ih2

1. Por: NASCIMENTO, J.B.
http://lattes.cnpq.br/5423496151598527
www.cultura.ufpa.br/matematica/?pagina=jbn, Agosto/09
¸˜
INTRODUCAO
CURVAS E SUPERF´ ICIES se inserem e determinam fenˆmenos t˜o dispares, tais como:
o a
diagn´stico m´dico por imagem e express˜es art´
o e o ısticas e culturais. Portanto, um tema de
profunda relevˆncia e um campo fascinante para o educacional e diversos ramos da Matem´tica.
a a
J´ a vis˜o, como sentido humano e n˜o como uma mera resultante do olhar, precisa ser
a a a
contemplada e focalizada nas a¸oes educativas. Por isso, enseja atitudes educacionais que
c˜
desenvolvam habilidades e competˆncias que se associem com esta. Dessas, s˜o mais urgentes
e a
as que contribuem no desenvolvimento da visualiza¸ao das CURVAS E SUPERF´
c˜ ICIES,
especialmente de objetos tridimensionais. Vale lembrar: o objetivo maior da educa¸ao ´c˜ e
identificar e desenvolver manifesta¸oes humanas que valorizam o educando como ser social.
c˜
Preceituamos que o quanto mais evolui um fato cient´
ıfico o menos tarde poss´
ıvel prescinde
abord´-lo. E, a evolu¸ao que o tema proposto tem apresentado nos ultimos anos, tanto
a c˜ ´
por manifesta¸oes culturais quanto por m´todos te´ricos e computacionais, ´ um dos mais
c˜ e o e
significativos da Matem´tica.
a
J´ o interessante ´ que este tema pode ser tratado atrav´s de atividades simples, tais como:
a e e
dobraduras, montagens de pe¸as, modelagem com massa, pinturas, bolhas de sab˜o, jogo de
c a
sombra e luz, filmes, etc. No entanto, assim como tudo em educa¸ao, o simples da atividade n˜o
c˜ a
dispensa, pelo contr´rio requer mais ainda, uma forma¸ao mais agu¸ada. Pois, tais atividades
a c˜ c
precisam de direcionamento e objetividade para que os conceitos matem´ticos, e cient´
a ıfico em
geral, n˜o se percam, qui¸a sofram distor¸oes. Ou seja, as atividades aqui propostas, assim como
a c´ c˜
qualquer outra, n˜o podem apenas servir para preencher tempo, mas inseridas num contexto
a
em consonˆncia com os conte´dos.
a u
No que segue, al´m de divulgarmos alguns trabalhos no tema, apresentamos parte de duas
e
das nossas propostas: PROJETO KARU-PEAHARY e PROJETO VERONESE. E
ao disseminar este informe objetivamos ajudar no que for poss´
ıvel em aplica¸oes escolares,
c˜
organizar e projetar a¸oes metodol´gicas. Contate-nos: jbn@ufpa.br ou joaobatistanasci-
c˜ o
mento@yahoo.com.br

2. 2
Conta uma lenda dos Povos Temb´ (etnia ind´
e ıgena da regi˜o Norte/Alto Gurupi) que
a
Karu-Peahary ´ o nome de uma lugar que j´ foi extremamente arido, ao ponto de beija-
e a ´
flor sentir sede. Com trabalho, persistˆncia e amor, esse lugar virou mais do que um lugar
e
agrad´vel, mas at´ o eterno fornecedor do mais belo de todos os beijas-flores e que se chama
a e
Maianamy [beija- flor com todas as penas brancas].
A aridez que atinge o ensino da matem´tica no Brasil ´ uma realidade que de t˜o
a e a
comum j´ apresenta sinais de verdade vulgarizada. O que torna relevante se fazer esfor¸os
a c
para imprimir alguma fei¸ao diferente em algumas aulas, mas nada disso pode acrescentar
c˜
nada que possa pior´ uma realidade j´ tr´gica. Para tanto, ´ exigido do docente n˜o um
a a a e a
simples esfor¸o, mas algo capaz de romper com uma realidade que o faz tender ser dominado
c
pela in´rcia e possa repercutir em cada a¸ao. Mais ainda, fazer essa assumir uma dinˆmica
e c˜ a
que traga um novo alento. Nada disso ´ simples, posto que, h´ barreiras imensas, come¸ando
e a c
pela forma¸ao implementada no Brasil e que promove at´ uma esp´cie de desmerecimento
c˜ e e
de algo melhor por parte do nossos estudantes.
