) d = √17100 m d) d = √19375 m e) d = √26875 m 26-(UDESC-SC-2009) Em uma partida de basquete, um jogador tem direito a realizar dois lances livres. O centro da cesta está situado a uma distância de 4,0 m da linha de lançamento e a uma altura de 3,0 m do solo, conforme a figura abaixo. A bola é lançada sempre a uma altura de 2,0 m do solo. No primeiro lançamento, a bola é lançada com velocidade de 5,0 m/s, formando um ângulo de 30° com a horizontal, e não atinge a cesta. No segundo lançamento, a bola é lançada com uma velocidade desconhecida, formando um ângulo de 30° com a horizontal, e atinge a cesta. Dados: cos 30° = 0,86; sen 30° = 0,50; tan 30° = 0,57; cos2 30° = 0,75. a) Determine o instante em que a altura máxima é atingida pela bola no primeiro lançamento. b) Demonstre que a bola não atinge a cesta no primeiro lançamento. c) Determine a velocidade inicial da bola no segundo lançamento. 27-(CFT-MG-010) Uma pedra,lançada para cima a partir do topo de um edifício de 10 m de altura com velocidade inicial vo = 10m/s, faz um ângulo de 30° com a horizontal. Ela sobe e, em seguida, desce em direção ao solo. Considerando-o como referência,é correto afirmar que a(o) a) máxima altura atingida é igual a 15 m. b) intervalo de tempo da subida vale 3,0 s. c) tempo gasto para chegar ao solo é 5,0 s. d) velocidade ao passar pelo nível inicial é 10m/s. 28-(PUC-RJ-010) Um superatleta de salto em distância realiza o seu salto procurando atingir o maior alcance possível. Se ele se
  13. 13. lança ao ar com uma velocidade cujo módulo é 10 m/s, e fazendo um ângulo de 45o em relação a horizontal, é correto afirmar que o alcance atingido pelo atleta no salto é de: (Considere g = 10 m/s2 ) a) 2 m. b) 4 m. c) 6 m. d) 8 m. e) 10 m. 29-(UNIFESP-SP-010) No campeonato paulista de futebol, um famoso jogador nos presenteou com um lindo gol, no qual, ao correr para receber um lançamento de um dos atacantes,o goleador fenomenal parou a bola no peito do pé e a chutou certeira ao gol. Analisando a jogada pela TV, verifica-se que a bola é chutada pelo armador da jogada a partir do chão com uma velocidade inicial de 20,0 m/s, fazendo um ângulo com a horizontal de 45º para cima. Dados: g = 10,0 m/s2 e √= 1,4 a) Determine a distância horizontal percorrida pela bola entre o seu lançamento até a posição de recebimento pelo artilheiro (goleador fenomenal). b) No instante do lançamento da bola, o artilheiro estava a 16,0 m de distância da posição em que ele estimou que a bola cairia e, ao perceber o início da jogada, corre para receber a bola. A direção do movimento do artilheiro é perpendicular à trajetória da bola, como mostra a figura. Qual é a velocidade média, em km/h, do artilheiro, para que ele alcance a bola imediatamente antes de ela tocar o gramado? 30-(UEPG-PR-011) Um projétil quando é lançado obliquamente, no vácuo, ele descreve uma trajetória parabólica. Essa trajetória é resultante de uma composição de dois movimentos independentes. Analisando a figura abaixo, que representa o movimento de um projétil lançado obliquamente, assinale o que for correto.
