O documento discute autovetores, autovalores e formas quadráticas. Ele define permutações e aplicações lineares, e mostra como autovetores e autovalores estão relacionados a sistemas lineares homogêneos e ao polinômio caraterístico de uma matriz. Exemplos são fornecidos para casos de dimensão 2 e 3.

1. Autovalor, Autovetor e Formas Quadráticas
Ole Peter Smith, IME, UFG
28 de julho de 2011
1 Permutações
Por uma permutação dos números (1, 2, . . . , n), entendemos estes números colocados
numa ordem diferente, (j1 , j2 , . . . , jn ), ondem nemhum ji se repete. Podemos repre-
sentar isso em forma de matriz:
1 2 ··· n
p=
j1 j2 ··· jn
Lemos isto: 1 vai em j1 , 2 vai em j2 , e assim por diante. Denotamos por Pn o con-
junto de todas as n! permutações de ordem n. Introduzindo a composição de duas
permutações
1 2 ··· n 1 2 ··· n
p1 ◦ p2 = ◦ =
i1 i2 ··· in j1 j2 ··· jn
1 2 ··· n i1 i2 ··· in
◦ =
i1 i2 ··· in j1 j2 ··· jn
1 2 ··· n
j1 j2 ··· jn
Lemos isto: 1 vai em i1 que vai em j1 , 2 vai em i2 que vai em j2 , etc. É claro que:
e ◦ e = e, e e ◦ p = p ◦ e = p, ∀p ∈ Pn .
A permutação:
1 2 ··· n
e=
1 2 ··· n
deixa os números em ordem inalterado, assim asociamos esta com o elemento neutro.
As transposições:
··· i ··· j ···
tij =
··· j ··· i ···
troca as posições de i e j. Trocando as posições de i e j duas vezes, claro, deixa a
ordem inalterado:
tij ◦ tij = t2 = e
ij
1

2. 1.1 Exemplo: P2 1 PERMUTAÇÕES
1.1 Exemplo: P2
Em P2 temos 2! = 2 permutações:
1 2
e=
1 2
1 2
p=
2 1
Formamos o quadro de composição:
◦ e p
e e p
p p e
1.2 Exemplo: P3
Nesse caso mais simples, temos 3! = 6 permutações:
1 2 3
e= = (1)(2)(3)
1 2 3
1 2 3
t1 = = (1)(2 3)
1 3 2
1 2 3
t2 = = (2)(1 3)
3 2 1
1 2 3
t3 = = (3)(1 2)
2 1 3
1 2 3
p= = (1 2 3)
3 1 2
1 2 3
p2 = = (1 2 3)2
2 3 1
Temos: t2 = t2 = t2 = p3 = e. Mais:
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
t1 ◦ p = ◦ = = t2
1 3 2 3 1 2 3 2 1
1 2 3 1 2 3 1 2 3
t2 ◦ p = ◦ = = t3
3 2 1 3 1 2 2 1 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
t3 ◦ p = ◦ = = t1
2 1 3 3 1 2 1 3 2
Similarmente:
p ◦ t1 = t3
p ◦ t2 = t1
p ◦ t3 = t2
2