H´ ainda uma barreira maior para tudo aqui proposto. Todas s˜o com vertentes multi-
a a
disciplinares, portanto, requer m´ltiplas competˆncias da escola. Isso implica ir al´m do
u e e
mero desejo de desenvolver algo para envolver na mesma a¸ao diversos outros. Indo ainda
c˜
um pouco al´m, por algumas desta exigir penetrar na diversidade cultural para trazer a tona
e `
aspecto matem´tico que est˜o subjacentes. Assim como, tudo aqui proposto reduz-se literal-
a a
mente nisto, porquanto, n˜o traz uma receita pronta, pois ´ isso que estamos vivenciando de
a e
mais tr´gico: a docˆncia est´ sendo mais fruto de repeti¸oes de pr´ticas que outros fizeram
a e a c˜ a
e pouco do envolvimento e produ¸ao pr´pria.
c˜ o
Essa ´ a filosofia do projeto Karu-Peahary, o qual em si n˜o h´. Pois, o detalhamento
e a a
depende dos que quiserem envolver-se, estudar e pesquisar. E no ¨contar historinha¨ inclui formatar
todo o saber produzido e socializar em todo o ambito de a¸ao da escola.
ˆ c˜

3. 3
ALGUNS ASPECTOS DAS CURVAS E SUPERF´
ICIES
¨Tais regras, n˜o poder˜o, talvez, ser representadas, stricto sensu, por um conjunto de
a a
conceitos e de equa¸oes matem´ticas, embora seus elementos fundamentais estejam
c˜ a
bem de perto relacionados com entidades b´sicas da matem´tica.¨
a a
Heisenberg, W. (1901-1976), F´ ısico Alem˜o, Nobel de 1932,
a
um dos criadores da Mecˆnica Quˆntica,
a a
na obra F´ ısica e Filosofia, Ed.UnB.
ARTE MARAJOARA
Uma express˜o original e que contempla curvas e superf´
a ıcies na sua base cultural.
Porquanto, expressa um saber matem´tico de alto n´
a ıvel.
ˆ
REFERENCIAS
www.icoaraci.com.br/art milenar.htm, www.museu.ufg.br/, www.museudomarajo.com.br/
www.eps.ufsc.br/disserta98/albertina/cap2.htm, www.cir.org.br/artigos inclusao 030925.asp
www.cdpara.pa.gov.br/cultura/artesanato/art mara.html
www.liec.ufscar.br/ceramica/pesquisa/cer artistica/
˜
BOLHAS DE SAB AO
ˆ
REFERENCIA- http://www.algonet.se/ kasper/01apr/img/soap.jpg

4. 4
UM POUCO DA OBRA DE ESCHER
MAURITUS CORNELIS ESCHER, nasceu
em Leeuwarden, Holanda, em 1898 e faleceu em
1970. Seu trabalho se intersecta com diversos
ramos da matem´tica e o destaque fica com a
a
GEOMETRIA HIPERBOLICA. ´
ˆ
REFERENCIA
www.mat.ufpb.br/ camat/escher/escher.php, www.uff.br/dacm, www.escher.hu
www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Escher.htm, www.scienceline.net, www.mcescher.com,
www.werner.com.ar, www.math.umass.edu, www.psych.ucsb.edu, www.mathematik.de,
www.palmyra.demon.co.uk, www.cs.princeton.edu, , www.mathacademy.com.
A SUPERF´
ICIE DO BRASILEIRO
CELSO COSTA
Foi descoberta durante o seu
doutorado em matem´tica no IMPA
a
- Instituto de Matem´tica Pura e
a
Aplicada do CNPq (www.impa.br)
- pelo brasileiro CELSO JOSE DA ´
COSTA (www.uff.br/egm), orientando
do PROF. MANFREDO PERDIGAO ˜
DO CARMO, em 1982. Esta superf´ ıcie,
que leva o sobrenome do seu descobri-
dor, ´ de uma classe especial, M´
e ınima
e Completa, que por mais de duzentos
anos tentava-se encontrar alguma ou
provar a inexistˆncia. At´ ent˜o s´
e e a o
eram da mesma classe o plano, o
Professor Celso Costa, UFF
caten´ide e o helic´ide.
