1. Professor: Cassio Kiechaloski Mello Disciplina: Matemática
Aluno:____________________________________________________
N°____ Turma:____________ Data:__________
MATRIZES E DETERMINANTES
MATRIZES:
Em quase todos os jornais e revistas é possível encontrar tabelas informativas. Na Matemática
chamaremos estas tabelas de MATRIZES.
Observe o exemplo:
Médias de Público 1ª Divisão 2ª Divisão 3ª Divisão
Inglaterra 34363 18221 7849
Alemanha 39109 17950 3964
Espanha 31126 8341 **
Itália 22697 5838 2869
Brasil 12401 7958 3274
Fonte: Superinteressante Setembro 2008
Esta matriz é de ordem 5x3, pois tem 5 linhas e 3 colunas.
Cada elemento de uma matriz é indicado por aij, onde i é a linha e j a coluna onde se encontra este
elemento.
Genericamente, uma matriz será representada da seguinte forma:
 a11 a12 a13 ... a1n 
a 
 21 a22 a23 ... a2 n 
 a31 a32 a33 ... a3n  = (aij )m×n
 
 ... ... ... ... ... 
am1 am 2 am3 ... amn 
 
Exemplo: Criar a matriz A = (aij)3x2, tal que aij = i² - j.

2. TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES:
Matriz Linha: Quando m = 1
Ex. A = [3 5 -2]
Matriz coluna: Quando n = 1
3
Ex. A =  5 
 
− 2
 
Matriz Quadrada: Quando m = n
3 1 7 
Ex. A =  2 0 − 3
 
10 4 5 
 
Matriz Diagonal: Quando aij = 0 se i≠j. Somente em matriz quadrada
 3 0 0
A = 0 8 0 
 
0 0 5 
 
Matriz Identidade: É uma matriz diagonal onde aij = 1 se i=j
1 0 0
Ex. A = 0 1 0
 
0 0 1 
 
Matriz Transposta: Matriz obtida ao se inverter linhas e colunas de uma matriz
1 2 3  1 4 7 
Ex: M =  4 5 6 M T =  2 5 8 
  
7 8 9 
  3 6 9 
 
IGUALDADE ENTRE MATRIZES:
Duas Matrizes são iguais se todos os seus elementos correspondentes forem iguais
a 3   2 b 
Ex.  =  , então a = 2, b = 3, c = 5 e d = 7
5 d   c 7

3. OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição: A + B = (aij + bij)mxn
Subtração: A – B = (aij – bij)mxn
1 0 2 3  − 1 2
Dados A =   B = 5 − 2 C =  5 1 
3 2    
1 0  2 3  − 1 2 1 − 2 + (−1) 0 − 3 + 2  − 2 − 1
A− B +C =  − + = =
3 2 5 − 2  5 1   3 − 5 + 5 2 − (−2) + 1  3
        5 
Multiplicação por Escalar:
Se multiplicarmos uma matriz por um número real qualquer, todos os elementos dessa matriz
também serão multiplicados por este número:
2 3  6 9
Ex. 3 ×  = 
5 1 15 3
Multiplicação de Matrizes:
Dados A = (aij)mxn e B = (bij)nxp AxB = C
cik = ai1*b1k + ai2*b2k + ... + ain*bnk
IMPORTANTE: Só podemos multiplicar A por B se o número de colunas de A for o mesmo que
o número de linhas de B.
2 3 5  7 0 1 
Ex. A = 
 1 0 − 2  B =  2 3 − 4  Calcule AxB e BxA
  
   
MATRIZ INVERSA:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. B é a inversa de A se AxB = BxA = In. Neste caso
chamaremos B de A-1. Uma matriz só é inversível se seu determinante for diferente de 0.
 1 0 -1
Ex. A = 
 2 5  Achar a A

 

4. EXERCÍCIOS:
1) Construa as seguintes Matrizes:
a) A = (aij)2x5, em que aij = 3i – 3j
b) B = (bij)1x3, em que bij = i2 + i3
c) C = (cij)3x3, em que cij = i + j
3 2 T -1
2) Dada a Matriz A = 
 8 5  , ache A e A

 
 2 3a   c − 1 − 6 
3) Determine a, b, c e d que verifiquem: 
 b d + 1 =  5
  
   0 
4) Efetue:
 3 5  2 6 
     3 − 7 0   − 10 0 3 
a)  7 3  +  − 3 8  b) 
15 1 − 6  +  − 5 1 − 7 
  
8 6  7 − 2    
   
5) Dadas as matrizes
0 4 
2 3 7  
A=  5 6 0  B =  1 − 1

  3 2 
 
Obtenha as matrizes:
1
a) A b) 2B c) 3A + 2BT d) A*B
3
6) Efetue as Multiplicações:
0  3 8 3  1 0 5
     
a)  1  × (0 3 5) b)  5 6 0  ×  7 − 2 4 
0  − 2 1 4  − 3 1 0
     

5. 7) Determine a matriz inversa das seguintes matrizes
 4 − 1 5 0  8 9 1 0
a) 
−3 2  b) 
1 2
 c) 
 7 8
 d) 
0 1

       
1 1
8) (UFRGS) Se A = 
 − 1 − 1 , então A² é a matriz

 
1 1  0 0  1 1  − 1 − 1  2 2 
a) 
 − 1 − 1 b)  0 0 
   c) 
 1 1
 d) 
 1 1  e)  − 2 − 2 
  
         
 2 3
2
9) (PUCRS) Sendo as matrizes A = − 1 4 e B =   , então o produto A*B é igual a
 
 6 7 0
 
4  4 − 6  0 4 6
a) [6 8 14] − 2 c) 4 6 d) − 2 8  e) − 1 0 8
b)   0 0     
 12     12 14  12 14 0
     
