1. 1
Distribuição de Pressão num Fluido
Departamento de Engenharia Mecânica
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Universidade de Coimbra
Luis Adriano Oliveira

2. 18
Distribuição de Pressão num Fluido
Supõe-se uma única incógnita: p=p(x,y,z,t)
F = m.a
Suporte matemático: 2.ª lei de Newton
Fluido em repouso não resiste a tensões tangenciais, mas sim a normais
Pressão p: tensão normal a um plano qq. que delimita um elemento de
fluido em equilíbrio mecânico e térmico macroscópico (p/ Termodin.).
Convenção: p>0 se compressão
Escala microscópica: choques intermoleculares

3. 19
Lei de Pascal
Ausência de forças de corte: orientação do plano influencia p? R: NÃO!
p1 ⇒ F1
p 2 ⇒ F2 + Peso EQUILÍBRIO
p3 ⇒ F3
Equilíbrio no plano yoz:
p1.dx.dz = p3 .dx.dl.sin α
p1 = p 2 = p3 (escalar)
1
p3 .dx.dl.cos α + [ρ.g. .dx.dy.dz] = p 2dx.dy
2
1
( )
Se houver tensões de corte: p1 ≠ p 2 ≠ p3 ⇒ p = − σ xx + σ yy + σ zz
3

4. 20
Compressibilidade : Variação de ρ originada por variação de p
Quantificação:
δp
k=−
δv / v
k : módulo de elasticidade
Toda a matéria é compressível…No entanto...
Fluidos:
Líquidos: consideram-se incompressíveis
Gases :
- Incompressíveis, se variação de ρ pequena (isotérm, subsón.)
- se massa de gás grande com p, T variáv. (Atmosf.)
- Compressíveis
- esc. supersónicos, … (fortes variações de p)

5. 21
Força de pressão sobre um elemento de fluido
p p constante força total (líquida) nula
p
Força de pressão variação espacial de p
p
p
Força líquida segundo xx: ∂p
dz
p p + dx
∂x
∂p  ∂p

pdydz −  p + dx  dydz = − dxdydz dy
∂x  ∂x
 dx
Segundo as três direcções:
 ∂p ˆ ∂p ˆ ∂p ˆ 
df p =  − i − j − k  dxdydz ⇒ f p = −grad p (unid. de vol.)
 ∂x ∂y ∂z 

6. 22
Equações de Navier-stokes
- de contacto (p, τ)
Forças q/ actuam s/
elemento de fluido
- de campo (externas, uniformem/ distrib.)
- gravidade :
df grav = ρ.g.dxdy.dz ⇒ f grav = ρ.g (unidade de volume)
- viscosidade :
 ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V 
= µ∇ 2 V = µ  2 + 2 + 2  (unidade de volume)
f visc
 ∂x ∂z 
∂y
 
Navier-stokes (unidade de volume) :
ρ c.te
2
ρ.a = −grad p + ρ.g + µ.∇ V µ c.te

7. 23
Incógnita : pressão
grad p = ρ. ( g − a ) + µ.∇ 2 V
Tópicos a desenvolver :
1 - Hidrostática [repouso ou mov. uniforme (aceleração nula)]
2 - Translação em bloco 3 - Rotação em bloco
4 - Escoamento irrotacional incompressível 5 - Caso geral
- Absoluta (vazio)
Pressão
- Relativa ou efectiva

8. 24
Hidrostática (ou mov. uniforme, questão de sist. ref.)
grad p = ρ. ( g − a ) + µ.∇ 2 V grad p = ρ.g Eq. Fundamental
1 - Sup. isobáricas perpendiculares, em cada ponto, a g
2 - Coord. Cartesianas, z :
ˆ ⇒ ∂p = −ρg ⇒ p = p − z ρgdz
0 ∫z
g = −g.k
∂z 0
- variação da pressão independente da forma dos limites do domínio
- pressão só varia na vertical e aumenta com a profundidade
- dois pontos ao mesmo nível, ligados pelo mesmo fluido, têm pressão =