o o

5. 5
Caten´ide
o Helic´ide
o Superf´
ıcie do Costa
SUPERF´
OUTRAS :::::::::::::::::::::::::
ICIES
ˆ
REFERENCIA
www.xtec.es/~jcanadil/imatges/geometria/geometria_corbes.htm,
mat.uab.es/~egallego/costa/costa.htm ,
www.msri.org/publications/sgp/jim/geom/minimal/library/costa/indexc.html,
www.math.unifi.it/~paolini/diletto/minime/trefoil.png
www.indiana.edu/~minimal/archive/finite/fourendsgenusone/fourendsgenusone.html
www.coolphysics.com/4d/nonorientable/steiners_roman_surface/math/mathematics.htm
http://sauron.mat.unimi.it/html/arch/geo/galleria.gif,
www.dm.ufscar.br/disciplinas/grad/maplehtml/gaalinear54.html#helicoide
www.math.uab.edu , www.3d-meier.de www.science.unitn.it,
¸˜
FRACTAIS - (IN)EQUACOES & COMPUTADOR
ˆ
REFERENCIA
www.tekmom.com/quotes/fractal.html, www.ultrafractal.com/, www.fractalus.com/
www.meridian.net.au/Art/Graphics/Radiance/Gallery/ , http://aixa.ugr.es/fractal.html.

6. 6
T EORIA DE GRU PO & SIMET RIA
Do trabalho SIMETR´ Y ARTE EN COMUNIDADES IND´
IA IGENAS COLOM-
BIANAS, www.sectormatematica.cl/rural/POLANIA1.pdf, acesso fev/09, exposi¸ao da Profes-
c˜
sora Claudia Marcela Polan´ Sagra, baseada no trabalho de dotourado da professora Maria
ıa
Falk de Losada.
ˆ
REFERENCIA
- Medidas e Formas em Geometria, Lima E.L, CPM.SBM
- ´lgebra: um curso de Introdu¸ao, Garcia A e Lequain, Y, Proj. Euclides, SBM.
A c~
- Simmetry, Hemann Weil

7. 7
´
TRABALHO DE DOCENTES DA MATEMATICA NUMA COMUNIDADE
´ ˆ
INDIGENA DA AMAZONIA
PROFESSORES E ALUNOS BANIWA E CORIPACO DISCUTEM A
´ ` ´
MATEMATICA APLICADA AS PESQUISAS NO ENSINO MEDIO
Em encontro de forma¸˜o no rio I¸ana, noroeste amazˆnico, professores e
ca c o
jovens alunos experimentam c´lculos matem´ticos a partir de dobraduras, de
a a
conceitos matem´ticos que fazem parte da tecnologia e da cultura Baniwa e
a
Coripaco e descobrem complexas opera¸oes e desenhos geom´tricos nos mitos de
c˜ e
Yoopinai (Curupira)
26 Novembro 2007, por Web R´dio Brasil Ind´
a ıgena
A matem´tica aplicada as pesquisas de
a `
forma¸ao do ensino m´dio foi o tema do en-
c˜ e
contro de forma¸ao de professores e alunos
c˜
Baniwa e Coripaco, que aconteceu entre 5 e
12 de novembro na Escola Ind´ ıgena Pam´ali,
a
M´dio Rio I¸ana, no noroeste amazˆnico.
e c o
¨Entender o pensamento matem´tico a
constru´ ıdo pelos brancos ´ impor-
e
tante para os processos de forma¸˜o ca
que estamos desenvolvendo. Em nossas
pesquisas, como Paisagens Baniwa, Pi-
mentas, a constru¸˜o do herb´rio vivo
ca a
e atividades de manejo pesqueiro, am-
biental e em nossos registros hist´ricos
o
utilizamos c´lculos (biomassa, ´reas,
a a
estat´ıstica, gr´ficos, tabelas, m´dia...)¨,
a e
resume o professor da Escola Pam´ali, a
Raimundo Benjamim, baniwa da comunidade
de Taia¸u Cachoeira. ¨Entender a l´gica e
c o
Alunos e professores Baniwa e Coripaco construir defini¸oes em nossas l´
c˜ ınguas
durante encontro de forma¸ao
c~ ´ a proposta deste encontro¨.