  14. 14. 01) As componentes da velocidade do projétil, em qualquer instante nas direções x e y, são respectivamente dadas por, Vx = Vo . cosθ e Vy = Vo . senθ – gt 02) As componentes do vetor posição do projétil, em qualquer instante, são dadas por, x = Vo . cosθ. t e y = Vo . senθ – gt2 /2 04) O alcance do projétil na direção horizontal depende da velocidade e do ângulo de lançamento. 08) O tempo que o projétil permanece no ar é t=(2Vosenθ)/g 16) O projétil executa simultaneamente um movimento variado na direção vertical e um movimento uniforme na direção horizontal. (UERJ-RJ-011) Este enunciado refere-se às questões de números 31 e 32. Um trem em alta velocidade desloca-se ao longo de um trecho retilíneo a uma velocidade constante de 108 km/h. Um passageiro em repouso arremessa horizontalmente ao piso do vagão, de uma altura de 1 m, na mesma direção e sentido do deslocamento do trem, uma bola de borracha que atinge esse piso a uma distância de 5 m do ponto de arremesso. 31-(UERJ-RJ-011) Se a bola fosse arremessada na mesma direção, mas em sentido oposto ao do deslocamento do trem, a distância, em metros, entre o ponto em que a bola atinge o piso e o ponto de arremesso seria igual a: (A) 0 (B) 5 (C) 10 (D) 15 32-(UERJ-RJ-011)O intervalo de tempo, em segundos, que a bola leva para atingir o piso é cerca de: (A) 0,05 (B) 0,20 (C) 0,45 (D) 1,00 33-(UFF-RJ-011) Após um ataque frustrado do time adversário, o goleiro se prepara para lançar a bola e armar um contra ataque. Para dificultar a recuperação da defesa adversária,a bola deve chegar aos pés de um atacante no menor tempo possível. O goleiro vai chutar a bola, imprimindo sempre a mesma velocidade, e deve controlar apenas o ângulo de lançamento. A figura mostra as duas trajetórias possíveis da bola num certo momento da partida.
  15. 15. Assinale a alternativa que expressa se é possível ou não determinar qual destes dois jogadores receberia bola no menor tempo. Despreze o efeito da resistência do ar. (A) Sim, é possível, e o jogador mais próximo receberia a bola no menor tempo. (B) Sim, é possível, e o jogador mais distante receberia a bola no menor tempo. (C) Os dois jogadores receberiam a bola em tempos iguais. (D) Não, pois é necessário conhecer os valores da velocidade inicial e dos ângulos de lançamento. (E) Não, pois é necessário conhecer o valor da velocidade inicial. Resoluções 01- O tempo que a bola permanece no ar está relacionado com a altura --- maior altura, maior tempo de permanência no ar --- R- A 02- I – Falsa – a aceleração é constante e é a aceleração da gravidade , sempre com direção vertical e sentido para baixo. II – Correta – vide afirmação acima III – Falsa – no ponto mais alto da trajetória a velocidade é mínima e vale V=Vx R- C 03- Se os dois ângulos de lançamento forem complementares entre si (α1 + α2=90o), e a velocidade inicial for a mesma, (no caso, 20m/so alcance horizontal é o mesmo. R- D 04- a) Como a resistência do ar é desprezada, a velocidade horizontal inicial do projétil é constante e, em cada instante, a mesma do caminhão. Assim, se ele partiu de um ponto P da carroceria do caminhão, retornará ao mesmo ponto P e o deslocamento horizontal em relação ao caminhão será zero. b) Vox=20m/s --- Vo=80m/s --- Vo 2=Vox 2 + Voy 2 --- 6.400=400 + Voy 2 --- Voy=77.5m/s ---tempo de subida --- Vy = Voy – gts --- 0=77,5 – 10ts --- ts=7,75s --- tempo que demora para subir e descer e se deslocar X na horizontal --- t=2.7.75 --- t=15,5s --- X=Vox.t=20,15,5 --- X=310m
