Resistência dos Materiais II - Unidade 01

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Resistência dos Materiais II - Unidade 01

  1. 1. Unidade 01 – Flexão OblíquaResistência dos Materiais IIElson ToledoFlávia BastosLeonardo GoliattDepartamento de Mecânica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Foraversão 13.05Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 1 / 34
  2. 2. Flexão OblíquaPrograma1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 34
  3. 3. Flexão Oblíqua IntroduçãoPrograma1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 34
  4. 4. Flexão Oblíqua IntroduçãoFlexão OblíquaIntroduçãoO estudo da teoria de flexão realizado na Resistência dos Materiais I restringe-seao caso denominado flexão retayzMzLNσxElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 34
  5. 5. Flexão Oblíqua IntroduçãoFlexão OblíquaIntroduçãoCarregamento situado no plano desolicitação (PS)o PS é um plano que intercepta aseção segundo seu eixos principaisde inércia – dois para o retânguloO eixo de solicitação (ES ou ss) éa interseção entre o PS e o planoda seçãoO momento fletor é perpendicularao eixo de solicitaçãoO plano de ocorre a flexão é oplano de solicitação (PS)A linha neutra (LN ou nn) édefinida como o lugar geométricodas tensões normais nulasyzPSES, ssMzLN, ssElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 3 / 34
  6. 6. Flexão Oblíqua IntroduçãoFlexão OblíquaIntroduçãoPara seções T e U constatamos duas possibilidades de flexão reta, segundo osdois eixos principais de inércia (um deles é de simetria)zyMzPSElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 4 / 34
  7. 7. Flexão Oblíqua IntroduçãoFlexão OblíquaIntroduçãoPara seções T e U constatamos duas possibilidades de flexão reta, segundo osdois eixos principais de inércia (um deles é de simetria)zyMyPSElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 4 / 34
  8. 8. Flexão Oblíqua IntroduçãoFlexão OblíquaIntroduçãoPara seções T e U constatamos duas possibilidades de flexão reta, segundo osdois eixos principais de inércia (um deles é de simetria)zyMz zyMyElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 4 / 34
  9. 9. Flexão Oblíqua IntroduçãoFlexão OblíquaIntroduçãoComo último exemplo temos as seções L com abas iguais, com os planos desolicitação cortando a seção segundo seus eixos principais de inérciay zMzy zMyElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 5 / 34
  10. 10. Flexão Oblíqua IntroduçãoFlexão OblíquaIntroduçãoOs casos em seguida mostram que dependendo da posição do plano de solici-tação as seções estarão submetidas a um tipo de flexão diferentezMElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 6 / 34
  11. 11. Flexão Oblíqua IntroduçãoFlexão OblíquaIntroduçãoIsso ocorre mesmo em casos deseções com dois eixos de simetria,como as seções retangularesEstá é denominada a flexão nãosimétrica, oblíqua ou desviadaNestes casos, o ES (ss) não é ⊥ aLNÉ necessário determinar aposição da LN, a partir do con-hecimento da posição do eixo desolicitação (ss)yzMElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 7 / 34
  12. 12. Flexão Oblíqua Caracterização da flexão oblíquaPrograma1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 8 / 34
  13. 13. Flexão Oblíqua Caracterização da flexão oblíquaFlexão OblíquaCaracterização da flexão oblíquaVamos considerar uma seção transversal qualquer, como a origem do sistema deeixos em seu centroide CyzMMyzMzMyES, ssπ2CElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 8 / 34
  14. 14. Flexão Oblíqua Caracterização da flexão oblíquaFlexão OblíquaCaracterização da flexão oblíquaCasos de ocorrência11http://www.uff.br/petmec/downloads/resmat/E%20-%20Flexao%20Pura.pdfElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 9 / 34
  15. 15. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíquaPrograma1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 10 / 34
  16. 16. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíquaFlexão OblíquaTensões normais na flexão oblíquaSituação na flexão oblíquannssMPSdAdFzyElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 10 / 34
  17. 17. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíquaFlexão OblíquaTensões normais na flexão oblíquaNa flexão oblíqua, as seções giram em torno de um eixo chamado Eixo Neutroou Linha Neutra (LN)O PS não é mais o plano de flexão como ocorre na flexão retan nssMuvuδdxdϕdϕESLNdxρG0 GffPElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 11 / 34