e
O evento contou com a orienta¸ao do antrop´logo Francisco Ortiz G´mez, que h´
c˜ o o a
14 anos trabalha com forma¸ao de professores Coripaco, com a participa¸ao dos alunos e
c˜ c˜
professores do ensino m´dio da Escola Pam´ali e mais 4 professores Coripaco do rio Inirida e do
e a
Baixo Rio Guainia, na Colˆmbia. Foram oito dias de discuss˜es, an´lises, referˆncias hist´ricas
o o a e o
da matem´tica ocidental e principalmente de reflex˜o sobre onde os conceitos matem´ticos
a a a
est˜o sendo aplicados no dia-a-dia dos povos Baniwa e Coripaco.
a
Exemplos de Chaves de Yoopinai
Dobraduras ajudam a entender
conceitos matem´ticos
a
Fonte: http://webradiobrasilindigena.wordpress.com/2007/11/26/professores-e-
alunosbaniwa-e-coripaco-discutem-a-matematica-aplicada-as-pesquisas-no-ensino
-medio/, acesso fev/09

8. 8
TRABALHO DO PARAENSE FRANCELINO MESQUITA
A GEOMETRIA DO VAZIO BROTA DO MIRITI
EQUIL´
IBRIO
Francelino Mesquita promove di´logos entre opostos com suas esculturas
a
Renato Torres e Ilton Ribeiro T´cnicos em gest˜o cultural
e a
H´ um d´
a ınamo natural, uma for¸a l´
c ırica que nos impulsiona ao longo da existˆncia, e que
e
permeia nossos esfor¸os em afirmar o que somos atrav´s do que conseguimos criar, de nossas
c e
elabora¸oes s´
c˜ ıgnicas. Tais elabora¸oes podem se dar por meio, por exemplo, da constru¸ao de uma
c˜ c˜
casa, da estrutura¸ao de uma carreira ou de uma reputa¸ao, da edifica¸ao de uma fam´
c˜ c˜ c˜ ılia. Para
um artista, isso se d´ atrav´s do engendramento de obras de arte.
a e
Em Francelino Mesquita podemos encontrar, sem equ´ ıvocos, os arqu´tipos estruturais de suas
e
inten¸oes est´ticas, equilibrando-se em calculadas for¸as que se paramentam e erigem,
c˜ e c
entre linhas e pontos de contato, seu tratado f´ ısico sobre a leveza. Suas estruturas em
talas de miriti - a mat´ria-prima cientificamente cunhada de mauritia flexuosa - s˜o,
e a
a um s´ tempo, desenhos e esculturas. Ou desenhos tridimensionados. Ou esculturas
o
que prescindem do espa¸o plano, privilegiando a linha, seus interst´
c ıcios, seu discurso de tramas e
circunvolu¸oes.
c˜
Al´m de organizar esses desenhos e esculturas, Francelino constr´i concomitantemente uma
e o
po´tica do vazio, uma arte mais do gesto geom´trico, como se esculpisse o v˜o. Isso nos remete
e e a
a pensar na desmaterializa¸ao, no efˆmero do ser como mat´ria, principalmente porque importa
c˜ e e
para a obra sua rela¸ao de luz e sombra. Um caminho contemporˆneo, que se revela um desdo-
c˜ a
bramento dos m´biles e est´biles de Alexander Calder, mas tamb´m afirma, em simplicidade e
o a e
arrojo, a identidade de uma cultura em filigranas, em lamina¸oes que ponteiam desde a infˆncia, a
c˜ a
planura on´ ırica de um c´u azul sobre o qual desenhamos, ami´de, linhas de cerol e pipas coloridas.
e u
Esta reminiscˆncia atemporal, segundo o pr´prio artista, alimenta seus esquemas l´dicos em
e o u
miriti, e suas flutua¸oes. Deste modo, Francelino trata, por geometria e inven¸˜o, de di´logos
c˜ ca a
entre o masculino e o feminino, entre o peso e a leveza, entre a sua pr´pria forma¸˜o ligada
o ca
` engenharia, e os efl´vios on´
a u ıricos da arte. A linha, presente desde os croquis no papel,
´ transposta as estruturas de miriti, materializada tamb´m nas amarras e ligaduras dos fios de
e ` e
nylon, e finalmente ´ transubstanciada nas sombras das mesmas estruturas, projetadas na parede,
e
num jogo alqu´ ımico-conceitual que amplia os horizontes da obra, tornando-a vizinha pr´xima da
o
instala¸ao, num hibridismo pr´prio das manifesta¸oes art´
c˜ o c˜ ısticas contemporˆneas.
