O documento descreve um planejamento fatorial completo com três fatores (temperatura, catalisador e concentração) e suas respectivas interações para analisar o rendimento de uma reação. Os principais efeitos encontrados foram da temperatura, catalisador e concentração, com interação significativa entre temperatura e concentração.
1. EAL 3012 - ESTATÍSTICA,EAL 3012 - ESTATÍSTICA,
PLANEJAMENTO EPLANEJAMENTO E
OTIMIZAÇÃO DEOTIMIZAÇÃO DE
EXPERIMENTOSEXPERIMENTOS
2. Planejamento fatorialPlanejamento fatorial
2233
O planejamento fatorial completo tem 8O planejamento fatorial completo tem 8
experimentos.experimentos.
Podem ser apresentados na ordem padrão. (asPodem ser apresentados na ordem padrão. (as
colunas começam com o nível (-)colunas começam com o nível (-)
Exemplo (p105): Rendimento como função de:Exemplo (p105): Rendimento como função de:
11 - Temperatura- Temperaturaoo
C (-) 40 e (+) 60C (-) 40 e (+) 60
22 - Catalisador Tipo (-) A e (+) B- Catalisador Tipo (-) A e (+) B
33 - Concentração Mol (-) 1,0 e (+) 1,5- Concentração Mol (-) 1,0 e (+) 1,5
4. Planejamento fatorialPlanejamento fatorial
completo...completo...
A partir da matriz de planejamento podemos formar aA partir da matriz de planejamento podemos formar a
tabela detabela de coeficientes de contrastecoeficientes de contraste
Temos três fatores principais...Temos três fatores principais...
11 Temperatura,Temperatura, 22 catalisador,catalisador, 33 concentraçãoconcentração
Três interações de dois fatoresTrês interações de dois fatores::
12 (Txcat), 13 (Tx conc.) e 23 (cat. X conc) e12 (Txcat), 13 (Tx conc.) e 23 (cat. X conc) e
Uma interação de três fatoresUma interação de três fatores
123 (T x cat. X conc).123 (T x cat. X conc).
Os sinais de cada interação são obtidos multiplicando-Os sinais de cada interação são obtidos multiplicando-
se as colunasse as colunas
6. Cálculo da média e dosCálculo da média e dos
efeitosefeitos
Y méd. = 67,31Y méd. = 67,31
Efeitos principaisEfeitos principais
T (1) = 22,88 ; Cat. (2) = -13,88; Conc (3) = 8,88T (1) = 22,88 ; Cat. (2) = -13,88; Conc (3) = 8,88
InteraçõesInterações
2 fatores2 fatores
TxCat (12) = -8,63 ; TxConc. (13) =-0,88 eTxCat (12) = -8,63 ; TxConc. (13) =-0,88 e
CatxConc. (23) = 0,88CatxConc. (23) = 0,88
3fatores Tx Cat. X Conc. (123) = -0,133fatores Tx Cat. X Conc. (123) = -0,13
7. Erro experimentalErro experimental
Cada ensaio foi realizado 2 vezes, assimCada ensaio foi realizado 2 vezes, assim
temos a estimativa da variância com umtemos a estimativa da variância com um
grau de liberdadegrau de liberdade
∑=
−
−
==
N
i
i xx
N
sxV
1
22
)(
1
1
)(
8. Estimativa do erroEstimativa do erro
Temos então que s2 = 5,2Temos então que s2 = 5,2
Se os valores são independentes podemosSe os valores são independentes podemos
obter uma estimativa da variância de umobter uma estimativa da variância de um
efeito ....efeito ....
Cada um dos oito valores do planejamentoCada um dos oito valores do planejamento
é a média de dois experimentos.é a média de dois experimentos.
Se a variância de uma observaçãoSe a variância de uma observação
individual é estimada em 5,2 a variância daindividual é estimada em 5,2 a variância da
média de duas observações será igual amédia de duas observações será igual a
5,2/2 = 2,6;5,2/2 = 2,6;
9. Estimativa do erroEstimativa do erro
Variância de um efeito = 2,6/2 =1,3Variância de um efeito = 2,6/2 =1,3
O erro padrão é a raiz quadrada daO erro padrão é a raiz quadrada da
variância e logo temos que o valor évariância e logo temos que o valor é
aproximadamente 1,14%.aproximadamente 1,14%.
