1. ıcios Resolvidos - 4o Tarefa
Exerc´ .
24 de mar¸o de 2013
c
Quest˜o 10.27
a
Uma barra de comprimento L e massa M (Figura 10-33) pode girar livremente em torno de
um pino colocado em A. Um proj´til de massa m e velocidade v atinge a barra uma distˆncia
e a
a de A alojando-se nela.(a) Determine o momento angular do sistema imediatamente antes
e depois que o proj´til atinge a barra. (b)Determine a quantidade de movimento do sistema
e
imediatamente antes e depois da colis˜o. Explique sua resposta cuidamdosamente.(c) Sob que
a
condi¸oes ser´ conservada a quantidade de movimento? (d) Qual ´ o Q da colis˜o?
c˜ a e a
Solu¸˜o
ca
a) Imediatamente antes da colis˜o, n˜o h´ torque externos em rela¸ao ao ponto A,o mesmo para ime-
a a a c˜
diatamente depois, logo o momento angular se conserva. Este momento, antes da colis˜o, ´ dado por
a e
L = rXp = a(−ˆ ˆ
i)Xmv(ˆ = mva(k)
i)
b) Momento antes: P1 = mv(ˆ
i)
Sabemos que o momento angular se conserva durante esse evento:
Langular = Iω
M L2
O momento de in´rcia da barra+proj´til ´ I = ma2 +
e e e , j´ que podemos considerar o proj´til separa-
a e
3
damente da barra. Em m´dulo,teremos:
o
3ma2 + M L2 3mva
mva = ω => ω =
3 3ma2 + M L2
Ap´s a colis˜o, tanto o proj´til como a barra possuem momento linear. O momento da barra linear pode
o a e
ser calculado como se a massa inteira estivesse concentrada no centro de massa da barra, logo
L
P2 = (mωa + M ω )ˆ
i
2
ML
(1 + 2am
)
P2 = mv ML 2
1+ 3ma2
c) Esse item trata na verdade do centro de percurss˜o. Quando analisamos a resposta do item anterior,
a
ML M L2 2L
percebemos que o momento s´ ir´ se conservar se 1 +
o a = 1+ 2
=> a = .Isso implica que a
2am 3ma 3
distˆncia do ponto de impacto ao centro de massa ´ a1 = L/6, e al´m disso temos que a distˆncia do ponto
a e e a
2
fixo ao centro de massa ´ a2 = L/2. Logo,a1 a2 = K ,sendo K o raio de gira¸˜o, e por isso este ´ o ponto
e ca e
de percurss˜o. Ainda, podemos observar que a conserva¸ao do momento linear nesse caso acontece porque
a c˜
para essa distˆncia n˜o h´ resistˆncia no ponto fixo A.
a a a e

2. mv 2 Ibarra,projetil ω 2
d)Eantes = e Edepois =
2 2
Logo
mv 2 3ma2 + M L2 32 m2 v 2 a2
Q=− +
2 3 (3ma2 + M L2 )2
mv 2 M L2
Q=−
2(3ma2 + M L2 )
Quest˜o 10.48
a
1)Pelas propriedades do produto com vetores,sabe-se que (volumedoprisma(P, M, N )) = (M xN ).P =
−(P xN ).M e (M xN ).P = (M.P )N − (P.N ).M Assim:
(AxB).(CxD) = [−(CxD)xB].A
Usando as propriedades acima
(A.C).(B.D) − (A.D).(B.C)
2)
v.v = (ωXv)(ωXv)
Por (1): v.v = ω 2 r − (ω.r)2 (r)2 = (x2 + y 2 + z 2 ) e (ω)2 = ωx 2 + ωy 2 + ωz 2
ω 2 r2 = ωx 2 (y 2 + z 2 ) + ωx 2 x2 + ωy 2 y 2 + ωz 2 z 2 + ωy 2 (x2 + y 2 ) + ωz 2 (x2 + y 2 )
Assim:
1 1
Ek = m(v 2 ) = ((ω 2 .r2 ) − (ωr)2 )
2 2
(1/2)m(ωx (y + z ) + ωy (x + z ) + ωz (x + y 2 ) − 2(xyωx ωy + xzωx ωz ) + zyωy ωz )
2 2 2 2 2 2 2 2
Quest˜o 10.32
a
No sistema representado na figura 10.38, M = 1, 0Kg, m = 0.2Kg, r = 0.2m. Calcule a
acelera¸ao linear de m, a acelera¸ao angular de M e a tens˜o no fio. Despreze o efeito da polia
c˜ c˜ a
pequena.
Solu¸˜o
ca

3. Leis de Newton para o bloco e a roda(valores em m´dulo):
o
mg − T = map (1)
T + f = M aCM (2)
E do v´ınculo geom´trico, ωCM = ωp aCM = ap => aCM = a2
e r 2r
m
Equa¸ao para a rota¸ao do cilindro, sendo que o ponto de referˆncia ´ o centro de massa da
c˜ c˜ e e
roda:
τCM = ICM α(3)
M R2 M R2 aCM
(T − f ).R = α=
2 2 R
Logo, combinando a segunda equa¸ao com a terceira:
c˜
3
T = M aCM
4
E retornando na segunda equa¸ao:
c˜
3 4mg 4mg
mg − M aCM = 2maCM => aCM = => ap =
4 8m + 3M 8m + 3M
3M mg aCM 4mg
Logo T vale T = eα= =
8m + 3M R R(8m + 3M )