a
Servi¸o: De 15 a 31 de Julho de 2008, de ter¸a a sexta, de 12h as 20h. S´bados de 16h as 20h,
c c ` a `
na Galeria Theodoro Braga - Centur (Av. Gentil Bittencourt, 650, Subsolo). Informa¸oes: (91)
c˜
3202-4313 - galeriatheodorobraga@gmail.com
http://www.orm.com.br/oliberal/interna/default.asp?modulo=248&codigo=356773, acesso
fev/09

9. 9
ˆ
TRABALHO DO BRASILEIRO ANTONIO PETICOV
http://www.art-bonobo.com/peticov/antoniopeticov.html
Como tudo aqui, a nossa proposta ´: conhe¸a e promova isso com os seus alunos. Depois,
e c
procure saber quais conceitos da matem´tica podem ajud´-los numa maior compreens˜o da arte e
a a a
quais elementos da arte podem ajud´-los numa melhora do ensino e aprendizagem da matem´tica.
a a
Ambas n˜o s˜o simples e nem temos uma receita pronta, sequer acreditamos haver, mas apenas
a a
que ´ plenamente poss´
e ıvel. O mais importante ´ pesquisar e procurar interagir, coisas para quais
e
estamos sempre dispon´ ıveis, e delinear uma proposta na sua a¸ao escolar
c˜
¨History¨ 1984 ¨Hermes¨ 1985
¨ Dreams¨, 1993 ¨Mitocondrio¨, 1977

10. 10
PROPOST A DE CU RSO LIVRE VIRT U AL1
PROJETO
AUTORES:
˜
Prof. JOAO BATISTA DO NASCIMENTO, jbn@ufpa.br
joaobatistanascimento@yahoo.com.br
Mestre em Matem´tica UFC, Docente da Fac. Mat. UFPa.
a
Profa . PAULA CRISTINA DE FARIA VERONESE, pau722@hotmail.com
Mestranda em Educa¸ao Brasileira - Oficina Pedag´gica DE - Regi˜o de Pen´polis
c˜ o a a
Matem´tica: FARFI - Faculdade de Filosofia, Ciˆncias e Letras de S. J. do Rio Preto/ SP
a e
Pedagogia : FAR - Faculdade Reunida - Ilha Solteira/SP
I) Professora Efetiva (PEB II) Matem´tica ( Ensino Fundamental e M´dio)
a e
II) Docente da Universidade UNIESP - Birigui/SPaulo
Cursos: Matem´tica ( Pr´tica de Ensino)
a a
Pedagogia ( Metodologia de Matem´tica) (Forma¸ao de Professores)
a c˜
III) Docente (Tutora) - UNOPAR - Univers. de Londrina/Parn´ Fac. em EAD (Educa¸ao a
a c˜
distˆncia) Curso: Pedagogia (Forma¸ao de Professores)
a c˜
O PROJ ET O VERON ESE APRESEN T A ....
O ENCONTRO DAS VERONESES
Nascimento, J.B Fac. Mat. UFPa, jbn@ufpa.br
www.cultura.ufpa.br/matematica/?pagina=jbn
Quando falamos do fracasso do ensino da matem´tica no Brasil, no geral, isso n˜o denota quase
a a
nada para ningu´m. Exatamente porque esse ´ t˜o imenso. N˜o mais do que um ano atr´s, um nome
e e a a a
surgiu na tela do meu computador: Professora de Matem´tica ..... Veronese, pois pesquiso e par-
a
ticipo na internet de v´rias listas de debate em educa¸ao e matem´tica.
a c˜ a
Tomei um susto. Pois, das vezes nas quais Veronese surgiu na minha frente, e n˜o foram a
poucas, foi isso mesmo que ela me vez. Para o meu espanto, o que seria um resultado maravilhoso
concluindo ser a Esfera, seria mesmo, deste que exclu´ fosse uma hip´tese que deixava poss´
ıda o ıvel
ser a Superf´ıcie de Veronese. Mas... tirando-se essa o trabalho j´ tinha sido feito por outro. Para
a
quem quer fazer algo original, isso trivializa tudo.
Assim, tive uma curiosidade. A professora de matem´tica Veronese sabe quem ´ a Su-
a e
perf´
ıcie de Veronese? J´ foram apresentadas? Algum docente dela de matem´tica j´ lhe disse
a a a
quem ´ Veronese? Mandou ela estud´-la? E nossas crian¸as, alguma dela j´ soube sequer que existe
e a c a
Veronese?