O erro padrão do rendimento médio será aO erro padrão do rendimento médio será a
metade disso.... 0,57%metade disso.... 0,57%
Obs: válido para repetições autenticas eObs: válido para repetições autenticas e
experimentos aleatorizados.experimentos aleatorizados.
12. Gráfico de Pareto...Gráfico de Pareto...
P a r e t o C h a r t o f S t a n d a r d i z e d E f f e c t s ; V a r i a b l e : V a r 5
2 * * ( 3 - 0 ) d e s i g n ; M S R e s i d u a l = 5 , 1 8 7 5
D V : V a r 5
, 1 0 9 7 6 4 3
, 7 6 8 3 4 9 8
- , 7 6 8 3 5
- 7 , 5 7 3 7 3
7 , 7 9 3 2 6 2
- 1 2 , 1 8 3 8
2 0 , 0 8 6 8 6
p = , 0 5
S t a n d a r d i z e d E f f e c t E s t i m a t e ( A b s o l u t e V a l u e )
1 * 2 * 3
2 b y 3
1 b y 3
1 b y 2
( 3 ) V a r 4
( 2 ) V a r 3
( 1 ) V a r 2
13. Gráfico normal de probabilidadeGráfico normal de probabilidade
P r o b a b i l i t y P l o t ; V a r . : V a r 5 ; R - s q r = , 9 8 8 2 2 ; A d j : , 9 7 7 9 2
2 * * ( 3 - 0 ) d e s i g n ; M S R e s i d u a l = 5 , 1 8 7 5
D V : V a r 5
( 2 ) V a r 3
1 b y 2
1 b y 3
1 * 2 * 3
2 b y 3
( 3 ) V a r 4
( 1 ) V a r 2
- 2 0 - 1 5 - 1 0 - 5 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5
- I n t e r a c t i o n s - M a i n e f f e c t s a n d o t h e r e f f e c t s
S t a n d a r d i z e d E f f e c t s ( t - v a l u e s )
- 3 , 0
- 2 , 5
- 2 , 0
- 1 , 5
- 1 , 0
- 0 , 5
0 , 0
0 , 5
1 , 0
1 , 5
2 , 0
2 , 5
3 , 0
ExpectedNormalValue
, 0 1
, 0 5
, 1 5
, 3 5
, 5 5
, 7 5
, 9 5
, 9 9
14. Interpretação dosInterpretação dos
resultadosresultados
Os efeitos principais são significativos.Os efeitos principais são significativos.
O efeito de interação entre temperatura eO efeito de interação entre temperatura e
concentração é significativo.concentração é significativo.
Não há interação entre a concentração eNão há interação entre a concentração e
os outros fatores.os outros fatores.
Não há interação entre os três fatores.Não há interação entre os três fatores.
15. Modelo estatísticoModelo estatístico
Y (x1,x2,x3) = Bo + B1x1 + B2x2 + B3x3Y (x1,x2,x3) = Bo + B1x1 + B2x2 + B3x3
= B12 x1x2.= B12 x1x2.
Y = 67,3 + 11,4*T – 6,9*Cat + 4,4*Conc –Y = 67,3 + 11,4*T – 6,9*Cat + 4,4*Conc –
4,3 * T * Con.4,3 * T * Con.
16. Planejamento fatorialPlanejamento fatorial
2244
Ao planejamento anterior adicionamos maisAo planejamento anterior adicionamos mais
uma variável (fator)uma variável (fator)
Resultados sem repetições.Resultados sem repetições.