  18. 18. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíquaFlexão OblíquaTensões normais na flexão oblíquaSeja P um ponto genérico da seção e u a distância de P à LNdx a distância entre duas seções transversais adjacentesdϕ o giro relativo entre as duas seções separadas por dxρ o raio de curvatura sofrido pela fibra após a deformaçãoδdx o alongamento sofrido pela fibra dx cuja posição é definida por u e vn nssMuvuδdxdϕdϕESLNdxρG0 GffPElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 11 / 34
  19. 19. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíquaFlexão OblíquaTensões normais na flexão oblíquaTemos queεx =δdxdx=u tan dϕdx=udϕdx=udϕρdϕ=uρPela lei de Hookeσx = Eεx =Euρ⇒Eρ=σxun nssMuvuδdxdϕdϕESLNdxρG0 GffPElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 11 / 34
  20. 20. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíquaFlexão OblíquaTensões normais na flexão oblíquaOutra maneira de chegarmos as mes-mas expressões:O plano de solicitação PS não con-tém um dos eixos principais de inér-ciaA interseção do PS com o plano daseção define o eixo de solicitação(ES)O momento interno M é ⊥ ao ES e édecomposto segundo a LNMn = M cos θonde θ é o ângulo entre o ES e a LNAs seções giram em torno de umeixo denominado eixo neutro oulinha neutra (LN, nn)yz CESMαβθMnBLN, nnPuβvElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 34
  21. 21. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíquaFlexão OblíquaTensões normais na flexão oblíquaSeja P um ponto genérico da seçãou a distância de P à LNdx a distância entre duas seçõestransversais adjacentesρ o raio de curvatura sofrido pelafibra após a deformaçãodX o comprimento de uma fibra adistância u da LNdϕ o giro relativo entre as duasseções separadas por dxρdxdϕLNdXuyzCESMαβθMnPuLNyz CESMαβθMnBLNPuβvElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 34
  22. 22. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíquaFlexão OblíquaTensões normais na flexão oblíquaTemos queεx =dX − dxdx=(ρ + u)dϕ − ρdϕρdϕ=uρPela Lei de Hooke,σx = Eεx =Euρ⇒Eρ=σxuρdxdϕLNdXuElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 34
  23. 23. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíquaFlexão OblíquaTensões normais na flexão oblíquaSabemos que o esforço normal naseção é nulo (N = 0)N =AσxdA =AEuρdA =Eρ AudA = 0O que permite escreveru =AudA = 0Conclusões:u é a distância da LN ao centroideda seçãoA LN é baricêntrica (passa pelocentroide da seção)yz CESMαβθMnBLN, nnPuβvElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 34
  24. 24. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíquaFlexão OblíquaTensões normais na flexão oblíquaO momento Mn com relação a LN édado porMn =AuσxdA =AEu2ρdA =EInρonde In = Au2dADaí temos queMnIn=Eρ=σxu⇒ σx =MnuInConclusões:σx é um plano nas coordenadas u ev (ou quaisquer coordenadas comrelação a quaisquer pares de eixos)Comportamento similar ao da flexãoretayz CESMαβθMnABσAσB–+uAuBLN, nnPuβvElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 34
  25. 25. Flexão Oblíqua Tensões normais na flexão oblíquaFlexão OblíquaTensões normais na flexão oblíquaO momento Ms com relação ao ES énulo pois M ⊥ ESMs =AvσxdA =Eρ AuvdA = 0Daí temos queIns =AuvdA = 0onde Ins é o produto de inércia emrelação aos eixos oblíquos ES e LNConclusões:ES e LN fazem parte da elipse cen-tral de inércia da seçãoyz CESMαβθMnBLN, nnPuβvElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 34
  26. 26. Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraPrograma1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 13 / 34
  27. 27. Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraFlexão OblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraSeja P um ponto genérico distante uda LNIn o momento de inércia com relaçãoa LNα indica a posição do eixo desolicitação (ES) em relação ao eixo zβ indica a posição da linha neutra(LN) em relação ao eixo zTemos que Ins = 0Vamos mostrar que se y e z são eixosprincipais de inércia, entãotan α tan β = −IzIyyz CESMαβθMnABσAσB–+uAuBLN, nnPuβvElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 13 / 34
  28. 28. Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraFlexão OblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraPara a determinação de In, sejamα a posição relativa do ES ao eixo zβ a posição relativa da LN ao eixo zdA um elemento de área com coor-denadas y e z com relação a xCyAs coordenadas dA são u com re-lação a LN e v com relação ao ESA tranformação de coordenadas ficav = y cos α − z sin αu = z sin β − y cos βE entãoIns = AuvdA = 0In = Au2dAIs = Av2dAzyαβααββαβuvESLNdACMnnssElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 14 / 34
