O documento apresenta 5 questões de um exame de qualificação de análise real. A primeira questão trata da continuidade e limites de uma função de duas variáveis. A segunda questão analisa a diferenciabilidade de funções em Rn sob condições de módulo. A terceira questão estuda propriedades de funções injetivas e diferenciáveis. A quarta questão calcula volumes de uma região no R3. E a quinta questão aborda propriedades de conjuntos de conteúdo nulo em Rn.

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
Exame de Qualificação de Análise
Questão 1. Dada a função f(x, y) = x2−y2
x2+y2 se x2
+ y2
= 0 e f(0, 0) = 0,
a) decida se f é ou não contínua em R2
, justificando sua resposta.
b) Mostre que
lim
x→0
(lim
y→0
f(x, y)) = lim
y→0
(lim
x→0
f(x, y)).
Questão 2. Se f : Rn
−→ R é uma função tal que,
a) |f(x)| ≤ |x|2
, b) |f(x)| ≤ |x|,
decida em cada caso se f é ou não diferenciável na origem, justificando sua resposta.
Questão 3. Seja f : A ⊂ Rn
→ Rn
, A aberto, uma função 1 − 1 e continuamente
diferenciável, tal que detf (x) = 0 para todo x ∈ A.
a) Mostre que f(A) é um conjunto aberto e que para qualquer conjunto aberto
B ⊂ A, f(B) é aberto.
b) Mostre que f−1
: f(A) → A é diferenciável.
Questão 4. Considere a região A ⊂ R3
obtida a partir da interseção do primeiro
octante com o conjunto definido pelas seguintes condições:
0 ≤ z ≤ 4 − 2 (x2
+ y2
), se 0 ≤ x2
+ y2
≤ 1,
0 ≤ z ≤ 3 − (x2
+ y2
), se 1 ≤ x2
+ y2
≤ 3 .
a) Escreva uma expressão para o volume de A na forma dx dy dz.
b) Escreva uma expressão para o volume de A na forma dz dx dy.
Questão 5. Relembrando que um subconjunto C ⊂ Rn
tem conteúdo nulo se para
cada > 0 existe um recobrimento finito {U1, . . . Un} de C, por retângulos (em
Rn
) fechados (podem ser abertos), tal que n
i=1 v(Ui) < , onde v(Ui) é o volume
de Ui, prove os seguintes ítens: se o conjunto C ⊂ Rn
tem conteúdo nulo, então:
a) C ⊂ A para algum retângulo fechado A ⊂ Rn
.
b) C é mensurável segundo Jordan e A
χC = 0, onde χC é a função característica
de C.
Goiânia, 10 de dezembro de 2014.
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