9. 25
Líquidos e gases “incompressíveis”
z
p = p0 − ∫ ρgdz
p = p 0 − ρg ( z − z 0 )
z0
ρ = c.te
dh = −dz ⇒ p = p0 + ρ.g.h
Gases compressíveis
∂p
p p
“gás perfeito” = −ρg
= RT ⇒ ρ = Λ
ρ ∂z
RT
dp p p 2 dp g z 2 dz p2 g z 2 dz
g⇒∫ =− ∫ =− ∫
=− ⇒ ln
p1 p R z1 T R z1 T
dz RT p1
T=T(z)?

10. 26
p2 g z 2 dz
=− ∫
ln
R z1 T
p1
g 
− (z 2 − z1 ) 
 RT
p 2 = p1.e  1 
a) - Estratosfera (z > 11 Km) : T = c.te = T1
b) - Troposfera g
 bz  Rb
(0 ≤ z ≤ 11 Km) : T = T0 − b.z p = p0 1 − 
 T0 
z = 0 → p = p0
Ambos os casos são enquadráveis na “evolução politrópica”:
n = 1 ⇒ Estrat.
p
= c.te (gás não necessariamente perfeito), n=c.te n − 1 Rb
= ⇒ Tr.
ρn
n g
Referência : Atmosfera Standard

11. 27
Forças Hidrostáticas em Superfícies Submersas
Horizontal
Plana
Inclinada
Superfície
Curva
Superf. submersa, fluido em repouso : Pressão Força à sup.
C.P. : Centro de Pressões
( ponto de aplicação da força )
C.P. ≡ C.G. (C. Grav. do plano)
Pressão unif. ao longo do plano

12. 28
Forças Hidrostáticas em Superfícies Submersas (cont.)
Sup. plana inclinada:
( p0 + ρgh ) dA =
F = ∫ dF = ∫
A A
( ξCG − y ) dA =
= p0 A + ρg sin θ∫ ξdA = p0 A + ρg sin θ ∫
A A
( )
= p0 A + ρg sin θ ξCG A − ∫ ydA = ( p0 + ρgh CG ) A = pCG A
A
plano da superfície
F
F não depende direct. de θ nem da forma da superf.
Localização de F (C.P.) :
CP ≠ CG
Distribuição de p não unif. ao longo de A

13. 29
Forças Hidrostáticas em Superfícies Submersas (cont.)
Momentos em relação a xx :
F.yCP = ∫ ydF = ∫ y ( p0 + ρg sin θ.ξ ) dA =
A A
= p0 ∫ ydA + ρg sin θ∫ y ( ξCG − y ) dA =
A A
I xx
2
= ρg sin θξCG ∫ ydA − ρg sin θ ∫ y dA = −ρg sin θ
yCP
pCG .A
A A
yCP < 0
Profund. yCP 0
Momentos em relação a yy :
Simetria
I xy
x CP = −ρg sin θ
F.x CP = ∫ x.dF = ........
pCG .A
A xCP = 0

14. 30
F ≠ ∫ dF F = ∫ dF
Superfícies Curvas
A A
Alternativa : F = duas componentes horizontais + uma comp. vertical
Componente Horizontal
( )
P + − Fx = 0 ⇒ Fx = P
Equilíbrio
Igualdade vectorial (CP ao nível do CP da projecção vertical)
Sup. inters. em + que um ponto por xx:
AB : Fx > 0 ; BC : Fx < 0

15. 31
Superfícies Curvas (cont.)
Corolários :
- Corpo fechado -compte. horiz. é nula (projecções anulam-se)
- Perímetro da sup. curva assenta sobre plano vertical:
apenas existe comp.te horiz. ao plano.
- Perímetro da sup. curva assenta sobre plano horiz.:
não existe comp.te horizontal.
Componente Vertical
Equilíbrio: W − Fy = 0 ⇒ Fy = W
- Igualdade vectorial (define linha de acção: CG de W)
- Fluido de peso W real ou fictício
AB BC