  29. 29. Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraFlexão OblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraSabemos queIns = AuvdA= A(z sin β − y cos β)(y cos α − z sin α)dA= Ayz sin β cos α − z2sin β sin α − cos α cos βy2+ yz cos α cos β= Iyz sin β cos α − Iy sin β sin α − Iz cos α cos β + Iyz cos α cos β= (Iyz − Iy) sin β cos α + (Iyz − Iz) cos α cos β= 0Se y e z forem os eixos principais de inércia, Iyz = 0Ins = −Iy sin β sin α − Iz cos α cos βo que nos permite escrever (já que Ins = 0)sin αcos αsin βcos β= −IzIy⇒ tan α tan β = −IzIyElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 34
  30. 30. Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraFlexão OblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTemos também que In = Au2dA, ouIn = A(z sin β − y cos β)2dA= Iy sin2β − 2Iyz sin β cos β + Iz cos2βSe y e z forem os eixos principais deinércia, Iyz = 0In = Iy sin2β + Iz cos2βE por fim, com Mn = M cos θ, pode-mos calcularσn =MnInuyz CESMαβθMnABσAσB–+uAuBLN, nnPuβvElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 16 / 34
  31. 31. Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraFlexão OblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraA flexão reta é um caso particular da flexãooblíquaSe M = Mz, então o eixo y é o eixo de solicitaçãoCy ≡ ESα = π2β = 0Cz ≡ LNu = yMn = MzIn = IzComo resultadoσx =MnInu =MzIzyy ≡ ESz ≡ LNCMαβ = 0Pu = yM = MzElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 17 / 34
  32. 32. Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraFlexão OblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraA flexão reta é um caso particular da flexãooblíquaSe M = My, então o eixo z é o eixo de solicitaçãoCz ≡ ESα = 0β = π2Cy ≡ LNu = zMn = MyIn = IyComo resultadoσx =MnInu =MyIyzy ≡ LNz ≡ ESCMα = 0βPu = zM = MyElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 18 / 34
  33. 33. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerPrograma1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 34
  34. 34. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerFlexão OblíquaTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerHipóteses básicasO momento M é decomposto em duas componentes My e MzO esforço normal é nulo (N = 0)Regime de pequenas deformaçõesMaterial elástico linear ⇒ σx = Eεxyz CMzMy+ –+–Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 34
  35. 35. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerFlexão OblíquaTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerHipóteses básicasPostulado de Navier-Bernoulli: seções planas normais ao eixo geométrico da barraantes da deformação permanecem planas e normais a esse eixo após a deformação 2z yCu(y, z) = Ay + Bz2Essa hipótese foi originalmente usada por James Bernoulli (1654–1705), embora LouisNavier (1785–1836) a tenha usado para desenvolver a primeira teoria completa sobre tensões emvigas.Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 20 / 34
  36. 36. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerFlexão OblíquaTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerSe a condição de Navier-Bernoulli prevalece, temos que o deslocamento na di-reção normal ao eixo geométrico, para um dado valor de x, forma um plano quepassa pela origem, pode ser escritou = Ay + Bzonde A = A(x), B = B(x) e podem ser consideradas constantes ao logo da seçãoz yCu(y, z) = Ay + BzElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 21 / 34
  37. 37. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerFlexão OblíquaTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerA deformação longitudinal ficaεx =dudx=ddx(Ay + Bz) =dAdxy +dBdxz = c1y + c2zConsiderando o regime elástico linear, temos queσx = Eεx = E(c1y + c2z) = (Ec1)y + (Ec2)z) = ay + bzA representação das tensões normais resulta em um plano que passa pela origemElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 22 / 34
  38. 38. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerFlexão OblíquaTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerE do equilíbrio das forças internasMz = AσxydA = a Ay2dA + b AyzdA = aIz + bIyzMy = − AσxzdA = −a AyzdA − b Az2dA = −aIyz − bIyyzσxτxzτxydAElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 23 / 34
  39. 39. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerFlexão OblíquaTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerRearranjando os termosMz = aIz + bIyzMy = −aIyz − bIy→Iz Iyz−Iyz −Iyab=MzMyDaíab=1IzIy − I2yz−Iy −IyzIyz IzMzMye os coeficientes ficama =MzIy + MyIyzIzIy − I2yzb = −MyIz + MzIyzIzIy − I2yzElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 24 / 34