3. 2 APLICAÇÕES LINEARES
Mais:
t1 ◦ p2 = (t1 ◦ p) ◦ p = t2 ◦ p = t3
t2 ◦ p2 = (t2 ◦ p) ◦ p = t3 ◦ p = t1
t3 ◦ p2 = (t3 ◦ p) ◦ p = t1 ◦ p = t2
p2 ◦ t1 = p ◦ (p ◦ t1 ) = p ◦ t3 = t2
p2 ◦ t2 = p ◦ (p ◦ t2 ) = p ◦ t3 = t3
p2 ◦ t3 = p ◦ (p ◦ t3 ) = p ◦ t2 = t1
Completando:
t1 ◦ t2 = t3 ◦ t1 = p
t1 ◦ t3 = t2 ◦ t1 = p2
Formamos o quadro de composição:
◦ e p p3 t1 t2 t3
e e p p3 t1 t2 t3
p p p2 e t3 t1 t2
p2 p2 e p t2 t3 t1
t1 t1 t2 t3 e p p2
t2 t2 t3 t1 p2 e p
t3 t3 t1 t2 p p2 e
2 Aplicações Lineares: Autovetor e Autovalor
Seja A = (aij ) um matriz quadrática de ordem n, definindo uma aplicação linear,
f : R n → Rn :
f (x) = A x, x ∈ Rn (1)
A linearidade da aplicação, f , expressamos em:
f (x + y) = f (x) + f (y) (2)
E:
f (αx) = αf (x) (3)
n
Dizemos que v ∈ R é um autovetor de autovalor λ ∈ R, se:
f (v) = λv (4)
ou seja, se a imagem do v é paralela com v, reescrevendo a definição:
A v = λv = λI v
3

4. 2 APLICAÇÕES LINEARES
Equivalentemente:
A − λI v = 0 (5)
Fixando um λ ∈ R, isto é um sistema linear homogêneo. Denotamos por Sλ ⊆ Rn
a solução completa deste sistema: o autoespaço do A do autovalor λ. Primeiramente
observamos que os autoespaços formam um espaço vetorial, ou seja tem uma estrutura
linear, pois:
x, y ∈ Sλ ⇒ x + y ∈ Sλ (6)
E:
x ∈ Sλ , α ∈ R ⇒ αx ∈ Sλ (7)
É claro, que por qualquer λ ∈ R, Sλ é não-vasil: pois 0 ∈ Sλ . Isto é, os autoespaços
contém no mínimo a solução trivial, 0. Interessante então, é se temos autoespaços que
contém algo mais do que somente a solução trivial. Podemos escrever: {0} ⊆ Sλ ⊆
Rn . Por outro lado, é claro que os autoespaços são disjuntos:
Sλ1 ∩ Sλ2 = ∅, λ1 = λ2 (8)
E:
Sλ ⊆ Rn (9)
λ∈R
Pela teoria de matrizes e sistemas lineares, sabemos que a dimensão dos autoespaços
do (5) é igual o posto, ρλ , do matriz A − λI. De fato, a equação (5) tem soluções
não-triviais, se e somente se ρλ < n, ou seja:
det A − λI = 0 (10)
O determinante aparecendo aqui é um polinômio de grau n em λ:
a11 − λ a12 ··· a1n
a21 a22 − λ ··· a2n
P (λ) = det A − λI = . . . (11)
.
. .
. .
.
an1 an2 ··· ann − λ
Chamamos este o polinômio caraterístico do A. Seus raízes reais, no máximo n, deno-
tamos o espectro do A, sendo os autovalores cuja seu autoespaço é não-trivial, ou seja
contém vetores não-trivias. Podemos calcular os coeficientes desse polinômio. Pondo:
P (λ) = an λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 (12)
4

