1) O documento apresenta duas provas de cálculo. A primeira prova contém duas questões sobre limites, derivadas e integrais. A segunda prova contém questões sobre funções de várias variáveis, como domínios, derivadas, valores críticos e esboços de gráficos. 2) As questões abordam tópicos como derivadas de funções logarítmicas, trigonométricas e racionais, limites, pontos críticos, mínimos e máximos locais, assim como funções de várias variáveis, como cust

1. 1
A
2ra
prova de MAT-104 Cálculo I
18.05.09
IME
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor :
3
Turma :
Total
1. (6pts)
1+x
(a) (2pts)Calcule a derivada da função:h (t) = ln 1 x
1
(b) (2pts)Calcule f 0 (2) se f (x) = yx
1
(c) (2pts) Calcule o limite limx!+1 x 1 cos x
2. (4pts)A energia termodinámica de N occiladores armónicos (representações aproxi-
madas de vibrações moleculares) é dado por
N hv
U= hv
e kT 1
(k é a constante de Boltzmann, h a constante de Planck, T a temperatura absoluta e
v é a frecuencia vibracional), e a capacidade calorí…ca de este sistema é dada por
dU
C=
dT
(a) (2pt)Veri…que que C é
2 hv
hv e kT
C = Nk 2
kT hv
e kT 1
(b) (1:5pt)Encontre limv!0 U
(c) (0; 5pts)esboçe o gra…co
A
2da
prova de MAT-104 Cálculo I
18.05.09
IME

2. 2
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor :
3
Turma :
Total
1. (6pts)Escreva em forma nitida cada resposta.
2x x 1
(a) (2pts)Calcule o limite limx!0+ x+1 3x
.
3t
(b) (2pts)Calcule a derivada de h (t) = t + arctan 1 t
(c) (2pts)Calcule f 0 (1=2) se f (y) = y x :xy
p
2. (4pts)Uma partícula se desloca do ponto A = (1; 0) ao ponto B = 0; 3 com
velocidade constante de 0; 2unidades=seg sobre um segmento de reta. Suponha que
no instante t 0 a particula se encontra no ponto P = P (t). Se é o ángulo que
forma o segmento P com a origem de coordenadas:
(a) (2pts)Encontre a função = (t) como função do tempo t. Escreva em forma
nítida a resposta
p
(b) (2pts)Encontre a velocidade 0 quando a partícula chega ao ponto 0; 3 . Es-
creva em forma nítida a resposta
2da prova de MAT-116 A
Cálculo para funções de várias variaveis I
04.04.05
IME
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor :
3
Turma :
Total
1
1. (4:5pt)Seja f (x) = x + x2
.
(a) Qual é o dominio da função f ?
(b) Encontre as assintotas horizontais e/ou verticais.
(c) Encontre a derivada de f e os valores críticos de f ?
(d) Use o criterio de primeira derivada e responda: Que valores críticos fornecem
um valor extremo?

3. 3
(e) Esboçe o grá…co da função.
2. (4pt)Uma industria deseja montar uma instalaçaõ de fermentação. O seguinte modelo
fornece o custo C pela compra de n fermentadores:
p n
C = Tp
n 2
onde: T é uma constantes positiva que representa o tempo necessário para que o
conteúdo de uma dorna fermente completamente).
(a) Encontre os valores críticos de C, (como função de n)
(b) *Qual é o número de fermentadores apropiado a …n de minimizar os custo?. Qual
é este custo?
(c) Encontre os pontos de in‡exão.
(d) Esboçe o grá…co da função
3. (2:5pt)Calcular a área da região limitada pelas curvas y = 8 x2 e y = jx2 1j.
2da prova de MAT-116 A
Cálculo para funções de várias variaveis I
04.04.05
IME
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor :
3
Turma :
Total
1
1. (4:5pt)Seja f (x) = x2 + x
(a) Qual é o dominio da função f ?
(b) Encontre as assintotas horizontais e/ou verticais.
(c) Encontre a derivada de f e os valores críticos de f ?
(d) Use o criterio de primeira derivada e responda: Que valores críticos fornecem
um valor extremo?
(e) Esboçe o grá…co da função.
2. (4pt)O valor em (miles) dólares norteamericanos (US), estimado para a biblioteca de
um médico e dado por
t+1
f (t) = 5 p
t2+2 1
onde t representa o tempo medido em anos e t = 0 o dia em que se graduo.

4. 4
(a) Encontre a derivada e os intervalos de crescimento e decrescimento
(b) Qual sera o valor mínimo que essa biblioteca podera atingir.
(c) O valor aumenta o diminui con o transcurrir do tempo? (limt!1 f (t) =?)
(d) Esboçe o grá…co da função
3. (2:5pt)Calcular a área da região limitada pelas curvas y = x2 e
e y = j3x2 8j :
2da prova de MAT-116 A
Cálculo para funções de várias variaveis I
04.04.05
IME
Q N
Nome :
1
Nro. USP :
2
Professor :
3
Turma :
Total
x2
1. (4pt)Seja f (x) = 2 x 3 .
(a) Qual é o dominio da função f ?
(b) Qual é o valor de (i) limx!3+ f (x) e (ii) limx!3 f (x)
(c) (i)Encontre a derivada de f e (ii)Quais são os valores críticos de f ?
(d) Use o criterio de primeira derivada e responda: Que valores críticos fornecem
um valor extremo?
(e) Esboçe o grá…co da função.
2. (4pt)Uma industria deseja montar uma instalaçaõ de fermentação. O seguinte modelo
fornece o custo C pela compra de n fermentadores:
p n
C=k F tf p
n 2
onde: k; F , e tf são constantes positivas (tf representa o tempo necesario para que o
conteudo de uma dorna fermente completamente).
(a) Encontre os valores criticos de P , (como função de d)
(b) *Qual é o número de fermentadores apropiado a …n de minimizar os custo?. Qual
é o custo?
(c) Encontre os pontos de in‡exão.

5. 5
(d) Esboçe o grá…co da função
3. (4pt)Uma cultura de bactérias pode precisar de um sistema de controle, o qual envia
um sinal positivo ou negativo ao sistema que controla, pela sua vez, a quantidade de
nutrientes e oxigenio que necessita a cultura. O seguinte modelo fornece uma relação
entre a velocidade de crescimento das bacterias e o tempo t 0 para este sistema
controle
e t
V (t) = p sin 2t
2
(a) Encontre os intervalos de crescimento e descrescimento
(b) Para que valores de t o crescimento é máximo ou mínimo?
(c) Qual é o valor de limt!+1 V (t)
(d) Esboçe o gra…co da função.
4. (4pt)O valor em (miles) dólares norteamericanos (US), estimado para a biblioteca de
um médico e dado por
3t + 2t2 + 6
f (t) =
1 + 2t
onde t representa o tempo medido em anos e t = 0 o dia em que se graduo.
(a) Encontre a derivada e os intervalos de crescimento e decrescimento
(b) Qual sera o valor mínimo que essa biblioteca podera atingir.
(c) Encontre os pontos de in‡exão
(d) O valor aumenta o diminui con o transcurrir do tempo?