  40. 40. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerFlexão OblíquaTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerRetornando emσx = ay + bzTemos para o caso de y ou z serem eixos quaisquerσx =MzIy + MyIyzIzIy − I2yz y −MyIz + MzIyzIzIy − I2yz zouσx =(MzIy + MyIyz)y − (MyIz + MzIyz)zIzIy − I2yzO método acima é útil quando as direções principais não são conhecidas, mas Iy,Iyz e Iz podem ser determinados.Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 25 / 34
  41. 41. Flexão Oblíqua Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerFlexão OblíquaTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerAgora vamos supor que y ou z sejam os eixos principais de inérciaSe tal condição é válida temos Iyz = 0 e a expressão acima se reescreve comoσx =MzIzy −MyIyzElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 26 / 34
  42. 42. Flexão Oblíqua Verificação da estabilidadePrograma1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 27 / 34
  43. 43. Flexão Oblíqua Verificação da estabilidadeFlexão OblíquaVerificação da estabilidadeA verificação da estabilidade consiste em comparar e asseguar-se que as máxi-mas tensões normais atuantes sejam menores que os valores admissíveisσc é a tensão máxima de compressão e σt é a tensão máxima de traçãoVamos definir A e B os pontos mais distantes da LN (mais solicitados), com uA euB as respectivas distânciasyz CESMαβθMnABσAσB–+uAuBLN, nnPuElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 27 / 34
  44. 44. Flexão Oblíqua Verificação da estabilidadeFlexão OblíquaVerificação da estabilidadeAs seguintes têm que ser satisfeitasσA =MnuAIn≤ σcσB =MnuBIn≤ σtNas expressões acima não usamos nenhum sinalOs sinais dependem da identificação prévia dos pontos onde ocorre tração oucompressãoElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 28 / 34
  45. 45. Flexão Oblíqua Momento fletor máximoPrograma1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 29 / 34
  46. 46. Flexão Oblíqua Momento fletor máximoFlexão OblíquaMomento fletor máximoA partir da definição da LN e consequentemente das fibras mais solicitadaspodemos calcular a capacidade portanteSupondo Mmax o momento máximo que a seção pode estar submetida, temosMmax =σtInuPara o caso em análise, com A e B os pontos mais solicitadosMmax ≤ minσtInuB,σcInuAyz CESMαβθMnABσAσB–+uAuBLN, nnPuElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 29 / 34
  47. 47. Flexão Oblíqua ResumoFlexão OblíquaResumoMy = M cos α; Mz = M sin α; tan α =MyMzσx =MzIy + MyIyzIzIy − I2yz y −MyIz + MzIyzIzIy − I2yz ztan α tan β = − IzIy(Eixos principais de inércia)σx =MzIzy −MyIyz (Eixos principais de inércia)σn =MnInu, In = Iy sin2β − 2Iyz sin β cos β + Iz cos2βσA =MnuAIn≤ σc, σB =MnuBIn≤ σtMmax ≤ minσtInuB,σcInuAMyzMzMyES, ssπ2Cyz CESMαβθMnABσAσB–+uAuBLN, nnPuElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 30 / 34
  48. 48. Flexão Oblíqua ResumoFlexão OblíquaResumoSe mudarmos a orientação do eixo z, os sinais de algumas as expressões anteri-ores se alteramσx =MzIy − MyIyzIzIy − I2yz y −MyIz − MzIyzIzIy − I2yz ztan α tan β = + IzIy(Eixos principais de inércia)MyzMzMyES, ssπ2CElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 31 / 34
  49. 49. Flexão Oblíqua Exemplo 1Programa1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 32 / 34
  50. 50. Flexão Oblíqua Exemplo 1Flexão OblíquaExemplo 1Para a seção ilustrada ao lado, pede-se calcular astensões nos vértices do retângulo, determinar a linhaneutra (LN, nn) e desenhar o diagrama de tensõesreferenciado à LN.Dados: M = 150 kNm; α = 70oESyz 60 cm20 cmCM70oElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 32 / 34
  51. 51. Flexão Oblíqua Exemplo 2Programa1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 33 / 34
  52. 52. Flexão Oblíqua Exemplo 2Flexão OblíquaExemplo 2Para o perfil L (dimensõesem mm), pede-se determinara posição de nn e as tensõesmáximas. Dados: M = 50 kNm.ESCM6005050400Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 33 / 34
  53. 53. Flexão Oblíqua Exemplo 3Programa1 Flexão OblíquaIntroduçãoCaracterização da flexão oblíquaTensões normais na flexão oblíquaPosição relativa: Eixo de Solicitação × Linha NeutraTensões na flexão oblíqua com eixos quaisquerVerificação da estabilidadeMomento fletor máximoExemplo 1Exemplo 2Exemplo 3Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 34 / 34
  54. 54. Flexão Oblíqua Exemplo 3Flexão OblíquaExemplo 3um momento M age na viga engastada de acordo com a figura. Determine a tensãonormal no pto A e a posição da LN. Cotas em mm. Dados: M = 1, 5(106) Nmm.yz12121210080CMAMAElson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 34 / 34

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