16. 32
Impulsão
Arquimedes :
Um corpo imerso num fluido sofre impulsão igual
ao peso do volume de fluido deslocado.
Corolários :
- Um corpo flutuante desloca uma quantidade de fluido de peso igual
ao seu.
- Impulsão não tem componente horizontal.
- Centro de Impulsão (C.I.) é o C.G. do fluido deslocado (não do corpo)
- Impulsão pode exceder peso do fluido presente
- Corpo imerso em fluidos estratificados:
Im pulsao = ω1V1 + ω2 V2
ω1 ≠ ω2 ⇒ C.I.1 e C.I.2 de verticais dist int as

17. 33
Estabilidade de corpos no seio de fluidos
Peso < Impulsão corpo sobe Estável
Peso > Impulsão corpo desce Instável
Equilíbrio
Peso = Impulsão equilíbrio Indiferente
Corpo completamente imerso:
- Equil. Estável, se C.I. acima de C.G.
- Equil. Indiferente, se C.I. ≡ C.G.
Binário restaurador:
Corpo flutuante:
w.x (=P.x)
Equil. estável possível,
ainda que C.G. acima de C.I.:
estável, se Metacentro (M) acima de C.G.
indiferente, se M ≡ C.G.

18. 34
Movimento em Bloco
Bloco: ausência de mov. relativo ausência de tensões tangenciais
grad p = ρ. ( g − a ) + µ.∇ 2 V ⇒ grad p = ρ. ( g − a )
Em cada ponto, linhas isobáricas perpendiculares a ( g − a )
Dr
(X,Y,Z): referencial de inércia V = V0 + 0
Dt
(x,y,z): referencial não-inercial
Mov. do corpo: translação+rotação em torno de O
V0 : veloc. de O em relação ao refer. de inércia
Dr0 y
( )
Dr0x Dr
Dr0 D ˆ + 0z k +
ˆ+r ˆ+r k =ˆ ˆ+ ˆ
= r0x i 0 y j 0z i j
Dt Dt Dt Dt Dt
ˆ ˆ ˆ
( )
di dj dk
= ΩΛ r0x ˆ + r0 y ˆ + r0k k = ΩΛ r0
ˆ
+ r0x + r0 y + r0z i j
dt dt dt

19. 35
Movimento em Bloco (conclusão)
Dr0 dΩ dΩ
DV DV0 DV0
( )
a= = + ΩΛ + Λ r0 = + ΩΛ ΩΛ r0 + Λ r0
Dt Dt Dt dt Dt dt
translação centrípeta linear
Translação em Bloco com Aceleração Uniforme
ax
grad p = ρ. ( g − a ) θ = arctg
g + az
gradp = −ρa x ˆ − ρ ( a z + g ) k
ˆ
i
∂p ∂p
= −ρ ( a z + g ) p = p0 − ρ.a x .x − ρ. ( a z + g ) z
= −ρa x ⇒
∂x ∂z
dp
( g + a z )2 + a x 2
dp = gradp.ds = gradp ds = ρ ( g − a ) ds ⇒ =ρ
ds

20. ( ) 36
Rotação em Bloco com Velocidade Angular Constante ˆˆˆ
r, θ, z
dΩ
DV0
( )
a= + ΩΛ ΩΛ r0 + Λ r0
Dt dt a = −Ω 2 r.r
ˆ
ΩΛ r0 = Ω . r0 sin ϕ = Ωr
( ) 1
grad p = ρ. ( g − a ) = ρ Ω 2 r.r − ρgk ⇒ p = p0 + ρΩ 2 r 2 − ρgz
ˆ
ˆ
2
p0 − p1 Ω 2 r 2
Isobáricas : p=p1=c.te z= + (da forma a+br2)
ρg 2g
Ω2r 2 Ω2R 2
Sup. Livre (p1=p0) : z = h=
2g 2g