E o pessoal da lista, professores e/ou adoradores da Rainha das Ciˆncias sabem? Ser´ que algum
e a
vai dizer algo com a professora em fun¸ao do seu sobrenome? Nada surgiu. Eu nada poderia dizer
c˜
para n˜o interferir, pois j´ tinha decido que precisava escrever algo que desse alguma chance para
a a
alguma crian¸a deste pa´ saber quem ´ Veronese. Saber ´ for¸a de express˜o, ter uma id´ia, ter
c ıs e e c a e
uma oportunidade de saber que ela existe. Mas o fundamental em tudo ´: despertar curiosidade.
e
´
E isso. Crian¸a n˜o precisa que ningu´m lhe ensine nada, basta acender a luzinha da
c a e
sua curiosidade que o resto ela faz.
1
Sem certificado

11. 11
Isso n˜o ´ simples de fazer, precisa de uma dedica¸ao ao extremo, per´
a e c˜ ıcia, muito estudo, tra-
balho e muito. Enquanto aguardava que alguma coisa acontecesse na internet, pensava e cada vez
mais era convencido de que n˜o s´ os outros, mais ainda e principalmente, a ela nunca disseram
a o
nada de Veronese. Por um momento, imaginei essa quando crian¸a chegando um dia na escola,
c
entrando na sua sala de aula e deparando-se com um mundo m´gico envolvendo Veronese.
a
Como todo sonho ´ m´gico e nunca ´ tarde para ser crian¸a, esse ainda ser´ tentado. E pouco
e a e c a
´
importa se a crian¸a tem ou n˜o sobrenome Veronese, ela vai se encantar. E isso que importa. E
c a ´
por isso que vale todo esfor¸o. Quem educa sabe o que estou dizendo. Foi por isso, depois de tanto
c
esperar e nada acontecer, que fiz contado por e-mail com a professora e no dia em que Veronese
viu a Veronese na tela do seu computador, na minha apareceu ¨LINDA!LINDA!¨.
Se vocˆ ´ docente das s´ries inicias ou de matem´tica, conhe¸a o PROJETO
e e e a c
´ o
VERONESE. E s´ entrar em contato por e-mail projetoveronese@yahoo.com.br, ´ gr´tis, e e a
fazer uma capacita¸ao. Essa ´ parte do meu trabalho na Universidade Federal do Par´. Eu aposto
c˜ e a
que as suas ¨crian¸as¨ v˜o adorar!
c a
Objetivo Principal: O sobrenome Veronese da Professora de Matem´tica ´ a designa¸ao de
a e c˜
um objeto da matem´tica, o que torna relevante sistematizar um conjunto de atividades abordando
a
alguns conte´dos que envolvem o tema e fazer divulga¸ao cient´
u c˜ ıfica.
P´ blico Alvo: Docentes das S´ries Iniciais e de Matem´tica.
u e a
PROPOSTA DE MINI-CURSO
Fundamenta¸˜o matem´tica/cient´
ca a ıfica: Dois conceitos fundamentais s˜o: convexidade e ori-
a
entabilidade. Dentre todos os objetos geom´tricos, aqueles aos quais habitualmente nos referimos como
e
pol´
ıgonos e s´lidos comuns s˜o convexos e orientados e os que representam esses mais profundamente s˜o:
o a a
C´ırculo e Esfera. Atribui-lhe Isso uma aurea de perfei¸ao e tradutora de beleza est´tica. Entretanto, apesar
´ c˜ e
de tanta beleza, sem d´vida, nisso tem fatores que desqualificam o ensino de Geometria no Brasil. N˜o por
u a
ser ensinado, o que ´ obrigat´rio, mas por isso ser feito como verdade unica e eterna.
e o ´
Assim, embora livro did´tico brasileiro defina o que ´ um objeto geom´trico convexo, o n˜o-convexo
a e e a
s´ aparece logo ap´s esta e isso apenas como contra-exemplo. E o mais comum ´ depois disso ficar dito algo
o o e
como: ¨No que segue, consideramos que o objeto ´ convexo¨. E, mesmo quando n˜o ´ dito, tudo o mais ´
e a e e
considerado como se fosse. Por isso, fatos como: um quadril´tero convexo com lados congruentes ser
a
losango, ´ comum apenas dizer que quadril´tero:::::::::::::::::::::::::::::::: Abordagem como essa,
e a
:::::::::::
com lados congruentes ´ losango.
