O documento resume o conceito de equações irracionais, que surgem quando a incógnita está dentro de um radicando. Explica que para resolver essas equações, é preciso eliminar os radicais elevando ambos os lados da equação à mesma potência, gerando novas equações do primeiro ou segundo grau que podem ser resolvidas normalmente. Também enfatiza a importância da verificação dos resultados encontrados.
1. E.E. DE ENSINO FUNDAMENTAL PROFESSORA
HILDA KOETZ
EQUAÇÕES IRRACIONAIS
DO 2º GRAU
GRUPO:ARIANE , SUANNY, STEFANI E KELEN
PROFESSORA: SALI
OUTUBRO, 2014
2. HISTÓRICO
A EQUAÇÃO IRRACIONAL É AQUELA NA
QUAL A INCÓGITA ESTÁ EM UM
RADICANDO, SENDO CONSIDERADA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU DISFARÇADA ,
TENDO COMO CONTRIBUIÇÃO PARA
ESTUDOS PITÁGORAS, SEUS DISCÍPULOS E
TALLES, EXISTEM ALGUNS REGISTROS JÁ
COMEÇANDO NA GRÉCIAANTIGA,
APROXIMADAMENTE 570 A.C – 495 A.C MAS
SÓ MAIS TARDE FOI INTRODUZIDO NA
MATEMÁTICA.
4. EQUAÇÃO IRRACIONAL
A equação irracional é construída a partir de problemas
em que a medida desconhecida, a incógnita, é um dos
termos do radicando.
Para ilustrar, vamos imaginar a soma do número 2 com um número
cujo valor é desconhecido e representado por "x". Se extrairmos a
raiz quadrada do resultado dessa soma, obtendo o valor igual a 3,
então, qual deverá ser o valor de x?
A tradução desse problema em uma sentença matemática conduz
ao que é definido como equação irracional:
5. Essa equação exige que retomemos alguns procedimentos e conceitos já
conhecidos. São os procedimentos que garantem a resolução de uma
equação com segurança - e não é repetitivo lembrar que todas as
operações que são aplicadas no primeiro membro de uma equação têm de
ser aplicadas também no segundo.
Assim, se elevarmos o segundo membro ao cubo temos de fazer o mesmo
com o primeiro membro, a fim de que a igualdade da equação seja
mantida, independente da operação que estivermos aplicando.
Na equação irracional, a estratégia adotada é a de tentar eliminar o
principal obstáculo da resolução - que, no caso, é o radical.
Dessa forma, para o problema proposto no início desse texto, teríamos a
seguinte pergunta: Como retirar a raiz quadrada que está sendo aplicada
em x + 2?
A potenciação é a operação inversa da radiciação - e o JOGO das
operações inversas será um dos recursos utilizados.
6. Se elevarmos o número sete ao cubo, para logo depois
extrairmos a raiz cúbica, obteremos novamente como
resultado o valor igual a sete. Elevar ao cubo, ou à terceira
potência, é uma operação inversa da raiz cúbica. As duas
operações aplicadas, simultaneamente, a uma mesma
quantidade, como foi o caso do número sete, não alteram o
valor dessa quantidade.
Agora, imagine a situação de extrair a raiz quadrada de 2 + x
e depois elevar o resultado ao quadrado. Essas duas operações
- de elevar ao quadrado e de extrair a raiz quadrada - se
cancelarão, dando como resultado o 2 + x. Esse é o caminho
ou a estratégia para diluir o radical do primeiro membro do
nosso exemplo:
7. A partir dessa iniciativa, temos que nos preocupar em
aplicar a mesma operação no segundo membro, para que
a igualdade da equação não fique comprometida.
Portanto, elevamos ao quadrado, simultaneamente, os
dois membros da equação:
8. A partir dessa iniciativa, temos que nos preocupar em
aplicar a mesma operação no segundo membro, para
que a igualdade da equação não fique comprometida.
Portanto, elevamos ao quadrado, simultaneamente, os
dois membros da equação:
9. Feito isso, teremos como consequência o surgimento
das equações (tanto do primeiro como do segundo
grau). No nosso caso, as manobras matemáticas
produziram uma simples equação do primeiro grau,
descrita como 2 + x = 9.
A resolução final, em que obtemos ficaria incompleta se
não fizéssemos a verificação para o valor de x que
acabamos de obter. Esse procedimento está relacionado
aos casos em que o índice da raiz da equação é par, não
permitindo, dessa forma, um radicando negativo para o
campo numérico dos números reais.
10. Na resolução da nossa equação, a verificação
de x = 7 é confirmada, já que o sete,
somado ao dois, é igual a nove, e a raiz
quadrada de 9 é 3
11. Para assimilar melhor os procedimentos para a
resolução desse tipo de equação, vamos explorar
um outro exemplo, imaginando uma incógnita
sendo subtraída em três unidades, dando como
resultado a raiz quadrada do quádruplo dessa
incógnita
12. O procedimento de retirar o radical da equação
conduz, neste caso, a uma equação do segundo
grau, com uma resolução em que os valores de x
são iguais a 9 e a 1. Fazemos a verificação para
concluir a resposta final do problema
13. O valor de x igual a 9 é possível, pois, com esse valor, a
igualdade da equação é testada sem contradição com as regras
do conteúdo. Já com x = 1 isso não ocorre, pois a expressão
propõe que a raiz quadrada de 4 seja igual a - 2, mostrando um
resultado inviável e impossível para o conjunto dos números
reais.
Assim, temos como solução final para esse problema o 9 - o
único valor possível para x.
A equação irracional é somente mais um tipo de equação - e
exige que estejamos atentos às propriedades da potenciação e da
radiciação, lembrando que estudar as equações, na verdade, é
estudar as regras que possibilitam a igualdade de cada uma
delas. Condição esta sempre proposta pelos problemas.