21. 37
Esc. Irrotacional Incompressível - Eq. de BERNOULLI
V2
( ) ( )
( )
∇ 2 V ≡ grad divV − rot rotV V.grad V ≡ grad − VΛ rotV
2
∂
=0
2
ρ.a = −grad p + ρ.g + µ.∇ V
∂t
 ρV 2 
V2 ρV 2 ˆ ⇒ grad 
ρ.grad = grad = −grad p − ρgk + p + ρgz  = 0
2 
2 2  
 ρV 2 
+ p + ρgz  = c.te Bernoulli

2 
 
Três formas de energia / volume : cinética, pressão, potencial
p. estática (p)+p. dinâmica (ρV2/2)=p. de estagnação (p0)

22. 38
Caso Geral
 ∂V 
( )
+ V.grad V  = −grad p + ρ.g + µ.∇ 2 V
ρ
 ∂t 
1) - p única incógnita : sistema linear do 1.º grau
 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 
 ∂u  ∂u ∂u  
∂p ∂u
= −ρ  +  u + v + w   + ρ.g x + µ  2 + 2 + 2 
 ∂z 
∂x  ∂t  ∂x ∂y ∂z    ∂x ∂y 
 ∂v  ∂v ∂v  
∂p ∂v
= −ρ  +  u + v + w   + ρ.g y + ...
∂y  ∂t  ∂x ∂y ∂z  
∂p
= −ρ [...] + ...
∂z
2) - p não única incógnita : sistema não-linear integração numérica

23. 39
Manómetros
Classificação quanto a :
1) - Tipo de pressão medida :
- de pressão absoluta (Ex. : barómetro)
- de pressão efectiva (maioria dos manómetros industriais)
- diferenciais (dif. de pressão . Medição de velocidades, caudais, …)
2) - Princípio de funcionamento :
- de líquido
deformações elásticas
- metálicos : forças de pressão pressão
calibração
- eléctricos : pressão var. caract. eléctr. sinal calib. ampl. regist.

24. 40
Manómetros de líquido
p0
Duas referências fundamentais : h1
* p1 h2
∆h
* p2
1) :
p1 = p0 + ρgh1
p 2 − p1 = ρg ( h 2 − h1 ) ⇒ ∆p = ρg.∆h
p 2 = p0 + ρgh 2
2) : Dois pontos, ao mesmo nível, ligados pelo mesmo fluido,
têm, no equilíbrio, a mesma pressão

25. 41
Manómetros de líquido (cont.)
Piezómetro
- Altura piezométrica: p/(ρg)+z
- Manómetro e conduta: o mesmo líquido
- Se z=0 em 1, a altura piezométrica é dada directamente por h
Manómetro em U
ωB = ρBg > ωA
a
p1 = patm. + ωB x
a e
p 2 = p1 p3 = patm. + ωB x − ωA y ⇒ p3 = ωB x − ωA y
p3 = pa − ωA y
a e
ωA ωB ⇒ p3 ≅ ωB x
2

26. 42
Manómetros (cont.)
Manómetros em U podem medir pressões diferenciais:
p1 = p A + ω2 ( a + h )
p 2 = p1 = p B + ω2a + ω1h = p A + ω2a + ω2 h
p A − p B = ( ω1 − ω2 ) h
Manómetros metálicos
Manómetro de Bourdon

27. 43
Manómetros (concl.)
Manómetros eléctricos
Medição da pressão estática

28. 44
Tubo de Pitot com tomadas de pressão estática
2 ( p 0 − ps )
1
p s + ρV 2 ≅ p 0 ⇒ V ≅
Bernoulli:
ρ
2
V 0
s
ps
p0