Pode-se calcular:Pode-se calcular:
média globalmédia global
Quatro fatores principaisQuatro fatores principais
Seis interações de dois fatoresSeis interações de dois fatores
Quatro interações de três fatoresQuatro interações de três fatores
Uma interação de quatro fatoresUma interação de quatro fatores
17. Planejamento fatorialPlanejamento fatorial
2244
Exemplo (p105): Rendimento como função de:Exemplo (p105): Rendimento como função de:
11 - Temperatura- Temperaturaoo
C (-) 40 e (+) 60C (-) 40 e (+) 60
22 - Catalisador Tipo (-) A e (+) B- Catalisador Tipo (-) A e (+) B
33 - Concentração Mol (-) 1,0 e (+) 1,5- Concentração Mol (-) 1,0 e (+) 1,5
44 – pH (-) 7,0 e (+) 6,0– pH (-) 7,0 e (+) 6,0
19. ProcedimentosProcedimentos
Os ensaios não foram repetidos !Os ensaios não foram repetidos !
Cálculo da média e dos efeitos : procede-Cálculo da média e dos efeitos : procede-
se da forma apresentada exemplos jáse da forma apresentada exemplos já
analisados....analisados....
Obtemos os efeitos, exceto para a média,Obtemos os efeitos, exceto para a média,
e dividindo o valor por 2 temos ase dividindo o valor por 2 temos as
estimativas dos coeficientes.estimativas dos coeficientes.
Estimativa do erro: como os ensaios nãoEstimativa do erro: como os ensaios não
foram repetidos temos outra possibilidadeforam repetidos temos outra possibilidade
20. Estimativa do erroEstimativa do erro
A medida que o número de fatoresA medida que o número de fatores
aumenta, o número de termos do modeloaumenta, o número de termos do modelo
matemático também aumenta.matemático também aumenta.
No modelo temos agora 16 termos...No modelo temos agora 16 termos...
““podemos esperar que os coeficientes dopodemos esperar que os coeficientes do
modelo obedeçam uma certamodelo obedeçam uma certa
hierarquia ..., esperamos que os efeitoshierarquia ..., esperamos que os efeitos
principais sejam mais importantes...”principais sejam mais importantes...”
23. Estimativa do erroEstimativa do erro
A análise dos resultados mostra que os efeitosA análise dos resultados mostra que os efeitos
principais e as interações de dois fatores sãoprincipais e as interações de dois fatores são
suficientes para descrever o modelosuficientes para descrever o modelo
As interações de três ou mais efeitos podem serAs interações de três ou mais efeitos podem ser
atribuídas a flutuações inerentes ao processo.atribuídas a flutuações inerentes ao processo.
“ruído”“ruído”
Usando os para a estimativa da variância de umUsando os para a estimativa da variância de um
efeito; assim para os cinco valores temos:efeito; assim para os cinco valores temos:
Variância = [(0,875)2+ ....+(0,375)Variância = [(0,875)2+ ....+(0,375)22
]/5= 0,291]/5= 0,291
Erro padrão para o efeito será 0,54.Erro padrão para o efeito será 0,54.
26. Análise por gráficos...Análise por gráficos...
““A análise por gráficos normais é uma técnicaA análise por gráficos normais é uma técnica
alternativa, para tentarmos distinguir, nosalternativa, para tentarmos distinguir, nos
resultados de um planejamento, os valores queresultados de um planejamento, os valores que
correspondem realmente aos efeitos, doscorrespondem realmente aos efeitos, dos
valores que são devidos ao ruído”valores que são devidos ao ruído”
Utiliza-se do conceito de probabilidadeUtiliza-se do conceito de probabilidade
cumulativa.... partindo-se do gráfico decumulativa.... partindo-se do gráfico de
probabilidade de uma distribuição normalprobabilidade de uma distribuição normal
padronizada...padronizada...
27. GráficosGráficos
Um gráfico da probabilidade cumulativa numaUm gráfico da probabilidade cumulativa numa
distribuição normal é uma curvadistribuição normal é uma curva
monotonicamente crescente (curva B...p.118)monotonicamente crescente (curva B...p.118)
A curva pode ser transformada em uma reta porA curva pode ser transformada em uma reta por
meio de uma modificação na escala do eixo dasmeio de uma modificação na escala do eixo das
ordenadas....ordenadas....