  16. 16. 05- (01) Falsa – é o tempo de subida mais o tempo de descida (02) Verdadeira – veja (1) (04) Verdadeira – veja teoria - Se a altura maxima (hmáx) é igual ao alcance X --- tgα=4 (08) Ec=mV2/2 --- na altura máxima V é mínima, portanto Ec também será mínima – Falsa (16) Falsa – como não existe atrito, o sistema é conservativo e a energia mecânica é sempre a mesma em todos os pontos da trajetória Soma (02 + 04) = 06 06- Na altura máxima a velocidade vetorial não é nula, tem intensidade mínima e é igual à componente horizontal, ou seja, . Assim, Vox=20m/s --- Vox=Vocos60o --- 20=Vo.1/2 --- Vo=40m/s --- R- E 07- Na altura maxima --- hmáx=20m e t=4/2 --- t=2s --- Y=Voyt – gt2/2 --- 20=Voy.2 – 10.22/2 --- Voy=20m/s --- Y=Voyt – gt2/2 - -- Y=20t – 5t2 --- R- A 08- No ponto mais alto --- V=Vx=Vox=20/2 --- Vox=10m/s --- Vo 2=Vox 2 + Voy 2 --- 202=102 + Voy 2 --- Voy 2=300 --- na altura máxima hmáx --- Vy=0 --- Torricelli --- Vy 2 = Voy 2 – 2ghmáx --- 02=300 – 20hmáqx --- hmáx=15m 09- a) Movimento na vertical --- no ponto A de altura máxima Vy=0 S=So + Vot + at2/2 --- YB) = Y(A) + Vyt – 10t2/2 --- 4,2 = 5,0 +0.t -5t2 --- t=√0,16 --- t=0,4s b) Queda livre da altura Yo=5m --- Vo=0 --- quando chega ao solo Y=0 --- Y=Yo + Vot –gt2/2 --- 0=5 + 0t – 5t2 --- t=1s Sendo o choque elástico, o tempo de subida é igual ao tempo de descida --- t=2s c) Movimento vertical --- a batida na parede não afeta o tempo de queda (projeção na vertical) pois o choque é elástico --- t=1s --- Voy=0 --- velocidade com que chega ao solo --- Vy --- Vy=Voy –
  17. 17. gt --- Vy=0 -10.1 --- Vy=-10m/s --- se chega ao solo com velocidade de -10m/s, sai do mesmo com velocidade de +10m/s --- No movimento horizontal ela demora t=0,4s para percorrer X=6m com velocidade constante Vx --- X=Vxt --- 6=Vx.0,4 --- Vx=15m/s --- +15m/s para a direita (movimento progressivo) e - 15m/s para a esquerda (movimento retrógrado) 10- Vox=Vocos45o --- Voy=Vosen45o --- Vox=Voy=0,7Vo --- tempo que o dardo demora para para percorrer 16m na horizontal --- X=Voxcos45o.t --- 16=Vo.0,7.t --- t=16/0,7Vo --- Na altura máxima Vy=0 e t=16/2.(0,7Vo)=16/1,4Vo --- Vy=Voy – gt --- 0=0,7Vo – 10t --- 0=0,7Vo – 10.16/1,4Vo --- Vo=√163,2=12,8m/s --- t=16/0,7Vo --- t=16/12,8=1,8s --- R- B 11- a) A única força que age sobre a bola (a resistência do ar é desprezada) durante todo o movimento é a força peso, vertical e para baixo. b) Cálculo do tempo que a bola demora a chegar até o goleiro percorrendo X=40m com velocidade horizontal constante e de valor Vox=Vocos25o=26.0,91 --- Vox=23,66m/s --- X=Vox.t --- 40=23,66.t --- t=1,69s --- cálculo da altura, na direção vertical, que a bola estará ao chegar ao goleiro nesse instante (t=1,69s) --- Y=Voyt – gt2/2 --- Y=Vo.sen25o.t –gt2/2 --- Y=26.0,42.1,69 – 10.