 3 − 2
10) (PUCRS) Sendo I a matriz identidade e M =   então a matriz X, tal que XM = I é
− 4 3 
 − 3 − 2 − 3 2   3 − 4  3 4  3 2
a)   b)  4 − 3 c) − 2 3  d) 2 3 e) 4 3
 − 4 − 3        

6. − 1  3 − 2
11) (ULBRA) Dadas as seguintes matrizes: A =   , B =   e C =   . O valor de 2ª - 3B –
3 0  8
C é:
 − 2 − 2 0  − 9 1
a)   b)   c)   d)   e)  
6  8 0   − 2 5
1 2
12) (FEI-SP) Se B é a matriz inversa de A =   , então:
1 3
2 3 2 1  3 − 2 3 1  − 3 1 
a) B =   b) B = 3 1 c) B = − 1 1  d) B = 1 2 e) B =  
 1 1        1 − 2
1 2 2  9 − 4
13) (PUCMG) Se A =   e A = − 8 17  , o valor do produto ab é?
a b   
a) -4 b) -6 c) -8 d) -12 e) -17
1 3  4 3
14) (UFRN) Dadas as matrizes A =   e B=  , qual é resultado de AB – BA?
2 4  2 1
0 0   0 − 18 20 12  20 48 20 − 18
a)   b)   c)   d)   e) 12 20 
0 0  12 0  32 20  8 20  

7. DETERMINANTES:
Chamamos de determinante de uma matriz ao número real associado a ela.
Determinante de 1ª ordem
A=[a11] → det A = a11
Determinante de 2ª ordem
a a12 
A =  11  det A = a11*a22 – a12*a21
a21 a22 
 2 1
Ex.  
4 3
Determinante de 3ª ordem
Aplica-se a regra de Sarrus
 a11 a12 a13 
a a23 
 a11 a12 a13   21 a22   a11 a12 a13 a11 a12 
A = a21
 a22 a23 
 det A =  a31 a32 a33  ou a21 a22
 a23 a21 a22 

 
a31
 a32 a33 
  a11 a12 a13  a31 a32
 a33 a31 a32 

a21
 a22 
a23 
 2 3 1
Ex. 1 4 5
 
2 − 2 3
 
Determinante de 4ª ordem ( esta regra pode sr aplicada em qualquer matriz quadrada )
 a11 a12 a13 a14 
a a22 a23 a24 
A =  21 
a31 a32 a33 a 34 
 
a41 a42 a43 a44 
Teorema de Laplace: Um determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer pelos seus respectivos cofatores.
Cofator: Cof ij = (-1)i+j*Dij, onde Dij é o determinante da matriz obtida excluindo-se a linha e a
coluna do elemento aij.
1 0 10 0 
 3 − 2 1 − 1
Ex.  
5 0 − 3 − 2
 
− 9 0 4 7

8. Propriedades dos determinantes:
1) Toda matriz quadrada que possui uma linha ou coluna nula tem determinante nulo
2) O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua matriz transposta
3) Toda matriz que possui duas linhas ou colunas iguais tem determinante nulo
4) O determinante muda de sinal quando se troca a posição de duas linhas ou colunas
5) Uma matriz quadrada que possui duas linhas ou colunas proporcionais tem seu determinante
nulo
6) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes
7) Multiplicando uma linha ou coluna de uma matriz por um número real K, seu determinante fica
respectivamente multiplicado por K.
8) Uma matriz quadrada que possui todos os elementos de um mesmo lado da diagonal principal
iguais a zero tem determinante igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
EXERCÍCIOS:
1) Calcule o valor de cada um dos determinantes:
3 4 2 1
1 1 − 2  6 4 − 3  4 −1 5  5 0 − 1 − 2
a) 0 2 5 
  b) 2 5 1 
  c) − 2 3
 1 d)  
0 0 4 0
3 1 − 1 
  1 0 − 2 
  1
 7 − 3
  
− 1 0 3 3
 2 3 1 8 1 0 − 2 0 2 
e) 1 4 5
 
− 3 − 4 5
f)   g)  3 1 4 
 
2 − 2 3
  1
 2 3  − 5 6 − 3
 
1 − 1 1 5 
2) Se A =   e B = 2 0 , então det(AB) é:
0 2   
a) -20 b) -10 c) 0 d) 10 e) 20
1 2
3) Dada a matriz A =   , o determinante da matriz A² é igual a:
3 4
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
4) (UFRGS) Sendo A=(aij)mxn uma matriz onde n é igual a 2 e aij = i²-j, o determinante da matriz A
é:
a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3

9. 1 − 1 2
5) (UFRGS) A solução da equação 1 2 x  = 0 é
 
3 0 1 
 
a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3
x 0 0 − 1
0 x 0 0
6) (UFRGS) O valor do determinante   é para todo x ∈ ℜ
0 0 x 0
 
− 1 0 0 x
a) x²(x² + 1) b) x²(x² - 1) c) x4 + 1 d) x4 – 1 e) zero
 senx − cos x 
7) O determinante da matriz A = 
 cos x senx  é equivalente a

 
a) tg² x b) sec²x c) 1 d) zero e) sen²x – cos²x
2 1   −1 2
8) (PUCRS) Dadas as matrizes A = 
 1 − 2  e B =  0 1  , o determinante da matriz A*b é
  
   
a) -7 b) -5 c) 3 d) 4 e) 5
9) (UNISINOS) O valor de um determinante é 48. Se dividirmos a 2ª linha por 8 e multiplicarmos
a 3ª coluna por 6, então o novo determinante valerá
a) 20 b) 36 c) 64 d) 24 e) 48