5. 2.1 Exemplo: Caso n = 2 2 APLICAÇÕES LINEARES
2.1 Exemplo: Caso n = 2
Neste caso, calculamos o polinômio caraterístico:
a11 − λ a12
P (λ) = det A − λI = =
a21 a22 − λ
(a11 − λ)(a22 − λ) − a12 a21 =
2
λ − (a11 + a22 )λ + (a11 a22 − a12 a21 )
O polinômio tem raízes reais, se e somente se o discriminante:
∆ = (−(a11 + a22 ))2 − 4(a11 a22 − a12 a21 ) = (a11 − a22 )2 + 4a12 a21
é não-zero. No caso importantíssimo que A é uma matriz simétrica: a12 = a21 , vemos:
∆ = (a11 − a22 )2 + 4a2 ≥ 0
12
Assim mostramos, o que vale por qualquer ordem n, que uma matriz simétrica tem n autovalores
reais.
2.2 Exemplo: Caso n = 3
Como no exemplo anterior, calculamos o polinômio caraterístico:
a11 − λ a12 a13
P (λ) = det A − λI = a21 a22 − λ a23 =
a31 a32 − λ a33 − λ
a22 − λ a23 a21 a23 a21 a22 − λ
(a11 − λ) − a12 + a13 =
a32 − λ a33 − λ a31 a33 − λ a31 a32 − λ
(a11 − λ) (a22 − λ) (a33 − λ)
−a23 a32 (a11 − λ)
−a12 (a21 (a33 − λ) − a31 a23 )
+a13 (a21 a32 − a31 (a22 − λ)) =
(a11 − λ) (a22 − λ) (a33 − λ)
+ (a23 a32 + a12 a21 + a13 a31 ) λ
−a23 a32 a11 − a12 a21 a33 − a13 a31 a22
+a12 a31 a23 + a13 a21 a32 =
−λ3 + λ2 (a11 + a22 + a33 )
−λ (a23 a32 + a12 a21 + a13 a31 − a11 a22 − a22 a33 − a33 a11 )
−a23 a32 a11 − a12 a21 a33 − a13 a31 a22
+a12 a31 a23 + a13 a21 a32 + a11 a22 a33
Reconhecemos aqui o traço do A, TA (o coeficiente de λ2 ) e o determinante do A (o termo
constante). Encontramos também a quantidade:
5

6. 2.2 Exemplo: Caso n = 3 2 APLICAÇÕES LINEARES
ΣA = a23 a32 + a12 a21 + a13 a31 − a11 a22 − a22 a33 − a33 a11
Assim, podemos escrever:
P (λ) = −λ3 + TA λ2 + ΣA λ + det A
Por ser de grau ímpar, sabemos apriori que P (λ) tem no mínimo uma raíz real, λ0 . Caso
necessário, podiamos estimar este raíz numericalmente. Escrevemos:
P (λ) = (λ0 − λ) λ2 + aλ + b = −λ3 + (λ0 − a)λ2 + (aλ0 − b)λ + bλ0
Comparando coeficientes, vemos:
λ0 − a = TA
aλ0 − b = ΣA
bλ0 = det A
Assim, usando as primeiras duas equações:
a = λ0 − TA
b = aλ0 − ΣA
Usando a última equação, verificamos:
det A = bλ0 = aλ0 − ΣA λ0 = λ0 − TA λ0 − ΣA λ0 = λ3 − TA λ2 − ΣA λ0
0 0
Ou seja:
λ3 + TA λ2 + ΣA λ0 + det A = 0
0 0
O que se diz: λ0 é raíz no polinômio caraterístico. Temos três raízes reais, caso:
2
a2 − 4b = λ0 − TA − 4 aλ0 − ΣA =
2
λ0 − TA −4 λ0 − TA λ0 − ΣA =
λ2
0 − 2TA λ0 + 2
TA − 4λ2 + 4TA λ0 + 4ΣA =
0
−3λ2 + 2TA λ0 + TA + 4ΣA ≥ 0
0
2
Da mesma maneira, obtemos no caso geral:
an = (−1)n
an−1 = (−1)n−1 (a11 + a22 + . . . + ann ) = (−1)n−1 TA
a0 = P (0) = det A
6

7. 2.3 Exemplo: Núcleo de uma Aplicação Linear 2 APLICAÇÕES LINEARES
2.3 Exemplo: Núcleo de uma Aplicação Linear
O núcleo de uma aplicação linear, NA , é definido como os vetores cuja imagem é o vetor trivial,
0: A x = 0. Este já apareceu no teoria de sistemas lineares, onde o chamamos a solução
completa do sistema homogêneo. Também apareceu nacima, onde nos o chamamos o autoespaço
do autovalor λ = 0: NA = S0 .
O autoespaço S + 0, ou seja o núcleo, contém vetores não triviais, se e somente se, λ = 0 é raíz
no polinômio caraterística, isto é, se e somente se o matriz é singular: det A = 0.
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