(1,69)2/2 --- Y=18,45 – 14,28 --- Y=4,17m --- esse valor é maior que 3m e assim, o goleiro não consegue tocar a bola. c) Cálculo do tempo que a bola demora para chegar à altura vertical de 1,5m --- Y=Vo.sen25o.t – gt2/2 --- 1,5=10,92t – 5t2 --- 5t2 -10,92t + 1,5=0 --- Δ=119,25 – 30=89,25 --- √Δ=9,5 --- t=(10,92 ±9,5)/2.5 --- considera-se o tempo maior que ocorre
  18. 18. quando a bola já está descendo --- t=2,042s --- nesse instante a distância horizontal da linha de gol será de X=Vocos25o.t --- X=26.0,91.2,042 --- X=48,3m 12- O tempo que a gota de barro permanece no ar é o mesmo tempo que a roda demora para efetuar uma volta completa, ou seja, percorrer ΔS=2πR com velocidade constante V, que é a velocidade de translação e de rotação da roda (não derrapa) e que também é a velocidade de lançamento da gota de barro --- V= ΔS/Δt --- V=2πR/t --- t=2πR/V --- a gota de barro atinge a altura máxima hmáx na metade desse tempo, quando sua velocidade vertical Vy se anula (Vy=0) --- Vy=Voy – gt --- 0=V – g(πR/V) --- V2=πRg --- V=√(πRg) 13- a) Do gráfico --- distância vertical que percorre até atingir a altura máxima --- ΔS=125 – 93,75=31,25cm --- ΔS=0,3125m --- na altura máxima Vy=0 --- Torricelli --- Vy 2 = Voy 2 + 2aΔS --- 02=Voy 2 – 2.10.0,3125 --- Voy=2,5m/s --- função horária vertical --- Y=Yo + Voyt – gt2/2 --- quando chega ao solo Y=0 --- 0=0,9375 + 2,5t – 5t2 --- 5t2 – 2,5t – 0,9375=0 --- √Δ=5 --- t=(2,5 ±5)/10 --- t=0,75s b) Na horizontal --- quando X=24m --- t=0,75s --- X=Vox.t --- 24=Vox.0,75 --- Vox=32m/s c) sem efeito --- a força resultante sobre a bola é seu peso --- P=mg --- a=g --- com efeito --- F=3P (para cima) e P (para baixo) --- FR=3P – P=2P=2mg --- a’=2g --- como a aceleração é proporcional à velocidade, ela também dobrará --- V’+2.32 --- V’=64m/s 14- a) Yo=0 --- quando t=0,3s --- Y=1,2m --- Y=Yo + Voyt + at2/2 --- 1,2=0 + 0,3Voy= + a.(0,3)2/2 --- 0,3Voy + 0,045a=1,2 I quando t=0,8s --- Y=1,2m --- Y=Yo + Voyt + at2/2 --- 1,2=0 + Voy.0,8 + a(0,8)2/2 --- 0,8Voy + 0,32a = 1,2 II --- resolvendo o sistema composto por I e II --- a=-10m/s2=g e Voy=5,5m/s --- tempo que demora para atingir a altura máxima onde Vy=0 --- Vy=Voy + at --- 0=5,5 – 10t --- t=0,55s --- Ymáx= Yo + Voyt + at2/2 --- Ymáx= 0 + 5,5.0,55 – 10(0,55)2/2 --- Ymáx=1,5125m b) tempo total de movimento t=2.0,55 --- t=1,1s --- na horizontal --- X=Vox.t --- 1,3=Vox.1,1 --- Vox=1,18m/s c) Vo 2=Vox 2 + Voy 2 --- Vo 2 = (1,18)2 + ((5,5)2 --- Vo 2=1,3924 + 37,91 --- Vo=6m/s 15- a) Vo=72km/h/3,6=20m/s --- Voy=Vosen20o=20.0,35 --- Voy=7m/s --- Vox=Vocos20o=20.0,95 --- Vox=19m/s --- tempo que a bola demora para chegar à barreira onde X=9,5m com velocidade constante Vox=19m/s --- X=Vox.t --- t=9,5/19 --- t=0,5s --- nesse instante a barreira deverá ter uma altura vertical de --- Y=Voyt – gt2/2=7.0,5 – 5.0,25 --- Y=3,5 – 1,25 --- Y=2,25m b) Tempo que a bola demora para chegar ao gol com velocidade de Vox=19m/s e distante X=19m do ponto de lançamento --- X=Voxt -- - t=19/19 --- t=1s --- nesse instante a bola terá uma altura