e
mais do que empobrecer o pensamento cient´ ıfico, torna-se obliteradora do desenvolvimento matem´tico.
a
J´ o tema orientabilidade ´ quase imposs´ encontr´-lo em livro did´tico. Ou melhor, comportam-
a e ıvel a a
se todos, reafirmo que s˜o quase todos, envolvidos no ensino como se tudo fosse unicamente de um tipo. Essa
a
tem uma formula¸ao/sistem´tica simples: bastar fazer um modelo da superf´
c˜ a ıcie, em cartolina, por exemplo, e
pintar continuamente essa. Depois, ao planific´-la, abri-la, ficam precisamente determinadas duas situa¸oes
a c˜
distintas: ou o todo fica pintado (Superf´ ıcie n˜o-Orientada) ou apenas um lado (Superf´
a ıcie Ori-
entada). Uma n˜o-orient´vel que pode ser confeccionada com tira de cartolina ´ a Faixa de M¨bius [em
a a e o
homenagem ao matem´tico alem˜o A. F. M¨bius, 1790-1868]. Nesse tema, a contraposi¸˜o/dualidade
a a o ca
que fica ´: a mais perfeita e bela de todas orientadas ´ a Esfera e a que sabemos ter isso entre
e e
as n˜o-orient´veis ´ a Superf´
a a e ıcie de Veronese [ em homenagem ao matem´tico italiano Giuseppe
a
Veronese, 1854 - 1917]
Sistem´tica/Interdisciplinaridade - O obvio ´ que tudo isso s´ acontece no mundo escolar porque
a ´ e o
assim acontece na forma¸ao. Portanto, a fator primordial desse Projeto de Curso Livre Virtual ´ con-
c˜ e
struir um processo de capacita¸˜o, atrav´s de atividades orientadas via e-mail e
ca e
indica¸oes de leituras, que habilite o docente desenvolver e (re)construir abor-
c˜
dagens/exposi¸oes.
c˜
´
E relevante tamb´m o fato de que os temas, ´ por isso que ´ de divulga¸ao cient´
e e e c˜ ıfica, n˜o s˜o apenas do
a a
ınseco da Matem´tica. Esses se envolvem com Artes, Hist´ria, Linguagem, Computa¸˜o,
interesse intr´ a o ca
etc. Algumas ser˜o estruturadas no processo de capacita¸ao. Dessas, a principal envolve obras de artes
a c˜
do artista brasileiro, n˜o casualmente, Antonio Veronese dentro do tema: Violˆncia na Escola.
a e

12. 12
¸˜ ¸˜
RESUMO DAS ATIVIDADES P/ CAPACITACAO DOCENTE/ EXECUCAO
1 - Fazer as atividades (15 ao todo, dividas em trˆs etapas) que ser˜o indicadas de Geometria, todas da proposta
e a
Matem´tica para Aprender e Ensinar/S´ries Iniciais, Jo˜o Batista do Nascimento, e estudar todos os temas.
a e a
2 - Planejar executar exposi¸ao/palestra determinando quais atividades desenvolver e como vai ser decorado o
c˜
ambiente em que essa ocorrer´. Dentro das seguintes fundamenta¸oes e ordena¸ao:
a c˜ c˜
A) Na decora¸ao ´ obrigat´rio a presen¸a de esferas confeccionada em material que torne-as vistosas e que realce
c˜ e o c
sua beleza. Por ser em ambiente escolar, essas tˆm que ser de material n˜o quebr´vel para que todo que queria possa
e a a
toc´-la.
a
B) Atividades com os s´lidos comuns envolvendo suas planifica¸oes e pintura. Nisso uma pesquisa
o c˜
das obras de MAURITUS CORNELIS ESCHER, 1898-1970, acrescenta muito. O essencial nisso ´ ser para que e
esses percebam haver in´meras propriedades comuns, incluindo orienta¸ao, entre esfera e os s´lidos comuns e que h´
u c˜ o a
uma obstru¸ao: a rela¸˜o/possibilidade entre Superf´
c˜ ca ıcie (casca) de s´lidos e planifica¸˜o ser imposs´
o ca ıvel
para Esfera.