Mudando-se o eixo para uma escala deMudando-se o eixo para uma escala de
probabilidade normal os pontos ajustam-seprobabilidade normal os pontos ajustam-se
aproximadamente a uma reta....aproximadamente a uma reta....
““expandir a escala simetricamente em torno doexpandir a escala simetricamente em torno do
ponto representado por 0,5 de modo a “esticar”ponto representado por 0,5 de modo a “esticar”
as duas pontas do S”as duas pontas do S”
28. Exemplo:planejamentoExemplo:planejamento
2244
No gráfico de probabilidade cumulativa osNo gráfico de probabilidade cumulativa os
pontos centrais se ajustam a uma reta quepontos centrais se ajustam a uma reta que
cruza a probabilidade acumulada de 50%cruza a probabilidade acumulada de 50%
aproximadamente sobre o ponto zero dasaproximadamente sobre o ponto zero das
abscissas.abscissas.
Pode-se observar no gráfico da probabilidadePode-se observar no gráfico da probabilidade
cumulativa que os efeitos principais: (1)cumulativa que os efeitos principais: (1)
temperatura; (2) Catalisador; (3) concentração etemperatura; (2) Catalisador; (3) concentração e
a interação (12) são realmente significativosa interação (12) são realmente significativos
Os efeitos são mais significativos, quanto maisOs efeitos são mais significativos, quanto mais
afastados para direita ou esquerda.afastados para direita ou esquerda.
30. 3.53.5 EVOP –EVOP – OpOperaçãoeração
EvEvolucionariaolucionaria
Melhora das condições de processo em largaMelhora das condições de processo em larga
escala.escala.
Na prática o processo continua sendo operadoNa prática o processo continua sendo operado
dentro de parâmetros estabelecidos na suadentro de parâmetros estabelecidos na sua
partida.partida.
Como se busca um ajuste fino, pequenasComo se busca um ajuste fino, pequenas
alterações dos parâmetros são implementadas.alterações dos parâmetros são implementadas.
A forma recomendada é um planejamento emA forma recomendada é um planejamento em
dois níveis.dois níveis.
Avaliação do processo (p.125)Avaliação do processo (p.125)
31. EVOP...EVOP...
Planejamento fatorial com ponto central...Planejamento fatorial com ponto central...
Ponto centralPonto central AA (condições iniciais...)(condições iniciais...)
Experimentos em condições próximas.... B, C ,Experimentos em condições próximas.... B, C ,
D e E...D e E...
Identificação da condição mais favorável...Identificação da condição mais favorável...
uma espécie de “seleção natural”uma espécie de “seleção natural”
Proposição de possíveis deslocamentos...Proposição de possíveis deslocamentos...
32. BLOCAGEMBLOCAGEM
Possibilidade de neutralizar (minimizar) efeitosPossibilidade de neutralizar (minimizar) efeitos
indesejáveisindesejáveis
Exemplo: diferentes lotes de matéria primaExemplo: diferentes lotes de matéria prima
Em um planejamento 23, o efeito menosEm um planejamento 23, o efeito menos
importante é a interação 123...importante é a interação 123...
Se temos dois lotes podemos executar oSe temos dois lotes podemos executar o
planejamento de forma a confundí-lo com esteplanejamento de forma a confundí-lo com este
efeito...efeito...
33. Planejamento 2Planejamento 233
em dois blocos...em dois blocos...
Ensaio 1 2 3 123 bloco lote
1 - - - - I A
2 + - - + II B
3 - + - + II B
4 + + - - I A
5 - - + + II B
6 + - + - I A
7 - + + - I A
8 + + + + II B
34. AplicaçõesAplicações
Livro BrunsLivro Bruns
3 A.1 hidrólise de enzimas3 A.1 hidrólise de enzimas
3 A.2 voltametria cíclica do azul de metileno3 A.2 voltametria cíclica do azul de metileno
3 A.3 Tempo de retenção em CLAE3 A.3 Tempo de retenção em CLAE
3 A. 4 Separação de gases....3 A. 4 Separação de gases....
3 A.8 Desenvolvimento de um detergente.3 A.8 Desenvolvimento de um detergente.