  19. 19. vertical de Y=Voyt – gt2/2=7.1 – 5.1 --- Y=2m (altura da bola ao entrar no gol) --- altura da trave=2,4m --- a bola entra no gol 0,4m abaixo da trave. c) Tempo que a bola demora para atingir a altura máxima onde Vy=0 --- Vy=Voy – gt --- 0=7 – 10t --- t=0,7s --- nesse instante --- X=Voxt=19.0,7 --- X=13,3m --- Y=hmáx=V0yt – gt2/2=7.0,7 – 5.0,49=4,9 – 2,45 --- hmáx= 2,45m --- o tempo que ela demora para retornar ao solo é o dobro do tempo que demora para atingir hmáx --- t=2.13,3 --- t=26,6s 16- a) Colocando o referencial no ponto de lançamento e aplicando Torricelli no ponto de altura máxima onde vy=0 e h=1,8m --- V2=Voy 2 – 2gh --- 02=(Vosenβ)2 -2.10.1,8 --- Vosenβ=√36 --- Vosenβ=6 --- tempo que demora para atingir hmáx --- Vy = Voy – gt --- 0=Vosenβ – 10t --- 0=6 – 10t --- t=0,6s b) eixo vertical --- Vosenβ=6 --- senβ=Vo/6 --- eixo horizontal -- - quando t=0,6s --- X=3,6m --- X=Voxt --- 3,6=Vocosβ.0,6 --- Vocosβ=6 --- cosβ=Vo/6 --- tgβ=senβ/cosβ=Vo/6 x 6/Vo --- tgβ=1 --- β=45o 17- a) Vox=Vocos53o=100.0,60 --- Vox=60m/s --- Voy=Vosen53o=100.0,80 --- Voy=80m/s --- quando t=12s --- X=Voxt=60.12 --- X=720m --- Y=Voyt – gt2/2=80.12 – 5.(12)2=960 - 720 --- Y=240m b) A força resultante é o peso do projétil, de direção vertical e sentido para baixo e de intensidade P=mg=0,1.10 --- P=1,0N 18- a) Observe a figura abaixo, onde você deve decompor V em suas componentes vertical Vy e horizontal Vx
  20. 20. Vx=Vcosβ --- Vx=Vcos(α + θ) --- Vy=Vsenβ --- Vy=Vsen(α + θ) - -- equação horária segundo a horizontal X --- X=Voxt=Vxt --- X=V.cos (α + θ).t --- Y=Vyt – gt2/2 --- Y=Vsen (α + θ).t – gt2/2 b) Isolando t em X=Vcos(α + θ)t --- t=X/Vcos(α + θ) que, substituída em Y=Vsen(α + θ)t – gt2/2 --- Y=Vsen(α + θ).X/Vcos(α + θ) – g(X/Vcos(α + θ))2/2 --- Y=tg(α + θ) – g.X2/2V2cos2(α + θ) 19- Voy=Vosen45o --- Voy=√2/2Vo --- Vox=Vocos45o --- Vox=√2/2Vo --- cálculo do tempo de subida que ocorre na altura máxima quando Vy=0 --- Vy=Voy – gt --- 0=√2/2Vo – gt --- t=√2.Vo/2g (tempo de subida) --- na horizontal --- X=s=Vox2t -- - s=√2/2.Vo2(√2Vo/2g) --- s=Vo 2/g --- na vertical --- Y=h==Voyt – gt2/2=√2/2.Vo(√2.Vo/2g) – g.(√2Vo/2g)2/2 --- h=Vo 2/2g – Vo 2/4g --- h=Vo 2/4g --- s/h=Vo 2/g x 4g/Vo 2 --- s/h=4 20- a) Vox=Vocos30o=100.0,9=90m/s --- Voy=Vosen30o=100.0,5=50m/s --- tempo para atingir hmáx o que ocorre quando Vy=0 --- Vy=Voy – gt --- 0=50 – 10t --- t=5s --- o alcance ocorre em t=2.5 --- t=10s --- X=Voxt=90.10 --- X=900m b) hmáx segundo Simplício --- tg30o=h/900 --- √3/3=h/900 --- 1,8/3=h/900 --- h=540m c) hmáx segundo Salviati --- Voyt – gt2/2=50.5 – 5.25/2=250 - 125 - -- hmáx=125m 21- I- Voy é a mesma (mesmo V0 e o mesmo ângulo) --- Na hmáx -- - Vy=0 --- Vy 2 = Voy 2 – 2.g.hmáx --- 0 = Voy 2 – 2ghmáx --- hmáx=Voy 2/2g --- se g diminui, hmáx aumenta --- Verdadeira II – Correta --- a velocidade do projétil no aponto mais alto da trajetória é nula na Terra e na Lua.