C) Constru¸ao da Faixa de M¨bius e, atrav´s de pintura, mostrar que essa ´ de outra classe diferente dos at´
c˜ o e e e
aqui apresentados: ´ N˜o-Orient´vel. As atividades do tema devem ser para real¸ar que essa ´ dual do cilindro
e a a c e
comum. O refor¸o ´ atrav´s da historinha infantil, adapta¸ao, A Princesa Hip e o Pr´
c e e c˜ ıncipe Pit, de autoria de
Jo˜o Batista do Nascimento.
a
3 - Produ¸ao da biografia dos envolvidos (M¨bius, Veronese, Hip´tia, Pit´goras, Escher), hist´rico da
c˜ o a a o
Superf´
ıcie de Veronese e sele¸ao de obras/textos de Antˆnio Veronese.
c˜ o
4 - Fazer debate/motivar, reda¸ao, a partir do textos/obras de Antˆnio Veronese, no tema violˆncia na
c˜ o e
escola (todos devem ser orientado em tentar enxergar a Faixa de M¨bius ou equivalentes dessa em cada
o
pintura. )
Conclus˜o: A Superf´
a ıcie de Veronese ficar´ como uma possibilidade para os que quiserem
a
aprofundar-se no tema.
¨Fotos¨ da Veronese obtidas por computa¸ao gr´fica.
c˜ a
Fonte:http://www.math.union.edu/ dpvc/TFB/ICMS-poster/veronese/
¸˜
ATENCAO: ˜ ´
OS PEDIDOS DE ATIVIDADES SAO ATE JAN/2010.
ˆ
REFERENCIAS
MAURITUS CORNELIS ESCHER, nasceu em Leeuwarden,
Holanda, em 1898 e faleceu em 1970. Seu trabalho se intersecta com
diversos ramos da Matem´tica.
a
Faixa de M¨bius
o

13. 13
http://www.grupodesabado.blogspot.com/
http://grupodesabado.blogspot.com/2008/01/visita-exposio-nem-nem-do-sesc-
campinas.html#links
http://it.wikipedia.org/wiki/Giuseppe Veronese
http://antonioveronese.blog.com/
www.mat.ufpb.br/ camat/escher/escher.php,
www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm33/Escher.htm
www.uff.br/dacm, www.psych.ucsb.edu,
www.escher.hu www.mathematik.de
www.scienceline.net www.palmyra.demon.co.uk
www.mcescher.com www.cs.princeton.edu
www.werner.com.ar www.mathacademy.com.
www.math.umass.edu
Informativo Hipasiano - Matem´tica e Ensino (Tema: Curvas e Superf´cie)
a ı
Matem´tica para Aprender e Ensinar - S´ries Iniciais, Jo~o Batista do Nascimento
a e a
¸˜
CONSIDERACOES FINAIS
A diversidade do tema permite que toda manifesta¸ao cultural seja contemplada. O que o
c˜
torna relevante para a escola, dado que esta precisa e deve ser agente desta multiplicidade. N˜o
a
existe da nossa parte, interesse de omiss˜o e nem seria poss´ colocar neste simples informe tudo.
a ıvel
Desejamos que cada fato citado, como os trabalhos de geˆmetras brasileiros, sirva de guia
o
para que um mais aprofundado seja desenvolvido na escola. Jamais que pensem que s˜o apenas
a
estes que significam no tema. Fato similar, vale quando mostramos haver conex˜o entre Matem´tica
a a
de profundo desenvolvimento, como a Teoria de Grupo e a cultura ind´ıgena colombiana. O ensejado
´ mostrar que Matem´tica se inclui em todas as culturas e desafiar que pesquisem da nossa cultura
e a
ind´
ıgena.
http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/store old/evento 0029

14. 14
Referˆncias
e
http://blogsmatematicos.blog.terra.com.br/
http://www.criticaliteraria.com/8536305967, acesso ag/09
http://matematicarte.blog.terra.com.br/
http://www.tvcultura.com.br/artematematica/educacao.html
http://mat.fc.ul.pt/mej/index.html
http://www.impaes.org/fotos/trilha%20das%20artes.pdf
http://www.iande.art.br/arteindigena.htm
http://www.dimensions-math.org/Dim chap PT.htm
http://www.uff.br/cdme/
http://www.ted.com/talks/margaret wertheim crochets the coral reef.html#
http://solbatt.blogspot.com/
http://www.rodoxart.com/
http://www.ima.mat.br/
http://www.tinaeducacao.com.br/artigos/
http://matematicaoitava.blogspot.com/
http://www.mat.ufrgs.br/ portosil/historia.html
Matem´tica a Brincar, http://www.espacoportugues.ch/pessoas 28.pdf
a