  21. 21. III – Vox é a mesma --- X=Vox.t --- o alcance horizontal X independe de g, assim X é o mesmo na Terra e na Lua. IV – Correta --- a velocidade vertical com que ele é lançado é a mesma, veja I, quem varia é g. 22- Na altura máxima --- Vy=0 e h=3,2m --- Torricelli --- Vy 2=Voy 2 – 2gh --- 02=Voy 2 – 2.10 3,2 --- Voy=8m/s --- R- D 23- I – Verdadeira --- vê uma composição de dois movimentos, um na vertical e outro na horizontal. II – Falsa --- desloca-se em movimento retilíneo uniforme com velocidade horizontal constante. III – Correta – na vertical o movimento é uniformemente variado com aceleração a=-g. R- D 24- a) Na hmáx --- Vy=0 --- hmáx=1,25m --- Torricelli --- Vy 2=Voy 2 – 2ghmáx --- 02 = Voy 2 -20.1,25 --- Voy=5m/s --- Vy=Voy – gt --- 0=5 – 10t --- t1=0,5s b) X=Voxt=Vox2t1 --- 6=Vox.1 --- Vox=6,0m/s c) Trata-se do tempo que ele demora para percorrer na horizontal, com velocidade de Vox=6ms a distância X=(7,04 – 3,0)=4,04m --- X=Voxt2= --- 4,04=6t2 --- t2=0,67s 25- Bola 1 --- lançamento vertical --- tempo para atingir hmáx onde V=0 --- V=Vo – gt --- 0=30 – 10t --- t=3s --- hmáx= 30.3 – 5.9 --- hmax= 45m Bola 2 --- lançamento oblíquo --- quando t=3s --- h’=Voyt – gt2/2 --- h’=Vosen30o.t – gt2/2=50.1/2.3 – 10.9/2=75 – 45 --- -- h’=30m --- X=Vocos30o.t=50.√3/2.3 --- X=127,5m --- a distância pedida é d, conforme figura abaixo d2=(15)2 + (127,5)2 --- d=√225 + 16.256,25 --- d=√16.481,25 m --- R- D 26- a) Vy=Vosen30o – gt --- 0=5.0,5 – 10t --- t=0,25s b) Cálculo da altura máxima --- Y=hmáx=Yo + Vocos30o – gt2/2=2 + 0,625 - 0,3125 --- hmáx=2,3125m que é menor que a altura da cesta
  22. 22. c) na horizontal --- X=Vocos30ot --- 4=Vo.0,86t --- t=4,6/Vo --- na vertical --- Y=Yo + Vosen30ot – gt2/2 --- 3=2 + 0,5Vo.(4,6/Vo) – 5(4,6/Vo)2 --- 1,3=106/Vo 2 --- Vo=9,02m/s 27- Dados:vo = 10 m/s; ho = 10 m;  = 30° --- as componentes horizontal (vox) e vertical (voy) da velocidade inicial são --- Vox = vo cos 30° = 10 (0,87) = 8,7 m/s --- voy = vo sem 30° = 10 (0,5) = 5 m/s. Verificando cada uma das opções: a) Altura máxima atingida em relação ao ponto de lançamento --- Vy 2 =Voy 2 – 2gh --- 02 = Voy 2 – 2gh --- h=Voz 2 g=52 /10 --- h=2,5m --- em relação ao solo --- H=2,5 + 10 --- H=12,5m b) Tempo de subida --- Vy=Voy – gt --- 0=5 – 10t --- t=0,5s c) Com referencial no solo e orientando a trajetória para cima, o tempo para chegar ao solo é calculado pela função horária do espaço --- h=ho + Voyt – gt2 /2 --- h=10 + 5t – 5t2 --- quando chega ao solo h=0 --- 0=10 + 5t – 5t2 --- t2 – t – 5=0 --- resolvendo a equação --- t  2,8 s. d) Correta. Ao passar novamente pela mesma altura a pedra possui a mesma energia potencial inicial --- considerando o sistema conservativo, então a pedra tem também a mesma energia cinética, portanto a mesma velocidade, em módulo, ou seja, se ela é lançada com velocidade de 10m/s, ao retornar passará por esse mesmo ponto com velocidade de -10m/s. R- D 28- Dados --- vo = 10 m/s;  = 45°; g = 10 m/s2 . Vox = vo cos 45° = 10.√2/2 --- Vox=5√2m/s --- voy = vo sen 45° = 5√2m/s --- no eixo y o movimento é uniformemente variado, com a = –g --- tempo de subida (tsub),notando que no ponto mais alto vy = 0 --- vy = voy – g t --- 0 = 5√2 – 10 tsub --- Tsub =√2/2 s --- tempo de subida é igual ao de descida --- tempo total (tt) --- tt=2tsub --- tt=√2s --- no eixo x o movimento é uniforme, com velocidade igual a vox --- alcance horizontal (D) --- D = vox tt = 5.√2.√2 --- D=10m --- R- E 29- Dados:g = 10 m/s2 ; √2= 1,4;  = 45°; vo = 20 m/s. a) Considere desprezível a resistência do ar e que, ao matar a bola, o pé do artilheiro esteja bem próximo ao chão --- então você pode considerar o ponto de lançamento e o ponto de chegada pertencente a um mesmo plano horizontal --- no ponto mais alto a componente vertical da velocidade (vy) é nula --- vy = voy – g t  0 = vosen  – g ts --- 0=20.sen45o – 10ts --- ts=20.√2/2/10 -- ts=√2 s --- tempo total =tsubida + tdescida --- ttotal= √2 + √2 --- ttotal=2√2 s --- na horizontal o movimento é uniforme --- velocidade Vx (constante) --- vx = vo cos  = vo cos 45° = 20.√2/2 m/s --- Vx=10√2 m/s --- alcance horizontal --- x=Vx.t=(10√2).(2.√2) --- x=40m
  23. 23. b) A velocidade média (vm) do artilheiro pode ser calculada considerando que ele percorreu a distância (S) de 16 m enquanto a bola esteve no ar --- Vm=ΔS/Δt=16/2√2 --- Vm=4√2=4.1,4 --- Vm=5,6m/s=20,16km/h 30- Analisando apenas a incorreta, que é a 02 --- a componente horizontal está correta, pois no eixo x o movimento é uniforme, porém, no eixo y, o movimento é uniformemente variado e a equação correta é --- y = yo + voy t – gt2 /2 --- yo=0 --- Voy= Vo senθ --- Y=(Vosenθ)t – gt2 /2 R- (01 + 04 + 08 + 16)=29 31- Para um observador no interior do trem que se desloca em movimento retilíneo e uniforme, o alcance de um objeto lançado horizontalmente só depende da intensidade da velocidade do objeto --- assim, caso a bola fosse arremessada em sentido oposto ao do deslocamento do trem, a distância entre o ponto de arremesso e o ponto de impacto também seria igual a 5 m --- não haveria diferença, pois a queda só é influenciada por g --- logo, seria 5m ao contrário da origem --- R- B 32- O tempo de queda é calculado exclusivamente pelo movimento vertical (queda livre da altura de 1m com a=g=10m/s2 --- h=gt2 /2 --- 1=10t2 /2 --- t=√0,2 --- t=0,447s --- R- C 33- O tempo de subida é igual ao tempo de descida o que ocorre quando Vy=0 --- Vy=Voy – gt --- 0=Vosenθ – gt --- t=Vosenθ/g --- tempo no ar --- ttotal=2t=2Vosenθ/g --- sendo 2Vo e g constantes,o tempo de permanência no ar depende apenas do ângulo θ com a horizontal --- quanto menor θ, menor será senθ e,consequentemente menor ttotal --- R- B

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